Twierdzenie Greena - Green's theorem

W wektorze rachunku, twierdzenie Greena odnosi się całkę linii wokół prostej zamkniętą krzywą C do całki podwójne nad płaszczyzną obszaru D ograniczonego C . Jest to dwuwymiarowy przypadek szczególny twierdzenia Stokesa .

Twierdzenie

Niech C będzie zorientowaną dodatnio , odcinkowo gładką , prostą zamkniętą krzywą na płaszczyźnie i niech D będzie obszarem ograniczonym przez C . Jeśli L i M są funkcjami ( x , y ) zdefiniowanymi na otwartym obszarze zawierającym D i mającym tam ciągłe częściowe pochodne , to

${\displaystyle {\scriptstyle C}}$ ${\ Displaystyle (L \, dx + M \, dy) = \ iint _ {D} \ lewo ({\ Frac {\ częściowy M} {\ częściowy x}} - {\ Frac {\ częściowy L} {\ częściowy y}}\prawo)dx\,dy}$

gdzie ścieżka integracji wzdłuż C jest przeciwna do ruchu wskazówek zegara .

W fizyce twierdzenie Greena znajduje wiele zastosowań. Jeden rozwiązuje dwuwymiarowe całki przepływu, stwierdzając, że suma płynu wypływającego z objętości jest równa całkowitemu wypływowi zsumowanemu wokół otaczającego obszaru. W geometrii płaskiej , aw szczególności w pomiarach powierzchni , twierdzenie Greena może być użyte do określenia powierzchni i środka ciężkości figur płaskich wyłącznie poprzez całkowanie po obwodzie.

Dowód, gdy D jest prostym regionem

Jeżeli D jest prostym typem obszaru z jego brzegiem składającym się z krzywych C ₁ , C ₂ , C ₃ , C ₄ , można wykazać połowę twierdzenia Greena.

Poniżej znajduje się dowód połowy twierdzenia dla uproszczonego obszaru D , obszaru typu I, w którym C ₁ i C ₃ są krzywymi połączonymi liniami pionowymi (prawdopodobnie o zerowej długości). Podobny dowód istnieje dla drugiej połowy twierdzenia, gdy D jest obszarem typu II, gdzie C ₂ i C ₄ są krzywymi połączonymi liniami poziomymi (znowu, prawdopodobnie o zerowej długości). Łącząc te dwie części, twierdzenie to jest w ten sposób udowodnione dla regionów typu III (definiowanych jako regiony, które są zarówno typu I, jak i typu II). Ogólny przypadek można następnie wywnioskować z tego szczególnego przypadku, rozkładając D na zbiór regionów typu III.

Jeśli można wykazać, że jeśli

${\ Displaystyle \ oint _ {C} L \, dx = \ iint _ {D} \ lewo (- {\ Frac {\ częściowy L} {\ częściowy Y}} \ prawej) DA}$

( 1 )

oraz

${\ Displaystyle \ oint _ {C} \ M \, dy = \ iint _ {D} \ lewo ({\ Frac {\ częściowy M} {\ częściowy x}} \ prawej) DA}$

( 2 )

są prawdziwe, to twierdzenie Greena następuje bezpośrednio dla regionu D. Możemy łatwo udowodnić ( 1 ) dla regionów typu I i ( 2 ) dla regionów typu II. Twierdzenie Greena następuje następnie dla regionów typu III.

Załóżmy, że region D jest regionem typu I i dlatego można go scharakteryzować, jak pokazano po prawej, przez

${\ Displaystyle D = \ {(x, y) \ mid a \ równoważnik x \ równoważnik b, g_ {1} (x) \ równoważnik r \ równoważnik g_ {2} (x) \}}$

gdzie g ₁ i g ₂ są funkcjami ciągłymi na [ a , b ]. Oblicz całkę podwójną w ( 1 ):

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ Iint _ {D} \ Frac {\ częściowy L} {\ częściowy y}} \ DA & = \ int _ {a} ^ {b} \ \ int _ {g_ {1}(x)}^{g_{2}(x)}{\frac {\częściowy L}{\częściowy y}}(x,y)\,dy\,dx\\&=\int _{ a}^{b}\left[L(x,g_{2}(x))-L(x,g_{1}(x))\right]\,dx.\end{aligned}}}$

( 3 )

Teraz oblicz całkę krzywoliniową w ( 1 ). C można przepisać jako sumę czterech krzywych: C ₁ , C ₂ , C ₃ , C ₄ .

Używając C ₁ , użyj równań parametrycznych : x = x , y = g ₁ ( x ), a ≤ x ≤ b . Następnie

${\ Displaystyle \ int _ {C_ {1}} L (x, y) \ dx = \ int _ {a} ^ {b} L (x, g_ {1} (x)) \ dx.}$

W C ₃ użyj równań parametrycznych: x = x , y = g ₂ ( x ), a ≤ x ≤ b . Następnie

${\ Displaystyle \ int _ {C_ {3}} L (x, y) \, dx = - \ int _ {- C_ {3}} L (x, y) \, dx = - \ int _ {a} ^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.}$

Całka po C ₃ jest zanegowana, ponieważ przebiega w kierunku ujemnym od b do a , ponieważ C jest zorientowane dodatnio (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Na C ₂ i C ₄ , x pozostaje stałe, co oznacza

${\ Displaystyle \ int _ {C_ {4}} L (x, y) \ dx = \ int _ {C_ {2}} L (x, y) \ dx = 0.}$

W związku z tym,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ int _ {C} L \ dx & = \ int _ {C_ {1}} L (x, y) \ dx + \ int _ {C_ {2}} L (x ,y)\,dx+\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx\\&=\int _{ a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.\end {wyrównany}}}$

( 4 )

Łącząc ( 3 ) z ( 4 ) otrzymujemy ( 1 ) dla rejonów typu I. Podobny zabieg daje ( 2 ) dla rejonów typu II. Łącząc te dwa elementy, otrzymujemy wynik dla regionów typu III.

Dowód na wyprostowane krzywe Jordana

Udowodnimy, co następuje

Twierdzenie. Pozwolić być naprawienia, pozytywnie zorientowanych Jordan krzywa w i niech oznaczają jego wewnętrzną regionu. Załóżmy, że są funkcjami ciągłymi o własności, która ma drugą pochodną cząstkową w każdym punkcie , ma pierwszą pochodną cząstkową w każdym punkcie , oraz że funkcje są całkowalne przez Riemanna nad . Następnie ${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle A, B: {\ overline {R}} \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle R}$${\displaystyle D_{1}B,D_{2}A:R\do \mathbb {R}}$${\ Displaystyle R}$

$${\ Displaystyle \ int _ {\ Gamma} A \ dx + B \ dy = \ int _ {R} \ lewo (D_ {1} B (x, y)-D_ {2} A (x, y) \prawo)\,d(x,y).}$$

Potrzebujemy następujących lematów, których dowody można znaleźć w:

Lemat 1 (Lemat dekompozycji). Załóżmy, że jest to prostowalna, dodatnio zorientowana krzywa Jordana w płaszczyźnie i niech będzie jej obszarem wewnętrznym. Dla każdej dodatniej prawdziwe , niech oznaczamy zbiór kwadratów w płaszczyźnie ograniczonego liniami , gdzie przebiega przez zbiór liczb całkowitych. Następnie w tym celu istnieje dekompozycja na skończoną liczbę nienakładających się podregionów w taki sposób, że ${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle \ delta}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta)}$${\displaystyle x=m\delta,y=m\delta}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle \ delta}$${\displaystyle {\overline {R}}}$

1. Każdy z podregionów zawartych w , powiedzmy , jest kwadratem od .${\ Displaystyle R}$${\displaystyle R_{1},R_{2},\ldots,R_{k}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta)}$
2. Każdy z pozostałych podregionów, powiedzmy , ma jako granicę prostowalną krzywą Jordana utworzoną przez skończoną liczbę łuków i części boków jakiegoś kwadratu z .${\ Displaystyle R_ {k + 1}, \ ldots, R_ {s}}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta)}$
3. Każdy z regionów granicznych może być zamknięty w kwadracie o długości krawędzi .${\ Displaystyle R_ {k + 1}, \ ldots, R_ {s}}$${\displaystyle 2\delta}$
4. Jeżeli jest dodatnio zorientowaną krzywą brzegową , to${\ Displaystyle \ Gamma _ {i}}$${\displaystyle R_{i}}$${\ Displaystyle \ Gamma = \ Gamma _ {1} + \ Gamma _ {2} + \ cdots + \ Gamma _ {s}.}$
5. Liczba obszarów przygranicznych jest nie większa niż , gdzie to długość .${\displaystyle sk}$${\ Displaystyle 4 \! \ lewo ({\ Frac {\ Lambda} {\ delta}} +1 \ po prawej)}$${\ Displaystyle \ Lambda}$${\ Displaystyle \ Gamma}$

Lemat 2. Niech będzie krzywą prostowalną w płaszczyźnie i niech będzie zbiorem punktów na płaszczyźnie, których odległość od (zakresu) wynosi co najwyżej . Zewnętrzna zawartość Jordanu w tym zestawie jest zadowalająca . ${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ Delta _ {\ Gamma} (h)}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle {\ overline {c}} \ \ \ Delta _ {\ Gamma} (h) \ równoważnik 2 h \ Lambda + \ pi h ^ {2}}$

Lemat 3. Niech będzie krzywą prostowalną i niech będzie funkcją ciągłą. Następnie ${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle f: {\ tekst {zakres}} \ Gamma \ do \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ lewo \ vert \ int _ {\ Gamma} f (x, y) \ dy \ prawo \ vert}$ oraz

${\ Displaystyle \ lewo \ vert \ int _ {\ Gamma} f (x, y) \ dx \ prawo \ vert}$są gdzie jest oscylacja na zakresie .${\ Displaystyle \ Leq {\ Frac {1} {2}} \ Lambda \ Omega _ {f}}$${\ Displaystyle \ Omega _ {f}}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle \ Gamma}$

Teraz jesteśmy w stanie udowodnić twierdzenie:

Dowód twierdzenia. Niech będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą. Przez ciągłości , i zwartości , biorąc pod uwagę , że istnieje taki, że gdy dwa punkty jest mniejsza od siebie, ich obrazów W mniej niż siebie. W tym celu rozważ rozkład podany w poprzednim lemie. Mamy ${\displaystyle \varepsilon}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\displaystyle {\overline {R}}}$${\ Displaystyle \ varepsilon > 0}$${\displaystyle 0<\delta <1}$${\displaystyle {\overline {R}}}$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\\delta}$${\ Displaystyle A, B}$${\displaystyle \varepsilon}$${\ Displaystyle \ delta}$

${\ Displaystyle \ int _ {\ Gamma} A \ dx + B \ dy = \ suma _ {i = 1} ^ {k} \ int _ {\ Gamma _ {i}} A \, dx + B \ ,dy\quad +\sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy.}$

Umieść . ${\ Displaystyle \ varphi: = D_ {1}B-D_ {2}A}$

Dla każdego krzywa jest kwadratem zorientowanym dodatnio, dla którego obowiązuje wzór Greena. Stąd ${\ Displaystyle i \ w \ {1, \ ldots, k \}}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {i}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {k} \ int _ {\ gamma _ {i}} A \ dx + B \ dy = \ suma _ {i = 1} ^ {k} \ int _{R_{i}}\varphi =\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\,\varphi .}$

Każdy punkt obszaru przygranicznego znajduje się w odległości nie większej niż od . Tak więc, jeśli jest unią wszystkich regionów przygranicznych, to ; stąd , przez Lemat 2. Zauważ, że ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\\delta}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K \ podzbiór \ Delta _ {\ Gamma} (2 {\ sqrt {2}} \ \ delta)}$${\ Displaystyle c (K) \ leq {\ overline {c}} \ \ Delta _ {\ Gamma} (2 {\ sqrt {2}} \ \ delta) \ leq 4 {\ sqrt {2}} \ ,\delta +8\pi \delta ^{2}}$

${\ Displaystyle \ int _ {R} \ varphi \, \, - \ int _ {\ bigcup _ {i = 1} ^ {k} R_ {i}} \ varphi = \ int _ {K} \ varphi.}$

To daje

${\ Displaystyle \ lewo \ vert \ suma _ {i = 1} ^ {k} \ int _ {\ Gamma _ {i}} A \ dx + B \ dy \ quad - \ int _ {R} \ varphi \right\vert \leq M\delta (1+\pi {\sqrt {2}}\,\delta ){\text{ dla niektórych }}M>0.}$

Równie dobrze możemy wybrać, aby RHS ostatniej nierówności było${\ Displaystyle \ delta}$${\displaystyle <\varepsilon.}$

Uwaga na początku tego dowodu wynika, że oscylacje i na każdego regionu przygranicznego wynosi co najwyżej . Mamy ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\displaystyle \varepsilon}$

${\ Displaystyle \ lewo \ vert \ suma _ {i = k + 1} ^ {s} \ int _ {\ gamma _ {i}} A \ dx + B \ dy \ po prawej \ vert \ leq {\ Frac {1}{2}}\varepsilon \sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}.}$

Według Lematu 1(iii),

${\ Displaystyle \ suma _ {i = k + 1} ^ {s} \ Lambda _ {i} \ leq \ Lambda + (4 \ delta) \, 4 \! \ lewo ({\ Frac {\ Lambda} {\ delta }}+1\prawo)\leq 17\Lambda +16.}$

Łącząc je, w końcu otrzymujemy

${\ Displaystyle \ lewo \ vert \ int _ {\ Gamma} A \ dx + B \ dy \ quad - \ int _ {R} \ varphi \ po prawej \ vert < C \ varepsilon,}$

dla niektórych . Ponieważ dotyczy to każdego , skończyliśmy. ${\displaystyle C>0}$${\ Displaystyle \ varepsilon > 0}$

Ważność pod różnymi hipotezami

Hipotezy ostatniego twierdzenia nie są jedynymi, w których formuła Greena jest prawdziwa. Innym powszechnym zestawem warunków jest:

Zakłada się, że funkcje są nadal ciągłe. Jednak teraz wymagamy, aby były różniczkowalne dla Frécheta w każdym punkcie . Oznacza to istnienie wszystkich pochodnych kierunkowych, w szczególności , gdzie, jak zwykle, jest kanoniczną uporządkowaną podstawą . Ponadto wymagamy, aby funkcja była całkowalna Riemanna na . ${\ Displaystyle A, B: {\ overline {R}} \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle D_ {e_ {i}} A =: D_ {i} A, D_ {e_ {i}} B =: D_ {i} B, \, i = 1,2}$${\displaystyle (e_{1},e_{2})}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\displaystyle D_{1}B-D_{2}A}$${\ Displaystyle R}$

W następstwie tego otrzymujemy twierdzenie całkujące Cauchy'ego dla prostowalnych krzywych Jordana:

Twierdzenie (Cauchy). Jeśli jest prostowalną krzywą Jordana w i jeśli jest ciągłym odwzorowaniem holomorficznym w całym obszarze wewnętrznym , to ${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\displaystyle f:{\text{zamknięcie obszaru wewnętrznego}}\gamma \to \mathbb {c}}$${\ Displaystyle \ Gamma}$

${\ Displaystyle \ int _ {\ Gamma} f = 0,}$

całka będąca całką złożoną po konturze.

Dowód. Płaszczyzna złożona uważamy za . Teraz zdefiniuj jako takie, że te funkcje są wyraźnie ciągłe. Wiadomo, że i są różniczkowalne Frécheta i spełniają równania Cauchy-Riemanna: . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle u, v: {\ overline {R}} \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y).}$${\ Displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle D_{1}v+D_{2}u=D_{1}u-D_{2}v={\text{funkcja zero}}}$

Teraz, analizując sumy użyte do zdefiniowania całki zespolonej konturowej, o której mowa, łatwo się zorientować, że

${\ Displaystyle \ int _ {\ Gamma } f = \ int _ {\ Gamma } u \ dx-v \ dy \ quad + i \ int _ {\ gamma } v \ dx + u \ dy}$

całki na RHS są zwykłymi całkami krzywoliniowymi. Uwagi te pozwalają nam zastosować twierdzenie Greena do każdej z tych całek krzywoliniowych, kończąc dowód.

Regiony wielokrotnie połączone

Twierdzenie. Niech będą dodatnio zorientowane prostowalne krzywe Jordana jako spełniające ${\ Displaystyle \ Gamma _ {0}, \ Gamma _ {1}, \ ldots, \ Gamma _ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ Gamma _ {i} \ podzbiór R_ {0}, & {\ tekst {jeśli}} 1 \ równoważnik i \ równoważnik n \ \ \ Gamma _ {i} \ podzbiór \ mathbb { R} ^{2}\setminus {\overline {R}}_{j},&{\text{if }}1\leq i,j\leq n{\text{ i }}i\neq j,\ koniec{wyrównany}}}$

gdzie jest wewnętrzny region . Pozwolić ${\displaystyle R_{i}}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {i}}$

${\ Displaystyle D = R_ {0} \ setminus ({\ overline {R}} _ {1} \ filiżanka {\ overline {R}} _ {2} \ filiżanka \ cdots \ filiżanka {\ overline {R}} _ {n}).}$

Załóżmy i są funkcjami ciągłymi, których ograniczeniem jest różniczkowalność Frécheta. Jeśli funkcja ${\ Displaystyle p: {\ overline {D}} \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle q: {\ overline {D}} \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle D}$

${\ Displaystyle (x, y) \ longmapsto {\ Frac {\ częściowy q} {\ częściowy e_ {1}}} (x, y) - {\ Frac {\ częściowy p} {\ częściowy e_ {2}}} (x,y)}$

jest przez Riemanna całkowalny przez , to ${\ Displaystyle D}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i \ int _ {\ Gamma _ {0}} p (x, y) \ dx + q (x, y) \ dy-\ suma _ {i = 1} ^ {n}\int _{\Gamma _{i}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy\\[5pt]={}&\int _{D}\lewo \{{\frac {\częściowy q}{\częściowy e_{1}}}(x,y)-{\frac {\częściowy p}{\częściowy e_{2}}}(x,y)\right\ }\,d(x,y).\end{wyrównany}}}$

Związek z twierdzeniem Stokesa

Twierdzenie Greena jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Kelvina-Stokesa , zastosowanego do regionu na płaszczyźnie. ${\displaystyle xy}$

Możemy poszerzyć pole dwuwymiarową w dziedzinie trójwymiarowej z oo składnika, który jest zawsze 0. Zapis F dla wektora funkcji -valued . Zacznij od lewej strony twierdzenia Greena: ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = (L, M, 0)}$

${\ Displaystyle \ oint _ {C} (L \ dx + M \ dy) = \ oint _ {C} (L, M, 0) \ cdot (dx, dy, dz) = \ oint _ {C} \mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .}$

Twierdzenie Kelvina-Stokesa:

${\ Displaystyle \ oint _ {C} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {r} = \ iint _ {S} \ nabla \ razy \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {\ kapelusz {n}} \ ,dS.}$

Powierzchnia to tylko obszar w płaszczyźnie , z normalną jednostką zdefiniowaną (zgodnie z konwencją), aby mieć dodatni składnik z w celu dopasowania definicji „dodatniej orientacji” dla obu twierdzeń. ${\displaystyle S}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ kapelusz {n}}}$

Wyrażenie wewnątrz całki staje się

${\ Displaystyle \ nabla \ razy \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ kapelusz {n}} = \ lewo [\ lewo ({\ Frac {\ częściowy 0} {\ częściowy Y}} - {\ Frac {\ częściowy M}{\częściowy z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\częściowy L}{\częściowy z}}-{\frac {\częściowy 0}{\częściowy x}} \right)\mathbf {j} +\left({\frac {\częściowy M}{\częściowy x}}-{\frac {\częściowy L}{\częściowy y}}\right)\mathbf {k} \ prawo]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\częściowy M}{\częściowy x}}-{\frac {\częściowy L}{\częściowy y}}\prawo).}$

W ten sposób otrzymujemy prawą stronę twierdzenia Greena

${\ Displaystyle \ Iint _ {S} \ nabla \ razy \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ kapelusz {n}} \, dS = \ iint _ {D} \ lewo ({\ Frac {\ częściowy M} {\częściowy x}}-{\frac {\częściowy L}{\częściowy y}}\prawo)\,dA.}$

Twierdzenie Greena jest również prostym wynikiem ogólnego twierdzenia Stokesa przy użyciu form różniczkowych i pochodnych zewnętrznych :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i \ oint _ {C} L \, dx + M \, dy = \ oint _ {\ częściowy D} \ omega = \ int _ {D} \, d \ omega \ \ [5pt]={}&\int _{D}{\frac {\częściowy L}{\częściowy y}}\,dy\wedge \,dx+{\frac {\częściowy M}{\częściowy x}}\ ,dx\wedge \,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\częściowy x}}-{\frac {\częściowy L}{\częściowy y}}\right)\ ,dx\,dy.\end{wyrównany}}}$

Związek z twierdzeniem o dywergencji

Biorąc pod uwagę tylko dwuwymiarowe pola wektorowe, twierdzenie Greena jest równoważne dwuwymiarowej wersji twierdzenia o dywergencji :

${\ Displaystyle \ iint _ {V} \ lewo (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {F} \ prawej) \ dV =}$ ${\ Displaystyle \ częściowy \ scriptstyle V}$ ${\ Displaystyle (\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ kapelusz {n}}) \ dS.}$

gdzie jest rozbieżnością w dwuwymiarowym polu wektorowym i jest jednostkowym wektorem normalnym skierowanym na zewnątrz na granicy. ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F}}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} }$${\ Displaystyle \ mathbf {\ kapelusz {n}}}$

Aby to zobaczyć, rozważ jednostkę normalną po prawej stronie równania. Ponieważ w twierdzeniu Greena jest wektorem wskazującym stycznie wzdłuż krzywej, a krzywa C jest krzywą zorientowaną dodatnio (tj. przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) wzdłuż granicy, zewnętrzna normalna byłaby wektorem, który wskazuje 90° na prawo od tego; jeden wybór to . Długość tego wektora to So${\ Displaystyle \ mathbf {\ kapelusz {n}}}$${\ Displaystyle d \ mathbf {r} = (dx, dy)}$${\displaystyle (dy,-dx)}$${\textstyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds.}$${\ Displaystyle (dy,-dx) = \ mathbf {\ kapelusz {n}} \ ds.}$

Zacznij od lewej strony twierdzenia Greena:

${\ Displaystyle \ oint _ {C} (L \ dx + M \ dy) = \ oint _ {C} (M, - L) \ cdot (dy, -dx) = \ oint _ {C} (M ,-L)\cdot \mathbf {\kapelusz {n}} \,ds.}$

Stosując dwuwymiarowe twierdzenie o dywergencji z , otrzymujemy prawą stronę twierdzenia Greena: ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = (M, -L)}$

${\ Displaystyle \ oint _ {C} (M, -L) \ cdot \ mathbf {\ kapelusz {n}} \ ds = \ iint _ {D} \ lewo (\ nabla \ cdot (M, - L) \ po prawej)\,dA=\iint _{D}\left({\frac {\częściowy M}{\częściowy x}}-{\frac {\częściowy L}{\częściowy y}}\right)\,dA .}$

Obliczanie powierzchni

Twierdzenie Greena może być użyte do obliczenia powierzchni przez całkę krzywoliniową. Powierzchnia płaskiego regionu jest dana przez ${\ Displaystyle D}$

${\ Displaystyle A = \ iint _ {D} dA.}$

Wybierz i tak , aby obszar był podany przez ${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy M} {\ częściowy x}} - {\ Frac {\ częściowy L} {\ częściowy y}} = 1}$

${\ Displaystyle A = \ oint _ {C} (L \ dx + M \ dy).}$

Możliwe formuły dla obszaru include ${\ Displaystyle D}$

${\ Displaystyle A = \ oint _ {C} x \, dy = - \ oint _ {C} y \, dx = {\ tfrac {1} {2}} \ oint _ {C} (-y \ dx +x\,dy).}$

Historia

Jej nazwa pochodzi od George'a Greena , który przedstawił podobny wynik w pracy z 1828 roku zatytułowanej Esej o zastosowaniu analizy matematycznej do teorii elektryczności i magnetyzmu . W 1846 roku Augustin-Louis Cauchy opublikował artykuł stwierdzający twierdzenie Greena jako przedostatnie zdanie. Jest to w istocie pierwsza drukowana wersja twierdzenia Greena w formie występującej we współczesnych podręcznikach. Bernhard Riemann przedstawił pierwszy dowód twierdzenia Greena w swojej rozprawie doktorskiej na temat teorii funkcji zmiennej zespolonej.

Zobacz też

• Planimeter  – Narzędzie do pomiaru powierzchni.
• Metoda ładunków obrazu – Metoda stosowana w elektrostatyce, która wykorzystuje twierdzenie o jednoznaczności (pochodzące z twierdzenia Greena)
• Formuła sznurowadła – szczególny przypadek twierdzenia Greena dla prostych wielokątów

Bibliografia

Dalsza lektura

• Marsden, Jerrold E.; Tromba, Anthony J. (2003). „Twierdzenia całkowe analizy wektorowej” . Rachunek wektorowy (wyd. piąte). Nowy Jork: Freeman. s. 518–608. Numer ISBN 0-7167-4992-0.

Zewnętrzne linki

• Twierdzenie Greena o MathWorld