Metryka Helly'ego - Helly metric

W teorii gier metryka Helly'ego służy do oceny odległości między dwiema strategiami . Jego nazwa pochodzi od Eduarda Helly'ego .

Rozważ grę , pomiędzy graczem I i II. Tu i są komplety czystych strategii dla zawodników I i II; i jest funkcją wypłaty. ${\ Displaystyle \ Gamma = \ lewo \ langle {\ mathfrak {X}}, {\ mathfrak {Y}}, H \ po prawej \ rangle}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\mathfrak {Y}}}$${\ Displaystyle H = H (\ cdot , \ cdot )}$

(innymi słowy, jeśli gracz I gra, a gracz II gra , to gracz I płaci graczowi II). ${\displaystyle x\in {\mathfrak {X}}}$${\ Displaystyle y \ w {\ mathfrak {Y}}}$${\ Displaystyle H (x, y)}$

Helly metryka jest zdefiniowany jako ${\ Displaystyle \ rho (x_ {1}, x_ {2})}$

${\ Displaystyle \ rho (x_ {1}, x_ {2}) = \ sup _ {y \ w {\ mathfrak {y}}} \ lewo | H (x_ {1}, y) - H (x_ {2} },y)\prawo|.}$

Tak zdefiniowana metryka jest symetryczna, zwrotna i spełnia nierówność trójkąta .

Metryka Helly'ego mierzy odległości między strategiami, nie pod względem różnic między samymi strategiami, ale pod względem konsekwencji strategii. Dwie strategie są odległe, jeśli ich wypłaty są różne. Należy pamiętać, że nie oznacza to jednak, że nie oznacza, że konsekwencje z i są identyczne; i rzeczywiście indukuje to relację równoważności . ${\ Displaystyle \ rho (x_ {1}, x_ {2}) = 0}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$

Jeśli zastrzeżemy, że to implikuje, to tak indukowana topologia nazywana jest topologią naturalną . ${\ Displaystyle \ rho (x_ {1}, x_ {2}) = 0}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$

Metryka na przestrzeni strategii gracza II jest analogiczna:

${\ Displaystyle \ rho (y_ {1}, y_ {2}) = \ sup _ {x \ w {\ mathfrak {X}}} \ lewo | H (x, y_ {1}) - H (x, y_ {2})\prawo|.}$

Zwróć uwagę, że w ten sposób definiuje się dwa wskaźniki Helly: po jednym dla obszaru strategii każdego gracza. ${\ Displaystyle \ Gamma}$

Warunkowa zwartość

Przypomnijmy sobie definicję -net: Zbiór to -net w przestrzeni z metryką, jeśli w ogóle istnieje z . ${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle X_{\epsilon}}$${\displaystyle \epsilon}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle x \ w X}$${\displaystyle x_{\epsilon}\wX_{\epsilon}}$${\ Displaystyle \ rho (x, x_ {\ epsilon}) <\ epsilon}$

Przestrzeń metryczna jest warunkowo zwarta (lub wstępnie zwarta ), jeśli dla każdego istnieje skończona -net w . Każda gra, która jest warunkowo zwarta w metryce Helly, ma -optymalną strategię dla każdego . Co więcej, jeśli przestrzeń strategii jednego gracza jest warunkowo zwarta, to przestrzeń strategii drugiego gracza jest warunkowo zwarta (w jego metryce Helly'ego). ${\displaystyle P}$${\ Displaystyle \ epsilon > 0}$ ${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \epsilon}$${\ Displaystyle \ epsilon > 0}$

Bibliografia

NN Vorob'ev 1977. Wykłady z teorii gier dla ekonomistów i naukowców systemów . Springer-Verlag (przetłumaczone przez S. Kotza).

Ten artykuł dotyczący teorii gier jest skrótem . Możesz pomóc Wikipedii, rozwijając ją .

• v
• t
• mi