Teoria homotopii - Homotopy theory

W matematyce , teoria homotopii jest systematyczne badanie sytuacji, w której mapy pochodzą z homotopies między nimi. Powstał jako temat w topologii algebraicznej, ale obecnie jest badany jako niezależna dyscyplina. Oprócz topologii algebraicznej teoria ta była również wykorzystywana w innych obszarach matematyki, takich jak geometria algebraiczna (np. Teoria homotopii A1 ) i teoria kategorii (szczególnie badanie wyższych kategorii ).

Koncepcje

Przestrzenie i mapy

W teorii homotopii i topologii algebraicznej słowo „przestrzeń” oznacza przestrzeń topologiczną . Aby uniknąć patologii , rzadko pracuje się z dowolnymi przestrzeniami; zamiast tego potrzeba przestrzeni, aby spełnić dodatkowe ograniczenia, takie jak bycie zwartym generowaniem , Hausdorffa lub kompleksem CW .

W tym samym duchu, co powyżej, „ mapa ” jest funkcją ciągłą, prawdopodobnie z pewnymi dodatkowymi ograniczeniami.

Często pracuje się z przestrzenią spiczastą - to znaczy przestrzenią z „wyróżnionym punktem”, zwanym punktem bazowym. Mapa punktowa jest wtedy mapą, która zachowuje punkty bazowe; to znaczy wysyła punkt bazowy domeny do tego z domeny kodowej. Natomiast darmowa mapa to taka, która nie musi zachowywać punktów bazowych.

Homotopia

Niech ja oznaczają przedział jednostkowy. Rodzina map zaindeksowane przez I , nazywany jest homotopią od celu , jeśli jest mapa (np, musi być funkcją ciągłą ). Gdy X , Y są spiczastymi przestrzeniami, są one wymagane do zachowania punktów bazowych. Można wykazać, że homotopia jest relacją równoważności . Biorąc pod spiczastą przestrzeni X oraz całkowitą , pozwól być homotopią klas opartych na mapach od a (spiczasty) n -sphere do X . Jak się okazuje, są to grupy ; w szczególności, jest nazywany podstawową grupę o X . ${\ displaystyle h_ {t}: X \ do Y}$${\ displaystyle h_ {0}}$${\ displaystyle h_ {1}}$${\ displaystyle h: ja \ razy X \ do Y, (t, x) \ mapsto h_ {t} (x)}$${\ displaystyle h_ {t}}$ ${\ displaystyle n \ geq 1}$${\ Displaystyle \ pi _ {n} (X) = [S ^ {n}, X] _ {*}}$${\ Displaystyle S ^ {n} \ do X}$${\ Displaystyle S ^ {n}}$${\ Displaystyle \ pi _ {n} (X)}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$

Jeśli ktoś woli pracować z przestrzenią zamiast z ostro zakończoną przestrzenią, istnieje pojęcie fundamentalnej grupoidy (i wyższych wariantów): z definicji podstawowym groupoidem przestrzeni X jest kategoria, w której obiekty są punktami X i z morfizmami są ścieżki.

Kofibracja i fibracja

Mapa nazywana jest kofibracją, jeśli podana jest (1) mapa i (2) homotopia , istnieje homotopia, która się rozciąga i tak dalej . W pewnym sensie jest to analogia do schematu definiującego modułu iniekcyjnego w algebrze abstrakcyjnej . Najbardziej podstawowym przykładem jest para CW ; ponieważ wiele z nich pracuje tylko z kompleksami CW, pojęcie kofibracji jest często domniemane. ${\ displaystyle f: A \ do X}$${\ displaystyle h_ {0}: X \ do Z}$${\ displaystyle g_ {t}: A \ do Z}$${\ displaystyle h_ {t}: X \ do Z}$${\ displaystyle h_ {0}}$${\ displaystyle h_ {t} \ circ f = g_ {t}}$ ${\ displaystyle (X, A)}$

Fibration w sensie Serre jest podwójny pojęcie korozwłóknienie: to jest mapa jest fibration jeśli podano (1) mapę i (2) homotopią , istnieje homotopią tak, że jest jeden i podane . Podstawowym przykładem jest mapa pokrywająca (w rzeczywistości fibracja jest uogólnieniem mapy pokrywającej). Jeśli jest główną wiązką G , to znaczy przestrzenią, w której występuje swobodne i przechodnie (topologiczne) działanie grupowe grupy ( topologicznej ), to mapa odwzorowania jest przykładem fibracji. ${\ displaystyle p: X \ do B}$${\ displaystyle Z \ do X}$${\ displaystyle g_ {t}: Z \ do B}$${\ displaystyle h_ {t}: Z \ do X}$${\ displaystyle h_ {0}}$${\ displaystyle p \ circ h_ {t} = g_ {t}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle p: E \ do X}$

Klasyfikacja przestrzeni i operacje homotopii

Biorąc pod uwagę grupę topologiczną G , przestrzeń klasyfikacyjna dla głównych wiązek G („aż do równoważności”) jest przestrzenią taką, że dla każdej przestrzeni X , ${\ Displaystyle BG}$

${\ Displaystyle [X, BG] =}$ {główny pakiet G na X  } / ~ ${\ displaystyle, \, \, [f] \ mapsto f ^ {*} EG}$

gdzie

• lewa strona to zbiór klas homotopii map , ${\ Displaystyle X \ do BG}$
• ~ odnosi się do izomorfizmu wiązek, a
• = jest podawane przez odciągnięcie wyróżnionej paczki na (zwanej wiązką uniwersalną) wzdłuż mapy . ${\ displaystyle EG}$${\ Displaystyle BG}$${\ Displaystyle X \ do BG}$

Twierdzenie Browna o reprezentatywności gwarantuje istnienie przestrzeni klasyfikacyjnych.

Widmo i kohomologia uogólniona

Pomysł, zgodnie z którym przestrzeń klasyfikacyjna klasyfikuje wiązki główne, może być popchnięty dalej. Na przykład można spróbować sklasyfikować zajęcia z kohomologii: biorąc pod uwagę grupę abelową A (taką jak ), ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ Displaystyle [X, K (A, n)] = \ nazwa operatora {H} ^ {n} (X; A)}$

gdzie jest przestrzeń Eilenberga – MacLane'a . Powyższe równanie prowadzi do pojęcia uogólnionej teorii kohomologii; tj. funktor kontrawariantny z kategorii przestrzeni do kategorii grup abelowych, który spełnia aksjomaty uogólniające zwykłą teorię kohomologii. Jak się okazuje, taki funktor może nie być reprezentowany przez przestrzeń, ale zawsze może być reprezentowany przez sekwencję (spiczastych) przestrzeni z mapami struktury zwanymi widmem. Innymi słowy, podanie uogólnionej teorii kohomologii oznacza podanie widma. ${\ Displaystyle K (A, n)}$

Podstawowym przykładem widma jest widmo sferyczne : ${\ Displaystyle S ^ {0} \ do S ^ {1} \ do S ^ {2} \ do \ cdots}$

Kluczowe twierdzenia

• Twierdzenie Seiferta – van Kampena
• Twierdzenie o wycięciu homotopii
• Twierdzenie Freudenthala o zawieszeniu (następstwo twierdzenia o wycięciu)
• Twierdzenie o funktorze dokładnym Landwebera
• Korespondencja Dold – Kan
• Argument Eckmanna-Hiltona - pokazuje to na przykład, że wyższe grupy homotopii są abelowe .
• Twierdzenie o uniwersalnym współczynniku

Teoria przeszkód i klasa charakterystyczna

Zobacz także: Klasa charakterystyczna , wieża Postnikowa , skręt Whitehead

Lokalizacja i wykończenie przestrzeni

Konkretne teorie

Istnieje kilka konkretnych teorii

• prosta teoria homotopii
• teoria stabilnej homotopii
• teoria homotopii chromatycznej
• racjonalna teoria homotopii
• p-adyczna teoria homotopii
• ekwiwariantna teoria homotopii

Hipoteza homotopii

Jednym z podstawowych pytań leżących u podstaw teorii homotopii jest natura przestrzeni. Homotopią hipoteza pyta, czy przestrzeń jest czymś fundamentalnie algebraiczne.

Abstrakcyjna teoria homotopii

Koncepcje

• sekwencja włókien
• sekwencja kofiberów

Kategorie modeli

Uproszczona teoria homotopii

• Prosta homotopia

Zobacz też

• Silnie ustrukturyzowane widmo pierścieniowe
• Teoria typów homotopii

Bibliografia

• May, J. Zwięzły kurs topologii algebraicznej
• George William Whitehead (1978). Elementy teorii homotopii . Teksty magisterskie z matematyki. 61 (wyd. 3). Nowy Jork-Berlin: Springer-Verlag. s. xxi + 744. ISBN   978-0-387-90336-1 . MR   0516508 . Źródło 6 września 2011 r .
• Ronald Brown, Topology and groupoids (2006) Booksurge LLC ISBN   1-4196-2722-8 .

Dalsza lektura

• Notatki Cisińskiego
• http://ncatlab.org/nlab/files/Abstract-Homotopy.pdf

Linki zewnętrzne

• https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+theory