Maksymalna zasada Hausdorffa - Hausdorff maximal principle

W matematyce , zasada maksymalnego Hausdorffa jest alternatywną i wcześniej sformułowanie lematu Zorna udowodnione przez Felix Hausdorff w 1914 roku (Moore 1982: 168). Stwierdza, że ​​w każdym częściowo uporządkowanym zbiorze każdy całkowicie uporządkowany podzbiór jest zawarty w maksymalnym całkowicie uporządkowanym podzbiorze.

Zasada maksimum Hausdorffa jest jednym z wielu stwierdzeń równoważnych z aksjomatem wyboru nad ZF ( teoria mnogości Zermelo – Fraenkla bez aksjomatu wyboru). Zasada jest również nazywana twierdzeniem o maksymalności Hausdorffa lub lematem Kuratowskiego (Kelley 1955: 33).

Komunikat

Zasada maksymalnego Hausdorffa mówi, że w jakimkolwiek zbiorze częściowo uporządkowanym , każdy całkowicie uporządkowany podzbiór jest zawarty w maksymalnym, całkowicie uporządkowanym podzbiorze (całkowicie uporządkowanym podzbiorze, który, jeśli zostanie w jakikolwiek sposób powiększony, nie pozostaje całkowicie uporządkowany). Ogólnie rzecz biorąc, może istnieć wiele maksymalnych całkowicie uporządkowanych podzbiorów zawierających dany całkowicie uporządkowany podzbiór.

Równoważną postacią zasady maksymalnej Hausdorffa jest to, że w każdym częściowo uporządkowanym zbiorze istnieje maksymalny całkowicie uporządkowany podzbiór. Aby udowodnić, że to stwierdzenie wynika z pierwotnej postaci, niech A będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Wtedy jest całkowicie uporządkowany podzbiór A , stąd istnieje maksymalny całkowicie uporządkowany podzbiór zawierający , stąd w szczególności A zawiera maksymalny całkowicie uporządkowany podzbiór. Dla kierunku odwrotnego, niech być częściowo uporządkowanym i T całkowicie uporządkowane podzbiór A . Następnie

częściowo uporządkowane według zadanej włączenia , a zatem zawiera maksymalną uporządkowany podzbiór P . Wtedy zestaw spełnia żądane właściwości.

Dowód, że maksymalna zasada Hausdorffa jest odpowiednikiem lematu Zorna, jest bardzo podobny do tego dowodu.

Przykłady

Przykład 1. Jeśli jakikolwiek zbiór zestawów, związek „jest podzbiorem” jest Dokładna kolejność częściowo na A . Załóżmy, że A jest zbiorem wszystkich okrągłych obszarów (wnętrza okręgów) na płaszczyźnie. Jeden maksymalny całkowicie uporządkowany zbiór A składa się ze wszystkich kolistych regionów z centrami na początku. Inny maksymalny całkowicie uporządkowany podzbiór składa się ze wszystkich kolistych obszarów ograniczonych okręgami stycznymi od prawej strony do osi y na początku.

PRZYKŁAD 2. Jeśli (x 0 , y 0 ) i (x 1 , y 1 ) są dwoma punktami płaszczyzny ℝ 2 , zdefiniuj (x 0 , y 0 ) <(x 1 , y 1 )

jeśli y 0 = y 1 i x 0 <x 1 . Jest to częściowe uporządkowanie ℝ 2, poniżej którego dwa punkty są porównywalne tylko wtedy, gdy leżą na tej samej poziomej linii. Maksymalne całkowicie uporządkowane zestawy to linie poziome w ℝ 2 .

Bibliografia

  • John Kelley (1955), Topologia ogólna , Von Nostrand.
  • Gregory Moore (1982), aksjomat wyboru Zermelo , Springer.
  • James Munkres (2000), Topologia , Pearson.