Struktura grupy i aksjomat wyboru - Group structure and the axiom of choice

Ernst Zermelo w 1904 roku udowodnił twierdzenie o porządku, używając czegoś, co stało się znane jako aksjomat wyboru .

W matematyce grupa to zestaw wraz z binarnej operacji na zbiorze o nazwie mnożenie że przestrzega aksjomatów grupy . Aksjomat wyboru jest aksjomat ZFC teorii mnogości , która w jednej z postaci mówi, że każdy zbiór można dobrze uporządkowanych .

W teorii mnogości ZF , czyli ZFC bez aksjomatu wyboru, równoważne są zdania:

  • Dla każdego niepustego zbioru X istnieje operacja binarna taka, że ( X , •) jest grupą.
  • Aksjomat wyboru jest prawdziwy.

Struktura grupowa implikuje aksjomat wyboru

W tej sekcji zakłada się, że każdy zbiór X może być wyposażony w strukturę grupową ( X , •) .

Niech X będzie zbiorem. Niech ℵ ( X ) być twierdzenie hartogsa z X . Jest to najmniej liczebnik główny tak, że nie ma wtryskowego z ℵ ( X ) w X . Istnieje bez założenia aksjomatu wyboru. Załóżmy tutaj dla technicznej prostoty dowodu, że X nie ma liczby porządkowej . Niech oznacza mnożenie w grupie ( X ∪ ℵ ( X ), •) .

Dla każdego x X istnieje α ∈ ℵ ( X ) takie, że x • α ∈ ℵ ( X ) . Przypuśćmy, że nie. Wtedy istnieje y X takie, że y • α ∈ X dla wszystkich α ∈ ℵ ( X ) . Ale zgodnie z elementarną teorią grup , y • α są różne, ponieważ zakresy α przekraczają ℵ ( X ) ( i ). Dlatego taka Y daje zastrzyk ℵ ( X ) do X . Jest to możliwe, ponieważ ℵ ( X ) jest taka, że nie Cardinal wstrzyknięcie do X nie istnieje.

Obecnie określić mapę j o X w ℵ ( X ) x ℵ ( X ) obdarzone leksykograficznej wellordering wysyłając x X najmniejszemu (α, β) ∈ ℵ ( X ) x ℵ ( X ) w taki sposób, x • α = β . Zgodnie z powyższym rozumowaniem mapa j istnieje i jest unikalna, ponieważ najmniej elementów podzbiorów dobrze uporządkowanych zbiorów jest unikalnych. Zgodnie z elementarną teorią grup jest iniekcyjna.

Na koniec zdefiniuj porządek na X przez x < y, jeśli j ( x ) < j ( y ) . Wynika z tego, że każdy zbiór X może być dobrze uporządkowany, a zatem aksjomat wyboru jest prawdziwy.

Aby kluczowa właściwość wyrażona w ( i ) powyżej zachowała się, a zatem cały dowód, wystarczy, że X będzie magmą anulującą , np . Quasi- grupą . Właściwość anulowania jest wystarczająca, aby zapewnić, że wszystkie y • α są różne.

Aksjomat wyboru implikuje strukturę grupową

Każdy niepusty zbiór skończony ma strukturę grupową jako cykliczną grupę generowaną przez dowolny element. Przy założeniu aksjomatu wyboru, każdy nieskończony zbiór X jest równoważny z unikalną liczbą kardynalną | X | co równa się aleph . Korzystając z aksjomatu wyboru, można pokazać, że dla dowolnej rodziny S zbiorów | S | ≤ | S | × sup {| s | : s S } ( A ). Co więcej, przez twierdzenie Tarskiego o wyborze , kolejny odpowiednik aksjomatu wyboru, | X | n = | X | dla wszystkich skończonych n ( B ).

Niech X będzie nieskończony zbiór i niech F oznacza zbiór wszystkich skończonych podzbiorów X . Istnieje naturalna mnożenie na F . Dla f , g F , niech f g = f Δ g , gdzie Δ oznacza różnicę symetryczną . To zamienia ( F , •) w grupę z pustym zbiorem Ø , będącym tożsamością, a każdy element jest swoją własną odwrotnością; f Δ f = Ř . Właściwość asocjacyjna , tj. ( F Δ g ) Δ h = f Δ ( g Δ h ) jest weryfikowana za pomocą podstawowych właściwości sumy i różnicy zestawów . Zatem F jest grupą z pomnożeniem Δ .

Każdy zestaw, który można wprowadzić do bijekcji z grupą, staje się grupą przez bijekcję. Okaże się, że | X | = | F | , a zatem istnieje relacja jeden do jednego między X a grupą ( F , •) . Dla n = 0, 1 , 2 , ... , niech F n będzie podzbiorem F składającym się ze wszystkich podzbiorów liczności dokładnie n . Następnie K jest związek rozłączne z F N . Liczba podzbiorów X o liczności n wynosi co najwyżej | X | n ponieważ każdy podzbiór z n elementów jest elementem n krotność iloczyn X N o X . Więc | F n | ≤ | X | n = | X | dla wszystkich n ( C ) przez ( B ).

Po zestawieniu tych wyników widać, że | F | = | n ∈ ω F n | ≤ ℵ 0 · | X | = | X | przez ( A ) i ( C ). Ponadto | F | ≥ | X | , ponieważ F zawiera wszystkie singletony. Zatem | X | ≤ | F | i | F | ≤ | X | , więc według twierdzenia Schrödera – Bernsteina , | F | = | X | . To oznacza, że właśnie tam jest bijection j między X i F . Wreszcie dla x , y X zdefiniuj x y = j −1 ( j ( x ) Δ j ( y )) . To zamienia ( X , •) w grupę. Dlatego każdy zestaw dopuszcza strukturę grupową.

Zestaw ZF bez struktury grupowej

Istnieją modele ZF, w których aksjomat wyboru zawodzi. W takim modelu istnieją zbiory, których nie da się dobrze uporządkować (nazwijmy te zestawy „nie do uporządkowania”). Niech X będzie takim zbiorem. Rozważmy teraz zbiór Y = X ∪ ℵ ( X ) . Gdyby Y miał mieć strukturę grupową, to dzięki konstrukcji w pierwszej sekcji X można dobrze uporządkować. Ta sprzeczność pokazuje, że na zbiorze Y nie ma struktury grupowej .

Jeśli zbiór jest taki, że nie może być wyposażony w strukturę grupową, to z konieczności nie można go porządkować. W przeciwnym razie konstrukcja w drugiej sekcji daje strukturę grupową. Jednak te właściwości nie są równoważne. Mianowicie możliwe jest, że zestawy, które nie mogą być dobrze uporządkowane, mają strukturę grupową.

Na przykład, jeśli jest dowolnym zestawem, to ma strukturę grupy, z symetryczną różnicą jako operacją grupową. Oczywiście, jeśli nie można go dobrze zamówić, to też nie . Ciekawym przykładem zbiorów, które nie mogą przenosić struktury grupowej, są zbiory o następujących dwóch właściwościach:

  1. jest nieskończonym zbiorem Dedekind-skończonym . Innymi słowy, nie ma nieskończonego podzbioru.
  2. Jeśli jest podzielony na zbiory skończone, to wszystkie, z wyjątkiem skończonej liczby, są singletonami.

Aby zobaczyć, że kombinacja tych dwóch nie może dopuścić struktury grupowej, zauważ, że dana dowolna permutacja takiego zbioru musi mieć tylko skończone orbity, a prawie wszystkie z nich są koniecznie singletonami, co oznacza, że ​​większość elementów nie jest poruszana przez permutację. Rozważmy teraz permutacje podane przez , dla których nie jest elementem neutralnym, istnieje nieskończenie wiele takich , więc przynajmniej jedna z nich nie jest również elementem neutralnym. Mnożenie przez daje w rzeczywistości element tożsamości, który jest sprzecznością.

Istnienie takiego zbioru jest spójne, choćby podane w pierwszym modelu Cohena. Zaskakujące jest jednak to, że bycie nieskończonym zbiorem Dedekind-skończonym nie wystarcza, aby wykluczyć strukturę grupową, ponieważ jest spójne, że istnieją nieskończone zbiory Dedekind-skończone ze skończonymi zbiorami Dedekinda.

Uwagi

Bibliografia