Stożek ścięty - Frustum
Zestaw frustów piramidalnych | |
---|---|
Twarze | n trapezów , 2 n -gons |
Krawędzie | 3 n |
Wierzchołki | 2 n |
Grupa symetrii | C n v , [1, n ], (* nn ) |
Nieruchomości | wypukły |
W geometrii , A ściętego (mnogiej: Frusta lub ścięte ) stanowi fragment stałej (zwykle stożka lub piramidy ), która znajduje się pomiędzy jednym lub dwóch równoległych płaszczyzn przecinania. Prawo ściętego jest równoległa obcięcie z prawej piramidy lub prawego stożka.
W grafice komputerowej The ścięty oglądania jest regionem trójwymiarowy, który jest widoczny na ekranie. Tworzy go ścięta piramida; w szczególności ubój frustum jest metodą określania ukrytej powierzchni .
W przemyśle lotniczym frustum to owiewka między dwoma stopniami wielostopniowej rakiety (takiej jak Saturn V ), która ma kształt ściętego stożka.
Jeśli wszystkie krawędzie muszą być identyczne , ścięcie staje się jednolitym pryzmatem .
Oś frustum jest osią oryginalnego stożka lub piramidy. Frustum jest okrągłe, jeśli ma okrągłe podstawy; dobrze jest, jeśli oś jest prostopadła do obu podstaw, a ukośna w przeciwnym razie.
Wysokość ściętego stożka to prostopadła odległość między płaszczyznami dwóch podstaw.
Stożki i piramidy można postrzegać jako zdegenerowane przypadki frusty, w których jedna z płaszczyzn tnących przechodzi przez wierzchołek (tak, że odpowiednia podstawa zmniejsza się do punktu). Frusta piramidalna jest podklasą pryzmatoidów .
Dwie frusty połączone u ich podstaw tworzą bifrustum .
Formuła
Tom
Formuła objętościowa ściętego ostrosłupa kwadratowej piramidy została wprowadzona przez starożytną matematykę egipską w tak zwanym Moskiewskim Papirusie Matematycznym , napisanym w XIII dynastii ( ok. 1850 pne ):
gdzie a i b to długość boku podstawy i górnej części ostrosłupa ściętego, a h to wysokość. Egipcjanie znali poprawny wzór na określenie objętości ściętej kwadratowej piramidy, ale w moskiewskim papirusie nie ma żadnego dowodu na to równanie.
Objętość stożkowej lub piramidalnej bryły objętość ciała stałego przed krojenia off wierzchołkowy minus objętość wierzchołku:
gdzie B 1 to pole jednej podstawy, B 2 to pole drugiej podstawy, a h 1 , h 2 to prostopadłe wysokości od wierzchołka do płaszczyzn dwóch podstaw.
Biorąc pod uwagę, że
- ,
wzór na objętość można wyrazić tylko jako iloczyn tej proporcjonalności α/3 i różnicy sześcianów wysokości h 1 i h 2 .
Rozkładając na czynniki różnicę dwóch sześcianów, a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) , otrzymujemy h 1 − h 2 = h , wysokość ściętego i α * ( h 1 2 + h 1 h 2 + h 2 2/3) .
Rozkładając α i zastępując od jej definicji, otrzymujemy średnią heronową obszarów B 1 i B 2 . Alternatywną formułą jest zatem
- .
Czapla z Aleksandrii jest znana z wyprowadzenia tej formuły i napotkania jednostki urojonej , pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej.
W szczególności objętość ściętego stożka okrągłego wynosi
gdzie R 1 , R 2 są promienie dwóch zasad.
Objętość ściętego ostrosłupa, którego podstawy są n- bocznymi wielokątami foremnymi, wynosi
gdzie 1 i 2 są boki dwóch zasad.
Powierzchnia
Dla prawego okrągłego stożka ściętego
oraz
gdzie R 1 i R 2 stanowią podstawę i górny promień r i s jest skos wysokości bryły.
Pole powierzchni prawego ściętego ściętego, którego podstawy są podobnymi regularnymi wielokątami n- bocznymi wynosi
gdzie 1 i 2 są boki dwóch zasad.
Przykłady
- Na odwrocie (rewersie) banknotu jednodolarowego Stanów Zjednoczonych na rewersie Wielkiej Pieczęci Stanów Zjednoczonych , zwieńczonej Okiem Opatrzności, widnieje piramidalna frustum .
- Zigguraty , piramidy schodkowe i niektóre starożytne kopce rdzennych Amerykanów również tworzą frustum jednej lub więcej piramid, z dodatkowymi elementami, takimi jak schody.
- Piramidy chińskie .
- Centrum Johna Hancocka w Chicago , Illinois to frustum, którego podstawą są prostokąty.
- Washington Monument jest wąski plac oparte piramidalnej ścięty czele małej piramidy.
- Oglądania ścięty w 3D grafika komputerowa jest użyteczna wirtualnego fotograficzny lub kamera wideo jest pole widzenia modelowanego jako piramidalnej bryły.
- W angielskim tłumaczeniu tomiku opowiadań Stanisława Lema Cyberiada wiersz Miłość i algebra tensorów głosi, że „każda frustum pragnie być stożkiem”.
- Wiadra i typowe abażury to codzienne przykłady stożkowych frustów.
- Szklanki do picia i niektóre kapsuły kosmiczne to również kilka przykładów.
Zobacz też
Uwagi
Bibliografia
Linki zewnętrzne
- Wyprowadzenie wzoru na objętość ścięgna piramidy i stożka (Mathalino.com)
- Weisstein, Eric W. „Piramidal frustum” . MatematykaŚwiat .
- Weisstein, Eric W. „Stożkowe ścięcie” . MatematykaŚwiat .
- Papierowe modele frustum (ostrosłupów ściętych)
- Papierowy model ściętego stożka (stożek ścięty)
- Zaprojektuj papierowe modele ściętego stożka (szyszki ścięte)