Wielki krąg -Great circle

Koło wielkie dzieli kulę na dwie równe półkule.

W matematyce koło wielkie lub ortodroma jest okrągłym przecięciem kuli i płaszczyzny przechodzącej przez środek kuli .

Każdy łuk koła wielkiego jest geodezyjną sfery, tak więc koła wielkie w geometrii sferycznej są naturalnym analogiem linii prostych w przestrzeni euklidesowej . Dla dowolnej pary odrębnych punktów na kuli, które nie są antypodami , istnieje jednoznaczny okrąg wielki przechodzący przez oba. (Każde koło wielkie przechodzące przez dowolny punkt przechodzi również przez jego punkt antypodalny, więc istnieje nieskończenie wiele kół wielkich przechodzących przez dwa punkty antypodalne). Krótszy z dwóch łuków koła ortogonalnego między dwoma różnymi punktami na kuli nazywany jest łukiem mniejszym , a jest najkrótszą drogą powierzchniową między nimi. Jego długość łuku jest odległością koła ortogonalnego między punktami ( wewnętrzną odległością na kuli) i jest proporcjonalna do miary kąta środkowego utworzonego przez dwa punkty i środek kuli.

Koło wielkie to największe koło, jakie można narysować na dowolnej kuli. Każda średnica dowolnego koła wielkiego pokrywa się ze średnicą kuli, a zatem każde koło wielkie jest koncentryczne z kulą i ma ten sam promień . Każdy inny okrąg kuli nazywany jest małym okręgiem i jest przecięciem kuli z płaszczyzną nieprzechodzącą przez jej środek. Małe kółka są analogiem sferycznej geometrii kół w przestrzeni euklidesowej.

Każde koło w przestrzeni euklidesowej 3 jest kołem wielkim o dokładnie jednej kuli.

Dysk ograniczony przez wielkie koło nazywamy wielkim dyskiem : jest to przecięcie kuli i płaszczyzny przechodzącej przez jej środek. W wyższych wymiarach wielkie koła na n -sferze są przecięciami n -sfery z 2-płaszczyznami, które przechodzą przez początek w przestrzeni euklidesowej R n + 1 .

Wyprowadzenie najkrótszych ścieżek

Aby udowodnić, że łuk mniejszy koła wielkiego jest najkrótszą drogą łączącą dwa punkty na powierzchni kuli, można zastosować do niego rachunek wariacyjny .

Rozważmy klasę wszystkich regularnych ścieżek z punktu do innego punktu . Wprowadź współrzędne sferyczne tak, aby pokrywały się z biegunem północnym. Dowolną krzywą na kuli, która nie przecina żadnego bieguna, z wyjątkiem ewentualnie punktów końcowych, można sparametryzować za pomocą

pod warunkiem, że pozwolimy na przyjęcie dowolnych wartości rzeczywistych. Nieskończenie mała długość łuku w tych współrzędnych wynosi

Zatem długość krzywej od do jest funkcjonałem krzywej określonej przez

Zgodnie z równaniem Eulera-Lagrange'a , jest zminimalizowane wtedy i tylko wtedy, gdy

,

gdzie jest -niezależną stałą i

Z pierwszego równania tych dwóch można to wywnioskować

.

Całkując obie strony i biorąc pod uwagę warunek brzegowy, rzeczywiste rozwiązanie równa się zero. Zatem i może mieć dowolną wartość z przedziału od 0 do , wskazującą, że krzywa musi leżeć na południku kuli. We współrzędnych kartezjańskich jest to

która jest płaszczyzną przechodzącą przez początek, tj. środek kuli.

Aplikacje

Niektóre przykłady wielkich kół na sferze niebieskiej obejmują horyzont niebieski , równik niebieski i ekliptykę . Koła wielkie są również używane jako dość dokładne przybliżenia geodezyjne na powierzchni Ziemi do nawigacji lotniczej lub morskiej (chociaż nie jest to idealna kula ), a także na kulistych ciałach niebieskich .

Równik wyidealizowanej ziemi jest kołem wielkim, a każdy południk i jego przeciwny południk tworzą koło wielkie. Kolejnym wielkim kołem jest ten, który dzieli półkulę lądową i wodną . Koło wielkie dzieli Ziemię na dwie półkule , a jeśli koło wielkie przechodzi przez punkt, to musi przechodzić przez punkt na antypodach .

Transformata Funk integruje funkcję wzdłuż wszystkich wielkich kręgów kuli.

Zobacz też

Bibliografia

Linki zewnętrzne