Teoria grup -Group theory

Popularna łamigłówka Kostka Rubika, wynaleziona w 1974 roku przez Ernő Rubika , została wykorzystana jako ilustracja grup permutacyjnych . Zobacz grupę Kostka Rubika .

W matematyce i algebrze abstrakcyjnej teoria grup bada struktury algebraiczne zwane grupami . Pojęcie grupy jest kluczowe dla algebry abstrakcyjnej: inne dobrze znane struktury algebraiczne, takie jak pierścienie , pola i przestrzenie wektorowe , można postrzegać jako grupy wyposażone w dodatkowe operacje i aksjomaty . Grupy powtarzają się w matematyce, a metody teorii grup wpłynęły na wiele części algebry. Liniowe grupy algebraiczne i grupy Liego to dwie gałęzie teorii grup, które poczyniły postęp i stały się same w sobie obszarami przedmiotowymi.

Za pomocą grup symetrii można modelować różne układy fizyczne, takie jak kryształy i atom wodoru oraz trzy z czterech znanych fundamentalnych sił we wszechświecie . Tak więc teoria grup i ściśle z nią związana teoria reprezentacji mają wiele ważnych zastosowań w fizyce , chemii i materiałoznawstwie . Teoria grup ma również kluczowe znaczenie dla kryptografii klucza publicznego .

Wczesna historia teorii grup sięga XIX wieku. Jednym z najważniejszych osiągnięć matematycznych XX wieku był wspólny wysiłek, obejmujący ponad 10 000 stron czasopisma i opublikowany głównie w latach 1960-2004, którego kulminacją była pełna klasyfikacja skończonych grup prostych .

Główne klasy grup

Zakres rozważanych grup stopniowo rozszerzył się od skończonych grup permutacyjnych i specjalnych przykładów grup macierzowych do grup abstrakcyjnych, które można określić poprzez prezentację przez generatory i relacje .

Grupy permutacyjne

Pierwszą klasą grup poddanych systematycznym badaniom były grupy permutacyjne . Biorąc pod uwagę dowolny zbiór X i zbiór G bijekcji X na siebie (znanych jako permutacje ), który jest zamknięty pod złożeniem i odwrotnością, G jest grupą działającą na X . Jeśli X składa się z n elementów, a G składa się ze wszystkich permutacji, G jest grupą symetryczną S n ; ogólnie rzecz biorąc, każda grupa permutacji G jest podgrupą symetrycznej grupy X . Wczesna konstrukcja ze względu na Cayleya wykazywała każdą grupę jako grupę permutacyjną, działającą na siebie ( X = G ) za pomocą lewego regularnej reprezentacji .

W wielu przypadkach strukturę grupy permutacyjnej można badać za pomocą właściwości jej działania na odpowiadającym zbiorze. Na przykład w ten sposób dowodzimy, że dla n ≥ 5 , grupa przemienna A n jest prosta , tzn. nie dopuszcza żadnych prawidłowych podgrup normalnych . Fakt ten odgrywa kluczową rolę w niemożności rozwiązania ogólnego równania algebraicznego stopnia n ≥ 5 w pierwiastkach .

Grupy macierzowe

Kolejną ważną klasą grup są grupy macierzowe lub grupy liniowe . Tutaj G jest zbiorem składającym się z macierzy odwracalnych danego rzędu n nad ciałem K , które jest zamknięte pod iloczynami i odwrotnościami. Taka grupa działa na n - wymiarową przestrzeń wektorową K n poprzez przekształcenia liniowe . To działanie sprawia, że ​​grupy macierzy są koncepcyjnie podobne do grup permutacyjnych, a geometria działania może być użytecznie wykorzystana do ustalenia właściwości grupy G .

Grupy transformacji

Grupy permutacyjne i grupy macierzowe są szczególnymi przypadkami grup przekształceń : grup, które działają na pewną przestrzeń X zachowując jej nieodłączną strukturę. W przypadku grup permutacyjnych X jest zbiorem; dla grup macierzowych X jest przestrzenią wektorową . Pojęcie grupy przekształceń jest ściśle związane z pojęciem grupy symetrii : grupy przekształceń często składają się ze wszystkich przekształceń, które zachowują określoną strukturę.

Teoria grup transformacji tworzy pomost łączący teorię grup z geometrią różniczkową . Długa linia badań, zapoczątkowana przez Liego i Kleina , dotyczy grupowych działań na rozmaitościach przez homeomorfizmy lub dyfeomorfizmy . Same grupy mogą być dyskretne lub ciągłe .

Grupy abstrakcyjne

Większość grup rozważanych na pierwszym etapie rozwoju teorii grup była „konkretna”, realizowana poprzez liczby, permutacje lub macierze. Dopiero pod koniec XIX wieku zaczęła się utrwalać idea abstrakcyjnej grupy jako zbioru operacji spełniających pewien system aksjomatów. Typowym sposobem określenia grupy abstrakcyjnej jest prezentacja przez generatory i relacje ,

Znaczącym źródłem abstrakcyjnych grup jest konstrukcja grupy czynnikowej lub grupy ilorazowej G / H z grupy G przez normalną podgrupę H. Grupy klasowe algebraicznych ciał liczbowych były jednymi z najwcześniejszych przykładów grup czynnikowych, które wzbudzały duże zainteresowanie teorią liczb . Jeśli grupa G jest grupą permutacyjną na zbiorze X , grupa czynników G / H nie działa już na X ; ale idea abstrakcyjnej grupy pozwala nie martwić się tą rozbieżnością.

Zmiana perspektywy z grup konkretnych na abstrakcyjne sprawia, że ​​naturalnym jest rozważenie własności grup, które są niezależne od konkretnej realizacji, lub we współczesnym języku, niezmiennych w izomorfizmie , a także klas grup o danej takiej własności: grupy skończone , grupy okresowe , grupy proste , grupy rozwiązywalne i tak dalej. Zamiast badać właściwości pojedynczej grupy, staramy się ustalić wyniki, które mają zastosowanie do całej klasy grup. Nowy paradygmat miał ogromne znaczenie dla rozwoju matematyki: zapowiadał powstanie algebry abstrakcyjnej w pracach Hilberta , Emila Artina , Emmy Noether i matematyków z ich szkoły.

Grupy z dodatkową strukturą

Ważnym rozwinięciem pojęcia grupy jest to, że G jest obdarzone dodatkową strukturą, w szczególności przestrzenią topologiczną , rozmaitością różniczkowalną lub rozmaitością algebraiczną . Jeżeli operacje grupowe m (mnożenie) oraz i (inwersja),

są zgodne z tą strukturą, to znaczy są odwzorowaniami ciągłymi , gładkimi lub regularnymi (w sensie geometrii algebraicznej), wtedy G jest grupą topologiczną , grupą Liego lub grupą algebraiczną .

Obecność dodatkowej struktury wiąże te typy grup z innymi dyscyplinami matematycznymi i oznacza, że ​​w ich badaniu dostępnych jest więcej narzędzi. Grupy topologiczne tworzą naturalną domenę dla abstrakcyjnej analizy harmonicznej , podczas gdy grupy Liego (często realizowane jako grupy przekształceń) są ostoją geometrii różniczkowej i unitarnej teorii reprezentacji . Pewne pytania klasyfikacyjne, których nie można rozwiązać w ogóle, można podejść i rozwiązać dla specjalnych podklas grup. W ten sposób kompaktowe połączone grupy Lie zostały całkowicie sklasyfikowane. Istnieje owocny związek między nieskończonymi grupami abstrakcyjnymi a grupami topologicznymi: ilekroć grupa Γ może być zrealizowana jako krata w grupie topologicznej G , geometria i analiza dotyczące G dają ważne wyniki dotyczące Γ . Stosunkowo niedawny trend w teorii grup skończonych wykorzystuje ich powiązania ze zwartymi grupami topologicznymi (grupami profinitymi ): na przykład pojedyncza p -adyczna grupa analityczna G ma rodzinę ilorazów, które są skończonymi p -grupami różnych rzędów i własności G przekładają się na własności jego skończonych ilorazów.

Gałęzie teorii grup

Teoria grup skończonych

W XX wieku matematycy dogłębnie badali niektóre aspekty teorii grup skończonych, zwłaszcza lokalną teorię grup skończonych oraz teorię grup rozwiązywalnych i nilpotentnych . W konsekwencji osiągnięto pełną klasyfikację skończonych grup prostych , co oznacza, że ​​znane są wszystkie te grupy proste, z których można zbudować wszystkie grupy skończone.

W drugiej połowie XX wieku matematycy, tacy jak Chevalley i Steinberg , również pogłębili nasze zrozumienie skończonych analogów grup klasycznych i innych pokrewnych grup. Jedną z takich rodzin grup jest rodzina ogólnych grup liniowych nad ciałami skończonymi . Skończone grupy często występują przy rozważaniu symetrii obiektów matematycznych lub fizycznych, gdy obiekty te dopuszczają tylko skończoną liczbę przekształceń zachowujących strukturę. Teoria grup Liego , którą można postrzegać jako zajmującą się „ ciągłą symetrią ”, jest pod silnym wpływem powiązanych grup Weyla . Są to skończone grupy generowane przez odbicia, które działają na skończenie wymiarową przestrzeń euklidesową . Właściwości grup skończonych mogą zatem odgrywać rolę w takich przedmiotach, jak fizyka teoretyczna i chemia .

Reprezentacja grup

Powiedzenie, że grupa G działa na zbiór X oznacza, że ​​każdy element G definiuje bijektywne odwzorowanie na zbiorze X w sposób zgodny ze strukturą grupy. Gdy X ma więcej struktury, warto zawęzić to pojęcie dalej: reprezentacja G na przestrzeni wektorowej V jest homomorfizmem grupowym :

gdzie GL ( V ) składa się z odwracalnych przekształceń liniowych V. Innymi słowy, każdemu elementowi grupy g jest przypisany automorfizm ρ ( g ) taki, że ρ ( g ) ∘ρ ( h ) = ρ ( gh ) dla dowolnego hw G.

Definicję tę można rozumieć w dwóch kierunkach, z których oba dają początek zupełnie nowym dziedzinom matematyki. Z jednej strony może to dostarczyć nowych informacji o grupie G : często operacja na grupie w G jest podana abstrakcyjnie, ale poprzez ρ odpowiada mnożeniu macierzy , co jest bardzo wyraźne. Z drugiej strony, biorąc pod uwagę dobrze rozumianą grupę działającą na skomplikowanym obiekcie, upraszcza to badanie omawianego obiektu. Na przykład, jeśli G jest skończone, wiadomo, że V powyżej rozkłada się na nieredukowalne części (patrz twierdzenie Maschkego ). Te części z kolei są znacznie łatwiejsze do opanowania niż całe V (poprzez lemat Schura ).

Mając grupę G , teoria reprezentacji pyta, jakie reprezentacje G istnieją. Istnieje kilka ustawień, a zastosowane metody i uzyskane wyniki są w każdym przypadku nieco inne: teoria reprezentacji grup skończonych i reprezentacje grup Liego to dwie główne poddziedziny teorii. Całością przedstawień rządzą charaktery grupy . Na przykład wielomiany Fouriera można interpretować jako znaki U(1) , grupy liczb zespolonych o wartości bezwzględnej 1 , działającej w przestrzeni L 2 funkcji okresowych.

Teoria kłamstwa

Grupa Liego to grupa , która jest również rozmaitością różniczkowalną , z tą właściwością, że operacje grupowe są kompatybilne z gładką strukturą . Grupy Liego noszą imię Sophusa Liego , który położył podwaliny pod teorię grup ciągłej transformacji . Termin groupes de Lie po raz pierwszy pojawił się w języku francuskim w 1893 r. w pracy studenta Lie, Arthura Tresse , s. 3.

Grupy Liego reprezentują najlepiej rozwiniętą teorię ciągłej symetrii obiektów i struktur matematycznych , co czyni je niezbędnymi narzędziami dla wielu działów współczesnej matematyki, a także dla współczesnej fizyki teoretycznej . Stanowią one naturalne ramy do analizy ciągłych symetrii równań różniczkowych ( różniczkowa teoria Galois ), podobnie jak grupy permutacyjne są używane w teorii Galois do analizy dyskretnych symetrii równań algebraicznych . Rozszerzenie teorii Galois na przypadek grup symetrii ciągłej było jedną z głównych motywacji Liego.

Kombinatoryczna i geometryczna teoria grup

Grupy można opisywać na różne sposoby. Grupy skończone można opisać zapisując tablicę grup zawierającą wszystkie możliwe mnożenia gh . Bardziej zwarty sposób definiowania grupy to generatory i relacje , zwane również prezentacją grupy. Mając dowolny zbiór F generatorów , wolna grupa generowana przez F surjektuje do grupy G . Jądro tej mapy nazywamy podgrupą relacji, generowaną przez pewien podzbiór D . Prezentacja jest zwykle oznaczana przez Na przykład prezentacja grupowa opisuje grupę, która jest izomorficzna z Łańcuchem składającym się z symboli generatora i ich odwrotności nazywany jest słowem .

Kombinatoryczna teoria grup bada grupy z perspektywy generatorów i relacji. Jest to szczególnie przydatne, gdy spełnione są założenia skończoności, np. skończenie generowane grupy lub skończenie prezentowane grupy (tzn. dodatkowo relacje są skończone). Obszar wykorzystuje połączenie grafów poprzez ich podstawowe grupy . Na przykład można pokazać, że każda podgrupa wolnej grupy jest wolna.

Istnieje kilka naturalnych pytań wynikających z dawania grupie przez jej prezentację. Zadanie tekstowe polega na pytaniu, czy dwa słowa są faktycznie tym samym elementem grupy. Odnosząc problem do maszyn Turinga , można wykazać, że w zasadzie nie ma algorytmu rozwiązującego to zadanie. Innym, generalnie trudniejszym, algorytmicznie nierozwiązywalnym problemem jest problem izomorfizmu grup , który pyta, czy dwie grupy podane w różnych prezentacjach są rzeczywiście izomorficzne. Na przykład, grupa z prezentacją jest izomorficzna z addytywną grupą Z liczb całkowitych, chociaż może to nie być od razu oczywiste.

Wykres Cayleya dla ⟨ x, y ∣ ⟩, wolnej grupy rzędu 2.

Geometryczna teoria grup atakuje te problemy z geometrycznego punktu widzenia, postrzegając grupy jako obiekty geometryczne lub znajdując odpowiednie obiekty geometryczne, na które oddziałuje grupa. Pierwszy pomysł uściśla się za pomocą grafu Cayleya , którego wierzchołki odpowiadają elementom grupy, a krawędzie prawego mnożenia w grupie. Mając dwa elementy, jeden konstruuje metrykę słowa podaną przez długość minimalnej ścieżki między elementami. Twierdzenie Milnora i Svarca mówi wtedy, że mając grupę G działającą w rozsądny sposób na metrycznej przestrzeni X , na przykład zwartą rozmaitość , to G jest quasi-izometryczna (tzn. wygląda podobnie z daleka) do przestrzeni X .

Połączenie grup i symetria

Biorąc pod uwagę obiekt strukturalny X dowolnego rodzaju, symetria to odwzorowanie obiektu na siebie, które zachowuje strukturę. Dzieje się tak w wielu przypadkach, na przykład

  1. Jeśli X jest zbiorem bez dodatkowej struktury, symetria jest mapą bijektywną od zbioru do samego siebie, dając początek grupom permutacyjnym.
  2. Jeśli obiekt X jest zbiorem punktów na płaszczyźnie o strukturze metrycznej lub jakiejkolwiek innej przestrzeni metrycznej , symetria jest bijekcją zbioru dla siebie, która zachowuje odległość między każdą parą punktów ( izometria ). Odpowiednia grupa nazywana jest grupą izometryczną X .
  3. Jeśli zamiast tego zachowane są kąty , mówi się o mapach konforemnych . Mapy konforemne dają początek np. grupom kleinowskim .
  4. Symetrie nie ograniczają się do obiektów geometrycznych, ale obejmują również obiekty algebraiczne. Na przykład równanie ma dwa rozwiązania i . W tym przypadku grupa, która zamienia dwa pierwiastki to grupa Galois należąca do równania. Każde równanie wielomianowe w jednej zmiennej ma grupę Galois, czyli pewną grupę permutacji na swoich pierwiastkach.

Aksjomaty grupy formalizują podstawowe aspekty symetrii . Symetrie tworzą grupę: są zamknięte , ponieważ jeśli weźmiesz symetrię obiektu, a następnie zastosujesz inną symetrię, wynik nadal będzie symetrią. Tożsamość utrzymująca stały obiekt jest zawsze symetrią obiektu. Istnienie odwrotności gwarantuje cofnięcie symetrii, a asocjatywność wynika z faktu, że symetrie są funkcjami na przestrzeni, a złożenie funkcji jest asocjacyjne.

Twierdzenie Fruchta mówi, że każda grupa jest grupą symetrii jakiegoś grafu . Tak więc każda abstrakcyjna grupa jest w rzeczywistości symetrią jakiegoś wyraźnego obiektu.

Powiedzenie „zachowanie struktury” obiektu można uściślić, pracując w kategorii . Mapy zachowujące strukturę to morfizmy , a grupa symetrii to grupa automorfizmu danego obiektu.

Zastosowania teorii grup

Istnieje wiele zastosowań teorii grup. Prawie wszystkie struktury w algebrze abstrakcyjnej są szczególnymi przypadkami grup. Na przykład pierścienie mogą być postrzegane jako grupy abelowe (odpowiadające dodawaniu) wraz z drugą operacją (odpowiadającą mnożeniu). Dlatego argumenty teorii grup leżą u podstaw dużej części teorii tych podmiotów.

Teoria Galois

Teoria Galois wykorzystuje grupy do opisania symetrii pierwiastków wielomianu (a dokładniej automorfizmów algebr generowanych przez te pierwiastki). Podstawowe twierdzenie teorii Galois zapewnia powiązanie między rozszerzeniami pola algebraicznego a teorią grup. Daje efektywne kryterium rozwiązywalności równań wielomianowych pod względem rozwiązywalności odpowiedniej grupy Galois . Na przykład S 5 , symetryczna grupa w 5 elementach, jest nierozwiązalna, co oznacza, że ​​ogólne równanie kwintyczne nie może być rozwiązane przez pierwiastki tak, jak równania niższego stopnia. Teoria ta, będąca jednym z historycznych korzeni teorii grup, jest nadal owocnie stosowana, aby przynosić nowe wyniki w takich dziedzinach, jak klasowa teoria pola .

Topologia algebraiczna

Topologia algebraiczna to kolejna dziedzina, która wyraźnie łączy grupy z obiektami, którymi interesuje się teoria. Tam grupy są używane do opisu pewnych niezmienników przestrzeni topologicznych . Nazywane są „niezmiennikami”, ponieważ są zdefiniowane w taki sposób, że nie zmieniają się, jeśli przestrzeń zostanie poddana pewnej deformacji . Na przykład podstawowa grupa „zlicza”, ile ścieżek w przestrzeni jest zasadniczo różnych. Hipoteza Poincaré , udowodniona w latach 2002/2003 przez Grigori Perelmana , jest wybitnym zastosowaniem tej idei. Wpływ nie jest jednak jednokierunkowy. Na przykład topologia algebraiczna wykorzystuje przestrzenie Eilenberga-MacLane'a, które są przestrzeniami z określonymi grupami homotopii . Podobnie algebraiczna teoria K polega w pewnym sensie na klasyfikowaniu przestrzeni grup. Wreszcie nazwa podgrupy skręcania nieskończonej grupy wskazuje na spuściznę topologii w teorii grup.

Torus. Jej struktura grupy abelowej jest indukowana z mapy CC /( Z + τ Z ) , gdzie τ jest parametrem żyjącym w górnej połowie płaszczyzny .

Geometria algebraiczna

Geometria algebraiczna również wykorzystuje teorię grup na wiele sposobów. Powyżej wprowadzono odmiany abelowe . Obecność operacji grupowej dostarcza dodatkowych informacji, które czynią te odmiany szczególnie dostępnymi. Często służą też jako test dla nowych domysłów. Szczególnie szczegółowo badany jest przypadek jednowymiarowy, czyli krzywe eliptyczne . Intrygują zarówno teoretycznie, jak i praktycznie. W innym kierunku rozmaitości torycznerozmaitościami algebraicznymi, na które oddziałuje torus . Osadzenia toroidalne doprowadziły ostatnio do postępu w geometrii algebraicznej , w szczególności w rozdzielczości osobliwości .

Teoria liczb algebraicznych

Teoria liczb algebraicznych wykorzystuje grupy do pewnych ważnych zastosowań. Na przykład formuła produktu Eulera ,

przechwytuje fakt, że każda liczba całkowita rozkłada się w unikalny sposób na liczby pierwsze . Niepowodzenie tego stwierdzenia dla bardziej ogólnych pierścieni daje początek grupom klas i regularnym liczbom pierwszym , które są obecne w sposobie traktowania przez Kummera Wielkiego Twierdzenia Fermata .

Analiza harmoniczna

Analiza grup Liego i pewnych innych grup nazywana jest analizą harmoniczną . Miary Haara , czyli całki niezmiennicze pod translacją w grupie Liego, są używane do rozpoznawania wzorców i innych technik przetwarzania obrazu .

Kombinatoryka

W kombinatoryce pojęcie grupy permutacyjnej i pojęcie działania grupowego są często używane w celu uproszczenia liczenia zbioru obiektów; zobacz w szczególności lemat Burnside'a .

Koło kwintowe może być wyposażone w cykliczną strukturę grupy

Muzyka

Obecność 12- okresowości w kręgu kwintowym umożliwia zastosowanie elementarnej teorii grup w muzycznej teorii mnogości . Teoria transformacji modeluje przemiany muzyczne jako elementy grupy matematycznej.

Fizyka

W fizyce grupy są ważne, ponieważ opisują symetrie, którym zdają się przestrzegać prawa fizyki. Zgodnie z twierdzeniem Noether każda ciągła symetria układu fizycznego odpowiada prawu zachowania układu. Fizycy są bardzo zainteresowani reprezentacjami grup, zwłaszcza grup Liego, ponieważ te reprezentacje często wskazują drogę do „możliwych” teorii fizycznych. Przykłady użycia grup w fizyce obejmują Model Standardowy , teorię cechowania , grupę Lorentza i grupę Poincarégo .

Teoria grup może być wykorzystana do rozwiązania niekompletności interpretacji statystycznych mechaniki opracowanych przez Willarda Gibbsa , odnoszących się do sumowania nieskończonej liczby prawdopodobieństw w celu uzyskania sensownego rozwiązania.

Chemia i materiałoznawstwo

W chemii i materiałoznawstwie grupy punktowe służą do klasyfikacji wielościanów foremnych, a symetrie cząsteczek i grupy przestrzenne do klasyfikacji struktur krystalicznych . Przypisane grupy można następnie wykorzystać do określenia właściwości fizycznych (takich jak polarność chemiczna i chiralność ), właściwości spektroskopowych (szczególnie przydatne w spektroskopii Ramana , spektroskopii w podczerwieni , spektroskopii dichroizmu kołowego, spektroskopii magnetycznego dichroizmu kołowego, spektroskopii UV/Vis i spektroskopii fluorescencyjnej) oraz konstruować orbitale molekularne .

Symetria molekularna odpowiada za wiele właściwości fizycznych i spektroskopowych związków oraz dostarcza istotnych informacji o przebiegu reakcji chemicznych. Aby przypisać grupę punktową do dowolnej cząsteczki, konieczne jest znalezienie zbioru operacji symetrii na niej obecnych. Operacja symetrii to czynność, taka jak obrót wokół osi lub odbicie przez płaszczyznę lustra. Innymi słowy, jest to operacja, która przesuwa cząsteczkę w taki sposób, że jest nie do odróżnienia od pierwotnej konfiguracji. W teorii grup osie obrotu i płaszczyzny lustrzane nazywane są „elementami symetrii”. Elementami tymi może być punkt, linia lub płaszczyzna, względem której wykonywana jest operacja symetrii. Operacje symetrii cząsteczki określają konkretną grupę punktową dla tej cząsteczki.

Cząsteczka wody z osią symetrii

W chemii istnieje pięć ważnych operacji symetrii. Są to operacja identyczności ( E) , operacja obrotu lub obrót właściwy ( Cn ) , operacja odbicia ( σ ), operacja inwersji ( i ) oraz operacja obrotu odbicia lub niewłaściwa rotacja ( Sn ) . Operacja tożsamości ( E ) polega na pozostawieniu cząsteczki takiej, jaka jest. Odpowiada to dowolnej liczbie pełnych obrotów wokół dowolnej osi. Jest to symetria wszystkich cząsteczek, podczas gdy grupa symetrii cząsteczki chiralnej składa się tylko z operacji tożsamości. Operacja tożsamościowa jest cechą każdej cząsteczki, nawet jeśli nie ma symetrii. Obrót wokół osi ( C n ) polega na obrocie cząsteczki wokół określonej osi o określony kąt. Jest to obrót o kąt 360°/ n , gdzie n jest liczbą całkowitą, wokół osi obrotu. Na przykład, jeśli cząsteczka wody obraca się o 180° wokół osi, która przechodzi przez atom tlenu i między atomami wodoru , jest w tej samej konfiguracji, w której się rozpoczęła. W tym przypadku n = 2 , ponieważ dwukrotne zastosowanie daje operację tożsamości. W cząsteczkach z więcej niż jedną osią obrotu oś Cn mająca największą wartość n jest osią obrotu najwyższego rzędu lub osią główną. Na przykład w trifluorku boru (BF 3 ) najwyższy rząd osi obrotu to C 3 , więc główna oś obrotu to C 3 .

W operacji odbicia ( σ ) wiele cząsteczek ma płaszczyzny lustrzane, chociaż mogą one nie być oczywiste. Operacja odbicia zamienia się w lewo i prawo, tak jakby każdy punkt przesunął się prostopadle przez płaszczyznę do pozycji dokładnie tak daleko od płaszczyzny, jak w momencie jej rozpoczęcia. Gdy płaszczyzna jest prostopadła do głównej osi obrotu, nazywa się ją σ h (pozioma). Inne płaszczyzny, które zawierają główną oś obrotu, są oznaczone jako pionowe ( σ v ) lub dwuścienne ( σ d ).

Inwersja (i ) to bardziej złożona operacja. Każdy punkt przechodzi przez środek cząsteczki do pozycji przeciwnej do pierwotnej pozycji i tak daleko od punktu środkowego, jak tam, gdzie się zaczął. Wiele cząsteczek, które na pierwszy rzut oka wydaje się mieć centrum inwersji, nie ma; na przykład metan i inne cząsteczki tetraedryczne nie mają symetrii inwersji. Aby to zobaczyć, trzymaj model metanu z dwoma atomami wodoru w płaszczyźnie pionowej po prawej i dwoma atomami wodoru w płaszczyźnie poziomej po lewej. Inwersja powoduje powstanie dwóch atomów wodoru w płaszczyźnie poziomej po prawej stronie i dwóch atomów wodoru w płaszczyźnie pionowej po lewej stronie. Inwersja nie jest zatem operacją symetrii metanu, ponieważ orientacja cząsteczki po operacji inwersji różni się od orientacji pierwotnej. A ostatnią operacją jest niewłaściwy obrót lub operacja odbicia obrotu ( S n ) wymaga obrotu o 360 °/ n , po którym następuje odbicie przez płaszczyznę prostopadłą do osi obrotu.

Kryptografia

Bardzo duże grupy pierwszego rzędu skonstruowane w kryptografii krzywych eliptycznych służą do kryptografii klucza publicznego . Tego rodzaju metody kryptograficzne korzystają z elastyczności obiektów geometrycznych, stąd ich struktury grupowe oraz skomplikowana struktura tych grup, co sprawia, że ​​logarytm dyskretny jest bardzo trudny do obliczenia. Jeden z najwcześniejszych protokołów szyfrowania, szyfr Cezara , może być również interpretowany jako (bardzo łatwa) operacja grupowa. Większość schematów kryptograficznych w jakiś sposób wykorzystuje grupy. W szczególności wymiana kluczy Diffie-Hellmana wykorzystuje skończone grupy cykliczne. Tak więc termin kryptografia oparta na grupach odnosi się głównie do protokołów kryptograficznych, które wykorzystują nieskończone grupy nieabelowe, takie jak grupa plecionek.

Cykliczna grupa Z 26 jest podstawą szyfru Cezara .

Historia

Teoria grup ma trzy główne źródła historyczne: teorię liczb , teorię równań algebraicznych i geometrię . Wątek teorii liczb został zapoczątkowany przez Leonharda Eulera i rozwinięty przez prace Gaussa dotyczące arytmetyki modularnej oraz grup addytywnych i multiplikatywnych związanych z polami kwadratowymi . Wczesne wyniki dotyczące grup permutacyjnych uzyskali Lagrange , Ruffini i Abel , poszukując ogólnych rozwiązań równań wielomianowych wysokiego stopnia. Évariste Galois ukuł termin „grupa” i ustanowił połączenie, znane obecnie jako teoria Galois , między rodzącą się teorią grup a teorią pola . W geometrii grupy najpierw nabrały znaczenia w geometrii rzutowej , a później w geometrii nieeuklidesowej . Program Erlangen Felixa Kleina ogłosił teorię grup jako organizującą zasadę geometrii.

Galois , w latach 30. XIX wieku, jako pierwszy zastosował grupy do określania rozwiązywalności równań wielomianowych . Arthur Cayley i Augustin Louis Cauchy pchnęli te badania dalej, tworząc teorię grup permutacyjnych. Drugie źródło historyczne dla grup wywodzi się z sytuacji geometrycznych . Próbując zmierzyć się z możliwymi geometriami (takimi jak geometria euklidesowa , hiperboliczna lub rzutowa ) za pomocą teorii grup, Felix Klein zainicjował program Erlangen . Sophus Lie , w 1884 roku, zaczął używać grup (obecnie nazywanych grupami Lie ) związanych z problemami analitycznymi . Po trzecie, w algebraicznej teorii liczb używano początkowo niejawnie, a później jawnie grup .

Odmienny zakres tych wczesnych źródeł skutkował odmiennymi pojęciami grup. Teoria grup została ujednolicona od około 1880 roku. Od tego czasu wpływ teorii grup stale rośnie, dając początek narodzinom algebry abstrakcyjnej na początku XX wieku, teorii reprezentacji i wielu innych wpływowych dziedzin. Klasyfikacja skończonych grup prostych to obszerny zbiór prac z połowy XX wieku, klasyfikujący wszystkie skończone grupy proste .

Zobacz też

Uwagi

  1. ^ Elwes, Richard (grudzień 2006), „Ogromne twierdzenie: klasyfikacja skończonych grup prostych” , Plus Magazine (41)
  2. ^ Ten proces narzucania dodatkowej struktury został sformalizowany poprzez pojęcie obiektu grupowego w odpowiedniej kategorii . Tak więc grupy Liego są obiektami grupowymi w kategorii rozmaitości różniczkowalnych, a afiniczne grupy algebraiczne są obiektami grupowymi w kategorii afinicznych rozmaitości algebraicznych.
  3. ^ Takie jak kohomologia grupowa lub ekwiwariantna teoria K .
  4. ^ W szczególności, jeśli przedstawienie jest wierne .
  5. ^ Arthur Tresse (1893), „Sur les invariants différentiels des groupes continus de transforms” , Acta Mathematica , 18 : 1-88, doi : 10.1007/bf02418270
  6. ^ Schupp i Lyndon 2001
  7. ^ Pisanie, trzeba
  8. ^ La Harpe 2000
  9. ^ Na przykład hipoteza Hodge'a (w niektórych przypadkach).
  10. ^ Zobacz hipotezę Bircha i Swinnertona-Dyera , jeden z problemów milenijnych
  11. ^ Abramowicz Dan; Karu, Kalle; Matsuki, Kenji; Włodarczyk, Jarosław (2002), „Torification and factorization of birational maps”, Journal of the American Mathematical Society , 15 (3): 531–572, arXiv : math/9904135 , doi : 10.1090/S0894-0347-02-00396- X , MR  1896232 , S2CID  18211120
  12. ^ Lenz, Reiner (1990), Grupa metod teoretycznych w przetwarzaniu obrazu , Uwagi do wykładu z informatyki, tom. 413, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/3-540-52290-5 , ISBN 978-0-387-52290-6, S2CID  2738874
  13. ^ Norbert Wiener , Cybernetyka: czyli kontrola i komunikacja w zwierzęciu i maszynie, ISBN  978-0262730099 , rozdz. 2

Bibliografia

Linki zewnętrzne

  • Historia abstrakcyjnej koncepcji grupy
  • Teoria grup wyższych wymiarów Przedstawia pogląd na teorię grup jako pierwszy poziom teorii, która rozciąga się na wszystkie wymiary i ma zastosowanie w teorii homotopii oraz w nieabelowych metodach wyższych wymiarów dla problemów lokalnych do globalnych.
  • Pakiet Plus dla nauczyciela i ucznia: Teoria grup Ten pakiet zawiera wszystkie artykuły na temat teorii grup z Plus , internetowego magazynu matematycznego wydawanego przez Millennium Mathematics Project na Uniwersytecie w Cambridge, który bada zastosowania i najnowsze odkrycia oraz podaje wyraźne definicje i przykłady grupy.
  • Burnside, William (1911), "Grupy, teoria"  , w Chisholm, Hugh (red.), Encyclopaedia Britannica , tom. 12 (wyd. 11), Cambridge University Press, s. 626-636Jest to szczegółowe przedstawienie współczesnego rozumienia teorii grup przez wczesnego badacza w tej dziedzinie.