Funkcja (matematyka) -Function (mathematics)

W matematyce funkcja ze zbioru X do zbioru Y przypisuje każdemu elementowi zbioru X dokładnie jeden element zbioru Y. Zbiór X nazywany jest dziedziną funkcji, a zbiór Y — koddomeną funkcji .

Funkcje były pierwotnie idealizacją tego, jak zmienna wielkość zależy od innej wielkości. Na przykład pozycja planety jest funkcją czasu . Historycznie rzecz biorąc , koncepcja ta została rozwinięta za pomocą rachunku nieskończenie małych pod koniec XVII wieku i aż do XIX wieku rozważane funkcje były różniczkowalne (to znaczy miały wysoki stopień regularności). Pojęcie funkcji zostało sformalizowane pod koniec XIX wieku w kategoriach teorii mnogości , co znacznie rozszerzyło dziedziny zastosowania tego pojęcia.

Funkcję najczęściej oznacza się literami takimi jak f , g i h , a wartość funkcji f na elemencie x jej dziedziny oznacza się f ( x ) ; wartość liczbową wynikającą z oceny funkcji przy określonej wartości wejściowej oznaczamy przez zastąpienie x tą wartością; na przykład wartość f przy x = 4 jest oznaczona przez f (4) . Gdy funkcja nie jest nazwana i jest reprezentowana przez wyrażenie E , wartość funkcji przy, powiedzmy, x = 4 może być oznaczona przez E | x =4 . Na przykład wartość 4 funkcji, która odwzorowuje x na, może być oznaczona przez (co daje 25).

Funkcja jest jednoznacznie reprezentowana przez zbiór wszystkich par ( x , f  ( x )) , zwany wykresem funkcji , popularnym sposobem ilustrowania funkcji. Gdy dziedzina i kodomena są zbiorami liczb rzeczywistych, każdą taką parę można traktować jako współrzędne kartezjańskie punktu na płaszczyźnie.

Funkcje są szeroko stosowane w nauce , inżynierii oraz w większości dziedzin matematyki. Mówi się, że funkcje są „głównym przedmiotem badań” w większości dziedzin matematyki.

Schematyczne przedstawienie funkcji opisanej metaforycznie jako „maszyna” lub „ czarna skrzynka ”, która dla każdego wejścia daje odpowiednie wyjście
Czerwona krzywa jest wykresem funkcji , ponieważ każda pionowa linia ma dokładnie jeden punkt przecięcia z krzywą.
Funkcja, która kojarzy dowolny z czterech kolorowych kształtów z jego kolorem.

Definicja

Diagram funkcji z dziedziną X = {1, 2, 3} i koddomeną Y = {A, B, C, D} , która jest zdefiniowana przez zbiór uporządkowanych par {(1, D), (2, C ), (3, C)} . Obraz/zakres to zbiór {C, D} .



Diagram ten, reprezentujący zbiór par {(1,D), (2,B), (2,C)} , nie definiuje funkcji. Jednym z powodów jest to, że 2 jest pierwszym elementem w więcej niż jednej uporządkowanej parze (2, B) i (2, C) tego zestawu. Dwa inne powody, również wystarczające same w sobie, to fakt, że ani 3, ani 4 nie są pierwszymi elementami (danymi wejściowymi) żadnej uporządkowanej pary.

Funkcja ze zbioru X do zbioru Y jest przypisaniem elementu Y do każdego elementu X . Zbiór X nazywany jest dziedziną funkcji, a zbiór Y — koddomeną funkcji .

Funkcja, jej dziedzina i koddomena są deklarowane przez notację f : ​​XY , a wartość funkcji f w elemencie x z X , oznaczona przez f(x) , nazywana jest obrazem x pod f lub wartość f zastosowana do argumentu x .

Funkcje są również nazywane mapami lub mapowaniami , chociaż niektórzy autorzy rozróżniają „mapy” i „funkcje” (patrz § Inne terminy ).

Dwie funkcje f i g są równe, jeśli ich zbiory dziedzin i kodomeny są takie same, a ich wartości wyjściowe są zgodne w całej dziedzinie. Bardziej formalnie, biorąc pod uwagę f : ​​XY i g : XY , mamy f = g wtedy i tylko wtedy, gdy f ( x ) = g ( x ) dla wszystkich xX .

Dziedzina i kodomena nie zawsze są jawnie podawane podczas definiowania funkcji, a bez pewnych (prawdopodobnie trudnych) obliczeń można tylko wiedzieć, że domena jest zawarta w większym zbiorze. Zwykle ma to miejsce w analizie matematycznej , gdzie „funkcja od X do Y często odnosi się do funkcji, która może mieć odpowiedni podzbiór X jako dziedzinę. Na przykład „funkcja od liczb rzeczywistych do liczb rzeczywistych” może odnosić się do funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych . Jednak „funkcja od liczb rzeczywistych do liczb rzeczywistych” nie oznacza, że ​​dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych , a jedynie, że dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, który zawiera niepusty przedział otwarty . Taka funkcja jest wtedy nazywana funkcją częściową . Na przykład, jeśli f jest funkcją, która ma liczby rzeczywiste jako dziedzinę i kodomenę, to funkcja odwzorowująca wartość x na wartość g ( x ) = 1/fa ( x )jest funkcją g od liczb rzeczywistych do liczb rzeczywistych, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych x , taka że f ( x ) ≠ 0 .

Zakres lub obraz funkcji to zbiór obrazów wszystkich elementów w dziedzinie.

Całkowita, jednowartościowa relacja

Dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów X i Y definiuje relację binarną RX × Y między tymi dwoma zbiorami. Jest oczywiste, że dowolna relacja może zawierać pary, które naruszają warunki konieczne dla funkcji podanej powyżej.

Relacja binarna jest jednowartościowa (zwana także prawą-unikalną), jeśli

Relacja binarna jest całkowita , jeśli

Funkcja częściowa jest relacją binarną, która jest jednowartościowa, a funkcja jest relacją binarną, która jest jednowartościowa i całkowita.

Różne własności funkcji i złożenie funkcji można przeformułować na język relacji. Na przykład funkcja jest iniekcyjna , jeśli relacja odwrotna RTY × X jest jednowartościowa, gdzie relacja odwrotna jest zdefiniowana jako RT = {( y , x ) | ( x , y ) ∈ R }.

Ustaw potęgowanie

Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru do zbioru jest powszechnie oznaczany jako

co jest odczytywane jako moc .

Ta notacja jest taka sama , jak notacja dla iloczynu kartezjańskiego rodziny kopii indeksowanych przez :

Tożsamość tych dwóch notacji wynika z faktu, że funkcję można utożsamić z elementem iloczynu kartezjańskiego w taki sposób, że składową indeksu jest .

Kiedy ma dwa elementy, jest powszechnie oznaczany i nazywany powersetem X . Można go utożsamiać ze zbiorem wszystkich podzbiorów , poprzez korespondencję jeden-do-jednego, która wiąże z każdym podzbiorem funkcję taką , że jeśli i inaczej.

Notacja

Istnieją różne standardowe sposoby oznaczania funkcji. Najczęściej używaną notacją jest notacja funkcjonalna, która jest pierwszą notacją opisaną poniżej.

Notacja funkcjonalna

W notacji funkcjonalnej funkcja otrzymuje natychmiast nazwę, taką jak f , a jej definicja jest określana przez to, co f robi z jawnym argumentem x , używając formuły wyrażonej w postaci x . Na przykład funkcja, która przyjmuje liczbę rzeczywistą jako dane wejściowe i wyprowadza tę liczbę plus 1, jest oznaczona przez

.

Jeśli funkcja jest zdefiniowana w tym zapisie, jej domena i koddomena są domyślnie traktowane jako , zbiór liczb rzeczywistych. Jeśli formuły nie można ocenić na wszystkich liczbach rzeczywistych, to domyślnie przyjmuje się, że dziedzina jest maksymalnym podzbiorem, na podstawie którego można ocenić formułę; zobacz Dziedzina funkcji .

Bardziej skomplikowanym przykładem jest funkcja

.

W tym przykładzie funkcja f przyjmuje liczbę rzeczywistą jako dane wejściowe, podnosi ją do kwadratu, następnie dodaje 1 do wyniku, bierze sinus wyniku i zwraca wynik końcowy jako wynik.

Gdy symbol oznaczający funkcję składa się z kilku znaków i nie może powstać niejednoznaczność, nawiasy notacji funkcyjnej można pominąć. Na przykład często pisze się sin x zamiast sin( x ) .

Notacja funkcjonalna została po raz pierwszy użyta przez Leonharda Eulera w 1734 roku. Niektóre powszechnie używane funkcje są reprezentowane przez symbol składający się z kilku liter (zwykle dwóch lub trzech, na ogół skrót ich nazwy). W tym przypadku zwykle używana jest czcionka rzymska , na przykład „ sin ” dla funkcji sinus , w przeciwieństwie do kursywy dla symboli jednoliterowych.

Używając tej notacji, często spotyka się nadużycie notacji , w której notacja f ( x ) może odnosić się do wartości f w x lub do samej funkcji. Jeżeli zmienna x została wcześniej zadeklarowana, to zapis f ( x ) jednoznacznie oznacza wartość f w punkcie x . W przeciwnym razie przydatne jest zrozumienie notacji jako obu jednocześnie; pozwala to w zwięzły sposób oznaczyć złożenie dwóch funkcji f i g za pomocą notacji f ( g ( x )) .

Jednak rozróżnienie f i f ( x ) może stać się ważne w przypadkach, gdy same funkcje służą jako dane wejściowe dla innych funkcji. (Funkcja przyjmująca inną funkcję jako dane wejściowe jest nazywana funkcjonałem ) . Inne podejścia do zapisywania funkcji, wyszczególnione poniżej, pozwalają uniknąć tego problemu, ale są rzadziej używane.

Notacja strzałkowa

Notacja strzałkowa definiuje regułę funkcji w wierszu, bez konieczności nadawania nazwy funkcji. Na przykład, jest funkcją, która przyjmuje liczbę rzeczywistą jako dane wejściowe i wyprowadza tę liczbę plus 1. Ponownie implikowana jest dziedzina i kodomena.

Domena i koddomena mogą być również wyraźnie określone, na przykład:

To definiuje funkcję sqr od liczb całkowitych do liczb całkowitych, która zwraca kwadrat swojego wejścia.

W powszechnym zastosowaniu notacji strzałkowej załóżmy, że jest to funkcja dla dwóch zmiennych, a my chcemy odnieść się do częściowo zastosowanej funkcji utworzonej przez ustalenie drugiego argumentu na wartość t 0 bez wprowadzania nowej nazwy funkcji. Omawianą mapę można by oznaczyć za pomocą notacji strzałkowej. Wyrażenie (czytaj: „mapa przenosząca x do f ( x , t 0 ) ”) reprezentuje tę nową funkcję tylko z jednym argumentem, natomiast wyrażenie f ( x 0 , t 0 ) odnosi się do wartości funkcji f w punkt ( x 0 , t 0 ) .

Notacja indeksu

Notacja indeksowa jest często używana zamiast notacji funkcjonalnej. Oznacza to, że zamiast pisać f  ( x ) , pisze się

Dzieje się tak zazwyczaj w przypadku funkcji, których dziedziną jest zbiór liczb naturalnych . Taka funkcja nazywana jest ciągiem , aw tym przypadku element nazywany jest n -tym elementem ciągu.

Notacja indeksu jest również często używana do odróżnienia niektórych zmiennych zwanych parametrami od „zmiennych prawdziwych”. W rzeczywistości parametry to określone zmienne, które uważa się za ustalone podczas badania problemu. Na przykład mapa (patrz wyżej) byłaby oznaczona za pomocą notacji indeksowej, jeśli zdefiniujemy zbiór map za pomocą formuły dla all .

Notacja kropkowa

W notacji symbol x nie reprezentuje żadnej wartości, jest po prostu symbolem zastępczym , co oznacza, że ​​jeśli x zostanie zastąpione dowolną wartością po lewej stronie strzałki, należy ją zastąpić tą samą wartością po prawej stronie strzałki. Dlatego x można zastąpić dowolnym symbolem, często interpunkcją ”. Może to być przydatne do odróżnienia funkcji f  (⋅) od jej wartości f  ( x ) w x .

Na przykład, może oznaczać funkcję i może oznaczać funkcję zdefiniowaną przez całkę ze zmienną górną granicą: .

Notacje specjalistyczne

Istnieją inne, specjalistyczne oznaczenia funkcji w poddyscyplinach matematyki. Na przykład w algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej formy liniowe i wektory , na które działają, są oznaczane za pomocą podwójnej pary , aby pokazać leżącą u ich podstaw dwoistość . Jest to podobne do stosowania notacji bra-ket w mechanice kwantowej. W logice i teorii obliczeń notacja funkcji rachunku lambda jest używana do wyraźnego wyrażenia podstawowych pojęć abstrakcji i zastosowania funkcji . W teorii kategorii i algebrze homologicznej sieci funkcji są opisywane w kategoriach sposobu, w jaki one i ich składy dojeżdżają do siebie za pomocą diagramów przemiennych , które rozszerzają i uogólniają notację strzałkową dla funkcji opisanych powyżej.

Inne warunki

Termin Wyróżnienie od „funkcji”
Mapa/Mapowanie Nic; terminy są synonimami.
Mapa może mieć dowolny zbiór jako kodomenę, podczas gdy w niektórych kontekstach, zwykle w starszych książkach, kodomena funkcji jest w szczególności zbiorem liczb rzeczywistych lub zespolonych .
Alternatywnie mapa jest powiązana ze specjalną strukturą (np. przez wyraźne określenie ustrukturyzowanej kodomeny w jej definicji). Na przykład mapa liniowa .
Homomorfizm Funkcja między dwiema strukturami tego samego typu, która zachowuje działania struktury (np. homomorfizm grupowy ).
Morfizm Uogólnienie homomorfizmów na dowolną kategorię , nawet jeśli obiekty kategorii nie są zbiorami (na przykład grupa definiuje kategorię z tylko jednym przedmiotem, który ma elementy grupy jako morfizmy; patrz Kategoria (matematyka) § Przykłady dla ten przykład i inne podobne).

Funkcja jest często nazywana mapą lub odwzorowaniem , ale niektórzy autorzy rozróżniają termin „mapa” i „funkcja”. Na przykład termin „mapa” jest często zarezerwowany dla „funkcji” o jakiejś specjalnej strukturze (np. mapy rozmaitości ). W szczególności mapa jest często używana zamiast homomorfizmu ze względu na zwięzłość (np. mapa liniowa lub mapa od G do H zamiast homomorfizmu grupowego od G do H ). Niektórzy autorzy rezerwują mapowanie słów dla przypadku, gdy struktura kodomeny należy wyraźnie do definicji funkcji.

Niektórzy autorzy, tacy jak Serge Lang , używają słowa „funkcja” tylko w odniesieniu do map, dla których koddomena jest podzbiorem liczb rzeczywistych lub zespolonych , i używają terminu „ mapowanie” w odniesieniu do bardziej ogólnych funkcji.

W teorii układów dynamicznych mapa oznacza funkcję ewolucji używaną do tworzenia dyskretnych układów dynamicznych . Zobacz także mapę Poincarégo .

Bez względu na to, jaka definicja mapy jest używana, powiązane terminy, takie jak domena , codomain , iniekcyjna , ciągła , mają takie samo znaczenie jak w przypadku funkcji.

Określanie funkcji

Biorąc pod uwagę funkcję , z definicji, do każdego elementu dziedziny funkcji , jest z nią powiązany unikalny element, wartość at . Istnieje kilka sposobów, aby określić lub opisać, w jaki sposób jest powiązany z , zarówno jawnie, jak i niejawnie. Czasami twierdzenie lub aksjomat stwierdza istnienie funkcji mającej pewne właściwości, bez jej dokładniejszego opisu. Często specyfikacja lub opis jest określany jako definicja funkcji .

Wymieniając wartości funkcji

Na skończonym zbiorze funkcję można zdefiniować, wymieniając elementy kodomeny, które są powiązane z elementami dziedziny. Na przykład, jeśli , to można zdefiniować funkcję przez

Według formuły

Funkcje są często definiowane za pomocą formuły opisującej kombinację operacji arytmetycznych i wcześniej zdefiniowanych funkcji; taka formuła pozwala obliczyć wartość funkcji z wartości dowolnego elementu dziedziny. Na przykład w powyższym przykładzie można zdefiniować za pomocą wzoru , dla .

Gdy funkcja jest zdefiniowana w ten sposób, określenie jej dziedziny jest czasami trudne. Jeżeli formuła definiująca funkcję zawiera podziały, to z dziedziny należy wykluczyć wartości zmiennej, dla których mianownik wynosi zero; tak więc dla skomplikowanej funkcji określenie dziedziny przechodzi przez obliczenie zer funkcji pomocniczych. Podobnie, jeśli pierwiastki kwadratowe występują w definicji funkcji od, to dziedzina zawiera się w zbiorze wartości zmiennej, dla której argumenty pierwiastków kwadratowych są nieujemne.

Na przykład definiuje funkcję , której dziedziną jest ponieważ jest zawsze dodatnia, jeśli x jest liczbą rzeczywistą. Z drugiej strony definiuje funkcję od liczb rzeczywistych do liczb rzeczywistych, której dziedzina jest zredukowana do przedziału [−1, 1] . (W starych tekstach taką dziedzinę nazywano dziedziną definicji funkcji).

Funkcje są często klasyfikowane według natury formuł, które je definiują:

  • Funkcja kwadratowa to funkcja, którą można zapisać, gdzie a , b , cstałymi .
  • Mówiąc bardziej ogólnie, funkcja wielomianu to funkcja, którą można zdefiniować za pomocą wzoru obejmującego tylko dodawanie, odejmowanie, mnożenie i potęgowanie do nieujemnych liczb całkowitych. Na przykład i
  • Funkcja wymierna jest taka sama, z dozwolonymi podziałami, takimi jak i
  • Funkcja algebraiczna jest taka sama, z n- tymi pierwiastkami i pierwiastkami wielomianów .
  • Funkcja elementarna jest taka sama, z dozwolonymi logarytmami i funkcjami wykładniczymi .

Funkcje odwrotne i uwikłane

Funkcja z dziedziną X i koddomeną Y jest bijekcją , jeśli dla każdego y w Y istnieje jeden i tylko jeden element x w X taki, że y = f ( x ) . W tym przypadku funkcja odwrotna f jest funkcją odwzorowującą element w taki sposób, że y = f ( x ) . Na przykład logarytm naturalny jest funkcją bijektywną od dodatnich liczb rzeczywistych do liczb rzeczywistych. Ma zatem odwrotność, zwaną funkcją wykładniczą , która odwzorowuje liczby rzeczywiste na liczby dodatnie.

Jeśli funkcja nie jest bijektywna, może się zdarzyć, że można wybrać podzbiory i tak, że ograniczenie f do E jest bijekcją od E do F , a zatem ma odwrotność. W ten sposób definiuje się odwrotne funkcje trygonometryczne . Na przykład funkcja cosinus indukuje, przez ograniczenie, bijekcję z przedziału [0, π ] na przedział [−1, 1] , a jej funkcja odwrotna, zwana arcus cosinus , odwzorowuje [−1, 1] na [0, π ] . Inne odwrotne funkcje trygonometryczne są zdefiniowane podobnie.

Bardziej ogólnie, biorąc pod uwagę relację binarną R między dwoma zbiorami X i Y , niech E będzie podzbiorem X takim, że dla każdego istnieje taki, że xRy . Jeśli ktoś ma kryterium pozwalające na wybranie takiego y dla każdego , to definiuje to funkcję zwaną funkcją implicit , ponieważ jest ona implicite określona przez relację R.

Na przykład równanie koła jednostkowego definiuje zależność na liczbach rzeczywistych. Jeśli −1 < x < 1, to są dwie możliwe wartości y , jedna dodatnia i jedna ujemna. Dla x = ± 1 te dwie wartości stają się równe 0. W przeciwnym razie nie ma możliwej wartości y . Oznacza to, że równanie definiuje dwie ukryte funkcje z domeną [−1, 1] i odpowiednimi kodomenami [0, +∞) i (−∞, 0] .

W tym przykładzie równanie można rozwiązać w y , dając , ale w bardziej skomplikowanych przykładach jest to niemożliwe. Na przykład relacja definiuje y jako ukrytą funkcję x , zwaną radykałem Bring , która ma dziedzinę i zakres. Pierwiastka Bring nie można wyrazić za pomocą czterech operacji arytmetycznych i pierwiastków n -tych .

Twierdzenie o funkcji uwikłanej zapewnia łagodne warunki różniczkowalności dla istnienia i jednoznaczności funkcji uwikłanej w sąsiedztwie punktu.

Korzystanie z rachunku różniczkowego

Wiele funkcji można zdefiniować jako funkcję pierwotną innej funkcji. Tak jest w przypadku logarytmu naturalnego , który jest funkcją pierwotną 1/ x , czyli 0 dla x = 1 . Innym typowym przykładem jest funkcja błędu .

Mówiąc bardziej ogólnie, wiele funkcji, w tym większość funkcji specjalnych , można zdefiniować jako rozwiązania równań różniczkowych . Najprostszym przykładem jest prawdopodobnie funkcja wykładnicza , którą można zdefiniować jako unikalną funkcję, która jest równa swojej pochodnej i przyjmuje wartość 1 dla x = 0 .

Szeregów potęgowych można użyć do zdefiniowania funkcji w dziedzinie, w której są zbieżne. Na przykład funkcja wykładnicza jest dana przez . Ponieważ jednak współczynniki szeregu są dość dowolne, funkcja będąca sumą szeregu zbieżnego jest ogólnie definiowana inaczej, a sekwencja współczynników jest wynikiem pewnych obliczeń opartych na innej definicji. Następnie szereg potęgowy można wykorzystać do powiększenia dziedziny funkcji. Zazwyczaj, jeśli funkcja dla zmiennej rzeczywistej jest sumą jej szeregu Taylora w pewnym przedziale, ten szereg potęgowy pozwala na natychmiastowe powiększenie dziedziny do podzbioru liczb zespolonych , dysku zbieżności szeregu. Następnie kontynuacja analityczna pozwala na dalsze powiększanie dziedziny tak, aby obejmowała ona prawie całą płaszczyznę zespoloną . Proces ten jest metodą powszechnie stosowaną do definiowania logarytmu , funkcji wykładniczych i trygonometrycznych liczby zespolonej.

Przez powtarzalność

Funkcje, których dziedziną są nieujemne liczby całkowite, zwane ciągami , są często definiowane przez relacje rekurencyjne .

Funkcja silnia na nieujemnych liczbach całkowitych ( ) jest podstawowym przykładem, ponieważ można ją zdefiniować za pomocą relacji rekurencyjnej

i warunek początkowy

Reprezentowanie funkcji

Wykres jest powszechnie używany do przedstawienia intuicyjnego obrazu funkcji. Jako przykład tego, jak wykres pomaga zrozumieć funkcję, łatwo jest zobaczyć na jego wykresie, czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca. Niektóre funkcje mogą być również reprezentowane przez wykresy słupkowe .

Wykresy i wykresy

Funkcja odwzorowująca każdego roku liczbę ofiar śmiertelnych pojazdów silnikowych w USA, pokazana jako wykres liniowy
Ta sama funkcja, pokazana jako wykres słupkowy

Dla danej funkcji jej wykres jest formalnie zbiorem

W częstym przypadku, gdy X i Y są podzbiorami liczb rzeczywistych (lub można je utożsamiać z takimi podzbiorami, np. przedziałami ), element można utożsamiać z punktem o współrzędnych x , y w dwuwymiarowym układzie płaszczyzna kartezjańska . Części tego mogą tworzyć wykres reprezentujący (części) funkcji. Użycie wykresów jest tak wszechobecne, że one również nazywane są wykresami funkcji . Graficzne reprezentacje funkcji są również możliwe w innych układach współrzędnych. Na przykład wykres funkcji kwadratowej

składający się ze wszystkich punktów ze współrzędnymi plonów , przedstawiony we współrzędnych kartezjańskich, dobrze znana parabola . Jeśli zamiast tego wykreślić tę samą funkcję kwadratową z tym samym wykresem formalnym, składającym się z par liczb, we współrzędnych biegunowych , uzyskany wykres jest spiralą Fermata .

Stoły

Funkcję można przedstawić jako tabelę wartości. Jeśli dziedzina funkcji jest skończona, to funkcję można całkowicie określić w ten sposób. Na przykład funkcja mnożenia zdefiniowana jako może być reprezentowana przez znaną tabliczkę mnożenia

y
X
1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 16 20
5 5 10 15 20 25

Z drugiej strony, jeśli dziedzina funkcji jest ciągła, tablica może podawać wartości funkcji w określonych wartościach dziedziny. Jeśli potrzebna jest wartość pośrednia, do oszacowania wartości funkcji można zastosować interpolację . Na przykład część tabeli dla funkcji sinus może być podana w następujący sposób, z wartościami zaokrąglonymi do 6 miejsc po przecinku:

X grzech x
1.289 0,960557
1.290 0,960835
1.291 0,961112
1.292 0,961387
1.293 0,961662

Przed pojawieniem się podręcznych kalkulatorów i komputerów osobistych takie tabele były często zestawiane i publikowane dla funkcji takich jak logarytmy i funkcje trygonometryczne.

Wykres słupkowy

Wykresy słupkowe są często używane do przedstawiania funkcji, których dziedziną jest zbiór skończony, liczby naturalne lub liczby całkowite . W tym przypadku element x dziedziny jest reprezentowany przez przedział na osi x , a odpowiadająca mu wartość funkcji f ( x ) jest reprezentowana przez prostokąt , którego podstawą jest przedział odpowiadający x i którego wysokość jest f ( x ) (prawdopodobnie ujemna, w którym to przypadku słupek rozciąga się poniżej osi x ).

Właściwości ogólne

W tej sekcji opisano ogólne właściwości funkcji, które są niezależne od określonych właściwości domeny i kodomeny.

Funkcje standardowe

Istnieje kilka standardowych funkcji, które często występują:

  • Dla każdego zbioru X istnieje unikalna funkcja, tzw pusta funkcja lubpusta mapazezbioru pustegodoX. Wykres funkcji pustej jest zbiorem pustym. Istnienie funkcji pustych jest potrzebne zarówno dla spójności teorii, jak i dla uniknięcia wyjątków dotyczących zbioru pustego w wielu twierdzeniach. Zgodnie ze zwykłą teorią mnogościową definicją funkcji jakouporządkowanej trójki(lub równoważnych), istnieje dokładnie jedna pusta funkcja dla każdego zestawu, a zatem funkcja pustanie jest równawtedy i tylko wtedy, gdy, chociaż ich wykresy sąpuste ustawić.
  • Dla każdego zbioru X i każdego zbioru singletonowego { s } istnieje unikalna funkcja od X do { s } , która odwzorowuje każdy element zbioru X na s . Jest to surjekcja (patrz poniżej), chyba że X jest zbiorem pustym.
  • Biorąc pod uwagę funkcję, kanoniczna surjekcja f na jej obraz jest funkcją od X do f ( X ) , która odwzorowuje x na f ( x ) .
  • Dla każdego podzbioru A zbioru X mapa inkluzji A do X jest funkcją iniekcji (patrz poniżej), która odwzorowuje każdy element A na siebie .
  • Funkcja tożsamości na zbiorze X , często oznaczana przez id X , to włączenie X do samego siebie.

Skład funkcji

Biorąc pod uwagę dwie funkcje i takie, że dziedzina g jest koddomeną f , ich skład jest funkcją zdefiniowaną przez

Oznacza to, że wartość jest uzyskiwana przez zastosowanie najpierw f do x w celu uzyskania y = f ( x ) , a następnie zastosowanie g do wyniku y w celu uzyskania g ( y ) = g ( f ( x )) . W notacji funkcja zastosowana jako pierwsza jest zawsze zapisywana po prawej stronie.

Złożenie jest operacją na funkcjach, która jest zdefiniowana tylko wtedy, gdy koddomena pierwszej funkcji jest dziedziną drugiej. Nawet jeśli oba i spełniają te warunki, złożenie niekoniecznie jest przemienne , to znaczy funkcje i nie muszą być równe, ale mogą dostarczać różne wartości dla tego samego argumentu. Na przykład niech f ( x ) = x 2 i g ( x ) = x + 1 , a następnie i uzgodnijmy tylko dla

Złożenie funkcji jest asocjacyjne w tym sensie, że jeśli jedna z funkcji i jest zdefiniowana, to druga jest również zdefiniowana i są one równe. Tak pisze jeden

Funkcje tożsamości i są odpowiednio tożsamością prawą i tożsamością lewą dla funkcji od X do Y . Oznacza to, że jeśli f jest funkcją z dziedziną X i koddomeną Y , to tak

Obraz i przedobraz

Niech obraz pod f elementu x dziedziny X to f ( x ) . _ Jeśli A jest dowolnym podzbiorem X , to obraz A pod f , oznaczony jako f ( A ) , jest podzbiorem kodomeny Y składającym się ze wszystkich obrazów elementów A , to znaczy

Obraz f jest obrazem całej domeny, czyli f ( X ) . Jest również nazywany zakresem f , chociaż termin zakres może również odnosić się do domeny kodowej.

Z drugiej strony odwrotny obraz lub przedobraz pod f elementu y kodudomeny Y jest zbiorem wszystkich elementów domeny X , których obrazy pod f są równe y . W symbolach preobraz y jest oznaczony równaniem i jest przez nie określony

Podobnie preobraz podzbioru B kodudomeny Y jest zbiorem preobrazów elementów B , to znaczy jest to podzbiór domeny X składający się ze wszystkich elementów X , których obrazy należą do B . Jest oznaczony przez i jest dany przez równanie

Na przykład preimage funkcji pod kwadratem to set .

Z definicji funkcji obraz elementu x domeny jest zawsze pojedynczym elementem kodomeny. Jednak obraz wstępny elementu y kodudomeny może być pusty lub zawierać dowolną liczbę elementów. Na przykład, jeśli f jest funkcją od liczb całkowitych do samych siebie, która odwzorowuje każdą liczbę całkowitą na 0, to .

Jeśli jest funkcją, A i B są podzbiorami X , a C i D są podzbiorami Y , to ma ona następujące właściwości:

Preobraz przez f elementu y kodudomeny jest czasami nazywany, w niektórych kontekstach , włóknem y pod f .

Jeśli funkcja f ma odwrotność (patrz poniżej), ta odwrotność jest oznaczona. W tym przypadku może oznaczać albo obraz przez , albo przedobraz przez f z C . To nie jest problem, ponieważ te zestawy są równe. Notacja i może być niejednoznaczna w przypadku zestawów, które zawierają pewne podzbiory jako elementy, takie jak W takim przypadku może być konieczna ostrożność, na przykład poprzez użycie nawiasów kwadratowych dla obrazów i preobrazów podzbiorów oraz zwykłych nawiasów dla obrazów i preobrazów elementów.

Funkcje iniekcyjne, surjektywne i bijekcyjne

Niech będzie funkcją.

Funkcja f jest iniekcyjna (lub jeden do jednego lub jest iniekcją ), jeśli f ( a ) ≠ f ( b ) dla dowolnych dwóch różnych elementów a i b z X . Równoważnie f jest iniekcyjne wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego przedobrazu zawiera co najwyżej jeden element. Pusta funkcja jest zawsze iniekcyjna. Jeśli X nie jest zbiorem pustym, to f jest iniekcyjne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka funkcja, że ​​to znaczy, jeśli f ma lewostronną odwrotność . Dowód : Jeśli f jest iniekcyjne, do zdefiniowania g wybiera się element w X (który istnieje, ponieważ X ma być niepusty) i definiuje się g przez if i if Odwrotnie, if i then a zatem

Funkcja f jest surjekcją (lub na , lub jest surjekcją ), jeśli jej zakres jest równy jej koddomenie , to znaczy, jeśli dla każdego elementu kodomeny istnieje jakiś element dziedziny, taki, że (innymi słowy, preobraz każdy jest niepusty). Jeśli, jak zwykle we współczesnej matematyce, przyjmuje się aksjomat wyboru , to f jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka funkcja, że ​​to znaczy, jeśli f ma prawą odwrotność . Aksjomat wyboru jest potrzebny, ponieważ jeśli f jest suriekcją, definiuje się g przez gdzie jest dowolnie wybranym elementem

Funkcja f jest bijekcją (lub jest bijekcją lub korespondencją jeden do jednego ), jeśli jest zarówno iniekcją, jak i suriekcją. Oznacza to, że f jest bijekcją, jeśli dla dowolnego przedobrazu zawiera dokładnie jeden element. Funkcja f jest bijektywna wtedy i tylko wtedy, gdy dopuszcza funkcję odwrotną , czyli taką, że i (W przeciwieństwie do suriekcji nie wymaga to aksjomatu wyboru; dowód jest prosty).

Każdą funkcję można rozłożyć na czynniki jako złożenie surjekcji, po której następuje iniekcja, gdzie s jest kanoniczną surjekcją X na f ( X ) , a i jest kanoniczną iniekcją f ( X ) do Y . To jest kanoniczna faktoryzacja f .

„One-to-one” i „onto” to terminy, które były bardziej powszechne w starszej literaturze anglojęzycznej; „injective”, „surjective” i „bijektive” zostały pierwotnie ukute jako francuskie słowa w drugiej ćwierci XX wieku przez grupę Bourbaki i zaimportowane do języka angielskiego. Uwaga: „funkcja jeden do jednego” to taka, która jest iniekcyjna, podczas gdy „odpowiedniość jeden do jednego” odnosi się do funkcji bijektywnej. Również stwierdzenie „ f odwzorowuje X na Y ” różni się od „ f odwzorowuje X na B ” tym pierwszym implikuje, że f jest surjekcją, podczas gdy drugie nie zapewnia o naturze f . W skomplikowanym rozumowaniu łatwo przeoczyć różnicę jednej litery. Ze względu na zagmatwany charakter tej starszej terminologii, popularność tych terminów spadła w stosunku do terminów burbakowskich, które mają również tę zaletę, że są bardziej symetryczne.

Ograniczenie i rozszerzenie

Jeśli jest funkcją, a S jest podzbiorem X , to ograniczeniem do S , oznaczonym , jest funkcja od S do Y zdefiniowana przez

dla wszystkich x w S . Ograniczenia mogą być użyte do zdefiniowania cząstkowych funkcji odwrotnych : jeśli istnieje podzbiór S dziedziny funkcji taki, który jest iniekcyjny, to kanoniczna suriekcja na jej obraz jest bijekcją, a zatem ma funkcję odwrotną od do S . Jednym z zastosowań jest definicja odwrotnych funkcji trygonometrycznych . Na przykład funkcja cosinus jest iniekcyjna, gdy jest ograniczona do przedziału [0, π ] . Obrazem tego ograniczenia jest przedział [−1, 1] , a zatem ograniczenie ma funkcję odwrotną od [−1, 1] do [0, π ] , która jest nazywana arcus cosinusem i jest oznaczona jako arccos .

Ograniczenie funkcji może być również użyte do „sklejenia” funkcji. Niech będzie rozkładem X jako sumą podzbiorów i załóżmy, że dla każdego z nich zdefiniowano taką funkcję , że dla każdej pary indeksów ograniczenia i są równe. Następnie definiuje to unikalną funkcję taką, że dla wszystkich i . W ten sposób definiowane są funkcje na rozmaitościach .

Rozszerzeniem funkcji f jest funkcja g taka, że ​​f jest ograniczeniem g . Typowym zastosowaniem tego pojęcia jest proces analitycznej kontynuacji , który umożliwia rozszerzenie funkcji, których dziedziną jest niewielka część płaszczyzny zespolonej , do funkcji, których dziedziną jest prawie cała płaszczyzna zespolona.

Oto kolejny klasyczny przykład rozszerzenia funkcji, które można napotkać podczas badania homografii linii rzeczywistej . Homografia jest taką funkcją , że adbc ≠ 0 . Jej dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od , a jej obraz jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych różnych od Jeśli rozciągniemy prostą rzeczywistą do rzutowo rozciągniętej prostej rzeczywistej przez włączenie , można rozszerzyć h do bijekcji z rozciągniętej liczby rzeczywistej linię do siebie, ustawiając i .

Funkcja wielowymiarowa

Operacja binarna jest typowym przykładem funkcji dwuwymiarowej, która każdej parze przypisuje wynik .

Funkcja wielowymiarowa lub funkcja kilku zmiennych to funkcja zależna od kilku argumentów. Takie funkcje są powszechnie spotykane. Na przykład położenie samochodu na drodze jest funkcją przebytego czasu i jego średniej prędkości.

Bardziej formalnie, funkcja n zmiennych jest funkcją, której dziedziną jest zbiór n -krotek. Na przykład mnożenie liczb całkowitych jest funkcją dwóch zmiennych lub funkcją dwuwymiarową , której dziedziną jest zbiór wszystkich par (2-krotek) liczb całkowitych, a koddomeną jest zbiór liczb całkowitych. To samo dotyczy każdej operacji binarnej . Mówiąc bardziej ogólnie, każda operacja matematyczna jest zdefiniowana jako funkcja wielowymiarowa.

Iloczyn kartezjański n zbiorów jest zbiorem wszystkich n -krotek takich, że dla każdego i z . Dlatego funkcja n zmiennych jest funkcją

gdzie dziedzina U ma postać

Używając notacji funkcji, zwykle pomija się nawiasy otaczające krotki, pisząc zamiast

W przypadku, gdy wszystkie są równe zbiorowi liczb rzeczywistych , mamy funkcję kilku zmiennych rzeczywistych . Jeśli są równe zbiorowi liczb zespolonych , mamy funkcję kilku zmiennych zespolonych .

Często rozważa się również funkcje, których kododziena jest iloczynem zbiorów. Na przykład dzielenie euklidesowe odwzorowuje każdą parę ( a , b ) liczb całkowitych z b ≠ 0 na parę liczb całkowitych zwaną ilorazem i resztą :

Koddomena może być również przestrzenią wektorową . W tym przypadku mówimy o funkcji o wartościach wektorowych . Jeśli dziedzina jest zawarta w przestrzeni euklidesowej lub, bardziej ogólnie , w rozmaitości , funkcja o wartościach wektorowych jest często nazywana polem wektorowym .

w rachunku różniczkowym

Idea funkcji, począwszy od XVII wieku, była fundamentalna dla nowego rachunku nieskończenie małych . W tamtym czasie brano pod uwagę tylko funkcje zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych i zakładano, że wszystkie funkcje są gładkie . Ale definicja została wkrótce rozszerzona na funkcje kilku zmiennych i na funkcje zmiennej zespolonej . W drugiej połowie XIX wieku wprowadzono rygorystyczną matematycznie definicję funkcji oraz zdefiniowano funkcje o dowolnych domenach i kodomenach.

Funkcje są obecnie używane we wszystkich dziedzinach matematyki. We wstępnym rachunku różniczkowym , gdy słowo funkcja jest używane bez zastrzeżeń, oznacza to funkcję o wartościach rzeczywistych pojedynczej zmiennej rzeczywistej. Bardziej ogólna definicja funkcji jest zwykle przedstawiana studentom drugiego lub trzeciego roku studiów na kierunkach STEM , a na ostatnim roku są oni wprowadzani do rachunku różniczkowego w szerszym, bardziej rygorystycznym środowisku na kursach, takich jak analiza rzeczywista i analiza złożona .

Prawdziwa funkcja

Wykres funkcji liniowej
Wykres funkcji wielomianowej, tutaj funkcji kwadratowej.
Wykres dwóch funkcji trygonometrycznych: sinus i cosinus .

Funkcja rzeczywista to funkcja zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych , to znaczy funkcja, której kododzieną jest pole liczb rzeczywistych , a dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych zawierający przedział . W tej sekcji funkcje te nazywane są po prostu funkcjami .

Funkcje najczęściej rozważane w matematyce i jej zastosowaniach mają pewną regularność, to znaczy są ciągłe , różniczkowalne , a nawet analityczne . Ta regularność gwarantuje, że funkcje te można przedstawić za pomocą ich wykresów . W tej sekcji wszystkie funkcje są różniczkowalne w pewnym przedziale.

Funkcje korzystają z operacji punktowych , to znaczy, jeśli f i g są funkcjami, to ich suma, różnica i iloczyn są funkcjami określonymi przez

Dziedziny wynikowych funkcji są przecięciem dziedzin f i g . Iloraz dwóch funkcji jest zdefiniowany podobnie przez

ale dziedzina wynikowej funkcji jest uzyskiwana przez usunięcie zer g z przecięcia domen f i g .

Funkcje wielomianowe są definiowane przez wielomiany , a ich dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Obejmują one funkcje stałe , funkcje liniowe i funkcje kwadratowe . Funkcje wymierne to iloraz dwóch funkcji wielomianowych, a ich dziedziną są liczby rzeczywiste, z których usunięto skończoną liczbę, aby uniknąć dzielenia przez zero . Najprostszą funkcją wymierną jest funkcja , której wykresem jest hiperbola , a dziedziną jest cała prosta rzeczywista z wyjątkiem 0.

Pochodna rzeczywistej funkcji różniczkowalnej jest funkcją rzeczywistą . Funkcja pierwotna ciągłej funkcji rzeczywistej to funkcja rzeczywista, której pochodną jest funkcja pierwotna. Na przykład funkcja jest ciągła, a nawet różniczkowalna na dodatnich liczbach rzeczywistych. Tak więc jedna funkcja pierwotna, która przyjmuje wartość zero dla x = 1 , jest funkcją różniczkowalną zwaną logarytmem naturalnym .

Rzeczywista funkcja f jest monotoniczna w przedziale, jeśli znak nie zależy od wyboru x i y w przedziale. Jeśli funkcja jest różniczkowalna w przedziale, to jest monotoniczna, jeśli znak pochodnej jest stały w przedziale. Jeśli funkcja rzeczywista f jest monotoniczna w przedziale I , to ma funkcję odwrotną , która jest funkcją rzeczywistą z dziedziną f ( I ) i obrazem I . W ten sposób definiuje się odwrotne funkcje trygonometryczne w kategoriach funkcji trygonometrycznych , gdzie funkcje trygonometryczne są monotoniczne. Inny przykład: logarytm naturalny jest monotoniczny na dodatnich liczbach rzeczywistych, a jego obrazem jest cała prosta rzeczywista; dlatego ma funkcję odwrotną, która jest bijekcją między liczbami rzeczywistymi a dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Ta odwrotność jest funkcją wykładniczą .

Wiele innych funkcji rzeczywistych jest zdefiniowanych albo przez twierdzenie o funkcji uwikłanej (szczególnym przypadkiem jest funkcja odwrotna), albo jako rozwiązania równań różniczkowych . Na przykład funkcje sinus i cosinus są rozwiązaniami liniowego równania różniczkowego

takie że

Funkcja o wartościach wektorowych

Kiedy elementami kodomeny funkcji są wektory , mówi się, że funkcja jest funkcją o wartościach wektorowych. Funkcje te są szczególnie przydatne w zastosowaniach, na przykład modelowaniu właściwości fizycznych. Na przykład funkcja, która przypisuje każdemu punktowi płynu jego wektor prędkości, jest funkcją o wartościach wektorowych.

Niektóre funkcje o wartościach wektorowych są zdefiniowane w podzbiorze lub innych przestrzeniach, które mają wspólne właściwości geometryczne lub topologiczne , takie jak rozmaitości . Te funkcje o wartościach wektorowych są nazywane polami wektorowymi .

Przestrzeń funkcji

W analizie matematycznej , a dokładniej w analizie funkcjonalnej , przestrzeń funkcji jest zbiorem funkcji o wartościach skalarnych lub wektorowych , które mają określoną właściwość i tworzą topologiczną przestrzeń wektorową . Na przykład rzeczywiste gładkie funkcje ze zwartym nośnikiem (to znaczy, że są zerowe poza pewnym zbiorem zwartym ) tworzą przestrzeń funkcyjną, która jest podstawą teorii rozkładów .

Przestrzenie funkcyjne odgrywają fundamentalną rolę w zaawansowanej analizie matematycznej, umożliwiając wykorzystanie ich właściwości algebraicznych i topologicznych do badania właściwości funkcji. Na przykład wszystkie twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych lub cząstkowych wynikają z badania przestrzeni funkcyjnych.

Funkcje wielowartościowe

Razem dwa pierwiastki kwadratowe wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych tworzą jedną gładką krzywą.
Xto3minus3x.svg

Kilka metod określania funkcji zmiennych rzeczywistych lub zespolonych zaczyna się od lokalnej definicji funkcji w punkcie lub w sąsiedztwie punktu , a następnie rozciąga się przez ciągłość funkcji na znacznie większą dziedzinę. Często dla punktu początkowego istnieje kilka możliwych wartości początkowych dla funkcji.

Na przykład, definiując pierwiastek kwadratowy jako funkcję odwrotną funkcji kwadratowej, dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej istnieją dwie opcje wartości pierwiastka kwadratowego, z których jedna jest dodatnia i oznaczona, a druga ujemna i oznaczona Te wybory zdefiniuj dwie funkcje ciągłe, obie mające nieujemne liczby rzeczywiste jako dziedzinę i mające nieujemne lub niedodatnie liczby rzeczywiste jako obrazy. Patrząc na wykresy tych funkcji, można zauważyć, że razem tworzą one jedną gładką krzywą . Dlatego często warto traktować te dwie pierwiastki kwadratowe jako pojedynczą funkcję, która ma dwie wartości dla dodatniego x , jedną wartość dla 0 i brak wartości dla ujemnego x .

W poprzednim przykładzie jeden wybór, dodatni pierwiastek kwadratowy, jest bardziej naturalny niż drugi. Tak ogólnie nie jest. Rozważmy na przykład funkcję niejawną , która odwzorowuje y na pierwiastek x z (patrz rysunek po prawej). Dla y = 0 można wybrać albo dla x . Zgodnie z twierdzeniem o funkcji ukrytej każdy wybór definiuje funkcję; dla pierwszego dziedziną (maksymalną) jest przedział [−2, 2] , a obrazem jest [−1, 1] ; dla drugiego dziedzina to [−2, ∞) , a obraz to [1, ∞) ; dla ostatniego dziedzina to (−∞, 2] , a obraz to (−∞, −1]) . Ponieważ trzy wykresy razem tworzą gładką krzywą i nie ma powodu, aby preferować jeden wybór, te trzy funkcje są często uważana za pojedynczą wielowartościową funkcję y , która ma trzy wartości dla −2 < y < 2 i tylko jedną wartość dla y −2 i y ≥ −2 .

Przydatność koncepcji funkcji wielowartościowych jest wyraźniejsza przy rozważaniu funkcji złożonych, typowo analitycznych . Dziedzina, do której można rozszerzyć funkcję zespoloną przez kontynuację analityczną, obejmuje na ogół prawie całą płaszczyznę zespoloną . Jednak rozszerzając domenę dwiema różnymi ścieżkami, często uzyskuje się różne wartości. Na przykład, rozszerzając dziedzinę funkcji pierwiastka kwadratowego wzdłuż ścieżki liczb zespolonych z dodatnimi częściami urojonymi, otrzymuje się i dla pierwiastka kwadratowego z -1; podczas gdy rozciągając się przez liczby zespolone z ujemnymi częściami urojonymi, otrzymuje się i . Zasadniczo istnieją dwa sposoby rozwiązania problemu. Można zdefiniować funkcję, która nie jest ciągła wzdłuż jakiejś krzywej, zwaną przecięciem gałęzi . Taka funkcja nazywana jest główną wartością funkcji. Innym sposobem jest rozważenie, że mamy funkcję wielowartościową , która jest analityczna wszędzie z wyjątkiem pojedynczych osobliwości, ale której wartość może „skakać”, jeśli podążamy za zamkniętą pętlą wokół osobliwości. Ten skok nazywa się monodromią .

W podstawach matematyki i teorii mnogości

Definicja funkcji podana w tym artykule wymaga pojęcia zestawu , ponieważ dziedzina i kodomena funkcji muszą być zbiorem. Nie stanowi to problemu w zwykłej matematyce, ponieważ generalnie nie jest trudno rozważyć tylko funkcje, których dziedzina i kodomena są zbiorami, które są dobrze zdefiniowane, nawet jeśli dziedzina nie jest wyraźnie zdefiniowana. Czasami jednak warto rozważyć bardziej ogólne funkcje.

Na przykład zbiór singletonowy można uznać za funkcję. Jego dziedzina obejmowałaby wszystkie zbiory, a zatem nie byłaby zbiorem. W zwykłej matematyce można uniknąć tego rodzaju problemu, określając dziedzinę, co oznacza, że ​​ma się wiele funkcji singletonowych. Jednak przy ustalaniu podstaw matematyki może być konieczne użycie funkcji, których dziedzina, koddomena lub obie nie są określone, a niektórzy autorzy, często logicy, podają precyzyjne definicje tych słabo określonych funkcji.

Te uogólnione funkcje mogą być krytyczne w rozwoju formalizacji podstaw matematyki . Na przykład teoria mnogości Von Neumanna – Bernaysa – Gödla jest rozszerzeniem teorii mnogości, w której zbiór wszystkich zbiorów jest klasą . Teoria ta zawiera aksjomat zastępczy , który można sformułować następująco: Jeżeli X jest zbiorem, a F jest funkcją, to F [ X ] jest zbiorem.

W informatyce

W programowaniu komputerowym funkcja jest ogólnie fragmentem programu komputerowego , który realizuje abstrakcyjną koncepcję funkcji . Oznacza to, że jest to jednostka programowa, która generuje dane wyjściowe dla każdego wejścia. Jednak w wielu językach programowania każdy podprogram nazywany jest funkcją, nawet gdy nie ma wyjścia, a funkcjonalność polega po prostu na modyfikacji pewnych danych w pamięci komputera .

Programowanie funkcyjne to paradygmat programowania polegający na budowaniu programów przy użyciu tylko podprogramów, które zachowują się jak funkcje matematyczne. Na przykład if_then_elsejest to funkcja, która przyjmuje trzy funkcje jako argumenty iw zależności od wyniku pierwszej funkcji ( prawda lub fałsz ) zwraca wynik drugiej lub trzeciej funkcji. Ważną zaletą programowania funkcyjnego jest to, że ułatwia ono dowód programu , ponieważ opiera się na dobrze ugruntowanej teorii, rachunku lambda (patrz poniżej).

Z wyjątkiem terminologii języka komputerowego, „funkcja” ma zwykłe matematyczne znaczenie w informatyce . W tym obszarze właściwością o dużym znaczeniu jest obliczalność funkcji . Aby nadać precyzyjne znaczenie temu pojęciu i związanemu z nim pojęciu algorytmu , wprowadzono kilka modeli obliczeń , z których stare to ogólne funkcje rekurencyjne , rachunek lambda i maszyna Turinga . Podstawowym twierdzeniem teorii obliczalności jest to, że te trzy modele obliczeń definiują ten sam zestaw funkcji obliczalnych i że wszystkie inne modele obliczeń, jakie kiedykolwiek zaproponowano, definiują ten sam zestaw funkcji obliczalnych lub mniejszy. Teza Churcha -Turinga to twierdzenie, że każda filozoficznie akceptowalna definicja funkcji obliczalnej definiuje również te same funkcje.

Ogólne funkcje rekurencyjne to funkcje częściowe od liczb całkowitych do liczb całkowitych, z których można zdefiniować

za pośrednictwem operatorów

Chociaż są zdefiniowane tylko dla funkcji od liczb całkowitych do liczb całkowitych, mogą modelować dowolną funkcję obliczeniową w wyniku następujących właściwości:

  • obliczenie to manipulacja skończonymi sekwencjami symboli (cyfr liczb, wzorów, ...),
  • każdy ciąg symboli może być zakodowany jako ciąg bitów ,
  • sekwencja bitów może być interpretowana jako binarna reprezentacja liczby całkowitej.

Rachunek lambda to teoria, która definiuje funkcje obliczalne bez użycia teorii mnogości i jest teoretycznym tłem programowania funkcjonalnego. Składa się z terminów , które są zmiennymi, definicjami funkcji ( 𝜆 -terminy) lub zastosowaniami funkcji do terminów. Terminami manipuluje się za pomocą pewnych reguł ( równoważność α , redukcja β i konwersja η ), które są aksjomatami teorii i mogą być interpretowane jako reguły obliczeń.

W swojej pierwotnej postaci rachunek lambda nie zawiera pojęć dziedziny i kodomeny funkcji. Z grubsza rzecz biorąc, zostały one wprowadzone do teorii pod nazwą typu w typowanym rachunku lambda . Większość rodzajów typowanych rachunków lambda może definiować mniej funkcji niż nietypowany rachunek lambda.

Zobacz też

podstrony

Uogólnienia

powiązane tematy

Notatki

Bibliografia

Źródła

Dalsza lektura

Linki zewnętrzne