Georg Cantor - Georg Cantor

Georg Cantor
Georg Cantor- kolorowane.jpg
Kantor, początek XX wieku
Urodzić się
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

( 1845-03-03 )3 marca 1845
Zmarł 6 stycznia 1918 (1918-01-06)(w wieku 72)
Narodowość Niemiecki
Alma Mater
Znany z Teoria mnogości
Małżonkowie
Vally Guttmann
( m.  1874)
Nagrody Medal Sylwestra (1904)
Kariera naukowa
Pola Matematyka
Instytucje Uniwersytet w Halle
Praca dyplomowa De aequationibus secundi gradus indeterminatis  (1867)
Doradca doktorski

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ( / K ® n t ɔːr / KAN -TOR , niem [ɡeːɔʁk fɛʁdinant luːtvɪç fiːlɪp kantɔʁ] ; 3 marca [ OS 19 lutego] 1845 - 06 stycznia 1918), niemiecki matematyka . Stworzył teorię mnogości , która stała się podstawową teorią matematyki. Cantor ustalił znaczenie korespondencji jeden do jednego między członkami dwóch zbiorów, zdefiniował zbiory nieskończone i uporządkowane oraz udowodnił, że liczby rzeczywiste są liczniejsze niż liczby naturalne . W rzeczywistości metoda Cantora dowodzenia tego twierdzenia implikuje istnienie nieskończoności nieskończoności. Zdefiniował liczby kardynalne i porządkowe oraz ich arytmetykę. Dzieło Cantora jest bardzo interesujące z filozoficznego punktu widzenia, z czego doskonale zdawał sobie sprawę.

Teoria liczb nadskończonych Cantora była początkowo uważana za tak sprzeczną z intuicją, a nawet szokującą, że napotkała opór współczesnych matematyków, takich jak Leopold Kronecker i Henri Poincaré, a później Hermanna Weyla i L.E.J. Brouwera , podczas gdy Ludwig Wittgenstein podniósł zastrzeżenia filozoficzne . Cantor, pobożny chrześcijanin luterański , wierzył, że teorię tę przekazał mu Bóg. Niektórzy teologowie chrześcijańscy (zwłaszcza neoscholascy ) postrzegali dzieło Cantora jako wyzwanie dla wyjątkowości absolutnej nieskończoności w naturze Boga – raz zrównując teorię liczb pozaskończonych z panteizmem  – twierdzenie, które Cantor stanowczo odrzucił.

Zastrzeżenia do pracy Cantora były czasami zaciekłe: publiczny sprzeciw i osobiste ataki Leopolda Kroneckera obejmowały opisywanie Cantora jako „naukowego szarlatana”, „renegata” i „skorumpującego młodość”. Kronecker sprzeciwił się dowodom Cantora, że ​​liczby algebraiczne są policzalne, a liczby transcendentalne są niepoliczalne, a wyniki są teraz zawarte w standardowym programie nauczania matematyki. Pisząc dziesiątki lat po śmierci Cantora, Wittgenstein ubolewał, że matematyka jest „na wskroś przesiąknięta zgubnymi idiomami teorii mnogości”, którą odrzucił jako „całkowity nonsens”, który jest „śmieszny” i „błędny”. Nawracające napady depresji Cantora od 1884 roku do końca jego życia były obwiniane o wrogą postawę wielu jego współczesnych, choć niektórzy tłumaczą te epizody jako prawdopodobne przejawy choroby afektywnej dwubiegunowej .

Ostrej krytyce towarzyszyły późniejsze pochwały. W 1904 Królewskie Towarzystwo przyznało Kantorowi Medal Sylwestra , najwyższe odznaczenie, jakie może przyznać za pracę w matematyce. David Hilbert bronił go przed krytykami, oświadczając: „Nikt nas nie wypędzi z raju, który stworzył Cantor”.

Życie Georga Cantora

Młodzież i studia

Kantor, ok. 1870

Georg Cantor urodził się w 1845 roku w zachodniej kolonii kupieckiej w Sankt Petersburgu w Rosji i wychowywał się w tym mieście do jedenastego roku życia. Cantor, najstarszy z sześciorga dzieci, uchodził za wybitnego skrzypka. Jego dziadek Franz Böhm (1788-1846) ( brat skrzypka Josepha Böhma ) był znanym muzykiem i solistą rosyjskiej orkiestry cesarskiej. Ojciec Cantora był członkiem giełdy petersburskiej ; kiedy zachorował, rodzina przeniosła się do Niemiec w 1856 roku, najpierw do Wiesbaden , a następnie do Frankfurtu , szukając łagodniejszych zim niż te w Sankt Petersburgu. W 1860 Cantor ukończył z wyróżnieniem Realschule w Darmstadt ; zauważono jego wyjątkowe umiejętności matematyczne, w szczególności trygonometrię . W sierpniu 1862 ukończył następnie „Höhere Gewerbeschule Darmstadt”, obecnie Technische Universität Darmstadt . W 1862 roku Cantor wstąpił do Szwajcarskiej Politechniki Federalnej . Po otrzymaniu znacznego spadku po śmierci ojca w czerwcu 1863 roku, Cantor przeniósł studia na Uniwersytet Berliński , uczęszczając na wykłady Leopolda Kroneckera , Karla Weierstrassa i Ernsta Kummera . Spędził lato 1866 na Uniwersytecie w Getyndze , a następnie w ośrodku badań matematycznych. Kantor był dobrym uczniem, doktoryzował się w 1867 roku.

Nauczyciel i badacz

Cantor złożył rozprawę z teorii liczb na Uniwersytecie w Berlinie w 1867 roku. Po krótkim nauczaniu w berlińskiej szkole dla dziewcząt, Cantor podjął pracę na Uniwersytecie w Halle , gdzie spędził całą swoją karierę zawodową. Uzyskał wymaganą habilitację za swoją pracę magisterską, także z teorii liczb, którą przedstawił w 1869 r. po objęciu nominacji na uniwersytecie w Halle .

W 1874 r. Cantor poślubił Vally Guttmann. Mieli sześcioro dzieci, ostatnie (Rudolph) urodzone w 1886 roku. Dzięki spadkowi po ojcu Cantor był w stanie utrzymać rodzinę pomimo skromnych zarobków w nauce. Podczas miesiąca miodowego w górach Harz Cantor spędzał dużo czasu na matematycznych dyskusjach z Richardem Dedekindem , którego poznał dwa lata wcześniej podczas wakacji w Szwajcarii.

Kantor awansował na profesora nadzwyczajnego w 1872, a profesora zwyczajnego w 1879. Osiągnięcie tego ostatniego stopnia w wieku 34 lat było znaczącym osiągnięciem, ale Cantor pragnął katedry na bardziej prestiżowym uniwersytecie, zwłaszcza w Berlinie, w tym czasie wiodący niemiecki uniwersytet. Jednak jego twórczość spotkała się ze zbyt dużym sprzeciwem, aby było to możliwe. Kronecker, który do śmierci w 1891 roku kierował matematyką w Berlinie, coraz bardziej czuł się nieswojo z perspektywą posiadania Cantora za kolegę, postrzegając go jako „skorumpującego młodość” za nauczanie swoich pomysłów młodszemu pokoleniu matematyków. Co gorsza, Kronecker, postać o ugruntowanej pozycji w środowisku matematycznym i były profesor Cantora, zasadniczo nie zgadzał się z ideą pracy Cantora, odkąd celowo opóźnił publikację pierwszej poważnej publikacji Cantora w 1874 roku. Twórcy konstruktywnego punktu widzenia w matematyce bardzo nie lubili teorii mnogości Cantora, ponieważ zapewniała ona istnienie zbiorów spełniających pewne własności, bez podawania konkretnych przykładów zbiorów, których elementy rzeczywiście spełniały te własności. Za każdym razem, gdy kantor starał się o posadę w Berlinie, odmawiano mu, a zwykle dotyczyło to Kroneckera, więc Cantor zaczął wierzyć, że stanowisko Kroneckera uniemożliwi mu kiedykolwiek opuszczenie Halle.

W 1881 roku zmarł kolega Cantora z Halle, Eduard Heine , tworząc wolne krzesło. Halle przyjął sugestię Cantora, aby zaproponować krzesło Dedekindowi, Heinrichowi M. Weberowi i Franzowi Mertensowi w tej kolejności, ale każdy z nich odmówił przyjęcia krzesła po tym, jak mu je zaoferowano. Ostatecznie mianowano Fryderyka Wangerina, ale nigdy nie był blisko Kantora.

W 1882 r. zakończyła się matematyczna korespondencja między Cantorem a Dedekindem, najwyraźniej w wyniku odrzucenia przez Dedekinda katedry w Halle. Cantor rozpoczął również inną ważną korespondencję z Gösta Mittag-Leffler w Szwecji i wkrótce zaczął publikować w czasopiśmie Mittaga-Lefflera Acta Mathematica . Jednak w 1885 roku Mittag-Leffler był zaniepokojony filozoficzną naturą i nową terminologią w artykule, który Cantor przedłożył Acta . Poprosił Cantora o wycofanie gazety z Acta, gdy była w dowód, pisząc, że jest „… o sto lat za wcześnie”. Cantor zastosował się do tego, ale potem ograniczył swój związek i korespondencję z Mittagiem-Lefflerem, pisząc do osoby trzeciej: „Gdyby Mittag-Leffler postawił na swoim, musiałbym poczekać do roku 1984, co wydawało mi się zbyt dużym żądaniem!”. .. Ale oczywiście nigdy więcej nie chcę nic wiedzieć o Acta Mathematica ”.

Cantor doznał pierwszego znanego ataku depresji w maju 1884 roku. Krytyka jego pracy zaprzątała mu głowę: każdy z pięćdziesięciu dwóch listów, które napisał do Mittaga-Lefflera w 1884 roku, wspominał o Kroneckerze. Fragment jednego z tych listów ujawnia uszczerbek na pewności siebie Cantora:

... nie wiem, kiedy wrócę do kontynuacji mojej pracy naukowej. W tej chwili nie mogę nic z tym zrobić i ograniczyć się do najniezbędniejszego obowiązku moich wykładów; o ile szczęśliwszy byłbym, gdybym był aktywny naukowo, gdybym tylko miał niezbędną mentalną świeżość.

Ten kryzys skłonił go do aplikowania na wykłady z filozofii, a nie matematyki. Rozpoczął także intensywne studia nad literaturą elżbietańską, myśląc, że mogą istnieć dowody na to, że Francis Bacon napisał sztuki przypisywane Williamowi Szekspirowi (patrz pytanie o autorstwo Szekspira ); ostatecznie zaowocowało to dwiema broszurami, opublikowanymi w 1896 i 1897 roku.

Cantor wkrótce wyzdrowiał, a następnie wniósł dalsze ważne wkłady, w tym jego argumentację diagonalną i twierdzenie . Jednak nigdy więcej nie osiągnął wysokiego poziomu swoich niezwykłych dokumentów z lat 1874-1884, nawet po śmierci Kroneckera w dniu 29 grudnia 1891 roku. W końcu szukał i osiągnął pojednanie z Kroneckerem. Niemniej jednak, różnice filozoficzne i dzielące je trudności nadal się utrzymywały.

W 1889 r. Cantor odegrał kluczową rolę w założeniu Niemieckiego Towarzystwa Matematycznego i przewodniczył jego pierwszemu spotkaniu w Halle w 1891 r., gdzie po raz pierwszy przedstawił swój argument ukośny; jego reputacja była wystarczająco silna, pomimo sprzeciwu Kroneckera wobec jego pracy, aby zapewnić mu wybór na pierwszego prezydenta tego stowarzyszenia. Odkładając na bok niechęć, jaką okazywał mu Kronecker, Cantor zaprosił go do przemówienia, ale Kronecker nie był w stanie tego zrobić, ponieważ jego żona umierała z powodu obrażeń odniesionych w tym czasie w wypadku narciarskim. Georg Cantor odegrał również kluczową rolę w ustanowieniu pierwszego Międzynarodowego Kongresu Matematyków , który odbył się w Zurychu w Szwajcarii w 1897 roku.

Późniejsze lata i śmierć

Po hospitalizacji Cantora w 1884 r. nie ma wzmianek, że był on ponownie w jakimkolwiek sanatorium aż do 1899 r. Wkrótce po tej drugiej hospitalizacji najmłodszy syn Cantora, Rudolph, zmarł nagle 16 grudnia (Cantor wygłaszał wykład na temat swoich poglądów na temat teorii Bacona i Williama Szekspira ). , a ta tragedia pozbawiła Cantora wiele z jego pasji do matematyki. Cantor ponownie trafił do szpitala w 1903 roku. Rok później był oburzony i poruszony referatem wygłoszonym przez Juliusa Königa na III Międzynarodowym Kongresie Matematyków . W artykule podjęto próbę udowodnienia, że ​​podstawowe założenia teorii mnogości pozaskończonej są fałszywe. Ponieważ gazetę czytano w obecności jego córek i kolegów, Cantor uważał się za publicznie upokorzonego. Chociaż niecały dzień później Ernst Zermelo wykazał, że dowód Königa zawiódł, Cantor pozostał wstrząśnięty i przez chwilę kwestionował Boga. Kantor do końca życia cierpiał na chroniczną depresję, za co kilkakrotnie zwalniano go z nauczania i wielokrotnie zamykano w różnych sanatoriach. Wydarzenia z 1904 roku poprzedziły serię hospitalizacji w odstępach dwu-trzyletnich. On nie porzucił matematykę całkowicie jednak, wykładając na paradoksów teorii mnogości ( paradoks burali-fortiego , paradoks zbioru wszystkich zbiorów i paradoksu Russella ) na posiedzeniu Deutsche Mathematiker-Vereinigung w 1903 roku, a udział w Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Heidelbergu w 1904 roku.

W 1911 roku Cantor był jednym z wybitnych uczonych zagranicznych zaproszonych na 500. rocznicę założenia Uniwersytetu St. Andrews w Szkocji. Cantor uczestniczył, mając nadzieję na spotkanie z Bertrandem Russellem , którego nowo wydana Principia Mathematica wielokrotnie cytowała prace Cantora, ale tak się nie stało. W następnym roku St. Andrews przyznał kantorowi tytuł doktora honoris causa, ale choroba uniemożliwiła mu otrzymanie tego stopnia osobiście.

Cantor przeszedł na emeryturę w 1913 roku, żyjąc w biedzie i cierpiąc z powodu niedożywienia podczas I wojny światowej . Publiczne obchody jego 70. urodzin zostały odwołane z powodu wojny. W czerwcu 1917 po raz ostatni wszedł do sanatorium i nieustannie pisał do żony, prosząc o pozwolenie na powrót do domu. Georg Cantor doznał śmiertelnego ataku serca 6 stycznia 1918 roku w sanatorium, w którym spędził ostatni rok swojego życia.

Praca matematyczna

Praca Cantora w latach 1874-1884 jest początkiem teorii mnogości . Przed tą pracą pojęcie zbioru było dość elementarne, używane w sposób dorozumiany od początków matematyki, sięgających idei Arystotelesa . Nikt nie zdawał sobie sprawy, że teoria mnogości ma jakąkolwiek nietrywialną treść. Przed Cantorem istniały tylko zbiory skończone (które są łatwe do zrozumienia) i „nieskończoność” (co było uważane za temat do dyskusji filozoficznej, a nie matematycznej). Udowodniając, że istnieje (nieskończenie) wiele możliwych rozmiarów zbiorów nieskończonych, Cantor ustalił, że teoria mnogości nie jest trywialna i należy ją zbadać. Teoria mnogości zaczęła odgrywać rolę teorii fundamentalnej we współczesnej matematyce w tym sensie, że interpretuje twierdzenia dotyczące obiektów matematycznych (na przykład liczb i funkcji) ze wszystkich tradycyjnych dziedzin matematyki (takich jak algebra , analiza i topologia ). w jednej teorii i dostarcza standardowego zestawu aksjomatów do ich udowodnienia lub obalenia. Podstawowe pojęcia teorii mnogości są obecnie używane w matematyce.

W jednej ze swoich najwcześniejszych prac Cantor dowiódł, że zbiór liczb rzeczywistych jest „liczniejszy” niż zbiór liczb naturalnych ; pokazało to po raz pierwszy, że istnieją nieskończone zestawy różnych rozmiarów . Był także pierwszym, który docenił znaczenie korespondencji jeden do jednego (zwanej dalej „ korespondencją 1 do 1”) w teorii mnogości. Użył tego pojęcia do zdefiniowania zbiorów skończonych i nieskończonych , dzieląc te ostatnie na zbiory przeliczalne (lub przeliczalnie nieskończone) i nieprzeliczalne (nieprzeliczalnie nieskończone).

Cantor opracował ważne koncepcje topologii i ich związek z kardynalnością . Wykazał na przykład, że zbiór Cantora , odkryty przez Henry'ego Johna Stephena Smitha w 1875 roku, nigdzie nie jest gęsty , ale ma taką samą kardynalność jak zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, podczas gdy wymierne są wszędzie gęste, ale przeliczalne. Pokazał również, że wszystkie policzalne gęste rzędy liniowe bez punktów końcowych są izomorficzne z liczbami wymiernymi .

Cantor wprowadził podstawowe konstrukcje w teorii mnogości, takie jak zbiór potęgowy zbioru A , który jest zbiorem wszystkich możliwych podzbiorów zbioru A . Później udowodnił, że rozmiar zbioru potęgowego A jest ściśle większy niż rozmiar A , nawet jeśli A jest zbiorem nieskończonym; wynik ten stał się wkrótce znany jako twierdzenie Cantora . Cantor opracował całą teorię i arytmetykę zbiorów nieskończonych , zwanych kardynałami i liczbami porządkowymi , która rozszerzyła arytmetykę liczb naturalnych. Jego notacją dla liczb kardynalnych była litera hebrajska ( alef ) z dolnym indeksem liczby naturalnej; dla liczb porządkowych użył greckiej litery ω ( omega ). Ta notacja jest nadal w użyciu.

Continuum hipoteza , wprowadzony przez Cantora, został przedstawiony przez Davida Hilberta jako pierwszy z jego dwudziestu trzech otwartych problemów w przemówieniu w 1900 w Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu. Praca Cantora przyciągnęła również pozytywną uwagę poza słynnym encomium Hilberta. Amerykański filozof Charles Sanders Peirce pochwalił teorię mnogości Cantora i po publicznych wykładach wygłoszonych przez Cantora na pierwszym Międzynarodowym Kongresie Matematyków, który odbył się w Zurychu w 1897 r., Adolf Hurwitz i Jacques Hadamard również wyrazili swój podziw. Na tym Kongresie Cantor odnowił swoją przyjaźń i korespondencję z Dedekindem. Od 1905 roku Cantor korespondował ze swoim brytyjskim wielbicielem i tłumaczem Philipem Jourdainem na temat historii teorii mnogości i religijnych idei Cantora. Zostało to później opublikowane, podobnie jak kilka jego prac ekspozycyjnych.

Teoria liczb, szereg trygonometryczny i liczby porządkowe

Pierwsze dziesięć artykułów Cantora dotyczyło teorii liczb , tematu jego pracy magisterskiej. Zgodnie z sugestią Eduarda Heine , profesora w Halle, Cantor zajął się analizą . Heine zaproponował Cantorowi rozwiązanie otwartego problemu , który umykał Peterowi Gustavowi Lejeune Dirichletowi , Rudolfowi Lipschitzowi , Bernhardowi Riemannowi i samemu Heinemu: jednoznaczności reprezentacji funkcji przez szereg trygonometryczny . Cantor rozwiązał ten problem w 1869 roku. To właśnie podczas pracy nad tym problemem odkrył liczby porządkowe pozaskończone, które występowały jako indeksy n w n- tym wyprowadzonym zbiorze S n zbioru S zer szeregu trygonometrycznego. Biorąc trygonometryczne serii F (x) z S jako zestaw zer Cantor odkrył procedurę wytwarzany innego trygonometrycznych serii, które miały S 1 jako zestaw zera, gdzie S 1 jest zbiór punktów granicznych w S . Jeśli S k+1 jest zbiorem punktów granicznych S k , to mógłby skonstruować szereg trygonometryczny, którego zerami są S k+1 . Ponieważ zbiory S k były domknięte, zawierały swoje punkty graniczne, a przecięcie nieskończenie malejącego ciągu zbiorów S , S 1 , S 2 , S 3 ,... utworzyło zbiór graniczny, który teraz nazwalibyśmy S ω , a potem zauważył, że S ω również musiałby mieć zbiór punktów granicznych S ω+1 , i tak dalej. Miał przykłady, które ciągnęły się w nieskończoność, więc tutaj był naturalnie występujący nieskończony ciąg liczb nieskończonych ω , ω  + 1, ω  + 2, ...

W latach 1870 i 1872, Cantor opublikował kolejne papiery na trygonometryczne serii, a także papier definiowania liczb niewymiernych jak zbieżnych ciągów z liczb wymiernych . Dedekind, z którym Cantor zaprzyjaźnił się w 1872 roku, zacytował tę pracę później w tym samym roku, w której po raz pierwszy przedstawił swoją słynną definicję liczb rzeczywistych za pomocą cięć Dedekinda . Rozszerzając pojęcie liczby za pomocą swojej rewolucyjnej koncepcji nieskończonej kardynalności, Cantor paradoksalnie sprzeciwiał się teoriom nieskończenie małych jego współczesnych Otto Stolza i Paula du Bois-Reymonda , opisując je zarówno jako „obrzydliwość”, jak i „bakcyl cholery matematyka". Cantor opublikował również błędny „dowód” na niespójność nieskończenie małych .

Teoria mnogości

Ilustracja przekątnej argumentu Cantora za istnieniem zbiorów niepoliczalnych . Sekwencja na dole nie może wystąpić nigdzie na nieskończonej liście sekwencji powyżej.

Początek teorii mnogości jako gałęzi matematyki często wyznacza publikacja Cantora z 1874 r. „Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” („O własności zbioru wszystkich rzeczywistych liczb algebraicznych”). Ten artykuł był pierwszym, który dostarczył rygorystycznego dowodu, że istnieje więcej niż jeden rodzaj nieskończoności. Wcześniej zakładano, że wszystkie nieskończone kolekcje są równoliczne (to znaczy mają „ten sam rozmiar” lub taką samą liczbę elementów). Cantor udowodnił, że zbiór liczb rzeczywistych i zbiór dodatnich liczb całkowitych nie są równoliczne. Innymi słowy, liczby rzeczywiste nie są policzalne . Jego dowód różni się od argumentacji diagonalnej , którą przedstawił w 1891 roku. Artykuł Cantora zawiera również nową metodę konstruowania liczb przestępnych . Liczby transcendentalne zostały po raz pierwszy skonstruowane przez Josepha Liouville w 1844 roku.

Cantor ustalił te wyniki za pomocą dwóch konstrukcji. Jego pierwsza konstrukcja pokazuje, jak zapisać rzeczywiste liczby algebraiczne jako ciąg a 1 , a 2 , a 3 , .... Innymi słowy, rzeczywiste liczby algebraiczne są policzalne. Cantor rozpoczyna swoją drugą konstrukcję od dowolnego ciągu liczb rzeczywistych. Używając tego ciągu, konstruuje zagnieżdżone przedziały, których przecięcie zawiera liczbę rzeczywistą nie w ciągu. Ponieważ każdy ciąg liczb rzeczywistych może być użyty do skonstruowania rzeczywistego nie w ciągu, liczb rzeczywistych nie można zapisać jako ciągu – to znaczy, że liczby rzeczywiste nie są policzalne. Stosując swoją konstrukcję do ciągu liczb rzeczywistych algebraicznych, Cantor tworzy liczbę przestępną. Cantor zwraca uwagę, że jego konstrukcje dowodzą czegoś więcej, a mianowicie dostarczają nowego dowodu twierdzenia Liouville'a: Każdy przedział zawiera nieskończenie wiele liczb przestępnych. Kolejny artykuł Cantora zawiera konstrukcję, która dowodzi, że zbiór liczb przestępnych ma taką samą „potęgę” (patrz niżej) jak zbiór liczb rzeczywistych.

W latach 1879-1884 Cantor opublikował serię sześciu artykułów w Mathematische Annalen, które razem stanowiły wstęp do jego teorii mnogości. Jednocześnie narastał sprzeciw wobec idei Cantora, kierowanych przez Leopolda Kroneckera, który dopuszczał pojęcia matematyczne tylko wtedy, gdy można je było skonstruować w skończonej liczbie kroków od liczb naturalnych, które przyjął jako dane intuicyjnie. Dla Kroneckera hierarchia nieskończoności Cantora była niedopuszczalna, ponieważ przyjęcie koncepcji nieskończoności rzeczywistej otworzyłoby drzwi do paradoksów, które podważyłyby słuszność matematyki jako całości. W tym okresie Cantor wprowadził również zbiór Cantora .

Piąty artykuł z tej serii, " Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre" (" Podstawy ogólnej teorii agregatów" ), opublikowany w 1883 roku, był najważniejszym z sześciu i został również opublikowany jako osobna monografia . Zawierała odpowiedź Cantora dla jego krytyków i pokazywała, że liczby nadskończone są systematycznym rozszerzeniem liczb naturalnych. Zaczyna się od zdefiniowania uporządkowanych zestawów. Liczby porządkowe są następnie wprowadzane jako typy porządkowe zestawów dobrze uporządkowanych. Cantor następnie określa dodawanie i mnożenie liczb głównych i porządkowych. W 1885 roku Cantor rozszerzył swoją teorię typów porządków tak, że liczby porządkowe stały się po prostu szczególnym przypadkiem typów porządków.

W 1891 opublikował artykuł zawierający jego elegancki „argument po przekątnej” na istnienie niepoliczalnego zbioru. Zgłosił się na ten sam pomysł, aby udowodnić Twierdzenie Cantora : the liczność zbioru mocy zbiorze A jest ściśle większy niż liczności A . Ustanowiło to bogactwo hierarchii zbiorów nieskończonych oraz arytmetyki kardynalnej i porządkowej , którą zdefiniował Cantor. Jego argumentacja jest fundamentalna w rozwiązaniu problemu Haltinga i dowodzie pierwszego twierdzenia Gödla o niezupełności . Cantor pisał o hipotezie Goldbacha w 1894 roku.

Fragment artykułu Georga Cantora z jego definicją zbioru

W latach 1895 i 1897 Cantor opublikował dwuczęściowy artykuł w Mathematische Annalen pod redakcją Felixa Kleina ; były to jego ostatnie znaczące prace z teorii mnogości. Pierwszy artykuł zaczyna się od zdefiniowania zbioru, podzbioru itd. w sposób, który byłby obecnie w dużej mierze akceptowalny. Omówiono arytmetykę kardynalną i porządkową. Cantor chciał, aby druga praca zawierała dowód hipotezy continuum, ale musiał zadowolić się ujawnieniem swojej teorii zbiorów uporządkowanych i liczb porządkowych. Cantor próbuje udowodnić, że jeśli A i B są zbiorami, w których A jest równoważne podzbiorowi B i B jest równoważne podzbiorowi A , to A i B są równoważne. Ernst Schröder przedstawił to twierdzenie nieco wcześniej, ale jego dowód, podobnie jak Cantora, był błędny. Felix Bernstein dostarczył poprawnego dowodu w swojej pracy doktorskiej z 1898 roku; stąd nazwa twierdzenie Cantora-Bernsteina-Schrödera .

Wzajemna korespondencja

Funkcja bijektywna

Cantor z 1874 r. w Crelle jako pierwszy odwołał się do pojęcia korespondencji 1 do 1 , chociaż nie użył tego wyrażenia. Następnie zaczął szukać zależności 1 do 1 między punktami kwadratu jednostkowego i punktami odcinka linii jednostkowej . W liście do Richarda Dedekinda z 1877 roku Cantor dowiódł znacznie silniejszego wyniku: dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n istnieje zależność 1 do 1 między punktami na odcinku jednostkowym a wszystkimi punktami w przestrzeni n- wymiarowej . O tym odkryciu Cantor napisał do Dedekinda: „ Je le vois, mais je ne le crois pas! ” („Widzę to, ale nie wierzę!”). pojęcie wymiaru .

W 1878 roku Cantor przesłał do Crelle's Journal kolejną pracę, w której precyzyjnie zdefiniował pojęcie korespondencji 1 do 1 i wprowadził pojęcie „ władzy ” (termin zaczerpnięty od Jakoba Steinera ) lub „równoważności” zbiorów: dwa zestawy są równoważne (mają tę samą moc), jeśli istnieje między nimi zgodność 1 do 1. Cantor zdefiniował zbiory przeliczalne (lub zbiory przeliczalne) jako zbiory, które można umieścić w korespondencji 1 do 1 z liczbami naturalnymi i udowodnił, że liczby wymierne są przeliczalne. Udowodnił również, że n- wymiarowa przestrzeń euklidesowa R n ma taką samą moc jak liczby rzeczywiste R , podobnie jak przeliczalnie nieskończony iloczyn kopii R . Chociaż swobodnie posługiwał się policzalnością jako pojęciem, nie napisał słowa „policzalny” dopiero w 1883 r. Cantor omówił również swoje myślenie o wymiarze , podkreślając, że jego odwzorowanie między przedziałem jednostkowym a kwadratem jednostkowym nie było odwzorowaniem ciągłym .

Ten dokument nie podobał się Kroneckerowi i Cantor chciał go wycofać; jednak Dedekind przekonał go, aby tego nie robił, a Karl Weierstrass poparł jego publikację. Niemniej jednak Cantor nigdy więcej nie przekazał niczego Crelle.

Hipoteza kontinuum

Cantor był pierwszym, który sformułował to, co później stało się znane jako hipoteza continuum lub CH: nie istnieje zbiór, którego moc jest większa niż moc naturalnych i mniejsza niż moc rzeczywistych (lub równoważnie, kardynalność liczb rzeczywistych jest dokładnie alef-jeden, a nie tylko w najmniejszym Aleph jeden). Cantor wierzył, że hipoteza continuum jest prawdziwa i przez wiele lat próbował ją udowodnić , na próżno. Niezdolność do udowodnienia hipotezy kontinuum wywołała w nim znaczny niepokój.

Trudność, jaką Cantor miał w udowodnieniu hipotezy continuum, została podkreślona przez późniejsze osiągnięcia w dziedzinie matematyki: wynik Kurta Gödla z 1940 r. i wynik Paula Cohena z 1963 r. razem wskazują, że hipotezy continuum nie można ani udowodnić, ani obalić przy użyciu standardowego Zermelo- Teoria mnogości Fraenkla plus aksjomat wyboru (kombinacja określana jako „ ZFC ”).

Absolutnie nieskończone, dobrze uporządkowane twierdzenie i paradoksy

W 1883 roku Cantor podzielił nieskończoność na ponadskończone i absolutne .

Nadskończoność jest coraz większa, podczas gdy absolut nie może być zwiększany. Na przykład liczba porządkowa α jest pozaskończona, ponieważ można ją zwiększyć do α + 1. Z drugiej strony, liczby porządkowe tworzą absolutnie nieskończony ciąg, którego nie można zwiększyć, ponieważ nie ma do niego większych liczb porządkowych. W 1883 roku Cantor wprowadził również zasadę dobrego uporządkowania „każdy zbiór może być uporządkowany” i stwierdził, że jest to „prawo myśli”.

Cantor rozszerzył swoją pracę o absolutnej nieskończoności, wykorzystując ją w dowodzie. Około 1895 r. zaczął uważać swoją zasadę dobrego uporządkowania za twierdzenie i próbował to udowodnić. W 1899 wysłał Dedekindowi dowód równoważnego twierdzenia o alefie: kardynalność każdego nieskończonego zbioru to alef . Najpierw zdefiniował dwa rodzaje wielości: niesprzeczne wielości (zbiory) i niespójne wielości (bezwzględnie nieskończone wielości). Następnie założył, że liczby porządkowe tworzą zbiór, udowodnił, że prowadzi to do sprzeczności i doszedł do wniosku, że liczby porządkowe tworzą niespójną wielość. Wykorzystał tę niespójną mnogość, aby udowodnić twierdzenie o alefie. W 1932 Zermelo skrytykował konstrukcję w dowodzie Cantora.

Cantor uniknął paradoksów , uznając, że istnieją dwa rodzaje wielości. W jego teorii mnogości, gdy zakłada się, że liczby porządkowe tworzą zbiór, wynikająca z tego sprzeczność implikuje jedynie, że liczby porządkowe tworzą niespójną wielość. Natomiast Bertrand Russell traktował wszystkie kolekcje jako zestawy, co prowadzi do paradoksów. W teorii mnogości Russella liczby porządkowe tworzą zbiór, więc wynikająca z tego sprzeczność implikuje, że teoria jest niespójna . Od 1901 do 1903 roku, Russell odkrył trzy paradoksy sugerując, że jego teoria jest sprzeczna zestaw: the paradoks Burali-Forti (który został już wspomniano), paradoks zbioru wszystkich zbiorów , a paradoks Russella . Russell nazwał paradoksy po Cesare Burali-Forti i Cantorze, chociaż żaden z nich nie wierzył, że znaleźli paradoksy.

W 1908 Zermelo opublikował swój system aksjomatów dla teorii mnogości . Miał dwie motywacje do opracowania systemu aksjomatów: wyeliminowanie paradoksów i zabezpieczenie swojego dowodu twierdzenia o dobrym porządku . Zermelo udowodnił to twierdzenie w 1904 roku za pomocą aksjomatu wyboru , ale jego dowód był krytykowany z różnych powodów. Jego odpowiedź na krytykę obejmowała jego system aksjomatów i nowy dowód twierdzenia o dobrym porządku. Jego aksjomaty wspierają ten nowy dowód i eliminują paradoksy, ograniczając tworzenie zbiorów.

W 1923 roku John von Neumann opracował system aksjomatów, który eliminuje paradoksy, stosując podejście podobne do Cantora — mianowicie identyfikując zbiory, które nie są zbiorami, i traktując je inaczej. Von Neumann stwierdził, że klasa jest zbyt duża, aby być zbiorem, jeśli można ją umieścić w korespondencji jeden-do-jednego z klasą wszystkich zbiorów. Zdefiniował zbiór jako klasę, która jest członkiem jakiejś klasy i stwierdził aksjomat: Klasa nie jest zbiorem wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zależność jeden-do-jednego między nią a klasą wszystkich zbiorów. Ten aksjomat implikuje, że te duże klasy nie są zbiorami, co eliminuje paradoksy, ponieważ nie mogą one należeć do żadnej klasy. Von Neumann użył swojego aksjomatu, aby udowodnić twierdzenie o dobrym uporządkowaniu: Podobnie jak Cantor założył, że liczby porządkowe tworzą zbiór. Wynikająca z tego sprzeczność implikuje, że klasa wszystkich liczb porządkowych nie jest zbiorem. Następnie jego aksjomat zapewnia zgodność jeden do jednego między tą klasą a klasą wszystkich zbiorów. Ta korespondencja dobrze porządkuje klasę wszystkich zbiorów, co implikuje twierdzenie o dobrym porządku. W 1930 Zermelo zdefiniował modele teorii mnogości, które spełniają aksjomat von Neumanna .

Filozofia, religia, literatura i matematyka Kantora

Koncepcja istnienia rzeczywistej nieskończoności była ważnym wspólnym problemem w sferze matematyki, filozofii i religii. Kantor od dawna troszczył się o zachowanie ortodoksji relacji między Bogiem a matematyką, choć nie w tej samej formie, jaką utrzymywali jego krytycy. O tym przecięciu się tych dyscyplin odniósł się bezpośrednio we wstępie do swojego Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre , w którym podkreślił związek między jego poglądem na nieskończoność a filozoficznym. Dla Cantora jego matematyczne poglądy były nierozerwalnie związane z ich filozoficznymi i teologicznymi implikacjami – utożsamiał Absolut Nieskończony z Bogiem i uważał, że jego praca nad liczbami nieskończonymi została mu bezpośrednio przekazana przez Boga, który wybrał Cantora, aby je objawił. świat. Był pobożnym luteraninem, którego wyraźne chrześcijańskie przekonania ukształtowały jego filozofię nauki. Joseph Dauben prześledził wpływ chrześcijańskich przekonań Cantora na rozwój teorii mnogości pozaskończonych.

Debata matematyków wyrosła z przeciwstawnych poglądów filozofii matematyki dotyczących natury nieskończoności rzeczywistej. Niektórzy utrzymywali pogląd, że nieskończoność jest abstrakcją, która nie jest matematycznie uzasadniona, i zaprzeczali jej istnieniu. Matematycy z trzech głównych szkół myślenia ( konstruktywizmu i jego dwóch odgałęzień, intuicjonizmu i finizmu ) przeciwstawiali się teoriom Cantora w tej materii. Dla konstruktywistów, takich jak Kronecker, to odrzucenie rzeczywistej nieskończoności wynika z fundamentalnej niezgody z ideą, że dowody niekonstruktywne, takie jak argument diagonalny Cantora, są wystarczającym dowodem na istnienie czegoś, utrzymując, że wymagane są dowody konstruktywne . Intuicjonizm odrzuca również ideę, że rzeczywista nieskończoność jest wyrazem jakiejkolwiek rzeczywistości, ale podejmuje decyzję inną drogą niż konstruktywizm. Po pierwsze, argument Cantora opiera się na logice, aby udowodnić istnienie liczb nieskończonych jako rzeczywistego bytu matematycznego, podczas gdy intuicjoniści utrzymują, że bytów matematycznych nie można sprowadzić do zdań logicznych, wywodzących się zamiast tego z intuicji umysłu. Po drugie, samo pojęcie nieskończoności jako wyrazu rzeczywistości jest w intuicjonizmie niedozwolone, ponieważ ludzki umysł nie może intuicyjnie skonstruować nieskończonego zbioru. Matematycy, tacy jak L.E.J. Brouwer, a zwłaszcza Henri Poincaré, przyjęli stanowisko intuicjonistyczne przeciwko pracy Cantora. Wreszcie, ataki Wittgensteina były finitystyczne: uważał, że diagonalna argumentacja Cantora połączyła intencję zbioru liczb kardynalnych lub rzeczywistych z jego rozszerzeniem , łącząc w ten sposób pojęcie reguł generowania zbioru z rzeczywistym zbiorem.

Niektórzy teologowie chrześcijańscy postrzegali dzieło Cantora jako wyzwanie dla wyjątkowości absolutnej nieskończoności w naturze Boga. W szczególności myśliciele neotomistyczni postrzegali istnienie rzeczywistej nieskończoności, która składała się z czegoś innego niż Bóg, jako zagrażające „wyłącznemu roszczeniu Boga do najwyższej nieskończoności”. Cantor mocno wierzył, że pogląd ten jest błędną interpretacją nieskończoności i był przekonany, że teoria mnogości może pomóc naprawić ten błąd: „... gatunki pozaskończone są tak samo do dyspozycji intencji Stwórcy i Jego absolutnej nieograniczonej woli, jak są liczby skończone”.

Cantor wierzył również, że jego teoria liczb nieskończonych jest sprzeczna zarówno z materializmem, jak i determinizmem  – i był zszokowany, gdy zdał sobie sprawę, że jest jedynym wykładowcą w Halle, który nie trzymał się deterministycznych przekonań filozoficznych.

Dla Cantora ważne było, aby jego filozofia dostarczała „organicznego wyjaśnienia” natury, aw Grundlagen z 1883 r. stwierdził, że takie wyjaśnienie może nastąpić tylko dzięki wykorzystaniu zasobów filozofii Spinozy i Leibniza. Wysuwając te twierdzenia, Cantor mógł być pod wpływem FA Trendelenburga , na którego wykłady uczęszczał w Berlinie, a Cantor z kolei stworzył łaciński komentarz do I księgi Etyki Spinozy . FA Trendelenburg był również egzaminatorem Habilitacji Kantora .

W 1888 roku Cantor opublikował korespondencję z kilkoma filozofami na temat filozoficznych implikacji jego teorii mnogości. W szeroko zakrojonej próbie przekonania innych chrześcijańskich myślicieli i autorytetów do przyjęcia jego poglądów, Cantor korespondował z filozofami chrześcijańskimi, takimi jak Tilman Pesch i Joseph Hontheim , a także z teologami, takimi jak kardynał Johann Baptist Franzelin , który kiedyś odpowiedział, zrównując teorię ponadskończoności. liczby z panteizmem . Kantor wysłał nawet jeden list bezpośrednio do samego papieża Leona XIII i zaadresował do niego kilka broszur.

Filozofia Cantora na temat natury liczb doprowadziła go do potwierdzenia wiary w wolność matematyki do zakładania i dowodzenia pojęć poza sferą zjawisk fizycznych, jako wyrażeń w wewnętrznej rzeczywistości. Jedynym ograniczeniem tego systemu metafizycznego jest to, że wszystkie pojęcia matematyczne muszą być pozbawione wewnętrznej sprzeczności i wynikają z istniejących definicji, aksjomatów i twierdzeń. Przekonanie to podsumowuje jego stwierdzenie, że „istotą matematyki jest jej wolność”. Te idee są podobne do idei Edmunda Husserla , którego Cantor poznał w Halle.

Tymczasem sam Cantor był zaciekle przeciwnikiem nieskończenie małych , opisując je zarówno jako „obrzydliwość”, jak i „bacillus cholery matematyki”.

Praca Cantora z 1883 r. ujawnia, że ​​doskonale zdawał sobie sprawę z opozycji, na którą napotykały jego idee: „…Zdaję sobie sprawę, że w tym przedsięwzięciu stawiam się w pewnej opozycji do powszechnie panujących poglądów na temat matematycznej nieskończoności i do często bronionych opinii na temat przyrody. liczb."

Dużo miejsca poświęca więc uzasadnieniu swojej wcześniejszej pracy, twierdząc, że pojęcia matematyczne można swobodnie wprowadzać, o ile są one wolne od sprzeczności i definiowane w terminach pojęć wcześniej przyjętych. Cytuje również Arystotelesa, Kartezjusza , George'a Berkeleya , Gottfrieda Leibniza i Bernarda Bolzano o nieskończoności. Zamiast tego zawsze zdecydowanie odrzucał filozofię Kanta , zarówno w zakresie filozofii matematyki, jak i metafizyki. Podzielał motto B. Russella „Kant czy Cantor” i określił Kanta jako „tam sofistycznego Filistyna, który tak mało znał matematykę”.

Pochodzenie Kantora

Tytuł na tablicy pamiątkowej (w języku rosyjskim): „W tym budynku urodził się i mieszkał od 1845 do 1854 wielki matematyk i twórca teorii mnogości Georg Cantor”, Wyspa Wasiljewska , Sankt-Petersburg.

Dziadkowie ze strony ojca Cantora pochodzili z Kopenhagi i uciekli do Rosji przed przerwami wojen napoleońskich . Jest bardzo mało bezpośrednich informacji na ich temat. Ojciec Kantora, Georg Waldemar Cantor, kształcił się w misji luterańskiej w Petersburgu, a korespondencja z synem ukazuje ich obu jako pobożnych luteran. Niewiele wiadomo na pewno o pochodzeniu i wykształceniu Georga Waldemara. Matka Kantora, Maria Anna Böhm, była Austro-Węgierką urodzoną w Petersburgu i ochrzczoną katolikiem ; po ślubie przeszła na protestantyzm . Istnieje jednak list od brata Cantora, Ludwika do ich matki, stwierdzający:

Mögen wir zehnmal von Juden abstammen und ich im Princip noch so sehr für Gleichberechtigung der Hebräer sein, im socialen Leben sind mir Christen lieber ...

(„Nawet gdybyśmy byli dziesięciokrotnie potomkami Żydów i chociaż mogę być w zasadzie całkowicie za równymi prawami dla Hebrajczyków, w życiu społecznym wolę chrześcijan…”), co można by odczytać jako sugestię, że miała żydowskie pochodzenie.

Według biografów Erica Temple Bella , Cantor był pochodzenia żydowskiego, chociaż oboje rodzice zostali ochrzczeni. W artykule z 1971 roku zatytułowanym „Towards a Biography of Georg Cantor” brytyjski historyk matematyki Ivor Grattan-Guinness wspomina ( Annals of Science 27, s. 345–391, 1971), że nie był w stanie znaleźć dowodów na żydowskie pochodzenie. (Stwierdza również, że żona Kantora, Yally Guttmann, była Żydówką).

W liście napisanym do Paula Tannery'ego w 1896 r. (Paul Tannery, Memoires Scientifique 13 Correspondence, Gauthier-Villars, Paryż, 1934, s. 306), Cantor stwierdza, że ​​jego dziadkowie ze strony ojca byli członkami społeczności Żydów sefardyjskich w Kopenhadze. W szczególności, opisując swojego ojca, Cantor stwierdza: „Er ist aber in Kopenhagen geboren, von israelitischen Eltern, die der dortigen portugisischen Judengemeinde...” („Urodził się w Kopenhadze z żydowskich (dosł. „Izraelickich”) rodziców z lokalna społeczność portugalsko-żydowska). Ponadto, stryjeczny dziadek Cantora ze strony matki, węgierski skrzypek Josef Böhm , został opisany jako Żyd, co może sugerować, że matka Cantora przynajmniej częściowo pochodziła z węgierskiej społeczności żydowskiej.

W liście do Bertranda Russella Cantor opisał swoje pochodzenie i postrzeganie siebie w następujący sposób:

Ani mój ojciec, ani moja matka nie byli krwi niemieckiej, pierwsza była Duńczykiem, urodzona w Kopenhadze, moja matka pochodzenia austriacko-węgierskiego. Musi pan wiedzieć, że nie jestem zwykłym Germainem , ponieważ urodziłem się 3 marca 1845 w Saint Peterborough, stolicy Rosji, ale pojechałem z moim ojcem i matką oraz braćmi i siostrą w wieku jedenastu lat w roku 1856 , do Niemiec.

W latach trzydziestych XX wieku były udokumentowane oświadczenia, które podważały to żydowskie pochodzenie:

Częściej [tj. niż pochodzenie matki] dyskutowano o tym, czy Georg Cantor był pochodzenia żydowskiego. O tym informuje zawiadomienie Duńskiego Instytutu Genealogicznego w Kopenhadze z 1937 r. dotyczące jego ojca: „Zaświadcza się niniejszym, że Georg Woldemar Cantor, ur. 1809 lub 1814, nie figuruje w księgach gminy żydowskiej, a że zupełnie bez wątpienia nie był Żydem…”

Biografie

Do lat 70. głównymi publikacjami naukowymi na temat Cantora były dwie krótkie monografie Arthura Moritza Schönfliesa (1927) – głównie korespondencja z Mittagiem-Lefflerem – i Fraenkla (1930). Obaj byli w drugiej i trzeciej ręce; żaden z nich nie miał wiele na swoim życiu osobistym. Lukę tę w dużej mierze wypełniła książka Erica Temple BellaMen of Mathematics” (1937), którą jeden ze współczesnych biografów Cantora opisuje jako „być może najbardziej poczytną współczesną książkę o historii matematyki ”; i jako „jeden z najgorszych”. Bell przedstawia relacje Cantora z ojcem jako Edypal , różnice Cantora z Kroneckerem jako kłótnię między dwoma Żydami, a szaleństwo Cantora jako romantyczną rozpacz z powodu niepowodzenia w uzyskaniu akceptacji dla swojej matematyki. Grattan-Guinness (1971) stwierdził, że żadne z tych twierdzeń nie było prawdziwe, ale można je znaleźć w wielu książkach z tamtego okresu ze względu na brak jakiejkolwiek innej narracji. Istnieją inne legendy, niezależne od Bella – w tym ta, która nazywa ojca Cantora podrzutkiem, przywiezionym do Petersburga przez nieznanych rodziców. Krytyka książki Bella zawarta jest w biografii Josepha Daubena . Pisze Dauben:

Cantor poświęcił część swojej najbardziej oczerniającej korespondencji, a także część Beiträge , atakowaniu tego, co w pewnym momencie określił jako „ nieskończenie małe bakterie cholery matematyki”, które rozprzestrzeniło się z Niemiec dzięki pracy Thomae , du Bois Reymond. i Stolza , aby zarażać włoską matematykę... Każda akceptacja nieskończenie małych koniecznie oznaczała, że ​​jego własna teoria liczb była niekompletna. Tak więc przyjęcie dzieła Thomae, du Bois-Reymonda, Stolza i Veronese było zaprzeczeniem doskonałości własnej twórczości Cantora. Zrozumiałe jest, że Cantor rozpoczął gruntowną kampanię, aby w każdy możliwy sposób zdyskredytować pracę Veronese.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Bibliografia

Starsze źródła o życiu Cantora należy traktować z ostrożnością. Patrz sekcja § Biografie powyżej.

Literatura podstawowa w języku angielskim

Literatura podstawowa w języku niemieckim

Literatura wtórna

  • Aczel, Amir D. (2000). Tajemnica Alefu: Matematyka, Kabała i Poszukiwanie Nieskończoności . New York: Four Walls Eight Windows Publishing.. ISBN  0-7607-7778-0 . Popularne ujęcie nieskończoności, w którym często pojawia się Cantor.
  • Dauben, Joseph W. (czerwiec 1983). „Georg Cantor i początki teorii mnogości nieskończonej”. Naukowy Amerykanin . 248 (6): 122–131. Kod Bibcode : 1983SciAm.248f.122D . doi : 10.1038/scientificamerican0683-122 .
  • Ferreiros, José (2007). Labirynt myśli: historia teorii mnogości i jej rola w myśli matematycznej . Bazylea, Szwajcaria: Birkhäuser.. ISBN  3-7643-8349-6 Zawiera szczegółowe omówienie wkładu Cantora i Dedekinda w teorię mnogości.
  • Halmos, Paweł (1998) [1960]. Naiwna teoria zbiorów . Nowy Jork i Berlin: Springer.. ISBN  3-540-90092-6
  • Hilbert, Dawid (1926). „Über das Unendliche” . Matematyka Annalen . 95 : 161-190. doi : 10.1007/BF01206605 . S2CID  121888793 .
  • Wzgórze, Kolorado; Rosado Haddock, GE (2000). Husserl czy Frege? Znaczenie, obiektywizm i matematyka . Chicago: Sąd Otwarty.. ISBN  0-8126-9538-0 Trzy rozdziały i 18 pozycji indeksu na temat Cantor.
  • Meschkowski, Herbert (1983). Georg Cantor, Leben, Werk und Wirkung (Georg Cantor, Życie, praca i wpływy, w języku niemieckim) . Vieweg, Brunszwik.
  • Newstead, Anna (2009). „Cantor on Infinity in Nature, Number, and the Divine Mind” [1] , American Catholic Philosophical Quarterly , 83 (4): 532–553, https://doi.org/10.5840/acpq200983444 . Z uznaniem dla pionierskiej pracy historycznej Daubena, artykuł ten szczegółowo omawia stosunek Cantora do filozofii Spinozy i Leibniza oraz jego zaangażowanie w Panteismusstreit . Pokrótce wspomina się o nauce Cantora z FATrendelenburga.
  • Penrose, Roger (2004). Droga do rzeczywistości . Alfred A. Knopf.. ISBN  0-679-77631-1 Rozdział 16 ilustruje, jak myślenie Kantora intryguje czołowego współczesnego fizyka teoretycznego .
  • Rucker, Rudy (2005) [1982]. Nieskończoność i umysł . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton.. ISBN  0-553-25531-2 Porusza tematy podobne do Aczel, ale bardziej szczegółowo.
  • Rodych, Wiktor (2007). „Filozofia matematyki Wittgensteina” . W Edward N. Zalta (red.). Encyklopedia Filozofii Stanforda . Laboratorium Badawcze Metafizyki, Uniwersytet Stanforda..
  • Leonida Lazzari, Nieskończoność Kantora . Editrice Pitagora, Bolonia, 2008.

Zewnętrzne linki