Hesja postać normalna - Hesse normal form

Odległość od początku O do prostej E obliczona z postaci normalnej Hessego. Wektor normalny na czerwono, linia na zielono, punkt O na niebiesko.

Postać normalna Hessego nazwana na cześć Otto Hessego jest równaniem używanym w geometrii analitycznej i opisuje linię w lub płaszczyznę w przestrzeni euklidesowej lub hiperpłaszczyznę w wyższych wymiarach. Jest używany głównie do obliczania odległości (patrz odległość punkt-płaszczyzna i odległość punkt-linia ). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Jest napisany w notacji wektorowej jako

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}$

Kropka oznacza iloczyn skalarny lub iloczynu skalarnego . Wektor wskazuje od początku układu współrzędnych O do dowolnego punktu P leżącego dokładnie na płaszczyźnie lub na linii E . Wektor reprezentuje jednostkowy wektor normalny płaszczyzny lub prostej E . Odległość to najkrótsza odległość od początku O do płaszczyzny lub linii. ${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle {\vec {r}}}$${\displaystyle {\vec {n}}_{0}}$ ${\displaystyle d\geq 0}$

Wyprowadzenie/obliczenie z postaci normalnej

Uwaga: Dla uproszczenia w poniższym wyprowadzeniu omówiono przypadek 3D. Ma to jednak zastosowanie również w 2D.

W normalnej formie

${\ Displaystyle ({\ vec {r}} - {\ vec {a}}) \ cdot {\ vec {n}} = 0 \}$

płaszczyzna jest dana przez wektor normalny oraz przez dowolny wektor pozycji punktu . Kierunek jest wybierany w celu zaspokojenia następującej nierówności ${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle {\vec {a}}}$${\ Displaystyle A \ w E}$${\displaystyle {\vec {n}}}$

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {n}}\geq 0\,}$

Dzieląc wektor normalny przez jego wielkość , otrzymujemy jednostkowy (lub znormalizowany) wektor normalny ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\ Displaystyle | {\ vec {n}} |}$

${\ Displaystyle {\ vec {n}} _ {0} = {{\ vec {n}} \ ponad {| {\ vec {n}} |}} \}$

a powyższe równanie można przepisać jako

${\ Displaystyle ({\ vec {R}} - {\ vec {a}}) \ cdot {\ vec {n}} _ {0}=0. \,}$

Zastępowanie

${\displaystyle d={\vec {a}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0\,}$

otrzymujemy postać normalną Hesse

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}$

Na tym diagramie d jest odległością od początku. Ponieważ obowiązuje dla każdego punktu na płaszczyźnie, jest to również prawdziwe w punkcie Q (punkt, w którym wektor z początku styka się z płaszczyzną E), z , zgodnie z definicją iloczynu skalarnego${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d}$${\ Displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {s}}$

${\ Displaystyle d = {\ vec {R}} _ {s} \ cdot {\ vec {n}} _ {0}= | {\ vec {R}} _ {s} | \ cdot | {\ vec { n}}_{0}|\cdot \cos(0^{\circ })=|{\vec {r}}_{s}|\cdot 1=|{\vec {r}}_{s} |.\,}$

Wielkość of to najkrótsza odległość od początku do samolotu. ${\ Displaystyle | {\ vec {r}} _ {s} |}$${\ Displaystyle {{\ vec {r}} _ {s}}}$

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Heska forma normalna” . MatematykaŚwiat .