Historia rachunku różniczkowego - History of calculus

Rachunek różniczkowy , znany w swojej wczesnej historii jako rachunek nieskończenie mały , jest dyscypliną matematyczną skoncentrowaną na granicach , ciągłości , pochodnych , całkach i szeregach nieskończonych . Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz niezależnie opracowali teorię rachunku nieskończenie małych pod koniec XVII wieku. Pod koniec XVII wieku zarówno Leibniz, jak i Newton twierdzili, że drugi ukradł jego pracę, a kontrowersje dotyczące rachunku różniczkowego Leibniza i Newtona trwały aż do śmierci Leibniza w 1716 roku.

Pionierzy rachunku różniczkowego

Starożytny

Archimedes użył metody wyczerpania, aby obliczyć obszar wewnątrz okręgu

Starożytni okres wprowadzono niektóre z pomysłów, które doprowadziły do integralnego rachunku, ale nie wydaje się, że te pomysły opracowane w sposób rygorystyczny i systematyczny sposób. Obliczenia objętości i powierzchni, jeden z celów rachunku całkowego, można znaleźć w egipskim papirusie moskiewskim (ok. 1820 pne), ale wzory są podane tylko dla konkretnych liczb, niektóre są tylko w przybliżeniu prawdziwe i nie są wyprowadzane przez dedukcję rozumowanie. Babilończycy mogli odkryć regułę trapezu podczas obserwacji astronomicznych Jowisza .

W wieku od greckiego matematyka , Eudoksos (ok. 408-355 pne) wykorzystał metodę wyczerpania , który zapowiada pojęcia granicy, na obszarach obliczyć i objętości, a Archimedes (ok. 287-212 pne) rozwinął tę ideę dalej , wymyślając heurystyki, które przypominają metody rachunku całkowego. Greckim matematykom przypisuje się również znaczące użycie nieskończenie małych . Demokryt jest pierwszą nagraną osobą, która poważnie rozważa podział obiektów na nieskończoną liczbę przekrojów, ale jego niezdolność do racjonalizacji dyskretnych przekrojów o gładkim nachyleniu stożka uniemożliwiła mu zaakceptowanie tej idei. Mniej więcej w tym samym czasie Zenon z Elei jeszcze bardziej zdyskredytował nieskończenie małe, wypowiadając paradoksy, które tworzą.

Archimedes rozwinął tę metodę dalej, jednocześnie wymyślając metody heurystyczne, które przypominają nieco współczesne koncepcje w jego Kwadraturze paraboli , Metodzie i Na sferze i cylindrze . Nie należy jednak sądzić, że w tym czasie nieskończenie małe miały rygorystyczne podstawy. Dopiero po uzupełnieniu go odpowiednim dowodem geometrycznym matematycy greccy uznaliby zdanie za prawdziwe. Dopiero w XVII wieku metoda ta została sformalizowana przez Cavalieriego jako metoda niepodzielności i ostatecznie włączona przez Newtona w ogólne ramy rachunku całkowego . Archimedes jako pierwszy znalazł styczną do krzywej innej niż okrąg metodą zbliżoną do rachunku różniczkowego. Badając spiralę, podzielił ruch punktu na dwie składowe, jedną promieniową i jedną okrężną, a następnie kontynuował dodawanie tych dwóch składowych do siebie, znajdując w ten sposób styczną do krzywej. Pionierzy rachunku różniczkowego, tacy jak Isaac Barrow i Johann Bernoulli, byli pilnymi uczniami Archimedesa; patrz na przykład CS Roero (1983).

Metoda wyczerpywania został odkryty na nowo w Chinach przez Liu Hui w 4 wieku naszej ery, aby wybrać obszar okręgu. W V wieku Zu Chongzhi ustanowił metodę, która później została nazwana zasadą Cavalieri, aby znaleźć objętość kuli .

Średniowieczny

Na islamskim Bliskim Wschodzie arabski matematyk z XI wieku Ibn al-Haytham (Alhazen) wyprowadził wzór na sumę czterech potęg . Wykorzystał te wyniki do przeprowadzenia tego, co teraz nazwano by całkowaniem , gdzie wzory na sumy całkowitych kwadratów i czwarte potęgi pozwoliły mu obliczyć objętość paraboloidy . W 12 wieku, perski matematyk Sharaf al-Din al-Tusi odkrył pochodną z wielomianów sześciennych . Jego Treatise on Equations rozwinęło koncepcje związane z rachunkiem różniczkowym , takie jak funkcja pochodnej oraz maksima i minima krzywych, w celu rozwiązania równań sześciennych, które mogą nie mieć pozytywnych rozwiązań.

Niektóre idee dotyczące rachunku różniczkowego pojawiły się później w indyjskiej matematyce , w szkole astronomii i matematyki w Kerali . Madhava z Sangamagramu w XIV wieku, a później matematycy ze szkoły Kerala, określili elementy rachunku różniczkowego, takie jak szereg Taylora i przybliżenia szeregów nieskończonych . Jednak nie byli w stanie połączyć wielu różnych pomysłów w ramach dwóch jednoczących tematów pochodnej i całki , pokazać związek między nimi i przekształcić rachunek różniczkowy w potężne narzędzie do rozwiązywania problemów, które mamy dzisiaj.

Matematyczne studium ciągłości zostało wznowione w XIV wieku przez Oxford Calculators i francuskich współpracowników, takich jak Nicole Oresme . Udowodnili „ twierdzenie o średniej prędkości Mertona ”: że jednostajnie przyspieszone ciało pokonuje tę samą odległość, co ciało o stałej prędkości, którego prędkość jest równa połowie prędkości końcowej ciała przyspieszonego.

Wczesna nowoczesność

W XVII wieku matematycy europejscy Izaak Barrow , René Descartes , Pierre de Fermat , Blaise Pascal , John Wallis i inni dyskutowali o idei pochodnej . W szczególności w Methodus ad disquirendam maximam et minima oraz w De tangentibus linearum curvarum Fermat opracował metodę rozbieżności wyznaczania maksimów, minimów i stycznych do różnych krzywych, która była ściśle związana z różnicowaniem. Isaac Newton napisał później, że jego wczesne pomysły na temat rachunku różniczkowego pochodziły bezpośrednio z „sposobu rysowania stycznych Fermata”.

Integralnego strony Cavalieri rozwinął sposób indivisibles w 1630 i 1640, zapewniając bardziej nowoczesnej formy starożytnego greckiego metodą wyczerpywania i obliczanie wzoru kwadraturowego CAVALIERI w obszar pod krzywą x n wyższego stopnia, który uprzednio zostały obliczone tylko dla paraboli przez Archimedesa. Torricelli rozszerzył tę pracę na inne krzywe, takie jak cykloida , a następnie wzór został uogólniony na potęgi ułamkowe i ujemne przez Wallisa w 1656 r. W traktacie z 1659 r. Fermatowi przypisuje się genialną sztuczkę do bezpośredniego obliczania całki dowolnej funkcji potęgowej. Fermat uzyskał również technikę znajdowania środków ciężkości różnych figur płaskich i bryłowych, co wpłynęło na dalsze prace w kwadraturze. James Gregory , pod wpływem wkładu Fermata zarówno w styczność, jak i kwadraturę, był w stanie udowodnić ograniczoną wersję drugiego fundamentalnego twierdzenia rachunku różniczkowego w połowie XVII wieku. Pierwszy pełny dowód fundamentalnego twierdzenia rachunku różniczkowego dał Izaak Barrow .

Zacieniowane pole jednej jednostki miary kwadratowej, gdy x = 2,71828... Odkrycie liczby Eulera e i jej wykorzystanie z funkcjami e x i logarytmem naturalnym dopełniło teorii całkowania dla rachunku funkcji wymiernych.

Jednym z warunków wstępnych do ustanowienia rachunku funkcji zmiennej rzeczywistej było znalezienie funkcji pierwotnej dla funkcji wymiernej. Problem ten można sformułować jako kwadraturę prostokątnej hiperboli xy = 1. W 1647 Gregoire de Saint-Vincent zauważył, że wymagana funkcja F spełnione tak, że ciąg geometryczny stał się, pod F , ciągiem arytmetycznym . AA de Sarasa powiązał tę cechę ze współczesnymi algorytmami zwanymi logarytmami, które oszczędzały arytmetykę poprzez przekształcenie mnożenia w dodawanie. Więc F było po raz pierwszy znane jako logarytm hiperboliczny . Po Eulera wykorzystać e = 2,71828 ..., i C uznano jako funkcję odwrotną do funkcji wykładniczej , stało się logarytm naturalny , spełniającą

Pierwszy dowód twierdzenia Rolle'a dał Michel Rolle w 1691 roku przy użyciu metod opracowanych przez holenderskiego matematyka Johanna van Waverena Hudde . Twierdzenie o wartości średniej we współczesnej postaci zostało spisane przez Bernarda Bolzano i Augustina-Louisa Cauchy'ego (1789–1857) również po powstaniu współczesnego rachunku różniczkowego. Ważny wkład wnieśli także Barrow , Huygens i wielu innych.

Newton i Leibniz

Izaak Newton
Gottfrieda Leibniza
Zobacz także: kontrowersje dotyczące rachunku Leibniza-Newtona

Przed Newtonem i Leibnizem słowo „rachunek różniczkowy” odnosiło się do każdej dziedziny matematyki, ale w następnych latach „rachunek różniczkowy” stał się popularnym terminem dla dziedziny matematyki opartej na ich spostrzeżeniach. Newton i Leibniz, opierając się na tej pracy, niezależnie opracowali pod koniec XVII wieku otaczającą ją teorię rachunku różniczkowego. Ponadto Leibniz wykonał wiele pracy nad opracowaniem spójnej i użytecznej notacji i pojęć. Newton dostarczył jedne z najważniejszych zastosowań fizyki, zwłaszcza rachunku całkowego . Celem tej części jest zbadanie badań Newtona i Leibniza w rozwijającej się dziedzinie rachunku różniczkowego. Szczególne znaczenie będzie przywiązywać do terminów uzasadniających i opisowych, których używali, próbując zrozumieć rachunek różniczkowy tak, jak sami go sobie pojmowali.

W połowie XVII wieku matematyka europejska zmieniła swoje podstawowe repozytorium wiedzy. W porównaniu z ubiegłym stuleciem, w którym matematyka hellenistyczna była punktem wyjścia do badań, Newton, Leibniz i ich współcześni coraz częściej zwracali uwagę na prace bardziej nowoczesnych myślicieli. Europa stała się domem dla rozkwitającej społeczności matematycznej, a wraz z pojawieniem się ulepszonych podstaw instytucjonalnych i organizacyjnych osiągnięto nowy poziom organizacji i integracji akademickiej. Co ważne, gminie brakowało jednak formalizmu; zamiast tego składała się z nieuporządkowanej masy różnych metod, technik, zapisów , teorii i paradoksów .

Newton doszedł do rachunku różniczkowego w ramach swoich badań z zakresu fizyki i geometrii . Postrzegał rachunek różniczkowy jako naukowy opis generowania ruchu i wielkości . Dla porównania, Leibniz skupił się na problemie stycznych i doszedł do przekonania, że ​​rachunek różniczkowy jest metafizycznym wyjaśnieniem zmiany. Co ważne, sednem ich wglądu było sformalizowanie odwrotnych właściwości między całką a różniczką funkcji . To spostrzeżenie było antycypowane przez ich poprzedników, ale to oni jako pierwsi wymyślili rachunek różniczkowy jako system, w którym stworzono nową retorykę i terminy opisowe. Ich wyjątkowe odkrycia leżą nie tylko w ich wyobraźni, ale także w ich zdolności do syntezy otaczających ich wglądów w uniwersalny proces algorytmiczny, tworząc w ten sposób nowy system matematyczny.

Niuton

Newton nie ukończył żadnej ostatecznej publikacji formalizującej jego rachunek zmienności ; raczej wiele z jego matematycznych odkryć zostało przekazanych w korespondencji, w mniejszych artykułach lub jako elementy osadzone w jego innych ostatecznych kompilacjach, takich jak Principia i Opticks . Newton rozpoczął naukę matematyki jako wybrany spadkobierca Izaaka Barrowa w Cambridge . Jego uzdolnienia zostały wcześnie rozpoznane i szybko nauczył się aktualnych teorii. W 1664 Newton dokonał swojego pierwszego ważnego wkładu, rozwijając twierdzenie dwumianowe , które rozszerzył o wykładniki ułamkowe i ujemne . Newtonowi udało się rozszerzyć stosowalność twierdzenia dwumianowego przez zastosowanie algebry wielkości skończonych w analizie szeregów nieskończonych . Wykazał chęć postrzegania nieskończonych serii nie tylko jako przybliżonych środków, ale także jako alternatywnych form wyrażenia terminu.

Wiele krytycznych spostrzeżeń Newtona pojawiło się w latach epidemii 1665–1666, które później określił jako „największy w moim wieku, gdy chodziło o wynalazki, myślącą matematykę i filozofię [naturalną] bardziej niż kiedykolwiek od tamtej pory”. To właśnie w czasie jego izolacji wywołanej przez zarazę, w nieopublikowanym De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas zapisano pierwszą pisemną koncepcję rachunku fluktuacyjnego . W tym artykule Newton określił obszar pod krzywą , obliczając najpierw chwilową szybkość zmian, a następnie ekstrapolując całkowitą powierzchnię. Zaczął od wnioskowania o nieskończenie małym trójkącie, którego pole powierzchni jest funkcją od x i y . Następnie doszedł do wniosku, że nieskończenie mały wzrost odciętej stworzy nową formułę, w której x = x + o (co ważne, o jest literą, a nie cyfrą 0). Następnie ponownie obliczył pole za pomocą twierdzenia dwumianowego, usunął wszystkie wielkości zawierające literę o i ponownie utworzył wyrażenie algebraiczne dla pola. Co znamienne, Newton „wymazałby” ilości zawierające o, ponieważ wyrazy „pomnożone przez to będą niczym w stosunku do reszty”.

W tym momencie Newton zaczął zdawać sobie sprawę z centralnej własności inwersji. Stworzył wyrażenie dla obszaru pod krzywą, biorąc pod uwagę chwilowy wzrost w punkcie. W efekcie w jego obliczeniach wbudowano podstawowe twierdzenie o rachunku różniczkowym . Chociaż jego nowa formuła oferowała niesamowity potencjał, Newton doskonale zdawał sobie wtedy sprawę z jej logicznych ograniczeń. Przyznaje, że „błędów nie należy lekceważyć w matematyce, bez względu na to, jak małe” i że to, co osiągnął, „raczej zostało krótko wyjaśnione niż dokładnie zademonstrowane”.

W celu nadania rachunku różniczkowego bardziej rygorystycznych wyjaśnień i ram, Newton skompilował w 1671 r. Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum . W tej książce ścisły empiryzm Newtona ukształtował i zdefiniował jego rachunek fluktuacyjny. Nieformalnie wykorzystywał ruch chwilowy i nieskończenie małe. Używał matematyki jako narzędzia metodologicznego do wyjaśniania świata fizycznego. Podstawa zrewidowanego rachunku Newtona stała się ciągłością; jako taki przedefiniował swoje obliczenia w terminach ciągłego ruchu płynącego. Dla Newtona zmienne wielkości nie są agregatami nieskończenie małych pierwiastków, lecz są generowane przez niepodważalny fakt ruchu. Podobnie jak w przypadku wielu swoich prac, Newton zwlekał z publikacją. Methodus Fluxionum został opublikowany dopiero w 1736 roku.

Newton próbował uniknąć stosowania nieskończenie małej, tworząc obliczenia oparte na stosunkach zmian. W Methodus Fluxionum określił tempo generowanej zmiany jako fluksję , którą reprezentował kropkowaną literą, a generowaną ilość określił jako płynną . Na przykład, jeśli i są płynni, to i są ich odpowiednimi fluktuacjami. Ten zrewidowany rachunek stosunków był nadal rozwijany i został dojrzało sformułowany w tekście De Quadratura Curvarum z 1676 r., gdzie Newton zaczął definiować współczesną pochodną jako ostateczny stosunek zmiany, który zdefiniował jako stosunek między przyrostami zanikającymi (stosunek zmian ) wyłącznie w danym momencie. Zasadniczo ostateczny stosunek to stosunek, w którym przyrosty znikają w nicości. Co ważne, Newton wyjaśnił istnienie ostatecznego stosunku odwołując się do ruchu;

„Bo przez prędkość ostateczną rozumie się to, z jaką porusza się ciało, ani przed dotarciem do swojego ostatniego miejsca, kiedy ruch ustaje, ani po tym, ale w tej samej chwili, gdy przybywa… ostateczny stosunek zanikających wielkości jest należy rozumieć, stosunek ilości nie przed zniknięciem, nie po, ale z którym znikają”

Newton opracował swój rachunek fluksyjny, próbując uniknąć nieformalnego użycia nieskończenie małych w swoich obliczeniach.

Leibniz

Leibniz: Nova methodus pro maximis et minimis , Acta Eruditorum, Lipsk, październik 1684. Pierwsza strona publikacji Leibniza o rachunku różniczkowym.
Wykresy przywołane w artykule Leibniza z 1684 r.

Podczas gdy Newton rozpoczął rozwój swojego rachunku fluksyjnego w latach 1665-1666, jego odkrycia rozpowszechniły się dopiero później. W międzyczasie Leibniz również starał się stworzyć swój rachunek różniczkowy. W porównaniu z Newtonem, który zaczął matematykę w młodym wieku, Leibniz rozpoczął rygorystyczne studia matematyczne z dojrzałym intelektem. Był erudytą , a jego zainteresowania i osiągnięcia intelektualne dotyczyły metafizyki , prawa , ekonomii , polityki , logiki i matematyki . Aby zrozumieć rozumowanie Leibniza w rachunku różniczkowym, należy pamiętać o jego pochodzeniu. W szczególności jego metafizyka, która opisywała wszechświat jako monadologię , i jego plany stworzenia precyzyjnej logiki formalnej, za pomocą której „ogólna metoda sprowadzałaby wszystkie prawdy rozumu do pewnego rodzaju kalkulacji”.

W 1672 Leibniz spotkał matematyka Huygensa, który przekonał Leibniza, by poświęcił dużo czasu na naukę matematyki. Przez 1673 roku nastąpiła progresja do czytania Pascal „s Traité des Sinus du Quarte Cercle i to właśnie podczas jego dużej mierze samouczącego badań, które Leibniz powiedział«światło włączone». Podobnie jak Newton, Leibniz postrzegał tangens jako stosunek, ale zadeklarował, że jest to po prostu stosunek rzędnych do odciętych . Kontynuował to rozumowanie, aby argumentować, że całka jest w rzeczywistości sumą rzędnych dla nieskończenie małych przedziałów w odciętej; w efekcie suma nieskończonej liczby prostokątów. Z tych definicji odwrotna zależność lub różniczka stała się jasna i Leibniz szybko zdał sobie sprawę z potencjału stworzenia zupełnie nowego systemu matematyki. Podczas gdy Newton w trakcie swojej kariery stosował kilka podejść oprócz podejścia wykorzystującego nieskończenie małe , Leibniz uczynił to kamieniem węgielnym swojej notacji i rachunku różniczkowego.

W rękopisach od 25 października do 11 listopada 1675 Leibniz zapisał swoje odkrycia i eksperymenty z różnymi formami zapisu. Był doskonale świadomy użytych terminów notacyjnych i jego wcześniejsze plany stworzenia precyzyjnej logicznej symboliki stały się oczywiste. Ostatecznie Leibniz oznaczył nieskończenie małe przyrosty odciętych i rzędnych dx i dy oraz sumę nieskończenie wielu nieskończenie małych prostokątów jako długie s (∫ ), które stały się obecnym symbolem całkowym .

Chociaż notacja Leibniza jest używana przez współczesną matematykę, jego podstawa logiczna różniła się od naszej obecnej. Leibniz obejmował nieskończenie małe i pisał obszernie, aby „nie czynić z nieskończenie małego tajemnicy, jak robił to Pascal”. Według Gillesa Deleuze'a zera Leibniza „są niczym, ale nie są niczym absolutnym, są odpowiednio niczym” (cytując tekst Leibniza „Uzasadnienie rachunku nieskończenie małych przez rachunek zwykłej algebry”). Alternatywnie definiuje je jako „mniej niż jakakolwiek dana ilość”. Dla Leibniza świat był zbiorem nieskończenie małych punktów i brak naukowych dowodów na ich istnienie nie przeszkadzał mu. Infinitesimals dla Leibniza były idealnymi ilościami innego typu niż liczby znaczące. Prawdę o ciągłości dowiodło samo istnienie. Leibnizowi zapewniono zasadę ciągłości, a tym samym ważność jego rachunku. Trzysta lat po pracy Leibniza Abraham Robinson wykazał, że użycie nieskończenie małych ilości w rachunku różniczkowym może mieć solidne podstawy.

Spuścizna

Powstanie rachunku różniczkowego jest wyjątkowym momentem w matematyce. Rachunek różniczkowy jest matematyką ruchu i zmian i jako taki, jego wynalezienie wymagało stworzenia nowego systemu matematycznego. Co ważne, Newton i Leibniz nie stworzyli tego samego rachunku różniczkowego i nie wymyślili rachunku współczesnego. Chociaż obaj byli zaangażowani w proces tworzenia systemu matematycznego do radzenia sobie ze zmiennymi wielkościami, ich podstawowa podstawa była inna. Dla Newtona zmiana była wielkością zmienną w czasie, a dla Leibniza była to różnica obejmująca ciąg nieskończenie bliskich wartości. Warto zauważyć, że terminy opisowe, które każdy system stworzył w celu opisania zmiany, były inne.

Historycznie toczyło się wiele dyskusji na temat tego, czy to Newton czy Leibniz pierwsi „wynaleźli” rachunek różniczkowy. Ten argument, kontrowersje dotyczące rachunku Leibniza i Newtona , dotyczące Leibniza, który był Niemcem, i Anglika Newtona, doprowadziły do ​​trwającego ponad sto lat rozłamu w europejskiej społeczności matematycznej. Leibniz jako pierwszy opublikował swoje badania; jednak dobrze wiadomo, że Newton rozpoczął swoją pracę kilka lat przed Leibnizem i rozwinął już teorię stycznych , zanim Leibniz zainteresował się tym zagadnieniem. Nie wiadomo, jak bardzo mogło to wpłynąć na Leibniza. Pierwsze oskarżenia wysunęli studenci i sympatycy dwóch wielkich naukowców na przełomie wieków, ale po 1711 r. obaj zaangażowali się osobiście, oskarżając się nawzajem o plagiat .

Spór o pierwszeństwo spowodował odseparowanie na wiele lat matematyków anglojęzycznych od tych z kontynentalnej Europy. Dopiero w latach dwudziestych XIX wieku, dzięki wysiłkom Towarzystwa Analitycznego , leibnizowski rachunek analityczny został zaakceptowany w Anglii. Dziś zarówno Newtonowi, jak i Leibnizowi przypisuje się samodzielne rozwijanie podstaw rachunku różniczkowego. Jednak to Leibnizowi przypisuje się nadanie nowej dyscyplinie nazwy, pod którą jest ona znana dzisiaj: „rachunek różniczkowy”. Nazwa Newtona to „nauka o biegłościach i fluktuacjach ”.

Praca zarówno Newtona, jak i Leibniza znajduje odzwierciedlenie w używanej dziś notacji. Newton wprowadził notację dla pochodnej funkcji f . Leibniza wprowadza symbol Dla integralny i autorem pochodną grupy funkcyjnej Y z zmiennej x a , z których oba są nadal w użyciu.

Od czasów Leibniza i Newtona wielu matematyków przyczyniło się do ciągłego rozwoju rachunku różniczkowego. Jedna z pierwszych i najbardziej kompletnych prac na temat rachunku nieskończenie małej i całkowej została napisana w 1748 roku przez Marię Gaetanę Agnesi .

Maria Gaetana Agnesi

Metody operacyjne

Główny artykuł: rachunek operacyjny

Antoine Arbogast (1800) jako pierwszy oddzielił w równaniu różniczkowym symbol operacji od symbolu ilości. Francois-Joseph Servois (1814) wydaje się być pierwszym, który podał prawidłowe zasady w tym zakresie. Charles James Hargreave (1848) zastosował te metody w swoich pamiętnikach dotyczących równań różniczkowych, a George Boole swobodnie je stosował. Hermann Grassmann i Hermann Hankel świetnie wykorzystali tę teorię, pierwszy w badaniu równań , drugi w swojej teorii liczb zespolonych .

Rachunek wariacji

Rachunek wariantów można stwierdzić, rozpocząć od problemu Johann Bernoulliego (1696). Od razu zainteresował się nim Jakob Bernoulli, ale Leonhard Euler jako pierwszy rozwinął ten temat. Jego wkład rozpoczął się w 1733 roku, a jego Elementa Calculi Variationum nadał nauce swoją nazwę. Joseph Louis Lagrange wniósł duży wkład w tę teorię, a Adrien-Marie Legendre (1786) przedstawił metodę, nie do końca zadowalającą, rozróżniania maksimów i minimów. Do tej dyskryminacji przyczynili się Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Denis Poisson (1831), Michaił Wasiliewicz Ostrogradsky (1834) i Carl Gustav Jakob Jacobi (1837). Ważną ogólną pracą jest praca Sarrusa (1842), która została skondensowana i poprawiona przez Augustina Louisa Cauchy'ego (1844). Inne cenne traktaty i wspomnienia napisali Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) i Carll (1885), ale być może najważniejszym dziełem stulecia jest praca Karla Weierstrassa . Można twierdzić, że jego kurs z teorii był pierwszym, który oparł rachunek różniczkowy na mocnym i rygorystycznym fundamencie.

Całki

Wydaje się, że Niels Henrik Abel był pierwszym, który w sposób ogólny rozważył kwestię tego, jakie równania różniczkowe można całkować w skończonej formie za pomocą funkcji zwykłych, badanie rozszerzone przez Liouville'a . Cauchy wcześnie zajął się ogólną teorią wyznaczania całek oznaczonych , a temat ten był widoczny w XIX wieku. Frullani całki , David Bierens de Haan 'praca s na teorii i jego skomplikowane tabele, Lejeune Dirichleta ' wykłady s zawarte w Meyer traktacie „s, oraz liczne wspomnienia Legendre , Poissona , Plana , Raabe , Sohncke , Schlömilch , Elliott , Leudesdorf i Kronecker to jeden z godnych uwagi wkładów.

Całki Eulera były najpierw badane przez Eulera, a następnie przez Legendre'a, przez którego zostały sklasyfikowane jako całki Eulera pierwszego i drugiego gatunku, w następujący sposób:

chociaż nie były to dokładne formy badań Eulera.

Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią :

ale integralne zbieżny pozytywne dla wszystkich prawdziwych i określa analityczną kontynuację tego silni funkcji do wszystkich płaszczyźnie zespolonej z wyjątkiem biegunów przy zera i liczb ujemnych. Legendre przypisał mu ten symbol i nazywa się go teraz funkcją gamma . Poza tym, że jest analityczna względem pozytywnych liczb rzeczywistych ℝ + ,   posiada również unikalnie definiującą właściwość, która   jest wypukła , która estetycznie uzasadnia tę analityczną kontynuację funkcji silni nad jakąkolwiek inną kontynuacją analityczną. Do tematu Lejeune Dirichlet wniósł ważne twierdzenie (Liouville, 1839), które zostało opracowane przez Liouville'a , Katalończyka , Leslie Ellisa i innych. Raabe (1843–44), Bauer (1859) i Gudermann (1845) pisali o ocenie i . Wielki stół Legendre'a pojawił się w 1816 roku.

Aplikacje

Zastosowanie rachunku nieskończenie małych do problemów fizyki i astronomii było współczesne początkom nauki. Przez cały XVIII wiek te zastosowania były mnożone, aż do momentu, gdy Laplace i Lagrange wprowadzili cały zakres badań sił do sfery analizy. Aby Lagrange (1773) zawdzięczamy wprowadzenie do teorii potencjału do dynamiki, chociaż „nazwa potencjalna funkcja ” i podstawowym wspomnienia przedmiotu są spowodowane Greena (1827, wydrukowany w 1828 roku). Nazwa „ potencjał ” pochodzi od Gaussa (1840), a rozróżnienie między potencjałem a funkcją potencjalną od Clausiusa . Z jego rozwojem związane są nazwiska Lejeune Dirichleta , Riemanna , von Neumanna , Heine , Kroneckera , Lipschitza , Christoffela , Kirchhoffa , Beltramiego i wielu czołowych fizyków stulecia.

W tym miejscu niemożliwe jest wejście w wielką różnorodność innych zastosowań analizy problemów fizycznych. Wśród nich są badania Eulera nad drgającymi akordami; Sophie Germain na elastycznych membranach; Poissona, Lamé , Saint-Venanta i Clebscha o elastyczności ciał trójwymiarowych; Fouriera o dyfuzji ciepła ; Fresnel na światło ; Maxwell , Helmholtz i Hertz o elektryczności ; Hansen, Hill i Gyldén o astronomii ; Maxwell o harmonikach sferycznych ; Lord Rayleigh o akustyce ; oraz wkład Lejeune Dirichleta, Webera , Kirchhoffa , F. Neumanna , Lorda Kelvina , Clausiusa , Bjerknesa , MacCullagha i Fuhrmanna w ogólną fizykę. Na szczególną uwagę zasługuje praca Helmholtza, który wniósł wkład w teorie dynamiki, elektryczności itd. i wniósł swoje wielkie zdolności analityczne do przełożenia na fundamentalne aksjomaty mechaniki, jak również na aksjomaty czystej matematyki.

Ponadto do nauk społecznych wprowadzono rachunek różniczkowy nieskończenie mały, począwszy od ekonomii neoklasycznej . Dziś jest cennym narzędziem w ekonomii głównego nurtu.

Zobacz też

Uwagi

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki