Wzajemność Helmholtza - Helmholtz reciprocity

Wzajemności Helmholtza zasada opisuje jak promień światła, a jego wsteczny promień zetknięcie dopasowane przygody optycznych, takich jak odbicia, załamania i absorpcji w biernym nośniku lub na granicy faz. Nie dotyczy nośników ruchomych, nieliniowych lub magnetycznych.

Na przykład światło przychodzące i wychodzące można traktować jako odwrócenie siebie, bez wpływu na wynik funkcji dwukierunkowej dystrybucji odbicia (BRDF). Gdyby światło było mierzone za pomocą czujnika i to światło odbijało się od materiału z BRDF, który jest zgodny z zasadą wzajemności Helmholtza, można by zamienić czujnik i źródło światła, a pomiar strumienia pozostałby równy.

W graficznym schemacie oświetlenia globalnego zasada wzajemności Helmholtza jest ważna, jeśli algorytm oświetlenia globalnego odwraca ścieżki światła (na przykład Raytracing w porównaniu z klasycznym śledzeniem ścieżki światła).

Fizyka

Zasada rewersji i wzajemności Stokesa-Helmholtza została częściowo sformułowana przez Stokesa (1849) oraz w odniesieniu do polaryzacji na stronie 169 książki Helmholtz 's Handbuch der physiologischen Optik z 1856 roku, cytowanej przez Kirchhoffa i Plancka .

Jak przytoczył Kirchhoff w 1860 r., Zasada ta została przetłumaczona następująco:

Promień światła wychodzący z punktu 1 dociera do punktu 2 po wielu załamaniach, odbiciach itp. W punkcie 1 niech dowolne dwie prostopadłe płaszczyzny a ₁ , b ₁ zostaną wzięte w kierunku promienia; i niech wibracje promienia zostaną podzielone na dwie części, po jednej w każdej z tych płaszczyzn. Weź podobne płaszczyzny a ₂ , b ₂ na promieniu w punkcie 2; wtedy można wykazać następującą propozycję. Jeśli ilość światła i spolaryzowanego w płaszczyźnie a ₁ postępuje od 1 w kierunku danego promienia, ta część k światła spolaryzowanego w a ₂ dochodzi do 2, to odwrotnie, jeśli ilość światła i spolaryzowanego w a ₂ pochodzi z 2, ta sama ilość światła k spolaryzowanego w a ₁ [opublikowany tutaj tekst Kirchhoffa poprawiony przez redaktora Wikipedii, aby zgadzał się z tekstem Helmholtza z 1867 r.] wyniesie 1.

Mówiąc najprościej, zasada mówi, że źródło i punkt obserwacji można przełączać bez zmiany wartości obserwowanej funkcji falowej. Innymi słowy, zasada matematycznie potwierdza stwierdzenie: „Jeśli cię widzę, możesz mnie zobaczyć”. Podobnie jak zasady termodynamiki, zasada ta jest wystarczająco wiarygodna, aby można ją było wykorzystać jako kontrolę prawidłowego wykonania eksperymentów, w przeciwieństwie do zwykłej sytuacji, w której eksperymenty są testami proponowanego prawa.

W swoim magisterskim dowodzie słuszności prawa Kirchhoffa dotyczącego równości emisyjności i absorpcji promieniowania , Planck w sposób powtarzalny i zasadniczy wykorzystuje zasadę wzajemności Stokesa-Helmholtza. Rayleigh przedstawił podstawową ideę wzajemności jako konsekwencję liniowości propagacji małych drgań, światła składającego się z drgań sinusoidalnych w ośrodku liniowym.

Kiedy na drodze promienia znajdują się pola magnetyczne, zasada nie ma zastosowania. Odejście medium optycznego od liniowości powoduje również odejście od wzajemności Helmholtza, a także obecność poruszających się obiektów na torze promienia.

Wzajemność Helmholtza pierwotnie odnosiła się do światła. Jest to szczególna forma elektromagnetyzmu, którą można nazwać promieniowaniem pola dalekiego. W tym celu pola elektryczne i magnetyczne nie wymagają odrębnych opisów, ponieważ rozprzestrzeniają się, odżywiając się równomiernie. Zatem zasada Helmholtza jest prostym opisanym przypadkiem szczególnym wzajemności elektromagnetycznej w ogóle , która jest opisana przez odrębne opisy oddziałujących pól elektrycznych i magnetycznych. Zasada Helmholtza opiera się głównie na liniowości i superpozycyjności pola świetlnego i ma bliskie odpowiedniki w nieelektromagnetycznych, liniowych polach propagujących, takich jak dźwięk. Zostało odkryte, zanim poznano elektromagnetyczną naturę światła.

Twierdzenie o wzajemności Helmholtza zostało rygorystycznie udowodnione na wiele sposobów, generalnie wykorzystując kwantową mechaniczną symetrię odwrócenia czasu . Ponieważ te bardziej skomplikowane matematycznie dowody mogą umniejszać prostotę twierdzenia, Pogany i Turner udowodnili to w zaledwie kilku krokach, używając serii Borna . Zakładając źródło światła w punkcie A i punkt obserwacyjny O, z różnymi punktami rozproszenia między nimi, równanie Schrödingera można wykorzystać do przedstawienia wynikowej funkcji falowej w przestrzeni: ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, ... r}$

${\ Displaystyle (\ bigtriangledown ^ {2} +4 \ pi K ^ {2}) \ Psi (\ mathbf {r, r_ {A}}) = - 4 \ pi K ^ {2} V (\ mathbf {r }) \ Psi (\ mathbf {r, r_ {A}}) + \ delta (\ mathbf {r-r_ {A}})}$

Stosując funkcję Greena , powyższe równanie można rozwiązać dla funkcji falowej w postaci całkowej (a więc iteracyjnej):

${\ Displaystyle \ Psi (\ mathbf {r, r_ {A}}) = G (\ mathbf {r, r_ {A}}) -4 \ pi ^ {2} \ int G (\ mathbf {r, r ' } V (\ mathbf {r '} \ Psi (\ mathbf {r', r_ {A}}) d \ mathbf {r '}}$

gdzie

${\ Displaystyle G (\ mathbf {r, r '}) = - {\ Frac {exp (2 \ pi iK | \ mathbf {r-r'} |)} {| \ mathbf {r-r '} |} }}$ .

Następnie można założyć, że rozwiązanie wewnątrz ośrodka rozpraszającego w punkcie O można przybliżyć szeregiem Borna, wykorzystując przybliżenie Borna w teorii rozpraszania. W ten sposób serię można powtórzyć w zwykły sposób, aby wygenerować następujące rozwiązanie integralne:

${\ Displaystyle \ Psi (\ mathbf {r_ {O}, r_ {A}}) = G (\ mathbf {r_ {O}, r_ {A}}) -4 \ pi ^ {2} \ int G (\ mathbf {r_ {O}, r_ {1}}) V (\ mathbf {r_ {1}}) G (\ mathbf {r_ {1}, r_ {A}}) d \ mathbf {r_ {1}}}$

${\ Displaystyle + (- 4 \ pi ^ {2}) ^ {2} \ int d \ mathbf {r_ {1}} \ int G (\ mathbf {r_ {O}, r_ {1}}) G (\ mathbf {r_ {1}, r_ {2}}) V (\ mathbf {r_ {1}}) V (\ mathbf {r_ {2}}) G (\ mathbf {r_ {2}, r_ {A}} ) d \ mathbf {r_ {2}}}$

${\ Displaystyle + (- 4 \ pi ^ {2}) ^ {3} \ int d \ mathbf {r_ {1}} \ int d \ mathbf {r_ {2}} \ int G (\ mathbf {r_ {O }, r_ {1}}) G (\ mathbf {r_ {1}, r_ {2}}) G (\ mathbf {r_ {2}, r_ {3}}) V (\ mathbf {r_ {1}} ) V (\ mathbf {r_ {2}}) V (\ mathbf {r_ {3}}) G (\ mathbf {r_ {3}, r_ {A}}) d \ mathbf {r_ {3}}}$

${\ displaystyle + ...}$

Zwracając ponownie uwagę na postać funkcji Greena, widać, że przełączenie iw powyższej formie nie zmieni wyniku; to znaczy, co jest matematycznym stwierdzeniem twierdzenia o wzajemności: przełączenie źródła światła A i punktu obserwacyjnego O nie zmienia obserwowanej funkcji falowej. ${\ displaystyle \ mathbf {r_ {A}}}$${\ displaystyle \ mathbf {r_ {O}}}$${\ Displaystyle \ Psi (\ mathbf {r_ {A}, r_ {O}}) = \ Psi (\ mathbf {r_ {O}, r_ {A}})}$

Aplikacje

Jedną z prostych, ale ważnych implikacji tej zasady wzajemności jest to, że każde światło skierowane przez soczewkę w jednym kierunku (od obiektu do płaszczyzny obrazu) jest optycznie równe swojemu koniugatowi, tj. Światło jest kierowane przez to samo ustawienie, ale w przeciwnym kierunku. Elektron skupiony przez dowolną serię elementów optycznych nie „dba” o to, z którego kierunku pochodzi; tak długo, jak przydarzają się mu te same zdarzenia optyczne, wynikowa funkcja falowa będzie taka sama. Z tego powodu zasada ta ma ważne zastosowania w dziedzinie transmisyjnej mikroskopii elektronowej (TEM) . Pogląd, że sprzężone procesy optyczne dają równoważne wyniki, pozwala użytkownikowi mikroskopu na głębsze zrozumienie i znaczną elastyczność technik obejmujących dyfrakcję elektronów , wzory Kikuchi , obrazy w ciemnym polu i inne.

Ważnym zastrzeżeniem, na które należy zwrócić uwagę, jest to, że w sytuacji, gdy elektrony tracą energię po interakcji z ośrodkiem rozpraszającym próbki, nie występuje symetria odwrócenia czasu. Dlatego wzajemność ma zastosowanie tylko w sytuacjach elastycznego rozpraszania . W przypadku rozpraszania nieelastycznego z niewielkimi stratami energii można wykazać, że do przybliżenia intensywności (a nie amplitudy fali) można użyć wzajemności. Tak więc w przypadku bardzo grubych próbek lub próbek, w których dominuje rozpraszanie nieelastyczne, korzyści wynikające z zastosowania wzajemności we wcześniej wspomnianych zastosowaniach TEM nie są już aktualne. Ponadto wykazano eksperymentalnie, że wzajemność ma zastosowanie w TEM w odpowiednich warunkach, ale fizyka leżąca u podstaw tej zasady mówi, że wzajemność może być naprawdę dokładna tylko wtedy, gdy transmisja promienia zachodzi tylko przez pola skalarne, tj. Nie ma pól magnetycznych. Możemy zatem stwierdzić, że zniekształcenia wzajemności spowodowane polami magnetycznymi soczewek elektromagnetycznych w TEM można zignorować w typowych warunkach pracy. Jednak użytkownicy powinni uważać, aby nie stosować wzajemności do technik obrazowania magnetycznego, TEM materiałów ferromagnetycznych lub zewnętrznych sytuacji TEM bez dokładnego rozważenia. Ogólnie rzecz biorąc, bieguny dla TEM są projektowane przy użyciu analizy elementów skończonych generowanych pól magnetycznych w celu zapewnienia symetrii.  

W TEM zastosowano magnetyczne systemy soczewek obiektywowych w celu uzyskania rozdzielczości w skali atomowej przy jednoczesnym utrzymaniu środowiska wolnego od pola magnetycznego w płaszczyźnie próbki, ale metoda tego nadal wymaga dużego pola magnetycznego powyżej (i poniżej) próbki, w związku z czym negowanie wszelkich efektów wzmocnienia wzajemności, których można by się spodziewać. Ten system działa poprzez umieszczenie próbki pomiędzy przednimi i tylnymi biegunami soczewki obiektywu, jak w zwykłym TEM, ale dwa bieguny są utrzymywane w dokładnej lustrzanej symetrii względem płaszczyzny próbki między nimi. Tymczasem ich polaryzacje wzbudzeń są dokładnie przeciwne, generując pola magnetyczne, które prawie doskonale znoszą się w płaszczyźnie próbki. Ponieważ jednak nie znoszą się one gdzie indziej, trajektoria elektronu musi nadal przechodzić przez pola magnetyczne.

Wzajemność można również wykorzystać do zrozumienia głównej różnicy między TEM a skaningową transmisyjną mikroskopią elektronową (STEM) , która zasadniczo charakteryzuje się zmianą położenia źródła elektronów i punktu obserwacji. Jest to faktycznie to samo, co odwrócenie czasu w TEM, tak że elektrony przemieszczają się w przeciwnym kierunku. Dlatego w odpowiednich warunkach (w których obowiązuje wzajemność) wiedza na temat obrazowania TEM może być przydatna przy robieniu i interpretowaniu obrazów za pomocą STEM.

Bibliografia

Zobacz też

• Wzajemność (elektromagnetyzm)