Homoskedastyczność - Homoscedasticity

Wykres z losowymi danymi pokazującymi homoskedastyczność: przy każdej wartości x , wartość y kropek ma mniej więcej taką samą wariancję .

W statystycznych , A sekwencję (lub wektorem) o zmiennych losowych jest homoscedastic / ˌ H oʊ m oʊ y k ə d ć s t ɪ K / wtedy, gdy wszystkie jej przypadkowe zmienne mają takie samo skończonej wariancji . Jest to również znane jako jednorodność wariancji . Pojęcie komplementarne nazywa się heteroskedastycznością . Często używa się również pisowni homos k edasticity i heteros k edasticity .

Zakładając, że zmienna jest homoscedastic gdy w rzeczywistości jest to heteroskedastyczny ( / ˌ h ɛ t ər oʊ s k ə d ć s t ɪ k / ) powoduje bezstronnych ale nieefektywne oszacowań punktowych iw tendencyjne szacunków standardowych błędów i może skutkować przeszacowanie dobroci dopasowania mierzonej współczynnikiem Pearsona .

Założenia modelu regresji

Standardowa założenie w regresji liniowej , że wariancja terminu zakłóceń jest taki sam na obserwacji, a w szczególności nie zależy od wartości zmienne objaśniające Jest to jeden z założenia, pod którym Gaussa-Markowa twierdzenie zastosowanie i zwykły najmniejszych kwadratów (OLS) daje najlepszy liniowy bezstronny estymator („NIEBIESKI”). Homoskedastyczność nie jest wymagana, aby oszacowania współczynnika były bezstronne, spójne i asymptotycznie normalne, ale jest wymagana, aby OLS był skuteczny. Wymagane jest również, aby błędy standardowe oszacowań były bezstronne i spójne, a więc wymagane jest do dokładnego testowania hipotez, np. dla testu t, czy współczynnik jest istotnie różny od zera. ${\ Displaystyle y_ {i} = X_ {i} \ beta + \ epsilon _ {i}, i = 1, \ ldots, N}$${\ Displaystyle \ epsilon _ {i}}$${\ Displaystyle X_ {i}.}$

Bardziej formalnym sposobem na stwierdzenie założenia homoskedastyczności jest to, że wszystkie przekątne macierzy wariancji-kowariancji muszą mieć tę samą liczbę: , gdzie jest taka sama dla wszystkich i . Zauważ, że nadal pozwala to, aby niediagonalne, kowariancje , były niezerowe, co jest oddzielnym naruszeniem założeń Gaussa-Markowa, znanych jako korelacja szeregowa. ${\displaystyle \epsilon}$${\ Displaystyle E \ epsilon _ {i} \ epsilon _ {i} = \ sigma ^ {2}}$${\ Displaystyle \ sigma ^ {2}}$${\ Displaystyle E \ epsilon _ {i} \ epsilon _ {j}}$

Przykłady

Poniższe macierze są kowariancjami zakłócenia, z wpisami , gdy istnieją tylko trzy obserwacje w czasie. Zaburzenie w macierzy A jest homoskedastyczne; jest to prosty przypadek, w którym OLS jest najlepszym liniowym bezstronnym estymatorem. Zaburzenia w macierzach B i C są heteroskedastyczne. W macierzy B wariancja jest zmienna w czasie i stale rośnie w czasie; w macierzy C wariancja zależy od wartości x. Zakłócenie w macierzy D jest homoskedastyczne, ponieważ wariancje diagonalne są stałe, mimo że kowariancje pozadiagonalne są niezerowe, a zwykła metoda najmniejszych kwadratów jest nieefektywna z innego powodu: korelacji szeregowej. ${\ Displaystyle E \ epsilon _ {i} \ epsilon _ {j}}$

${\ Displaystyle A = \ sigma ^ {2} {\ zacząć {bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\koniec {bmatrix}}\;\;\;\;\;\;\;B=\sigma ^{2}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\\\end{bmatrix}}\;\;\;\;\;\;\;C=\sigma ^{2}{\begin {bmatrix}x_{1}&0&0\\0&x_{2}&0\\0&0&x_{3}\\\end{bmatrix}}\;\;\;\;\;\;\;D=\sigma ^{2 }{\begin{bmatrix}1&\rho &\rho ^{2}\\\rho &1&\rho \\\rho ^{2}&\rho &1\\\end{bmatrix}}}$

Jeśli y jest konsumpcją, x jest dochodem i jest kaprysami konsumenta, a my szacujemy, że jeśli kaprysy bogatszych konsumentów wpływają na ich wydatki w większym stopniu w dolarach bezwzględnych, możemy mieć wzrost wraz z dochodem, jak w macierzy C powyżej. ${\displaystyle \epsilon}$${\ Displaystyle y_ {i} = \ beta x_ {i} + \ epsilon _ {i},}$${\ Displaystyle Var (\ epsilon _ {i}) = x_ {i} \ sigma ^ {2}}$

Testowanie

Reszty można testować pod kątem homoskedastyczności za pomocą testu Breuscha-Pagana , który przeprowadza pomocniczą regresję kwadratów reszt na zmiennych niezależnych. Z tej regresji pomocniczej zachowana jest wyjaśniona suma kwadratów podzielona przez dwa, a następnie staje się statystyką testową dla rozkładu chi-kwadrat o stopniach swobody równych liczbie zmiennych niezależnych. Hipotezą zerową tego testu chi-kwadrat jest homoskedastyczność, a hipoteza alternatywna wskazywałaby na heteroskedastyczność. Ponieważ test Breuscha-Pagana jest czuły na odstępstwa od normalności lub małych liczebności próby, zamiast tego powszechnie stosuje się test Koenkera-Bassetta lub „uogólniony test Breuscha-Pagana”. Z regresji pomocniczej zachowuje wartość R-kwadrat, która jest następnie mnożona przez wielkość próby, a następnie staje się statystyką testową dla rozkładu chi-kwadrat (i używa tych samych stopni swobody). Chociaż nie jest to konieczne dla testu Koenkera-Bassetta, test Breuscha-Pagana wymaga, aby kwadraty reszty były również podzielone przez sumę kwadratów reszt podzieloną przez wielkość próby. Testowanie heteroskedastyczności grupowej wymaga testu Goldfelda-Quandta .

Rozkłady homoskedastyczne

Dwa lub więcej rozkładów normalnych , , są homoskedastyczne, jeśli mają wspólną macierz kowariancji (lub korelacji ), . Rozkłady homoskedastyczne są szczególnie przydatne do uzyskania algorytmów rozpoznawania wzorców statystycznych i uczenia maszynowego . Jednym z popularnych przykładów algorytmu zakładającego homoskedastyczność jest liniowa analiza dyskryminacyjna Fishera . ${\ Displaystyle N (\ mu _ {i}, \ Sigma _ {i})}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {i} = \ Sigma _ {j} \ \ dla wszystkich ja, j}$

Pojęcie homoskedastyczności można zastosować do rozkładów na sferach.

Zobacz też

• Test Bartletta
• Jednorodność (statystyki)
• Niejednorodność
• Błąd sferyczny

Bibliografia