Preferencje homotetyczne - Homothetic preferences

W teorii konsumenta preferencje konsumenta są nazywane homotetycznymi, jeśli mogą być reprezentowane przez funkcję użyteczności, która jest jednorodna stopnia 1. Na przykład, w gospodarce z dwoma dobrami , preferencje homotetyczne mogą być reprezentowane przez funkcję użyteczności, która ma następującą własność : dla każdego : ${\displaystyle x,y}$${\ Displaystyle u}$${\displaystyle a>0}$

${\ Displaystyle u (a \ cdot x, a \ cdot y) = a \ cdot u (x, y)}$

W matematyce funkcja homotetyczna jest przekształceniem monotonicznym funkcji, która jest jednorodna ; jednak ponieważ porządkowe funkcje użyteczności są definiowane tylko do rosnącej transformacji monotonicznej , istnieje niewielka różnica między tymi dwoma pojęciami w teorii konsumenta.

W modelu, w którym konkurenci konsumenci optymalizują homotetyczne funkcje użyteczności z zastrzeżeniem ograniczeń budżetowych , stosunki towarów, których potrzebują konsumenci, będą zależeć tylko od cen względnych , a nie od dochodu czy skali. Przekłada się to na liniową ścieżkę ekspansji dochodu: nachylenie krzywych obojętności jest stałe wzdłuż promieni zaczynających się od początku. To znaczy, krzywa Engela dla każdego dobra jest liniowa.

Ponadto pośrednią funkcję użyteczności można zapisać jako liniową funkcję bogactwa : ${\displaystyle w}$

${\ Displaystyle v (p_ {x}, p_ {y}, w) = f (p_ {x}, p_ {y}) \ cdot w}$

co jest szczególnym przypadkiem formy biegunowej Gormana . Zatem, jeśli wszyscy konsumenci mają homotetyczne preferencje (z tym samym współczynnikiem w zakresie zamożności), zagregowany popyt można obliczyć, biorąc pod uwagę jednego „reprezentatywnego konsumenta”, który ma te same preferencje i ten sam zagregowany dochód.

Przykłady

Funkcje użyteczności o stałej elastyczności substytucji (CES) są homotetyczne. Mogą być reprezentowane przez funkcję użyteczności, taką jak:

${\ Displaystyle u (x, y) = \ lewo (\ lewo ({x \ nad w_ {x}} \ po prawej) ^ {r} + \ lewo ({y \ nad w_ {y}} \ po prawej) ^ { r}\right)^{1/r}}$

Ta funkcja jest jednorodna stopnia 1:

${\ Displaystyle u (ax, ay) = \ lewo (a ^ {r} \ lewo ({x \ nad w_ {x}} \ prawej) ^ {r} + a ^ {r} \ lewo ({y \ ponad w_{y}}\right)^{r}\right)^{1/r}=(a^{r})^{1/r}\left(\left({x \over w_{x}} \right)^{r}+\left({y \over w_{y}}\right)^{r}\right)^{1/r}=au(x,y)}$

Liniowe narzędzia , narzędzia Leontief i użyteczności Cobba-Douglasa są szczególne przypadki funkcji CES, a tym samym są również homothetic.

Z drugiej strony media quasilinearne nie zawsze są homotetyczne. Np. funkcja nie może być reprezentowana jako funkcja jednorodna. ${\ Displaystyle u (x, y) = x + {\ sqrt {y}}}$

Preferencje intratemporal vs. intertemporal homotetyczne preferencje

Preferencje są wewnątrzczasowo jednorodne, jeśli w tym samym okresie konsumenci o różnych dochodach, ale mający te same ceny i mający identyczne preferencje, będą żądać towarów w tych samych proporcjach.

Preferencje są międzyokresowo jednorodne, jeśli w różnych okresach czasu zarówno bogaci, jak i biedni decydenci są jednakowo niechętni proporcjonalnym wahaniom konsumpcji.

Modele współczesnej makroekonomii i finansów publicznych często przyjmują formę stałej względnej niechęci do ryzyka dla użyteczności wewnątrzokresowej (zwanej również użytecznością energetyczną lub użytecznością izoelastyczną ). Powodem jest to, że w połączeniu z addytywnością w czasie daje to homotetyczne preferencje międzyokresowe i ta homotetyczność ma znaczną wygodę analityczną (np. pozwala na analizę stanów ustalonych w modelach wzrostu). Z tych założeń wynika, że elastyczność substytucji międzyokresowej i jej odwrotność, czyli współczynnik awersji (ryzyka) , są stałe.

Dowód

Wiadomo jednak, że w rzeczywistości wzorce konsumpcji zmieniają się wraz z zamożnością gospodarki. Oznacza to, że preferencje nie są w rzeczywistości jednorodne. Od dawna ustalono, że względne zmiany cen wpływają na ludzi w różny sposób, nawet jeśli wszyscy mają do czynienia z tym samym zestawem cen.

Zobacz też

• Transformacja homotetyczna
• Jednorodna funkcja

Bibliografia