Grawitacyjna dylatacja czasu - Gravitational time dilation

Część serii artykułów na temat
Ogólna teoria względności
${\ Displaystyle G_ {\ mu \ nu} + \ Lambda g_ {\ mu \ nu} = {\ Frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T_ {\ mu \ nu}}$
Wprowadzenie Historia Sformułowanie matematyczne Testy
Idee fundamentalne Zasada względności Teoria względności Kowariancja ogólna Jednoczesność Względność równoczesności Ruch względny Zdarzenie Ramy Odniesienia Inercyjny układ odniesienia Masa Masa bezwładności Ramka odpoczynku Rama środka pędu Krzywizna Geodezyjne Geon Zasada równoważności Msza w ogólnej teorii względności Równoważność masy i energii Niezmienny Masa niezmienna Symetrie czasoprzestrzeni Szczególna teoria względności Podwójnie szczególna teoria względności de Sitter niezmienna szczególna teoria względności Względność skali Prędkość światła Pochodna czasu Odpowiedni czas Właściwa długość Skrócenie długości Akcja na odległość Zasada lokalności Geometria Riemanna Stan energetyczny
Zjawiska Grawitoelektromagnetyzm Problem Keplera Powaga Pole grawitacyjne Studnia grawitacyjna Soczewkowanie grawitacyjne Fale grawitacyjne Grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni Przesunięcie ku czerwieni Przesunięcie niebieskie Dylatacja czasu Grawitacyjna dylatacja czasu Opóźnienie czasowe Shapiro Potencjał grawitacyjny Kompresja grawitacyjna Zapaść grawitacyjna Przeciąganie ramek Efekt geodezyjny Pozorny horyzont Horyzont zdarzeń Osobliwość grawitacyjna Naga osobliwość Czarna dziura Biała dziura Czas, przestrzeń Strzałka czasu Stożek światła Linia światowa Przestrzeń trójwymiarowa Przestrzeń czterowymiarowa Przestrzeń Czas Kolektor Gładki kolektor Rozmaitość Riemanna Przestrzeń konfiguracyjna Przestrzeń stanów Przestrzeń fazowa Przestrzeń Hilberta Przestrzeń euklidesowa Przestrzeń topologiczna Wada topologiczna Diagramy czasoprzestrzeni Czasoprzestrzeń Minkowskiego Skalar Lorentza Zamknięta krzywa podobna do czasu (CTC) Tunel czasoprzestrzenny Tunel czasoprzestrzenny Ellisa
Równania Formalizmy Równania Zlinearyzowana grawitacja Równania pola Einsteina Friedmann Geodezja Mathisson–Papapetrou–Dixon Hamilton-Jacobi-Einstein Niezmiennik krzywizny (ogólna teoria względności) Transformacja Lorentza Rozmaitość Lorentza Globalnie rozmaitość hiperboliczna Warunki przyczynowe Struktura przyczynowa Formalizmy ADM BSSN Newman-Penrose Post-Newtonowski Zaawansowana teoria Teoria otrębów-Dicke'a Hipoteza kosmicznej cenzury Teoria Kaluzy-Kleina Grawitacja kwantowa Supergrawitacja
Rozwiązania Dysk relatywistyczny Schwarzschild ( wnętrze ) Reissner-Nordström Godel Kerra Kerr–Newman Kasner Lemaître–Tolman Taub-NUT Milne Robertson-Walker pp-fala van Stockum kurz Weyl–Lewis–Papapetrou Rozwiązanie próżniowe
Twierdzenia Twierdzenie Birkhoffa Twierdzenie Gerocha o dzieleniu Twierdzenie Goldberga-Sachsa Twierdzenie Lovelocka Twierdzenie o braku włosów Twierdzenia Penrose'a-Hawkinga o osobliwościach Twierdzenie o dodatniej energii
Naukowcy Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschilda de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Godel Kołodziej Robertson Bardeen Piechur Kerra Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Rachaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nowy człowiek Yau Thorne inni
v t mi

Szczególna teoria względności
Zasada względności Teoria względności Podwójnie szczególna teoria względności de Sitter niezmienna szczególna teoria względności Ogólna teoria względności
Podwaliny Postulaty szczególnej teorii względności Kowariancja ogólna Jednoczesność Względność równoczesności Ruch względny Zdarzenie Ramy Odniesienia Inercyjny układ odniesienia Masa Masa bezwładności Niezmienny Ramka odpoczynku Rama środka pędu Prędkość światła równania Maxwella Transformacja Lorentza
Konsekwencje Dylatacja czasu Grawitacyjna dylatacja czasu Masa relatywistyczna Równoważność masy i energii Odpowiedni czas Właściwa długość Skrócenie długości Akcja na odległość Zasada lokalności Względność równoczesności Relatywistyczny efekt Dopplera Precesja Tomasza Dysk relatywistyczny Paradoks statku kosmicznego Bella Paradoks Ehrenfesta
Czas, przestrzeń Strzałka czasu Stożek światła Linia światowa Przestrzeń trójwymiarowa Przestrzeń czterowymiarowa Przestrzeń Czas Kolektor Gładki kolektor Rozmaitość Riemanna Przestrzeń konfiguracyjna Przestrzeń stanów Przestrzeń fazowa Przestrzeń Hilberta Przestrzeń euklidesowa Przestrzeń topologiczna Wada topologiczna Diagramy czasoprzestrzeni Czasoprzestrzeń Minkowskiego Zamknięta krzywa podobna do czasu (CTC) Tunel czasoprzestrzenny Tunel czasoprzestrzenny Ellisa
Dynamika Odpowiedni czas Masa właściwa Skalar Lorentza 4-pędu
Historia Prekursory Względność Galileusza Transformacja Galileusza Teorie eteru
Ludzie Einstein Sommerfeld Michelson Morley FitzGerald Herglotz Lorentz Poincaré Minkowskiego Fizeau Abraham Urodzony Planck von Laue Ehrenfest Tołman Dirac
Alternatywne sformułowania szczególnej teorii względności
v t mi

Grawitacyjna dylatacja czasu jest formą dylatacji czasu , rzeczywistej różnicy czasu, jaki upłynął między dwoma zdarzeniami, mierzonym przez obserwatorów znajdujących się w różnych odległościach od grawitującej masy . Im niższy potencjał grawitacyjny (im bliżej źródła grawitacji znajduje się zegar), tym wolniej upływa czas, przyspieszając wraz ze wzrostem potencjału grawitacyjnego (oddalanie się zegara od źródła grawitacji). Albert Einstein pierwotnie przewidział ten efekt w swojej teorii względności i od tego czasu został on potwierdzony testami ogólnej teorii względności .

Wykazano to, zauważając, że zegary atomowe na różnych wysokościach (a tym samym o różnym potencjale grawitacyjnym) ostatecznie pokażą różne czasy. Efekty wykryte w takich ziemskich eksperymentach są niezwykle małe, a różnice mierzone są w nanosekundach . W stosunku do wieku Ziemi w miliardach lat, jądro Ziemi jest faktycznie 2,5 roku młodsze od powierzchni. Wykazanie większych efektów wymagałoby większych odległości od Ziemi lub większego źródła grawitacyjnego.

Grawitacyjna dylatacja czasu została po raz pierwszy opisana przez Alberta Einsteina w 1907 roku jako konsekwencja szczególnej teorii względności w przyspieszonych układach odniesienia. W ogólnej teorii względności uważa się, że jest to różnica w upływie właściwego czasu w różnych pozycjach, zgodnie z opisem tensora metrycznego czasoprzestrzeni. Istnienie grawitacyjnej dylatacji czasu zostało po raz pierwszy potwierdzone bezpośrednio w eksperymencie Pound-Rebka w 1959 roku, a później udoskonalone przez Gravity Probe A i inne eksperymenty.

Definicja

Zegary, które są daleko od masywnych ciał (lub przy wyższych potencjałach grawitacyjnych) działają szybciej, a zegary blisko masywnych ciał (lub przy niższych potencjałach grawitacyjnych) działają wolniej. Na przykład, uważa się całkowity czas rozpiętości Ziemi (4,6 miliardy lat), zestaw zegara geostacjonarnej pozycji na wysokości 9000 metrów nad poziomem morza, na przykład może w górnej Everestu ( wyeksponowany 8848  m), byłoby około 39 godzin przed zegarem ustawionym na poziomie morza. Dzieje się tak dlatego, że grawitacyjna dylatacja czasu przejawia się w przyspieszonych układach odniesienia lub, na mocy zasady równoważności , w polu grawitacyjnym masywnych obiektów.

Zgodnie z ogólną teorią względności masa bezwładna i masa grawitacyjna są takie same, a wszystkie przyspieszone układy odniesienia (takie jak jednostajnie obracający się układ odniesienia z odpowiednią dylatacją czasu) są fizycznie równoważne polu grawitacyjnemu o tej samej sile.

Rozważ rodzinę obserwatorów wzdłuż prostej „pionowej”, z których każdy doświadcza wyraźnej stałej siły g skierowanej wzdłuż tej linii (np. długi statek kosmiczny z przyspieszeniem, drapacz chmur, szyb na planecie). Niech będzie zależnością siły g od „wysokości”, współrzędnej wzdłuż wspomnianej linii. Równanie w odniesieniu do obserwatora bazowego w to ${\ Displaystyle g (h)}$${\ Displaystyle h = 0}$

${\ Displaystyle T_ {d} (h) = \ exp \ lewo [{\ Frac {1} {c ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {h} g (h ') dh '\ prawej] }$

gdzie jest całkowitą dylatacją czasu w odległej pozycji , jest zależnością siły g od "wysokości" , jest prędkością światła i oznacza potęgowanie przez e . ${\ Displaystyle T_ {d} (h)}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle g (h)}$${\ Displaystyle h}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \exp}$

Dla uproszczenia, w rodzinie obserwatorów Rindlera w płaskiej czasoprzestrzeni zależność byłaby

${\ Displaystyle g (h) = c ^ {2} / (H + h)}$

ze stałą , która daje ${\ Displaystyle H}$

${\ Displaystyle T_ {d} (h) = e ^ {\ ln (H + h) - \ ln H} = {\ tfrac {H + h} {H}}}$.

Z drugiej strony, gdy jest prawie stała i jest znacznie mniejsza niż , można również zastosować liniowe przybliżenie „słabego pola” . ${\displaystyle g}$${\displaystyle gh}$${\displaystyle c^{2}}$${\ Displaystyle T_ {d} = 1 + gh / c ^ {2}}$

Zobacz paradoks Ehrenfesta dla zastosowania tego samego wzoru do obracającego się układu odniesienia w płaskiej czasoprzestrzeni.

Poza nieobrotową sferą

Powszechne równanie używane do określenia grawitacyjnej dylatacji czasu pochodzi z metryki Schwarzschilda , która opisuje czasoprzestrzeń w pobliżu nieobrotowego, masywnego, sferycznie symetrycznego obiektu. Równanie to

${\ Displaystyle t_ {0}= t_ {f} {\ sqrt {1-{\ Frac {2GM} {rc ^ {2}}}}} = t_ {f} {\ sqrt {1-{\ Frac {r_ {s}}{r}}}}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {v_{e}^{2}}{c^{2}}}}}=t_{f}{ \sqrt {1-\beta _{e}^{2}}}<t_{f}}$

gdzie

• ${\displaystyle t_{0}}$ to właściwy czas pomiędzy dwoma zdarzeniami dla obserwatora znajdującego się blisko masywnej kuli, czyli głęboko w polu grawitacyjnym
• ${\displaystyle t_{f}}$to współrzędne czasu między zdarzeniami dla obserwatora znajdującego się w dowolnie dużej odległości od masywnego obiektu (przy założeniu, że oddalony obserwator używa współrzędnych Schwarzschilda , układu współrzędnych, w którym zegar znajdujący się w nieskończonej odległości od masywnej kuli tyka co sekundę na sekundę czasu współrzędnych, podczas gdy bliższe zegary tykałyby z mniejszą szybkością),
• ${\ Displaystyle G}$jest stałą grawitacyjną ,
• ${\ Displaystyle M}$to masa obiektu tworzącego pole grawitacyjne,
• ${\ Displaystyle r}$jest współrzędną radialną obserwatora w polu grawitacyjnym (ta współrzędna jest analogiczna do klasycznej odległości od środka obiektu, ale w rzeczywistości jest współrzędną Schwarzschilda; równanie w tej postaci ma rzeczywiste rozwiązania dla ),${\displaystyle r>r_{s}}$
• ${\displaystyle c}$to prędkość światła ,
• ${\ Displaystyle r_ {s} = 2GM/c ^ {2}}$jest promieniem Schwarzschilda od ,${\ Displaystyle M}$
• ${\ Displaystyle v_ {e} = {\ sqrt {\ Frac {2GM} {r}}}}$ to prędkość ucieczki, i
• ${\ Displaystyle \ beta _ {e} = v_ {e} / c}$ to prędkość ucieczki wyrażona jako ułamek prędkości światła c.

Aby to zilustrować, bez uwzględnienia skutków rotacji, bliskość studni grawitacyjnej Ziemi spowoduje, że zegar na powierzchni planety będzie gromadził się w ciągu jednego roku o około 0,0219 mniej sekundy niż zegar odległego obserwatora. Dla porównania zegar na powierzchni Słońca w ciągu jednego roku będzie gromadził o 66,4 sekundy mniej.

Orbity kołowe

W metryce Schwarzschilda swobodnie spadające obiekty mogą znajdować się na orbitach kołowych, jeśli promień orbity jest większy niż (promień sfery fotonowej ). Wzór na zegar w spoczynku podano powyżej; poniższy wzór podaje ogólną relatywistyczną dylatację czasu dla zegara na orbicie kołowej: ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}r_{s}}$

${\displaystyle t_{0}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {3}{2}}\!\cdot \!{\frac {r_{s}}{r}}}}\ .}$

Oba dylatacje pokazano na poniższym rysunku.

Ważne cechy grawitacyjnej dylatacji czasu

• Zgodnie z ogólną teorią względności grawitacyjna dylatacja czasu współistnieje z istnieniem przyspieszonego układu odniesienia . Dodatkowo wszystkie zjawiska fizyczne w podobnych okolicznościach podlegają dylatacji czasu w równym stopniu zgodnie z zasadą równoważności stosowaną w ogólnej teorii względności .
• Prędkość światła w lokacji jest zawsze równa c według obserwatora, który tam jest. Oznacza to, że każdemu nieskończenie małemu obszarowi czasoprzestrzeni można przypisać swój własny właściwy czas, a prędkość światła zgodnie z właściwym czasem w tym obszarze wynosi zawsze c . Dzieje się tak niezależnie od tego, czy dany region jest zajęty przez obserwatora. Czas opóźnienia może być mierzona za fotonów emitowanych z Ziemi łuk pobliżu Sun podróży Wenus, a następnie powrócić do ziemi wzdłuż podobnej ścieżce. Nie ma tu naruszenia stałości prędkości światła, ponieważ każdy obserwator obserwujący prędkość fotonów w swoim regionie uzna, że ​​prędkość tych fotonów wynosi c , podczas gdy prędkość, z jaką obserwujemy światło przemieszcza się na skończone odległości w okolicy Słońca będzie się różnić od c .
• Jeśli obserwator jest w stanie śledzić światło w odległym, odległym miejscu, które przechwytuje odległego, rozciągniętego w czasie obserwatora bliżej masywniejszego ciała, ten pierwszy obserwator śledzi, że zarówno zdalne światło, jak i ten oddalony w czasie obserwator mają wolniejszy zegar czasu niż inne światło, które dociera do pierwszego obserwatora w punkcie c , tak jak każde inne światło, które pierwszy obserwator naprawdę może obserwować (we własnej lokalizacji). Jeśli drugie, odległe światło w końcu przechwyci pierwszego obserwatora, ono również zostanie zmierzone w punkcie c przez pierwszego obserwatora.
• Grawitacyjna dylatacja czasu w studni grawitacyjnej jest równa dylatacji czasu prędkości dla prędkości, która jest potrzebna do ucieczki z tej studni grawitacyjnej (zakładając, że metryka ma postać , tj. jest niezmienna w czasie i nie ma wyrazów „ruchu” ). Aby to pokazać, można zastosować twierdzenie Noether do ciała, które swobodnie wpada do studni od nieskończoności. Wtedy niezmienność czasowa metryki implikuje zachowanie wielkości , gdzie jest składową czasową 4-prędkości ciała. W nieskończoności , czyli , lub we współrzędnych dostosowanych do lokalnej dylatacji czasu , ; to znaczy, że dylatacja czasu spowodowana nabytą prędkością (mierzoną w pozycji spadającego ciała) jest równa grawitacyjnej dylatacji czasu w studni, do której wpadło ciało. Stosując ten argument bardziej ogólnie, otrzymujemy, że (przy tych samych założeniach dotyczących metryki) względna grawitacyjna dylatacja czasu między dwoma punktami jest równa dylatacji czasu spowodowanej prędkością potrzebną do wznoszenia się z niższego punktu do wyższego.${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle g = (dt/T (x)) ^ {2}-g_ {spacja}}$${\displaystyle dxdt}$${\ Displaystyle g (v, dt) = v ^ {0} / T ^ {2}}$${\ Displaystyle v ^ {0}}$ ${\displaystyle v}$${\displaystyle g(v,dt)=1}$${\ Displaystyle v ^ {0} = T ^ {2}}$${\displaystyle v_{loc}^{0}=T}$

Eksperymentalne potwierdzenie

Zegary satelitarne są spowalniane przez prędkość orbitalną, ale przyspieszane przez odległość od studni grawitacyjnej Ziemi.

Grawitacyjna dylatacja czasu została eksperymentalnie zmierzona za pomocą zegarów atomowych w samolotach, takich jak eksperyment Hafele-Keating . Zegary na pokładach samolotów były nieco szybsze niż zegary na ziemi. Efekt jest na tyle znaczący, że sztuczne satelity Globalnego Systemu Pozycjonowania wymagają skorygowania swoich zegarów.

Dodatkowo w laboratorium zweryfikowano doświadczalnie dylatacje czasu spowodowane różnicami wysokości poniżej jednego metra.

Grawitacyjna dylatacja czasu w postaci grawitacyjnego przesunięcia ku czerwieni została również potwierdzona eksperymentem Pounda-Rebki oraz obserwacjami widm białego karła Syriusza B .

Grawitacyjna dylatacja czasu została zmierzona w eksperymentach z sygnałami czasu wysyłanymi do iz lądownika Viking 1 Mars.

Zobacz też

• Hipoteza zegara
• Grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni
• Eksperyment Hafele-Keating
• Prędkość względna dylatacja czasu
• Paradoks bliźniaków
• Czas współrzędnych barycentrycznych

Bibliografia

Dalsza lektura

• Grøn, Øyvind; Nass, Arne (2011). Teoria Einsteina: rygorystyczne wprowadzenie dla niewprawnych matematycznie . Skoczek. Numer ISBN 9781461407058.