Kąt hiperboliczny — Hyperbolic angle

Kąt hiperboliczny to figura zamknięta dwoma promieniami i łukiem hiperbolicznym. Zacieniony sektor jest w pozycji standardowej, jeśli a = 1

W matematyce , A hiperboliczny kąt geometryczna postać, która określa sektor hiperbolicznej . Stosunek kąta hiperbolicznego do hiperboli jest odpowiednikiem stosunku „zwykłego” kąta do okręgu .

Wielkość kąta hiperbolicznej jest obszar odpowiedniego sektora hiperboli XY = 1. hiperboli jest prostokątny z pół-osi głównej , analogicznie do wielkości kołowego kątem odpowiadającej powierzchni z wycinka koła w A okrąg o promieniu . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Kąt hiperboliczny jest używany jako zmienna niezależna dla funkcji hiperbolicznych sinh, cosh i tanh, ponieważ funkcje te mogą być oparte na analogii hiperbolicznej do odpowiednich kołowych funkcji trygonometrycznych, uznając kąt hiperboliczny za definiujący trójkąt hiperboliczny . Parametr ten sposób staje się jednym z najbardziej przydatne w rachunku od rzeczywistych zmiennych.

Definicja

Rozważmy prostokątną hiperbolę i (umownie) zwróćcie szczególną uwagę na gałąź . ${\ Displaystyle \ textstyle \ {(x {\ Frac {1} {x}}): x> 0 \}}$ ${\displaystyle x>1}$

Najpierw zdefiniuj:

• Hiperboliczny kąt w standardowej pozycji jest kąt w pomiędzy ray i Ray , gdzie .${\ Displaystyle (0,0)}$${\ Displaystyle (1,1)}$${\ Displaystyle \ textstyle (x {\ Frac {1} {x}})}$${\displaystyle x>1}$
• Wielkość tego kąta jest obszar odpowiedniego sektora hiperbolicznej , która okazuje się być .${\displaystyle \operatorname {ln} x}$

Zauważ, że ze względu na rolę, jaką odgrywa logarytm naturalny :

• W przeciwieństwie do kąta kołowego, kąt hiperboliczny jest nieograniczony (ponieważ jest nieograniczony); jest to związane z faktem, że szereg harmoniczny jest nieograniczony.${\displaystyle \operatorname {ln} x}$
• Wzór na wielkość kąta sugeruje, że dla , kąt hiperboliczny powinien być ujemny. Odzwierciedla to fakt, że zgodnie z definicją kąt jest skierowany .${\displaystyle 0<x<1}$

Na koniec rozszerz definicję kąta hiperbolicznego do kąta zawartego w dowolnym przedziale hiperboli. Załóżmy, że są dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że i , więc i są punktami na hiperboli i wyznaczają na niej przedział. Wówczas odwzorowanie wycisnąć odwzorowuje kąt do standardowego położenia kąta . Według Gregoire de Saint-Vincent sektory hiperboliczne wyznaczone przez te kąty mają tę samą powierzchnię, którą przyjmuje się jako wielkość kąta. Ta wielkość jest . ${\displaystyle a,b,c,d}$${\displaystyle ab=cd=1}$${\displaystyle c>a>1}$${\ Displaystyle (a, b)}$${\ Displaystyle (c, d)}$${\displaystyle xy=1}$ ${\ Displaystyle \ textstyle f: (x, y) \ do (bx, ay)}$${\ Displaystyle \ kąt \! \ lewo ((a, b), (0,0), (c, d) \ prawo)}$${\ Displaystyle \ kąt \! \ lewo ((1,1), (0,0), (BC, ad) \ prawo)}$${\displaystyle \operator {ln} {(BC)}=\operator {ln} (c/a)=\operator {ln} c-\operator {ln} a}$

Porównanie z kątem kołowym

Hiperbola jednostkowa ma sektor o powierzchni równej połowie kąta hiperbolicznego

Kąt kołowy a kąt hiperboliczny

Okrąg jednostkowy ma kolisty sektor się na połowie powierzchni kołowej kąt w radianach. Analogicznie, jednostka hiperbola ma sektor hiperboliczny o powierzchni równej połowie kąta hiperbolicznego. ${\ Displaystyle x ^ {2} + Y ^ {2} = 1}$ ${\ Displaystyle x ^ {2}-y ^ {2} = 1}$

Istnieje również rzutowa rozdzielczości między kolistymi i hiperbolicznych przypadkach: obie krzywe są stożkowe , a co za tym idzie, są traktowane jako projekcyjnych zakresów w geometrii rzutowej . Mając punkt początkowy w jednym z tych zakresów, inne punkty odpowiadają kątom. Idea dodawania kątów, podstawowa w nauce, odpowiada dodawaniu punktów na jednym z tych zakresów w następujący sposób:

Kąty kołowe można scharakteryzować geometrycznie przez właściwość, że jeśli dwa cięciwy P ₀ P ₁ i P ₀ P ₂ opierają się na kątach L ₁ i L ₂ w środku okręgu, ich suma L ₁ + L ₂ jest kątem zależnym od cięciwy PQ , gdzie PQ musi być równoległe do P ₁ P ₂ .

Ta sama konstrukcja może być również zastosowana do hiperboli. Jeśli P ₀ jest punktem (1, 1) , P ₁ punktem ( x ₁ , 1/ x ₁ ) , a P ₂ punktem ( x ₂ , 1/ x ₂ ) , to warunek równoległości wymaga, aby Q będzie punktem ( x ₁ x ₂ , 1/ x ₁ 1/ x ₂ ) . Dlatego sensowne jest zdefiniowanie kąta hiperbolicznego od P ₀ do dowolnego punktu na krzywej jako funkcji logarytmicznej wartości punktu x .

Podczas gdy w geometrii euklidesowej stale poruszającej się prostopadle do promienia z początku tworzy okrąg, w płaszczyźnie pseudoeuklidesowej stale poruszającej się prostopadle do promienia z początku tworzy hiperbolę. W przestrzeni euklidesowej wielokrotność danego kąta wyznacza równe odległości wokół okręgu, a odległości wykładnicze na linii hiperbolicznej.

Zarówno kąt kołowy, jak i hiperboliczny zapewniają instancje miary niezmiennej . Łuki o wielkości kątowej na okręgu generują miarę na pewnych mierzalnych zbiorach na okręgu, których wielkość nie zmienia się w miarę obracania się okręgu . W przypadku hiperboli skręcanie odbywa się przez odwzorowanie ściskania , a wielkości kątów hiperbolicznych pozostają takie same, gdy płaszczyzna jest ściskana przez odwzorowanie

( x , y ) ↦ ( rx , y / r ), gdzie r > 0 .

Związek z elementem linii Minkowskiego

Istnieje również ciekawa relacja z kątem hiperbolicznym i metryką zdefiniowaną w przestrzeni Minkowskiego. Tak jak dwuwymiarowa geometria euklidesowa definiuje swój element liniowy jako

${\ Displaystyle ds_ {e} ^ {2} = dx ^ {2} + Dy ^ {2},}$

element liniowy na przestrzeni Minkowskiego to

${\ Displaystyle ds_ {m} ^ {2} = dx ^ {2}-dy ^ {2}.}$

Rozważmy krzywą osadzoną w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej,

${\displaystyle x=f(t),y=g(t).}$

Gdzie parametr jest liczbą rzeczywistą, która biegnie między a ( ). Długość łuku tej krzywej w przestrzeni euklidesowej jest obliczana jako: ${\displaystyle t}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a\leqslant t<b}$

${\ Displaystyle S = \ int _ {a} ^ {b} ds_ {e} = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ po lewej ({\ Frac {dx} {dt}} \ po prawej) ^{2}+\lewo({\frac {dy}{dt}}\prawo)^{2}}}dt.}$

Jeśli definiuje okrąg jednostkowy, pojedynczym parametryzowanym rozwiązaniem ustawionym dla tego równania jest i . Pozwalając , obliczając długość łuku daje . Teraz wykonując tę ​​samą procedurę, z wyjątkiem zastąpienia elementu euklidesowego elementem liniowym Minkowskiego, ${\ Displaystyle x ^ {2} + Y ^ {2} = 1}$${\displaystyle x=\cos t}$${\displaystyle y=\sin t}$${\displaystyle 0\leqslant t<\theta}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S=\theta}$

${\ Displaystyle S = \ int _ {a} ^ {b} ds_ {m} = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ po lewej ({\ Frac {dx} {dt}} \ po prawej) ^{2}-\lewo({\frac {dy}{dt}}\prawo)^{2}}}dt,}$

i zdefiniował hiperbolę „jednostkową”, jak w przypadku odpowiadającego jej sparametryzowanego zestawu rozwiązań i , a przez wpuszczenie (kąt hiperboliczny) otrzymujemy wynik . Innymi słowy, oznacza to, że kąt kołowy może być zdefiniowany jako długość łuku łuku na okręgu jednostkowym pod tym samym kątem przy użyciu metryki zdefiniowanej przez Euklidesa, kąt hiperboliczny jest długością łuku łuku na „jednostce” hiperbola poparta kątem hiperbolicznym przy użyciu metryki zdefiniowanej przez Minkowskiego. ${\ Displaystyle y ^ {2}-x ^ {2} = 1}$${\displaystyle y=\cosh t}$${\displaystyle x=\sinh t}$${\displaystyle 0\leqslant t<\eta}$${\displaystyle S=\eta}$

Historia

Kwadraturze z hiperboli jest ocena strefy z sektora hiperbolicznej . Można wykazać, że jest równy odpowiadającemu obszarowi względem asymptoty . Kwadratura została po raz pierwszy dokonana przez Gregoire de Saint-Vincent w 1647 roku w Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni . Jak wyraził historyk,

[Odbyl] kwadraturowego hiperboli do jego asymptoty , i wykazali, że gdy powierzchnia zwiększa się arytmetycznych szeregowo z odciętych zwiększona w geometrycznym .

AA de Sarasa zinterpretował kwadraturę jako logarytm, a zatem geometrycznie zdefiniowany logarytm naturalny (lub „logarytm hiperboliczny”) jest rozumiany jako obszar pod y = 1/ x na prawo od x = 1 . Jako przykład funkcji transcendentalnej logarytm jest bardziej znany niż jego motywator, kąt hiperboliczny. Niemniej jednak kąt hiperboliczny odgrywa pewną rolę, gdy twierdzenie Saint-Vincent jest zaawansowane z mapowaniem ściśnięć .

Circular trygonometria został przedłużony do hiperboli przez Augustus De Morgan w jego podręczniku Trygonometria i Double Algebra . W 1878 WK Clifford wykorzystywane hiperboliczny kąt parametrize się hiperbolę jednostkową , opisując go jako „quasi ruchu harmonicznego ”.

W 1894 roku Alexander Macfarlane opublikował w swojej książce Papers on Space Analysis swój esej „The Imaginary of Algebra”, w którym wykorzystano kąty hiperboliczne do generowania hiperbolicznych wersorów . W następnym roku Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego opublikował zarys funkcji hiperbolicznych autorstwa Mellen W. Haskell .

Kiedy Ludwik Silberstein pisał swój popularny podręcznik z 1914 roku o nowej teorii względności , użył koncepcji szybkości opartej na kącie hiperbolicznym a , gdzie tanh a = v / c , stosunek prędkości v do prędkości światła . On napisał:

Warto wspomnieć, że jednostce szybkości odpowiada ogromna prędkość, wynosząca 3/4 prędkości światła; dokładniej mamy v = (.7616) c dla a = 1 .

[...] prędkość a = 1 , [...] w konsekwencji będzie reprezentować prędkość 0,76  c, która jest nieco wyższa od prędkości światła w wodzie.

Silberstein używa również koncepcji Łobaczewskiego kąta równoległości Π( a ), aby otrzymać cos Π( a ) = v / c .

Wyimaginowany kąt kołowy

Kąt hiperboliczny jest często przedstawiany jako liczba urojona . Tak więc, jeśli x jest liczbą rzeczywistą, a i ² = −1 , to

${\ Displaystyle \ cos (ix) = \ cosh (x) \ quad {\ tekst {i}} \ quad \ sin (ix) = ja \ sinh (x)}$

tak, że funkcje hiperboliczne cosh i sinh można przedstawić za pomocą funkcji kołowych. Ale tożsamości te nie wynikają z okręgu czy obrotu, lecz można je rozumieć w kategoriach nieskończonych szeregów . W szczególności ten, który wyraża funkcję wykładniczą ( ) składa się z parzystych i nieparzystych terminów, te pierwsze obejmują funkcję cosha ( ), a drugie funkcję sinusa ( ). Nieskończony szereg dla cosinusa pochodzi od cosh przez przekształcenie go w szereg przemienny , a szereg dla sinusa pochodzi z uczynienia sinha szeregiem przemiennym. Powyższe tożsamości wykorzystują liczbę i, aby usunąć czynnik przemienny (-1) ⁿ z wyrazów szeregu, aby odtworzyć pełne połówki szeregu wykładniczego. Niemniej jednak w teorii funkcji holomorficznych hiperboliczne funkcje sinus i cosinus są włączone w złożone funkcje sinus i cosinus. ${\ Displaystyle e ^ {x} = \ cosh x + \ sinh x \!}$${\ Displaystyle \ textstyle \ cosh x = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {x ^ {2n}} {(2n)!}}}$${\ Displaystyle \ textstyle \ sinh x = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}}}$

Zobacz też

• Kąt transcendentny

Uwagi

Bibliografia

• Janet Heine Barnett (2004) „Enter, stage center: the early drama of the hyperbolic functions”, dostępny w (a) Mathematics Magazine 77 (1): 15-30 lub (b) rozdział 7 Euler at 300 , RE Bradley, LA D'Antonio, CE Redaktorzy Sandifer, Mathematical Association of America ISBN  0-88385-565-8 .
• Arthur Kennelly (1912) Zastosowanie funkcji hiperbolicznych do problemów elektrotechniki
• William Mueller, Exploring Precalculus , § Liczba e, Trygonometria hiperboliczna .
• John Stillwell (1998) Ćwiczenie z liczb i geometrii 9.5.3, s. 298, Springer-Verlag ISBN  0-387-98289-2 .