Okres Gaussa - Gaussian period

W matematyce , w obszarze teorii liczb , okres Gaussa jest pewnego rodzaju sumą pierwiastków jedności . Okresy pozwalają na jednoznaczne obliczenia w polach cyklotomicznych związanych z teorią Galois i analizą harmoniczną ( dyskretna transformata Fouriera ). Są podstawą klasycznej teorii zwanej cyklotomią . Ściśle powiązana jest suma Gaussa , rodzaj wykładniczej sumy będącej liniową kombinacją okresów.

Historia

Jak sama nazwa wskazuje, okresy zostały wprowadzone przez Gaussa i były podstawą jego teorii konstrukcji kompasu i prostej . Na przykład konstrukcja siedmiokąta (formuła, która wzmocniła jego reputację) zależała od algebry takich okresów, z których

${\ Displaystyle 2 \ cos \ lewo ({\ Frac {2 \ pi} {17}} \ prawej) = \ zeta + \ zeta ^ {16} \,}$

jest przykładem obejmującym siedemnasty pierwiastek jedności

${\ Displaystyle \ zeta = \ exp \ lewo ({\ Frac {2 \ pi i} {17}} \ prawej).}$

Ogólna definicja

Mając liczbę całkowitą n > 1, niech H będzie dowolną podgrupą grupy multiplikatywnej

${\ Displaystyle G = (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}) ^ {\ razy}}$

z pozostałości odwracalna modulo n , niech

${\ Displaystyle \ zeta = \ exp \ lewo ({\ Frac {2 \ pi i} {n}} \ po prawej).}$

Gaussowski okres P jest sumą pierwotnych n-korzeni jedności , gdzie przebiega przez wszystkie elementy stałe warstwa o H w G . ${\ Displaystyle \ zeta ^ {a}}$${\ displaystyle a}$

Definicję P można również określić na podstawie śladu polowego . Mamy

${\ Displaystyle P = \ operatorname {Tr} _ {\ mathbb {Q} (\ zeta) / L} (\ zeta ^ {j})}$

dla niektórych podpól L z Q (ζ) i niektórych j względnie pierwsze do n . Jest to zgodne z poprzednim definiują identyfikacji G i H z grupy Galois z Q (ç) / P i Q (ç) / L , odpowiednio. Wybór j determinuje wybór kosetu H w G w poprzedniej definicji.

Przykład

Sytuacja jest najprostsza, gdy n jest liczbą pierwszą p > 2. W takim przypadku G jest cykliczne rzędu p - 1 i ma jedną podgrupę H rzędu d dla każdego czynnika d z p - 1. Na przykład możemy wziąć H z indeksu dwa. W takim przypadku H składa się z reszt kwadratowych modulo p . Odpowiadając temu H mamy okres Gaussa

${\ Displaystyle P = \ zeta + \ zeta ^ {4} + \ zeta ^ {9} + \ cdots}$

zsumowane na ( p - 1) / 2 resztach kwadratowych, a drugi okres P * zsumowany na ( p - 1) / 2 kwadratowych nieresztach. Łatwo to zobaczyć

${\ Displaystyle P + P ^ {*} = - 1}$

od lewej strony dodaje wszystkie prymitywnych P korzenie -tym z 1. Wiemy również z definicji ślad, że P leży w kwadratowej przedłużenie Q . Dlatego, jak wiedział Gauss, P spełnia równanie kwadratowe ze współczynnikami całkowitymi. Oszacowanie kwadratu sumy P wiąże się z problemem zliczania, po ilu resztach kwadratowych między 1 a p - 1 następują reszty kwadratowe. Rozwiązanie jest elementarne (jak powiedzielibyśmy teraz, oblicza lokalną funkcję zeta dla krzywej będącej stożkiem ). Jeden ma

( P - P *) ² = p lub - p , odpowiednio dla p = 4 m + 1 lub 4 m + 3.

Daje nam to zatem dokładne informacje o tym, które pole kwadratowe znajduje się w Q (ζ). (Można to również wyprowadzić z argumentów rozgałęzień w algebraicznej teorii liczb ; patrz pole kwadratowe ).

Jak ostatecznie wykazał Gauss, aby obliczyć P - P *, prawidłowy pierwiastek kwadratowy do wzięcia jest dodatni (odpowiednio i razy dodatnia rzeczywista) w obu przypadkach. Zatem jawna wartość okresu P jest dana przez

${\ Displaystyle P = {\ rozpocząć {przypadków} {\ Frac {-1 + {\ sqrt {p}}} {2}} i {\ text {if}} p = 4m + 1, \\ [6pt] {\ frac {-1 + i {\ sqrt {p}}} {2}}, & {\ text {if}} p = 4m + 3. \ end {cases}}}$

Sumy Gaussa

Jak omówiono bardziej szczegółowo poniżej, okresy Gaussa są ściśle związane z inną klasą sum pierwiastków jedności, obecnie ogólnie nazywaną sumami Gaussa (czasami sumami Gaussa ). Przedstawiona powyżej wielkość P - P * jest kwadratową sumą Gaussa mod p , najprostszym nietrywialnym przykładem sumy Gaussa. Można zauważyć, że P - P * można również zapisać jako

${\ displaystyle \ sum \ chi (a) \ zeta ^ {a}}$

gdzie tutaj oznacza symbol Legendre ( a / p ), a suma jest przejmowana przez klasy reszt modulo p . Mówiąc bardziej ogólnie, biorąc pod uwagę znak Dirichleta χ mod n , suma Gaussa mod n skojarzona z χ wynosi ${\ displaystyle \ chi (a)}$

${\ Displaystyle G (k, \ chi) = \ suma _ {m = 1} ^ {n} \ chi (m) \ exp \ lewo ({\ Frac {2 \ pi imk} {n}} \ po prawej). }$

Za szczególny przypadek w głównym charakterem Dirichleta , suma Gaussa zmniejsza do Ramanujan sumy : ${\ displaystyle \ chi = \ chi _ {1}}$

${\ Displaystyle G (k, \ chi _ {1}) = c_ {n} (k) = \ suma _ {m = 1; (m, n) = 1} ^ {n} \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi imk} {n}} \ right) = \ sum _ {d | (n, k)} d \ mu \ left ({\ frac {n} {d}} \ right)}$

gdzie μ jest funkcją Möbiusa .

Sumy Gaussa są wszechobecne w teorii liczb; na przykład występują w znacznie funkcjonalnych równań z L-funkcje . (Sumy Gaussa są w pewnym sensie analogami funkcji gamma w polu skończonym ). ${\ Displaystyle G (k, \ chi)}$

Zależność okresów Gaussa i sum Gaussa

Okresy Gaussa są związane z Suma Gaussa dla których χ postać jest trywialne na H . Takie χ mieć taką samą wartość na wszystkich elementach a w stacjonarnej warstwa o H w G . Na przykład, kwadratowy znak mod p opisany powyżej przyjmuje wartość 1 dla każdej reszty kwadratowej i przyjmuje wartość -1 dla każdej kwadratowej niereszty. Sumę Gaussa można zatem zapisać jako liniową kombinację okresów Gaussa (ze współczynnikami χ ( a )); odwrotność jest również prawdziwa, jako konsekwencja relacji ortogonalności dla grupy ( Z / n Z ) ^× . Innymi słowy, okresy Gaussa i sumy Gaussa są wzajemnymi transformatami Fouriera . Okresy Gaussa zwykle leżą w mniejszych polach, ponieważ na przykład, gdy n jest liczbą pierwszą p , wartości χ ( a ) są ( p - 1) -tym pierwiastkiem jedności. Z drugiej strony, sumy Gaussa mają lepsze właściwości algebraiczne. ${\ Displaystyle G (1, \ chi)}$${\ Displaystyle G (1, \ chi)}$

Bibliografia

• H. Davenport, HL Montgomery (2000). Teoria mnożenia liczb . Skoczek. p. 18. ISBN   0-387-95097-4 .