Grupa Galois - Galois group

W matematyce , w dziedzinie algebry abstrakcyjnej zwanej teorii Galois The Grupa Galois pewnego rodzaju rozszerzenie ciała jest specyficzną grupa związana z rozszerzeniem pola. Badanie rozszerzeń pól i ich związku z wielomianami, które dają ich początek poprzez grupy Galois, nazywa się teorią Galois , nazwaną tak na cześć Évariste Galois, który je pierwszy odkrył.

Bardziej elementarne omówienie grup Galois w kategoriach grup permutacyjnych można znaleźć w artykule o teorii Galois .

Definicja

Załóżmy, że jest to rozszerzenie pola (zapisane jako i czytać „ E nad F  ”). Automorfizmem od definiuje się automorfizmem z tej poprawki punktowo. Innymi słowy, automorfizm jest izomorfizmem takim, że dla każdego . Zestaw wszystkich automorfizmów tworzy grupę o działaniu kompozycji funkcji . Ta grupa jest czasami oznaczana przez${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle E/F}$${\ Displaystyle E/F}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle E/F}$ ${\ Displaystyle \ alfa: E \ do E}$${\ Displaystyle \ alfa (x) = x}$${\displaystyle x\wf}$${\ Displaystyle E/F}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Aut} (E/F).}$

Jeśli to Rozszerzenie Galois , wtedy nazywana jest Grupa Galois z , i zwykle jest oznaczona . ${\ Displaystyle E/F}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Aut} (E/F)}$${\ Displaystyle E/F}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Gal} (E / F)}$

Jeżeli nie jest rozszerzeniem Galois, to grupa Galois z czasem określa się jako , gdzie jest zamknięcie Galois z . ${\ Displaystyle E/F}$${\ Displaystyle E/F}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Aut} (K/F)}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle E}$

Grupa Galois wielomianu

Inna definicja grupy Galois pochodzi z grupy Galois wielomianu . Jeśli istnieje takie pole , które rozkłada się jako iloczyn wielomianów liniowych ${\displaystyle f\w F[x]}$${\ Displaystyle K/F}$${\displaystyle f}$

${\ Displaystyle f (x) = (x \ alfa _ {1}) \ cdots (x \ alfa _ {k}) \ w k [x]}$

nad ciałem , to grupa Galois wielomianu jest zdefiniowana jako grupa Galois gdzie jest minimalna wśród wszystkich takich ciał . ${\ Displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle K/F}$${\ Displaystyle K}$

Struktura grup Galois

Podstawowe twierdzenie teorii Galois

Jedno z ważnych twierdzeń o strukturze z teorii Galois pochodzi z fundamentalnego twierdzenia teorii Galois . Stwierdza to, że przy skończonym rozszerzeniu Galois , istnieje bijekcja między zbiorem podpól i podgrupami Następnie, jest dane przez zbiór niezmienników pod działaniem , więc ${\ Displaystyle K/k}$${\ Displaystyle k \ podzbiór E \ podzbiór K}$${\ Displaystyle H \ podzbiór G.}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle H}$

${\ Displaystyle E = K ^ {H} = \ {a \ w K: ga = a {\ tekst { gdzie}} g \ w H \}}$

Co więcej, jeśli jest podgrupą normalną, to . I odwrotnie, jeśli jest to normalne rozszerzenie pola, to powiązana podgrupa w jest normalną grupą. ${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G / H \ cong \ operatorname {Gal} (E / k)}$${\ Displaystyle E/k}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Gal} (K/k)}$

Struktura sieciowa

Załóżmy, że są rozszerzeniami Galois z grupami Galois Pole z grupą Galois ma wstrzyknięcie, które jest izomorfizmem, gdy . ${\displaystyle K_{1},K_{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle G_{1},G_{2}.}$${\displaystyle K_{1}K_{2}}$${\ Displaystyle G = \ operatorname {Gal} (K_ {1} K_ {2} / k)}$${\ Displaystyle G \ do G_ {1} \ razy G _ {2}}$${\displaystyle K_{1}\cap K_{2}=k}$

Indukcja

W konsekwencji można to wywołać skończenie wiele razy. Biorąc pod uwagę rozszerzenia Galois, gdzie istnieje izomorfizm odpowiednich grup Galois: ${\ Displaystyle K_ {1}, \ ldots, K_ {n} / k}$${\ Displaystyle K_ {i + 1} \ czapka (K_ {1} \ cdots K_ {i}) = k}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {Gal} (K_ {1} \ cdots K_ {n} / k) \ cong G_ {1} \ razy \ cdots \ razy G_ {n}.}$

Przykłady

W poniższych przykładach jest pole i są polami odpowiednio liczb zespolonych , rzeczywistych i wymiernych . Oznaczenie C ( ) wskazuje rozszerzenia pola otrzymanego przez przylegający się elementu A w polu F . ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ mathbb {R} \ mathbb {Q}}$

Narzędzia obliczeniowe

Kardynalność grupy Galois i stopień rozszerzenia pola

Jedno z podstawowych twierdzeń wymaganych do całkowitego wyznaczenia grup Galois o skończonym rozszerzeniu ciała jest następujące: Mając wielomian , niech będzie jego rozszerzeniem ciała dzielenia. Wtedy rząd grupy Galois jest równy stopniowi rozszerzenia pola; to jest, ${\ Displaystyle f (x) \ w F [x]}$${\ Displaystyle E/F}$

${\ Displaystyle | \ Operatorname {Gal} (E / F) | = [E: F]}$

Kryterium Eisensteina

Użyteczne narzędzie do określenia grupy Galois wielomianu pochodzi z kryterium Eisensteina . Jeśli wielomian dzieli na wielomiany nierozkładalne, grupę Galois można określić za pomocą grup Galois każdego, ponieważ grupa Galois zawiera każdą z grup Galois${\displaystyle f\w F[x]}$${\ Displaystyle f = f_ {1} \ cdots f_ {k}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{i}.}$

Grupa trywialna

${\ Displaystyle \ Operatorname {Gal} (F / F)}$ jest grupą trywialną, która ma jeden element, a mianowicie automorfizm tożsamości.

Innym przykładem grupy Galois, która jest trywialna, jest Rzeczywiście, można wykazać, że każdy automorfizm musi zachowywać porządek liczb rzeczywistych, a zatem musi być tożsamością. ${\ Displaystyle \ Operatorname {Aut} (\ mathbb {R} / \ mathbb {Q}).}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Rozważ pole Grupa zawiera tylko automorfizm tożsamości. Dzieje się tak, ponieważ nie jest to normalne rozszerzenie , ponieważ pozostałe dwa pierwiastki sześcienne z , ${\ Displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}).}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Aut} (K/\mathbb {Q})}$${\ Displaystyle K}$${\displaystyle 2}$

${\ Displaystyle \ exp \ po lewej ({\ tfrac {2 \ pi i} {3}} \ po prawej) {\ sqrt [{3}] {2}}}$ i ${\ Displaystyle \ exp \ po lewej ({\ tfrac {4 \ pi i} {3}} \ po prawej) {\ sqrt [{3}] {2}}}$

brakuje w rozszerzeniu — innymi słowy K nie jest polem rozdzielającym .

Skończone grupy abelowe

Grupa Galois ma dwa elementy, automorfizm tożsamości i automorfizm złożonej koniugacji . ${\ Displaystyle \ operatorname {Gal} (\ mathbb {C} / \ mathbb {R})}$

Rozszerzenia kwadratowe

Rozszerzenie drugiego stopnia ma grupę Galois z dwoma elementami, automorfizmem tożsamości i automorfizmem, który zamienia √ 2 i − √ 2 . Ten przykład uogólnia liczbę pierwszą${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}) / \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Gal} (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})/\ mathbb {Q}).}$${\displaystyle \sigma}$${\ Displaystyle p \ w \ mathbb {N}.}$

Iloczyn rozszerzeń kwadratowych

Za pomocą siatki struktury grup Galois na nie równych liczb pierwszych grupę Galois z Is ${\displaystyle p_{1},\ldots,p_{k}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ lewo ({\ sqrt {p_ {1}}}, \ ldots, {\ sqrt {p_ {k}}} \ prawej) / \ mathbb {Q}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Gal} \ lewo (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {p_ {1}}}, \ ldots, {\ sqrt {p_ {k}}})/\ mathbb {Q} \ po prawej )\cong \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}})/\mathbb {Q} \right)\times \cdots \times \operatorname {Gal} \left (\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong \mathbb {Z} /2\times \cdots \times \mathbb {Z} /2}$

Rozszerzenia cyklotomiczne

Inna użyteczna klasa przykładów pochodzi z pól podziału wielomianów cyklotomicznych . Są to wielomiany zdefiniowane jako ${\ Displaystyle \ Phi _ {n}}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (x) = \ prod _ {\ zacząć {macierz} 1 \ równoważnik k \ równoważnik n \ \ \ gcd (k, n) = 1 \ koniec {macierz}} \ lewo (xe ^{\frac {2ik\pi }{n}}\prawo)}$

którego stopień to , funkcja totient Eulera w . Następnie pole dzielenie się jest i ma automorfizmy wysyłaniem za względnie pierwsze dla . Ponieważ stopień pola jest równy stopniowi wielomianu, te automorfizmy generują grupę Galois. Jeśli wtedy ${\ Displaystyle \ phi (n)}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\ zeta _ {n})}$${\ Displaystyle \ sigma _ {a}}$${\ Displaystyle \ zeta _ {n} \ mapsto \ zeta _ {n} ^ {a}}$${\displaystyle 1\leq a<n}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n = p_ {1} ^ {a_ {1}} \ cdots p_ {k} ^ {a_ {k}}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Gal} (\ mathbb {Q} (\ zeta _ {n}) / \ mathbb {Q} ) \ cong \ prod _ {a_ {i}} \ operatorname {Gal} \ lewo (\ mathbb {P} (\zeta _{p_{i}^{a_{i}}})/\mathbb {Q} \right)}$

Jeśli jest liczbą pierwszą , to następstwem tego jest ${\ Displaystyle n}$${\displaystyle p}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {Gal} (\ mathbb {Q} (\ zeta _ {p}) / \ mathbb {Q}) \ cong \ mathbb {Z} / (p-1)}$

W rzeczywistości każda skończona grupa abelowa może być znaleziona jako grupa Galois pewnego podpola cyklotomicznego rozszerzenia pola przez twierdzenie Kroneckera-Webera .

Pola skończone

Inna użyteczna klasa przykładów grup Galois ze skończonymi grupami abelowymi pochodzi z pól skończonych. Jeśli q jest potęgą pierwszą, a jeśli i oznaczają pola Galois rzędu i odpowiednio, to jest cykliczne rzędu n i generowane przez homomorfizm Frobeniusa . ${\ Displaystyle F = \ mathbb {F} _ {q}}$${\ Displaystyle E = \ mathbb {F} _ {q ^ {n}}}$${\displaystyle q}$${\ Displaystyle q ^ {n}}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Gal} (E / F)}$

Przykłady stopnia 4

Rozszerzenie pola jest przykładem rozszerzenia pola stopnia . Ma to dwa automorfizmy gdzie i Ponieważ te dwa generatory definiują grupę porządku , czterogrupę Kleina , określają całą grupę Galois. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}})/\ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle 4}$${\displaystyle \sigma,\tau}$${\ Displaystyle \ sigma ({\ sqrt {2}}) = - {\ sqrt {2}}}$${\ Displaystyle \ tau ({\ sqrt {3}}) = - {\ sqrt {3}}.}$${\ Displaystyle 4}$

Inny przykład podano z pola podziału wielomianu ${\displaystyle E/\mathbb {Q}}$

${\ Displaystyle f (x) = x ^ {4} + x ^ {3} + x ^ {2} + x + 1}$

Uwaga, ponieważ korzenie są Istnieją automorfizmy ${\ Displaystyle (x-1) f (x) = x ^ {5} -1,}$${\displaystyle f(x)}$${\ Displaystyle \ exp \ po lewej ({\ tfrac {2k \ pi {5}} \ po prawej).}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} \ sigma _ {l}: e \ do E \ \ \ exp \ po lewej ({\ Frac {2 \ pi {5}} \ po prawej) \ mapsto \ po lewej (\ exp \left({\frac {2\pi i}{5}}\right)\right)^{l}\end{przypadki}}}$

generowanie grupy zamówień . Ponieważ generuje tę grupę, grupa Galois jest izomorficzna z . ${\ Displaystyle 4}$${\displaystyle \sigma_{1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} /4}$

Skończone grupy nieabelowe

Rozważmy teraz, gdzie jest prymitywny pierwiastek sześcienny jedności . Grupa jest izomorficzna z S ₃ , dwuścienną grupą rzędu 6 , a L jest w rzeczywistości polem podziału ponad${\ Displaystyle L = \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}, \ omega),}$${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Gal} (L / \ mathbb {Q})}$${\ Displaystyle x ^ {3}-2}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}.}$

grupa Quaternion

Grupę Quaternion można znaleźć jako grupę Galois rozszerzenia pola . Na przykład rozszerzenie pola ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ lewo ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}, {\ sqrt {(2 + {\ sqrt {2}}) (3+ {\ sqrt {3 }})}}\dobrze)}$

ma określoną grupę Galois.

Symetryczna grupa pierwszego rzędu

Jeśli jest wielomianem nieredukowalnym stopnia pierwszego o współczynnikach wymiernych i dokładnie dwóch nierzeczywistych pierwiastkach, to grupa Galois jest grupą w pełni symetryczną${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{p}.}$

Na przykład jest nieredukowalna z kryterium Eisensteina. Narysowanie wykresu za pomocą oprogramowania graficznego lub papieru pokazuje, że ma on trzy rzeczywiste pierwiastki, stąd dwa złożone pierwiastki, pokazujące, że jego grupa Galois to . ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {5} -4 x + 2 \ w \ mathbb {Q} [x]}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle S_ {5}}$

Porównanie grup Galois rozszerzeń pól globalnych pól

Biorąc pod uwagę globalne rozszerzenie pola (takie jak ) i klasę równoważności wycen na (takie jak wycena -adic ) i na takim, że ich uzupełnienia dają rozszerzenie pola Galois${\ Displaystyle K/k}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{5}] {3}} \ zeta _ {5}) / \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle w}$${\ Displaystyle K}$${\displaystyle p}$${\displaystyle v}$${\displaystyle k}$

${\ Displaystyle K_ {w} / k_ {v}}$

z lokalnych pól . Następnie następuje indukowane działanie grupy Galois

${\ Displaystyle G = \ nazwa operatora {Gal} (K/k)}$

na zbiorze klas równoważności wycen, tak aby uzupełnienia pól były kompatybilne. Oznacza to, że jeśli wtedy występuje indukowana izomorfika pól lokalnych${\displaystyle s\w g}$

${\ Displaystyle s_ {w}: K_ {w} \ do K_ {sw}}$

Ponieważ przyjęliśmy hipotezę, która jest skończona (tj. istnieje rozszerzenie pola Galois ), morfizm ciała jest w rzeczywistości izomorfizmem -algebr. Jeśli weźmiemy podgrupę izotropii dla klasy wyceny${\ Displaystyle w}$${\displaystyle v}$${\ Displaystyle K_ {w} / k_ {v}}$${\displaystyle s_{w}}$${\displaystyle k_{v}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle w}$

${\ Displaystyle G_ {w} = \ {s \ w G: sw = w \}}$

następnie następuje odsunięcie globalnej grupy Galois do lokalnej grupy Galois tak, że istnieje izomorfizm między lokalną grupą Galois a podgrupą izotropową. Schematycznie oznacza to

${\ Displaystyle {\ zacząć {macierz} \ operatorname {Gal} (K/v) i \ twoheadrightarrow & \ operatorname {Gal} (K_ {w}/k_ {v}) \\\downarrow &&\downarrow \\G&\ twoheadrightarrow &G_{w}\end{macierz}}}$

gdzie pionowe strzałki to izomorfizmy. Daje to technikę konstruowania grup Galois pól lokalnych przy użyciu globalnych grup Galois.

Nieskończone grupy

Podstawowym przykładem rozszerzenia ciała z nieskończoną grupą automorfizmów jest , ponieważ zawiera ono każde rozszerzenie ciała algebraicznego . Na przykład, każde rozszerzenie pola dla elementu bezkwadratowego ma unikalny automorfizm stopnia , wywołując automorfizm w${\ Displaystyle \ Operatorname {Aut} (\ mathbb {C} / \ mathbb {Q})}$${\displaystyle E/\mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {a}})/\ mathbb {Q}}$${\displaystyle a\in \mathbb {Q}}$${\displaystyle 2}$${\ Displaystyle \ operatorname {Aut} (\ mathbb {C} / \ mathbb {Q}).}$

Jedną z najbardziej badanych klas nieskończonej grupy Galois jest absolutna grupa Galois , która jest nieskończoną, skończoną grupą zdefiniowaną jako odwrotna granica wszystkich skończonych rozszerzeń Galois dla ustalonego pola. Oznaczono granicę odwrotną ${\ Displaystyle E/F}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {Gal} ({\ Overline {F}} / F): = \ varprojlim _ {E / F {\ tekst {skończone rozłączne}}} {\ Operatorname {Gal} (E / F)}}$,

gdzie jest rozłączne zamknięcie pola . Zauważ, że ta grupa jest grupą topologiczną . Niektóre podstawowe przykłady obejmują i ${\displaystyle {\overline {F}}}$${\ Displaystyle F}$${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {Q}}}/\mathbb {Q})}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {Gal} ({\ Overline {\ mathbb {F} }} _ {q} / \ mathbb {F} _ {q}) \ cong {\ kapelusz {\ mathbb {Z}}} \ cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$.

Inny łatwy do obliczenia przykład pochodzi z rozszerzenia pola zawierającego pierwiastek kwadratowy z każdej dodatniej liczby pierwszej. Ma grupę Galois ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}, {\ sqrt {5}}, \ ldots)/\ mathbb {Q}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Gal} (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}, {\ sqrt {5}}, \ ldots)/\ mathbb {Q}) \ cong \prod _{p}\mathbb {Z} /2}$,

co można wywnioskować z nieskończonej granicy

${\ Displaystyle \ cdots \ do \ operatorname {Gal} (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}, {\ sqrt {5}}) / \ mathbb {Q} ) \to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )}$

i używając obliczeń grup Galois.

Nieruchomości

Znaczenie rozszerzenia będącego Galois polega na tym, że jest ono zgodne z podstawowym twierdzeniem teorii Galois : zamknięte (w odniesieniu do topologii Krulla ) podgrupy grupy Galois odpowiadają pośrednim polom rozszerzenia pola.

Jeśli jest rozszerzeniem Galois, to można mu nadać topologię , zwaną topologią Krulla, która przekształca ją w grupę nieskończoną . ${\ Displaystyle E/F}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Gal} (E / F)}$

Zobacz też

• Podstawowe twierdzenie teorii Galois
• Grupa Absolut Galois
• Reprezentacja Galois
• Grupa Demuszkina
• Rozwiązalna grupa

Uwagi

Bibliografia

• Jacobson, Nathan (2009) (1985). Podstawowa Algebra I (wyd. 2). Publikacje Dovera. Numer ISBN 978-0-486-47189-1.
• Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Poprawione trzecie wyd.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556

Linki zewnętrzne

• „Galois group” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Grupa Galois i grupa Quaternion
• "Grupy Galois" . MathPages.com .
• Porównanie globalnych i lokalnych grup galois rozszerzenia pól liczbowych
• Reprezentacje Galois - Richard Taylor