Twierdzenie Hahna o osadzaniu - Hahn embedding theorem
W matematyce - zwłaszcza w obszarze algebry abstrakcyjnej, zajmującej się uporządkowanymi strukturami na grupach abelowych - twierdzenie Hahna o osadzaniu daje prosty opis wszystkich liniowo uporządkowanych grup abelowych . Został nazwany na cześć Hansa Hahna .
Przegląd
Twierdzenie głosi, że każda liniowo uporządkowana grupa abelowa G może być osadzona jako uporządkowana podgrupa grupy addytywnej ℝ Ω wyposażonej w porządek leksykograficzny , gdzie ℝ jest addytywną grupą liczb rzeczywistych (z jej standardowym porządkiem), Ω jest zbiorem Archimedesa klas równoważności z G i ℝ Ohm jest zbiorem wszystkich funkcji z Ohm do ℝ które znikają poza dobrze uporządkowanego zbioru.
Niech 0 oznaczają elementu tożsamości G . Dla dowolnego niezerowego elementu g z G dokładnie jeden z elementów g lub - g jest większy niż 0; oznacz ten element przez | g |. Dwa niezerowe elementy g i h z G są ekwiwalentami archimedesa, jeśli istnieją liczby naturalne N i M takie, że N | g | > | h | i M | h | > | g |. Intuicyjnie oznacza to, że ani g, ani h nie są „nieskończenie małe” w stosunku do drugiego. Grupa G jest archimedesowa, jeśli wszystkie niezerowe elementy są równoważne archimedesowi. W tym przypadku Ω jest singletonem, więc ℝ Ω jest po prostu grupą liczb rzeczywistych. Następnie twierdzenie Hahna o osadzaniu sprowadza się do twierdzenia Höldera (które stwierdza, że liniowo uporządkowana grupa abelowa jest archimedesem wtedy i tylko wtedy, gdy jest podgrupą uporządkowanej grupy addytywnej liczb rzeczywistych).
Gravett (1956) podaje jasne stwierdzenie i dowód twierdzenia. Dokumenty Clifford (1954) oraz Hausner & Wendel (1952) dostarczają innego dowodu. Zobacz także Fuchs i Salce (2001 , s. 62).
Zobacz też
Bibliografia
- Fuchs László; Salce, Luigi (2001), Modules over non-Noetherian domains , Mathematical Surveys and Monographs, 84 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1963-0 , MR 1794715
- Ehrlich, Philip (1995), "Hahna" Über die nichtarchimedischen Grössensysteme "and the Origins of the Modern Theory of Magnitudes and Numbers to Measure Them", w: Hintikka, Jaakko (red.), From Dedekind to Gödel: Essays on the Development of the Foundations of Mathematics (PDF) , Kluwer Academic Publishers, s. 165–213
- Hahn, H. (1907), „Über die nichtarchimedischen Größensysteme.”, Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien, Mathematisch - Naturwissenschaftliche Klasse (Wien. Ber.) (W języku niemieckim), 116 : 601–655
- Gravett, KAH (1956), „Ordered Abelian Groups”, The Quarterly Journal of Mathematics , Second Series, 7 : 57–63, doi : 10.1093 / qmath / 7.1.57
- Clifford, AH (1954), „Note on Hahn's Theorem on Ordered Abelian Groups”, Proceedings of the American Mathematical Society , 5 (6): 860–863, doi : 10.2307 / 2032549
- Hausner, M .; Wendel, JG (1952), „Uporządkowane przestrzenie wektorowe”, Proceedings of the American Mathematical Society , 3 : 977–982, doi : 10.1090 / S0002-9939-1952-0052045-1