Twierdzenie Hahna o osadzaniu - Hahn embedding theorem

W matematyce - zwłaszcza w obszarze algebry abstrakcyjnej, zajmującej się uporządkowanymi strukturami na grupach abelowych - twierdzenie Hahna o osadzaniu daje prosty opis wszystkich liniowo uporządkowanych grup abelowych . Został nazwany na cześć Hansa Hahna .

Przegląd

Twierdzenie głosi, że każda liniowo uporządkowana grupa abelowa G może być osadzona jako uporządkowana podgrupa grupy addytywnej ℝ Ω wyposażonej w porządek leksykograficzny , gdzie ℝ jest addytywną grupą liczb rzeczywistych (z jej standardowym porządkiem), Ω jest zbiorem Archimedesa klas równoważności z G i ℝ Ohm jest zbiorem wszystkich funkcji z Ohm do ℝ które znikają poza dobrze uporządkowanego zbioru.

Niech 0 oznaczają elementu tożsamości G . Dla dowolnego niezerowego elementu g z G dokładnie jeden z elementów g lub - g jest większy niż 0; oznacz ten element przez | g |. Dwa niezerowe elementy g i h z G ekwiwalentami archimedesa, jeśli istnieją liczby naturalne N i M takie, że N | g | > | h | i M | h | > | g |. Intuicyjnie oznacza to, że ani g, ani h nie są „nieskończenie małe” w stosunku do drugiego. Grupa G jest archimedesowa, jeśli wszystkie niezerowe elementy są równoważne archimedesowi. W tym przypadku Ω jest singletonem, więc ℝ Ω jest po prostu grupą liczb rzeczywistych. Następnie twierdzenie Hahna o osadzaniu sprowadza się do twierdzenia Höldera (które stwierdza, że ​​liniowo uporządkowana grupa abelowa jest archimedesem wtedy i tylko wtedy, gdy jest podgrupą uporządkowanej grupy addytywnej liczb rzeczywistych).

Gravett (1956) podaje jasne stwierdzenie i dowód twierdzenia. Dokumenty Clifford (1954) oraz Hausner & Wendel (1952) dostarczają innego dowodu. Zobacz także Fuchs i Salce (2001 , s. 62).

Zobacz też

Bibliografia