Krzywizna Gaussa - Gaussian curvature

Od lewej do prawej: powierzchnia o ujemnej krzywiźnie Gaussa ( hiperboloid ), powierzchnia o zerowej krzywiźnie Gaussa ( cylinder ) i powierzchnia o dodatniej krzywiźnie Gaussa ( sfera ).

Niektóre punkty na torusie są dodatnie, inne ujemne, a jeszcze inne mają zerową krzywiznę Gaussa.

W geometrii różniczkowej The krzywizny Gaussa lub Gaussa krzywizny k o powierzchni w punkcie, jest produktem głównymi krzywiznami , κ ₁ i κ ₂ , w danym momencie:

${\ Displaystyle K = \ kappa _ {1} \ kappa _ {2}.}$

Gaussa promień krzywizny jest odwrotnością kappa . Na przykład kula o promieniu r ma krzywiznę Gaussa 1/r ²wszędzie, a płaska płaszczyzna i cylinder mają wszędzie zerową krzywiznę Gaussa. Krzywizna Gaussa może być również ujemna, jak w przypadku hiperboloidy lub wnętrza torusa .

Krzywizna Gaussa jest wewnętrzną miarą krzywizny , zależną tylko od odległości mierzonych na powierzchni, a nie od sposobu, w jaki jest izometrycznie osadzona w przestrzeni euklidesowej. To jest treść Theorema egregium .

Krzywizna Gaussa nosi imię Carla Friedricha Gaussa , który opublikował Theorema egregium w 1827 roku.

Nieformalna definicja

Powierzchnia siodła z normalnymi płaszczyznami w kierunkach głównych krzywizn

W dowolnym punkcie na powierzchni możemy znaleźć wektor normalny, który jest prostopadły do ​​powierzchni; płaszczyzny zawierające wektor normalny nazywane są płaszczyznami normalnymi . Przecięcie płaszczyzny normalnej i powierzchni utworzy krzywą zwaną sekcją normalną, a krzywizna tej krzywej jest krzywizną normalną . W przypadku większości punktów na większości powierzchni różne normalne sekcje będą miały różne krzywizny; ich maksymalne i minimalne wartości nazywamy krzywiznami głównymi , nazwijmy je κ ₁ , κ ₂ . Krzywizny Gaussa jest produktem dwóch podstawowych krzywizn Κ = κ ₁ k ₂ .

Do scharakteryzowania powierzchni można użyć znaku krzywizny Gaussa.

• Jeśli obie krzywizny główne mają ten sam znak: κ ₁ κ ₂ > 0 , wtedy krzywizna Gaussa jest dodatnia i mówi się, że powierzchnia ma punkt eliptyczny. W takich punktach powierzchnia będzie przypominać kopułę, leżąc lokalnie po jednej stronie swojej płaszczyzny stycznej. Wszystkie krzywizny przekrojowe będą miały ten sam znak.
• Jeśli główne krzywizny mają różne znaki: κ ₁ κ ₂ < 0 , wtedy krzywizna Gaussa jest ujemna i mówi się, że powierzchnia ma punkt hiperboliczny lub siodłowy . W takich miejscach powierzchnia będzie miała kształt siodła. Ponieważ jedna główna krzywizna jest ujemna, druga jest dodatnia, a krzywizna normalna zmienia się w sposób ciągły, jeśli obrócisz płaszczyznę prostopadłą do powierzchni wokół normalnej do powierzchni w dwóch kierunkach, krzywe normalne wyniosą zero, dając krzywe asymptotyczne dla tego punktu.
• Jeśli jedna z głównych krzywizn wynosi zero: κ ₁ κ ₂ = 0 , krzywizna Gaussa wynosi zero i mówi się, że powierzchnia ma punkt paraboliczny.

Większość powierzchni zawiera obszary o dodatniej krzywiźnie Gaussa (punkty eliptyczne) oraz obszary o ujemnej krzywiźnie Gaussa oddzielone krzywą punktów o zerowej krzywiźnie Gaussa, zwaną linią paraboliczną .

Stosunek do geometrii

Gdy powierzchnia ma stałą zerową krzywiznę Gaussa, jest to powierzchnia rozwijalna, a geometria powierzchni jest geometrią euklidesową .

Gdy powierzchnia ma stałą dodatnią krzywiznę Gaussa, geometrią powierzchni jest geometria sferyczna . Kule i plamy sfer mają tę geometrię, ale istnieją też inne przykłady, takie jak piłka nożna .

Gdy powierzchnia ma stałą ujemną krzywiznę Gaussa, jest to powierzchnia pseudosferyczna, a geometria powierzchni jest geometrią hiperboliczną .

Stosunek do głównych krzywizn

Obie główne krzywizny w danym punkcie powierzchni są wartości własne z operatorem kształtu w miejscu. Mierzą, jak powierzchnia wygina się o różne wartości w różnych kierunkach w tym punkcie. Reprezentujemy powierzchnię za pomocą twierdzenia o funkcji utajonej jako wykres funkcji, f , dwóch zmiennych, w taki sposób, że punkt p jest punktem krytycznym, to znaczy gradient f znika (zawsze można to osiągnąć przez odpowiedni ruch sztywny). Następnie Gaussa krzywiznę powierzchni na p jest wyznacznikiem Heskiego matrycy z F (będącego iloczynem wartości własnych juty). (Przypomnij sobie, że Hessian to macierz 2x2 drugich pochodnych.) Ta definicja pozwala natychmiast uchwycić różnicę między kubkiem/czapką a siodełkiem.

Alternatywne definicje

Jest również podana przez

${\ Displaystyle K = {\ Frac {{\ bigl \ langle} (\ nabla _ {2} \ nabla _ {1} - \ nabla _ {1} \ nabla _ {2}) \ mathbf {e} _ {1 },\mathbf {e} _{2}{\bigr \rangle }}{\det g}},}$

gdzie ∇ _i = ∇ _{e i} jest pochodną kowariantną , a g jest tensorem metrycznym .

W punkcie p na regularnej powierzchni w R ³ krzywizna Gaussa jest również dana wzorem

${\ Displaystyle K (\ mathbf {p} ) = \ DET S (\ mathbf {p})}$

gdzie S jest operatorem kształtu .

Przydatnym wzorem na krzywiznę Gaussa jest równanie Liouville'a w ujęciu Laplace'a we współrzędnych izotermicznych .

Całkowita krzywizna

Suma kątów trójkąta na powierzchni o ujemnej krzywiźnie jest mniejsza niż trójkąta płaskiego.

Integralną powierzchni Gaussa krzywizny na pewnym obszarze na powierzchni jest nazywana całkowite zakrzywienie . Całkowita krzywizna trójkąta geodezyjnego jest równa odchyleniu sumy jego kątów od π . Suma kątów trójkąta na powierzchni o krzywiźnie dodatniej będzie większa niż π , natomiast suma kątów trójkąta na powierzchni o krzywiźnie ujemnej będzie mniejsza niż π . Na powierzchni o zerowej krzywiźnie, takiej jak płaszczyzna euklidesowa , kąty sumują się dokładnie do π radianów.

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {3} \ theta _ {i} = \ pi + \ iint _ {T} K \ DA.}$

Bardziej ogólnym wynikiem jest twierdzenie Gaussa-Bonneta .

Ważne twierdzenia

Twierdzenie egregium

Twierdzenie Gaussa egregium (łac. „niezwykłe twierdzenie”) stwierdza, że ​​krzywiznę Gaussa powierzchni można określić na podstawie pomiarów długości na samej powierzchni. W rzeczywistości można ją znaleźć, mając pełną wiedzę o pierwszej formie podstawowej i wyrażoną przez pierwszą formę podstawową i jej pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu. Równoważnie determinantę z drugiej podstawowej formy o powierzchni w R ³ może być tak ekspresji. „Niezwykłą” i zaskakującą cechą tego twierdzenia jest to, że chociaż definicja krzywizny Gaussa powierzchni S w R ^{3 z} pewnością zależy od sposobu, w jaki powierzchnia jest umieszczona w przestrzeni, wynik końcowy, sama krzywizna Gaussa , jest określany przez wewnętrzną metrykę powierzchni bez dalszego odniesienia do otaczającej przestrzeni: jest wewnętrznym niezmiennikiem . W szczególności krzywizna Gaussa jest niezmienna przy izometrycznych deformacjach powierzchni.

We współczesnej geometrii różniczkowej „powierzchnia”, oglądana abstrakcyjnie, jest dwuwymiarową rozmaitością różniczkową . W celu połączenia tego punktu widzenia, z klasyczną teorią powierzchni , takie streszczenie powierzchni osadzone w R ³ i obdarzone Riemanna metryczną podane przez pierwszą podstawową formę. Załóżmy, że obrazem osadzenia jest powierzchnia S w R ³ . Lokalny isometry jest dyfeomorfizmu F  : U → V pomiędzy otwartymi regionów R ³ , którego ograniczenie S ∩ U jest isometry na jego obrazie. Theorema egregium jest wtedy sformułowane w następujący sposób:

Na przykład krzywizna Gaussa cylindrycznej rury wynosi zero, tak samo jak w przypadku rury „rozwiniętej” (która jest płaska). Z drugiej strony, ponieważ kula o promieniu R ma stałą dodatnią krzywiznę R- ^2, a płaska płaszczyzna ma stałą krzywiznę 0, te dwie powierzchnie nie są izometryczne, nawet lokalnie. Zatem każda planarna reprezentacja nawet małej części kuli musi zniekształcać odległości. Dlatego żadna projekcja kartograficzna nie jest idealna.

Twierdzenie Gaussa-Bonneta

Twierdzenie Gaussa-Bonneta łączy całkowitą krzywiznę powierzchni z jej charakterystyką Eulera i stanowi ważny związek między lokalnymi właściwościami geometrycznymi a globalnymi właściwościami topologicznymi.

Powierzchnie o stałej krzywiźnie

Dwie powierzchnie, które obie mają stałą dodatnią krzywiznę Gaussa, ale z punktami brzegowymi lub punktami osobliwymi.

• Twierdzenie Mindinga (1839) mówi, że wszystkie powierzchnie o tej samej stałej krzywiźnie K są lokalnie izometryczne. Konsekwencją twierdzenia Mindinga jest to, że każdą powierzchnię, której krzywizna jest identycznie zerowa, może być skonstruowana przez wygięcie pewnego płaskiego obszaru. Takie powierzchnie nazywane są powierzchniami rozwijalnymi . Minding podniósł również pytanie, czy zamknięta powierzchnia o stałej dodatniej krzywiźnie jest z konieczności sztywna.
• Twierdzenie Liebmanna (1900) odpowiedziało na pytanie Mindinga. Jedynymi regularnymi (klasy C ² ) zamkniętymi powierzchniami w R ³ o stałej dodatniej krzywiźnie Gaussa są sfery . Jeśli kula jest zdeformowana, nie pozostaje kulą, co dowodzi, że kula jest sztywna. Standardowy dowód wykorzystuje lemat Hilberta, żepunkty niepępkowe o skrajnej krzywiźnie głównej mają niedodatnią krzywiznę Gaussa.
• Twierdzenie Hilberta (1901) stwierdza, że ​​nie istnieje całkowicie analityczna (klasa C ^ω ) regularna powierzchnia w R ³ o stałej ujemnej krzywiźnie Gaussa. W rzeczywistości wniosek dotyczy również powierzchni klasy C ² zanurzonych w R ³ , ale rozkłada się na powierzchnie C ¹ . Pseudosfera ma stałą ujemną krzywiznę Gaussa poza jej szczególnej zakręcie .

Istnieją inne powierzchnie, które mają stałą dodatnią krzywiznę Gaussa. Manfredo do Carmo rozważa powierzchnie obrotowe gdzie , i ( niepełna całka eliptyczna drugiego rodzaju ). Wszystkie te powierzchnie mają stałą krzywiznę Gaussa równą 1, ale mają albo granicę, albo punkt osobliwy. do Carmo podaje również trzy różne przykłady powierzchni o stałej ujemnej krzywiźnie Gaussa, z których jednym jest pseudosfera . ${\displaystyle (\phi (v)\cos(u),\phi(v)\sin(u),\psi(v))}$${\ Displaystyle \ phi (v) = C \ cos v}$${\ Displaystyle \ psi (v) = \ int _ {0} ^ {v} {\ sqrt {1-C ^ {2} \ sin ^ {2} v '}} \ dv '}$${\displaystyle C\neq 1}$

Istnieje wiele innych możliwych powierzchni ograniczonych o stałej krzywiźnie Gaussa. Chociaż kula jest sztywna i nie można jej wygiąć za pomocą izometrii, to po usunięciu małego obszaru lub nawet wycięciu wzdłuż małego segmentu, uzyskaną powierzchnię można wygiąć. Takie zginanie zachowuje krzywiznę Gaussa, więc każde takie zgięcie kuli z usuniętym regionem będzie również miało stałą krzywiznę Gaussa.

Alternatywne formuły

• Gaussa krzywizna powierzchni w R ³ może być wyrażona jako stosunek do determinanty na drugim i pierwszym podstawowe formy II i I :

${\ Displaystyle K = {\ Frac {\ DET (\ operatorname {ja \! ja}}}} {\ det (\ operatorname {ja}}}} = {\ Frac {LN-M ^ {2}} {EG- F^{2}}}.}$

• Wzór Brioschi daje krzywizny Gaussa wyłącznie względem pierwszego podstawowej formy:

${\ Displaystyle K = {\ Frac {{\ zacząć {vmatrix} - {\ Frac {1} {2}} E_ {vv} + F_ {uv} - {\ Frac {1} {2}} G_ {uu} &{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2} }G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v }&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G \end{vmatrix}}}{\left(EG-F^{2}\right)^{2}}}}$

• W przypadku parametryzacji ortogonalnej ( F = 0 ) krzywizna Gaussa wynosi:

${\ Displaystyle K = - {\ Frac {1} {2 {\ sqrt {EG}}}} \ lewo ({\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy u}} {\ Frac {G_ {u}} {\ sqrt {EG}}}+{\frac {\częściowy }{\częściowy v}}{\frac {E_{v}}{\sqrt {EG}}}\prawo).}$

• Dla powierzchni opisanej jako wykres funkcji z = F ( x , y ) z i , krzywizna Gaussa w wynosi:${\ Displaystyle F_ {x} (P) = 0}$${\textstyle F_{y}(P)=0}$${\displaystyle P}$

${\ Displaystyle K = {\ Frac {F_ {xx} \ cdot F_ {yy}-F_ {xy} ^ {2}} {\ lewo (1 + F_ {x} ^ {2} + F_ {y} ^ { 2}\prawo)^{2}}}}$

• Dla niejawnie określonej powierzchni, F ( x , y , z ) = 0 , krzywizna Gaussa może być wyrażona w postaci gradientu ∇ F i macierzy Hessowskiej H ( F ) :

${\ Displaystyle K = - {\ Frac {\ zacząć {vmatrix} H (F) i \ nabla F ^ {\ mathsf {T}} \ \ \ nabla F i 0 \ koniec {vmatrix}} {| \ nabla F | ^ { 4}}}=-{\frac {\begin{vmatrix}F_{xx}&F_{xy}&F_{xz}&F_{x}\\F_{xy}&F_{yy}&F_{yz}&F_{y}\ \F_{xz}&F_{yz}&F_{zz}&F_{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}&0\\\end{vmatrix}}{|\nabla F|^{4} }}}$

• Dla powierzchni z metryczną konformalną do euklidesowej, czyli F = 0 i E = G = e ^σ , krzywizna Gaussa jest dana wzorem ( Δ jest zwykłym operatorem Laplace'a ):

${\ Displaystyle K = - {\ Frac {1} {2e ^ {\ sigma}}} \ Delta \ sigma.}$

• Krzywizna Gaussa to graniczna różnica między obwodem okręgu geodezyjnego a okręgiem w płaszczyźnie:

${\ Displaystyle K = \ lim _ {r \ do 0 ^ {+}} 3 {\ Frac {2 \ pi rC (r)} {\ pi r ^ {3}}}}$

• Krzywizna Gaussa to graniczna różnica między powierzchnią tarczy geodezyjnej a tarczą w płaszczyźnie:

${\ Displaystyle K = \ lim _ {r \ do 0 ^ {+}} 12 {\ Frac {\ pi r ^ {2}-A (r)} {\ pi r ^ {4}}}}$

• Krzywizna Gaussa może być wyrażona za pomocą symboli Christoffel :

${\ Displaystyle K = - {\ Frac {1} {E}} \ lewo ({\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy u}} \ Gamma _ {12} ^ {2} - {\ Frac {\ częściowy} {\partial v}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2} \Prawidłowy)}$

Zobacz też

• Promień krzywizny Gaussa Ziemi
• Krzywizna przekrojowa
• Średnia krzywizna
• Mapa Gaussa
• Tensor krzywizny Riemanna
• Krzywizna główna

Bibliografia

Książki

• Grinfeld, P. (2014). Wprowadzenie do analizy tensorów i rachunku ruchomych powierzchni . Skoczek. Numer ISBN 978-1-4614-7866-9.

Zewnętrzne linki

• „Krzywizna Gaussa” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]