Grupa homeomorfizmu - Homeomorphism group

W matematyce , zwłaszcza Topologia The grupa homeomorfizm o topologii powierzchni jest grupa składająca się ze wszystkich homeomorfizmów z przestrzeni do siebie w składzie funkcyjnym , jak grupy operacji . Grupy homeomorficzne są bardzo ważne w teorii przestrzeni topologicznych i ogólnie są przykładami grup automorficznych . Grupy homeomorficzne są topologicznymi niezmiennikami w tym sensie, że grupy homeomorficzne homeomorficznych przestrzeni topologicznych są izomorficzne jako grupy .

Właściwości i przykłady

Istnieje naturalne działanie grupowe grupy homeomorficznej przestrzeni na tej przestrzeni. Niech będzie przestrzenią topologiczną i oznaczmy grupę homeomorfizmu przez . Akcja jest zdefiniowana w następujący sposób: ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} G \ razy X i \ longrightarrow X \ \ (\ varphi, x) i \ longmapsto \ varphi (x) \ koniec {wyrównany}}}$

Jest to działanie, ponieważ grupa dla wszystkich , ${\ Displaystyle \ varphi, \ psi \ w G}$

${\ Displaystyle \ varphi \ cdot (\ psi \ cdot x) = \ varphi (\ psi (x)) = (\ varphi \ circ \ psi ) (x)}$

w którym oznacza się działanie grupy, a element neutralny z (co jest funkcja tożsamości w ) wysyła punktów siebie. Jeśli to działanie jest przechodnie , wtedy mówi się, że przestrzeń jest jednorodna . ${\displaystyle \cdot}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle X}$

Topologia

Podobnie jak w przypadku innych zestawów map między przestrzeniami topologicznymi, grupie homeomorfizmu można nadać topologię, taką jak topologia zwarto-otwarta . W przypadku regularnych, lokalnie zwartych przestrzeniach mnożenie grup jest wtedy ciągłe.

Jeśli przestrzeń jest zwarta i Hausdorffa, inwersja jest również ciągła i staje się grupą topologiczną, jak można łatwo wykazać. Jeśli jest Hausdorff, lokalnie zwarty i lokalnie powiązany, to również obowiązuje. Istnieją jednak lokalnie zwarte, rozdzielne przestrzenie metryczne, dla których mapa inwersji nie jest ciągła, a zatem nie jest grupą topologiczną. ${\ Displaystyle \ Operatorname {Homeo} (X)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Homeo} (X)}$

W kategorii przestrzeni topologicznych z homeomorfizmami obiekty grupowe są dokładnie grupami homeomorfizmów.

Mapowanie grupy klas

W topologii geometrycznej zwłaszcza jeden uważa grupa iloraz otrzymany przez quotienting przez isotopy , zwany grupą klasy odwzorowanie :

${\ Displaystyle {\ RM {MCG}} (X) = {\ RM {homeo}} (X) / {\ RM {homeo}}_{0} (X)}$

MCG można również interpretować jako 0. grupę homotopii , . Daje to krótką dokładną sekwencję : ${\ Displaystyle {\ RM {MCG}} (X) = \ pi _ {0} ({\ RM {Homeo}} (X))}$

${\displaystyle 1\rightarrow {\rm {homeo}}_{0}(X)\rightarrow {\rm {homeo}}(X)\rightarrow {\rm {MCG}}(X)\rightarrow 1.}$

W niektórych zastosowaniach, zwłaszcza na powierzchniach, grupa homeomorfizmu jest badana za pomocą tej krótkiej dokładnej sekwencji, a najpierw bada się grupę klas mapujących i grupę izotopowo trywialnych homeomorfizmów, a następnie (czasami) rozszerzenie.

Zobacz też

• Mapowanie grupy klas

Bibliografia

• „grupa homeomorficzna” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]