Twierdzenie Helmholtza o minimalnym rozpraszaniu - Helmholtz minimum dissipation theorem

W mechanice płynów , Helmholtz twierdzenie minimum rozpraszanie (nazwany Hermanna von Helmholtza , który opublikował je w 1868) stwierdza, że te stały Stokes przepływ ruchu danego płynu nieściśliwego ma najmniejszy współczynnik rozpraszania niż jakikolwiek inny nieściśliwego ruchu z taką samą prędkością na granicy . Twierdzenie zostało również zbadane przez Diederika Kortewega w 1883 r. I przez Lorda Rayleigha w 1913 r.

To twierdzenie jest w rzeczywistości prawdziwe dla każdego ruchu płynnego, w którym nieliniowy człon nieściśliwego równania Naviera-Stokesa można pominąć lub równoważnie, gdy , gdzie jest wektor wirowości . Na przykład twierdzenie to ma również zastosowanie do przepływów jednokierunkowych, takich jak przepływ Couette i przepływ Hagena – Poiseuille'a , w których wyrażenia nieliniowe znikają automatycznie. ${\ displaystyle \ nabla \ times \ nabla \ times {\ boldsymbol {\ omega}} = 0}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$

Dowód matematyczny

Niech a jest prędkość, nacisk i napięcie Szybkość napinacz z Stokes przepływu i i jest dla uzyskania prędkości, ciśnienia i odkształcenia stopy tensor jakiegokolwiek innego ruchu z nieściśliwego na granicy. Niech i będzie reprezentacją tensora prędkości i odkształcenia w notacji indeksowej , gdzie indeks przebiega od jednego do trzech. ${\ displaystyle \ mathbf {u}, \ p}$${\ Displaystyle E = {\ Frac {1} {2}} (\ nabla \ mathbf {u} + (\ nabla \ mathbf {u}) ^ {T})}$${\ displaystyle \ mathbf {u} ', \ p'}$${\ Displaystyle E '= {\ Frac {1} {2}} (\ nabla \ mathbf {u}' + (\ nabla \ mathbf {u} ') ^ {T})}$${\ displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {u} '}$${\ displaystyle u_ {i}}$${\ displaystyle e_ {ij}}$

Rozważ następującą całkę,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} \ int (e_ {ij} '- e_ {ij}) e_ {ij} \ dV & = \ int {\ Frac {\ częściowe (u_ {i}' - u_ {i}) } {\ częściowe x_ {j}}} e_ {ij} \ dV \ end {aligned}}}$

gdzie w powyższej całce pozostaje tylko symetryczna część tensora odkształcenia, ponieważ skurcz tensora symetrycznego i antysymetrycznego jest identycznie zerowy. Całkowanie przez części daje

${\ Displaystyle \ int (e_ {ij} '- e_ {ij}) e_ {ij} \ dV = \ int (u_ {i}' - u_ {i}) e_ {ij} n_ {j} \ dA- { \ frac {1} {2}} \ int (u_ {i} '- u_ {i}) (\ nabla ^ {2} u_ {i}) \ dV.}$

Pierwsza całka wynosi zero, ponieważ prędkości na granicach obu pól są równe. Teraz dla drugiej całki, ponieważ spełnia równanie przepływu Stokesa , czyli możemy pisać ${\ displaystyle u_ {i}}$${\ displaystyle \ mu \ nabla ^ {2} u_ {i} = \ nabla p}$

${\ Displaystyle \ int (e_ {ij} '- e_ {ij}) e_ {ij} \ dV = - {\ frac {1} {2 \ mu}} \ int (u_ {i}' - u_ {i} ) {\ frac {\ częściowe p} {\ częściowe x_ {i}}} \ dV.}$

Ponownie całkowanie przez części daje

${\ Displaystyle \ int (e_ {ij} '- e_ {ij}) e_ {ij} \ dV = - {\ frac {1} {2 \ mu}} \ int p (u_ {i}' - u_ {i }) n_ {i} \ dA + {\ frac {1} {2 \ mu}} \ int p {\ frac {\ częściowe (u_ {i} '- u_ {i})} {\ częściowe x_ {i}} } \ dV.}$

Pierwsza całka wynosi zero, ponieważ prędkości są równe, a druga całka wynosi zero, ponieważ przepływ jest nieściśliwy, tj . Dlatego mamy tożsamość, która mówi: ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = \ nabla \ cdot \ mathbf {u} '= 0}$

${\ displaystyle \ int (e_ {ij} '- e_ {ij}) e_ {ij} \ dV = 0.}$

Całkowita szybkość lepkiej energii rozpraszania na całej objętości pola jest wyrażona przez ${\ displaystyle \ mathbf {u} '}$

${\ Displaystyle D '= \ int \ Phi' dV = 2 \ mu \ int e_ {ij} 'e_ {ij}' \ dV = 2 \ mu \ int [e_ {ij} e_ {ij} + e_ {ij} 'e_ {ij}' - e_ {ij} e_ {ij}] \ dV}$

a po przegrupowaniu przy użyciu powyższej tożsamości otrzymujemy

${\ Displaystyle D '= 2 \ mu \ int [e_ {ij} e_ {ij} + (e_ {ij}' - e_ {ij}) (e_ {ij} '- e_ {ij})] \ dV}$

Jeśli jest to całkowita szybkość lepkiej energii rozpraszania w całej objętości pola , to mamy ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$

${\ Displaystyle D '= D + 2 \ mu \ int (e_ {ij}' - e_ {ij}) (e_ {ij} '- e_ {ij}) \ dV}$.

Druga całka jest nieujemna i zerowa tylko wtedy , gdy dowodzi twierdzenia. ${\ displaystyle e_ {ij} = e_ {ij} '}$

Twierdzenie Poiseuille'a o przepływie

Twierdzenie o przepływie Poiseuille'a jest konsekwencją twierdzenia Helmholtza, że Stały laminarny przepływ nieściśliwego lepkiego płynu w dół prostej rury o dowolnym przekroju charakteryzuje się tym, że jego rozpraszanie energii jest najmniejsze spośród wszystkich laminarnych (lub przestrzennie okresowych) spływa po rurze, która ma taki sam strumień całkowity.

Bibliografia