Stożek ścięty - Frustum

Zestaw frustów piramidalnych
Pięciokątne ścięcie.svgUsech kvadrat piramid.png
Przykłady: ścięcie pięciokątne i kwadratowe
Twarze n trapezów , 2 n -gons
Krawędzie 3 n
Wierzchołki 2 n
Grupa symetrii C n v , [1, n ], (* nn )
Nieruchomości wypukły

W geometrii , A ściętego (mnogiej: Frusta lub ścięte ) stanowi fragment stałej (zwykle stożka lub piramidy ), która znajduje się pomiędzy jednym lub dwóch równoległych płaszczyzn przecinania. Prawo ściętego jest równoległa obcięcie z prawej piramidy lub prawego stożka.

W grafice komputerowej The ścięty oglądania jest regionem trójwymiarowy, który jest widoczny na ekranie. Tworzy go ścięta piramida; w szczególności ubój frustum jest metodą określania ukrytej powierzchni .

W przemyśle lotniczym frustum to owiewka między dwoma stopniami wielostopniowej rakiety (takiej jak Saturn V ), która ma kształt ściętego stożka.

Jeśli wszystkie krawędzie muszą być identyczne , ścięcie staje się jednolitym pryzmatem .

Elementy, przypadki szczególne i powiązane koncepcje

Kwadratowe fruście
Regularny ośmiościan można powiększyć na 3 ścianach, tworząc trójkątną ścięcie

Oś frustum jest osią oryginalnego stożka lub piramidy. Frustum jest okrągłe, jeśli ma okrągłe podstawy; dobrze jest, jeśli oś jest prostopadła do obu podstaw, a ukośna w przeciwnym razie.

Wysokość ściętego stożka to prostopadła odległość między płaszczyznami dwóch podstaw.

Stożki i piramidy można postrzegać jako zdegenerowane przypadki frusty, w których jedna z płaszczyzn tnących przechodzi przez wierzchołek (tak, że odpowiednia podstawa zmniejsza się do punktu). Frusta piramidalna jest podklasą pryzmatoidów .

Dwie frusty połączone u ich podstaw tworzą bifrustum .

Formuła

Tom

Formuła objętościowa ściętego ostrosłupa kwadratowej piramidy została wprowadzona przez starożytną matematykę egipską w tak zwanym Moskiewskim Papirusie Matematycznym , napisanym w XIII dynastii ( ok.  1850 pne ):

gdzie a i b to długość boku podstawy i górnej części ostrosłupa ściętego, a h to wysokość. Egipcjanie znali poprawny wzór na określenie objętości ściętej kwadratowej piramidy, ale w moskiewskim papirusie nie ma żadnego dowodu na to równanie.

Objętość stożkowej lub piramidalnej bryły objętość ciała stałego przed krojenia off wierzchołkowy minus objętość wierzchołku:

gdzie B 1 to pole jednej podstawy, B 2 to pole drugiej podstawy, a h 1 , h 2 to prostopadłe wysokości od wierzchołka do płaszczyzn dwóch podstaw.

Biorąc pod uwagę, że

,

wzór na objętość można wyrazić tylko jako iloczyn tej proporcjonalności α/3 i różnicy sześcianów wysokości h 1 i h 2 .

Rozkładając na czynniki różnicę dwóch sześcianów, a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) , otrzymujemy h 1h 2 = h , wysokość ściętego i α * ( h 1 2 + h 1 h 2 + h 2 2/3) .

Rozkładając α i zastępując od jej definicji, otrzymujemy średnią heronową obszarów B 1 i B 2 . Alternatywną formułą jest zatem

.

Czapla z Aleksandrii jest znana z wyprowadzenia tej formuły i napotkania jednostki urojonej , pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej.

W szczególności objętość ściętego stożka okrągłego wynosi

gdzie R 1 , R 2promienie dwóch zasad.

Frustum piramidalne

Objętość ściętego ostrosłupa, którego podstawy są n- bocznymi wielokątami foremnymi, wynosi

gdzie 1 i 2 są boki dwóch zasad.

Powierzchnia

Stożkowe ścięcie
Model 3D ściętego stożka.

Dla prawego okrągłego stożka ściętego

oraz

gdzie R 1 i R 2 stanowią podstawę i górny promień r i s jest skos wysokości bryły.

Pole powierzchni prawego ściętego ściętego, którego podstawy są podobnymi regularnymi wielokątami n- bocznymi wynosi

gdzie 1 i 2 są boki dwóch zasad.

Przykłady

Czekoladki marki Rolo mają kształt zbliżony do okrągłego stożkowego ścięgna, chociaż nie są płaskie na wierzchu.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Linki zewnętrzne