Funkcje hiperboliczne - Hyperbolic functions

W matematyce , funkcje hiperboliczne są analogi zwykłych funkcji trygonometrycznych , ale zdefiniowane za pomocą hiperboli raczej niż okrąg . Podobnie jak w punktach (cos t , sin t ) tworząc okrąg o promieniu jednostki , punkty (cosh t , sinh t ) tworzą właściwą połowę hiperboli jednostkowej . Podobnie jak pochodnymi sin( t ) i cos( t ) są cos( t ) i –sin( t ) , tak pochodnymi sinh( t ) i cosh( t ) są cosh( t ) i +sinh( t ) ) .

Funkcje hiperboliczne występują w obliczeniach kątów i odległości w geometrii hiperbolicznej . Występują także w roztworach wielu liniowych równań różniczkowych (takie jak równanie wyznaczające sieci trakcyjnej ), równania sześciennych i równania Laplace'a w kartezjańskim układzie współrzędnych . Równania Laplace'a są ważne w wielu dziedzinach fizyki , włączając w to teorię elektromagnetyczną , wymianę ciepła , dynamikę płynów i szczególną teorię względności .

Podstawowe funkcje hiperboliczne to:

• hiperboliczny sinusoidalna "sinh" ( / e ɪ ŋ , s ɪ n tʃ , ʃ aɪ n / )
• cosinus hiperboliczny "pałka" ( / k ɒ ʃ , k oʊ ʃ / ),

z których pochodzą:

• tangens hiperboliczny "tanh" ( / T ć ŋ , t ć n tʃ , θ ć n / )
• hiperboliczny cosecans "CSCH" lub "cosech" ( / K oʊ s ɛ tʃ , K oʊ ʃ ɛ k / )
• hiperboliczny sieczny "sech" ( / e ɛ tʃ , ʃ ɛ k / )
• cotangens hiperboliczny "coth" ( / k ɒ θ , k oʊ θ / ),

odpowiadające wyprowadzonym funkcjom trygonometrycznym.

Te funkcje hiperboliczne odwrotne to:

• obszar sinus hiperboliczny „arsinh” (oznaczany również jako „sinh- ¹ ”, „asinh” lub czasami „arcsinh”)
• obszar cosinus hiperboliczny „arcosh” (oznaczany również „cosh ^-1 ”, „acosh” lub czasami „arccosh”)
• i tak dalej.

Promień przechodzący przez jednostkę hiperbolę x ² − y ² = 1 w punkcie (cosh a , sinh a ) , gdzie a jest dwukrotną powierzchnią między promieniem, hiperbolą i osią x . W przypadku punktów na hiperboli poniżej osi x obszar jest uważany za ujemny (patrz wersja animowana z porównaniem z funkcjami trygonometrycznymi (kołowymi)).

Funkcje hiperboliczne przyjmują prawdziwy argument zwany kątem hiperbolicznym . Wielkość kąta hiperbolicznego jest dwukrotnie większa od powierzchni jego sektora hiperbolicznego . Funkcje hiperboliczne można zdefiniować w kategoriach odnóg trójkąta prostokątnego obejmujących ten sektor.

W analizie złożonej funkcje hiperboliczne powstają jako części urojone sinusa i cosinusa. Sinus hiperboliczny i cosinus hiperboliczny są pełnymi funkcjami . W rezultacie inne funkcje hiperboliczne są meromorficzne w całej płaszczyźnie złożonej.

Według twierdzenia Lindemanna-Weierstrassa funkcje hiperboliczne mają wartość transcendentalną dla każdej niezerowej wartości algebraicznej argumentu.

Funkcje hiperboliczne zostały wprowadzone w latach 60. XVII wieku niezależnie przez Vincenzo Riccati i Johanna Heinricha Lamberta . Riccati używał Sc. i DW. ( sinus/cosinus circulare ) w odniesieniu do funkcji kołowych i Sh. i Ch. ( sinus/cosinus hyperbolico ) w odniesieniu do funkcji hiperbolicznych. Lambert przyjął nazwy, ale zmienił skróty na te używane dzisiaj. Skróty sh , ch , th , cth są również obecnie używane, w zależności od osobistych preferencji.

Definicje

sinh , cosh i tanh

CSCH , sech i coth

Istnieją różne równoważne sposoby definiowania funkcji hiperbolicznych.

Definicje wykładnicze

sinh x jest równa połowie różnicy z e ^x i E ^{- x}

cosh x to średnia z e ^x i e ^{− x}

Pod względem funkcji wykładniczej :

• Sinus hiperboliczny: nieparzysta część funkcji wykładniczej, czyli

  ${\ Displaystyle \ sinh x = {\ Frac {e ^ {x} -e ^ {-x}} {2}} = {\ Frac {e ^ {2x} -1} {2e ^ {x}}} = {\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}$

• Cosinus hiperboliczny: parzysta część funkcji wykładniczej, czyli

  ${\ Displaystyle \ cosh x = {\ Frac {e ^ {x} + e ^ {-x}} {2}} = {\ Frac {e ^ {2 x} + 1} {2e ^ {x}}} = {\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}$

• Tangens hiperboliczny:

  ${\ Displaystyle \ tanh x = {\ Frac {\ sinh x} {\ cosh x}} = {\ Frac {e ^ {x}-e ^ {-x}} {e ^ {x} + e ^ {- x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}$

• Cotangens hiperboliczny: dla x ≠ 0 ,

  ${\ Displaystyle \ coth x = {\ Frac {\ cosh x} {\ sinh x}} = {\ Frac {e ^ {x} + e ^ {-x}} {e ^ {x} - e ^ {- x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}$

• Sieczna hiperboliczna:

  ${\ Displaystyle \ Operatorname {sech} x = {\ Frac {1} {\ cosh x}} = {\ Frac {2} {e ^ {x} + e ^ {-x}}} = {\ Frac {2e ^{x}}{e^{2x}+1}}}$

• Cosecans hiperboliczny: dla x ≠ 0 ,

  ${\ Displaystyle \ Operatorname {csch} x = {\ Frac {1} {\ sinh x}} = {\ Frac {2} {e ^ {x} -e ^ {-x}}} = {\ Frac {2e ^{x}}{e^{2x}-1}}}$

Definicje równań różniczkowych

Funkcje hiperboliczne można zdefiniować jako rozwiązania równań różniczkowych : Hiperboliczny sinus i cosinus są unikalnym rozwiązaniem ( s , c ) układu

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} c '(x) i = s (x) \ \ s (x) i = c (x) \ koniec {wyrównany}}}$

tak, że s (0) = 0 i c (0) = 1 .

(Warunki początkowe są konieczne, ponieważ każda para funkcji postaci rozwiązuje dwa równania różniczkowe). ${\displaystyle s(0)=0,c(0)=1}$${\ Displaystyle (ae ^ {x} + be ^ {-x}, ae ^ {x}-be ^ {-x})}$

sinh( x ) i cosh( x ) są również unikalnym rozwiązaniem równania f  ″( x ) = f  ( x ) , takim że f  (0) = 1 , f  ′(0) = 0 dla cosinusa hiperbolicznego, oraz f  (0) = 0 , f  ′(0) = 1 dla sinusa hiperbolicznego.

Złożone definicje trygonometryczne

Funkcje hiperboliczne można również wyprowadzić z funkcji trygonometrycznych o złożonych argumentach:

• Sinus hiperboliczny:

  ${\ Displaystyle \ sinh x = - i \ sin (ix)}$

• Cosinus hiperboliczny:

  ${\ Displaystyle \ cosh x = \ cos (ix)}$

• Tangens hiperboliczny:

  ${\ Displaystyle \ tanh x = - i \ tan (ix)}$

• Cotangens hiperboliczny:

  ${\ Displaystyle \ coth x = ja \ cot (ix)}$

• Sieczna hiperboliczna:

  ${\ Displaystyle \ Operatorname {sech} x = \ sec (ix)}$

• Cosecans hiperboliczny:

  ${\ Displaystyle \ Operatorname {csch} x = i \ csc (ix)}$

gdzie i jest jednostką urojoną z i ² = -1 .

Powyższe definicje są związane z wykładniczymi definicjami za pomocą wzoru Eulera (patrz § Funkcje hiperboliczne dla liczb zespolonych poniżej).

Charakteryzujące właściwości

Cosinus hiperboliczny

Można wykazać, że pole pod krzywą cosinusa hiperbolicznego (na skończonym przedziale) jest zawsze równe długości łuku odpowiadającej temu przedziałowi:

${\ Displaystyle {\ tekst {obszar}} = \ int _ {a} ^ {b} \ cosh x \, dx = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {1 + \ lewo ({\ Frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{długość łuku.}}}$

Tangens hiperboliczny

Tangens hiperboliczny jest (unikalnym) rozwiązaniem równania różniczkowego f  ′ = 1 − f  ² , gdzie f  (0) = 0 .

Przydatne relacje

Funkcje hiperboliczne spełniają wiele tożsamości, wszystkie podobne w formie do tożsamości trygonometrycznych . W rzeczywistości reguła Osborna mówi, że można przekształcić dowolną tożsamość trygonometryczną dla , , lub i w tożsamość hiperboliczną, rozszerzając ją całkowicie pod względem potęg całkowych sinusów i cosinusów, zmieniając sinus na sinh i cosinus na cosh oraz zmieniając znak każdego terminu zawierającego iloczyn dwóch grzechów. ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle 2\theta}$${\displaystyle 3\theta}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \varphi}$

Funkcje nieparzyste i parzyste:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} \ sinh (-x) i = - \ sinh x \ \ \ cosh (-x) i = \ cosh x \ koniec {wyrównane}}}$

Stąd:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ tanh (-x) & = - \ tanh x \ \ \ coth (-x) i = - \ coth x \ \ \ operatorname {sech} (-x) & = \ operatorname {sech} x\\\nazwa operatora {csch} (-x)&=-\nazwa operatora {csch} x\end{wyrównany}}}$

Zatem cosh x i sech x są funkcjami parzystymi ; pozostałe to funkcje nieparzyste .

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ nazwa operatora {arsech} x & = \ nazwa operatora {arcosh} \ lewo ({\ Frac {1} {x}} \ po prawej) \ \ \ nazwa operatora {arcsch} x & = \ nazwa operatora {arsinh } \left({\frac {1}{x}}\right)\\\nazwa operatora {arcoth} x&=\nazwa operatora {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{ wyrównany}}}$

Sinus hiperboliczny i cosinus spełniają:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ cosh x + \ sinh x & = e ^ {x} \ \ \ cosh x \ sinh x \ = e ^ {-x} \ \ \ cosh ^ {2} x \ sinh ^ {2}x&=1\end{wyrównany}}}$

z których ostatni jest podobny do pitagorejskiej tożsamości trygonometrycznej .

Jeden też ma

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ operatorname {sech} ^ {2} x & = 1 - \ tanh ^ {2} x \ \ \ operatorname {csch} ^ {2} x & = \ coth ^ {2} x- 1\koniec{wyrównany}}}$

dla innych funkcji.

Sumy argumentów

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ sinh (x + r) i = \ sinh x \ koszt r + \ koszt x \ sinh r \ \ \ koszt (x + r) = \ koszt x \ koszt r + \ sinh x \sinh y\\[6px]\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{wyrównany}}}$

w szczególności

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ cosh (2x) i = \ sinh ^ {2} {x} + \ cosh ^ {2} {x} = 2 \ sinh ^ {2} x + 1 = 2 \ cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2} x}}\\\end{wyrównany}}}$

Także:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} \ sinh x + \ sinh y & = 2 \ sinh \ lewo ({\ Frac {x + y} {2}} \ prawej) \ cosh \ lewo ({\ Frac {xy} {2 }}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {xy}{2}} \right)\\\end{wyrównany}}}$

Wzory odejmowania

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ sinh (xy) i = \ sinh x \ koszt r-\ koszt x \ sinh r \ \ \ koszt (xy) i = \ koszt x \ koszt r \ sinh x \ sinh y\\\tanh(xy)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{wyrównany}}}$

Także:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ sinh x- \ sinh r = 2 \ cosh \ lewo ({\ Frac {x + y} {2}} \ prawej) \ sinh \ lewo ({\ Frac {xy}} 2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {xy}{2 }}\right)\\\end{wyrównany}}}$

Formuły półargumentowe

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ sinh \ lewo ({\ Frac {x} {2}} \ prawej) i = {\ Frac {\ sinh x} {\ sqrt {2 (\ cosh x + 1)} }}&&=\nazwa operatora {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}} \right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\ frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\nazwa operatora {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{wyrównany}}}$

gdzie sgn jest funkcją znaku .

Jeśli x ≠ 0 , to

${\ Displaystyle \ tanh \ lewo ({\ Frac {x} {2}} \ prawej) = {\ Frac {\ cosh x-1} {\ sinh x}} = \ coth x-\ operatorname {csch} x}$

Formuły kwadratowe

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ sinh ^ {2} x i = {\ Frac {1} {2}} (\ cosh 2x-1) \ \ \ cosh ^ {2} x = {\ Frac {1} {2}}(\cosh 2x+1)\end{wyrównany}}}$

Nierówności

W statystyce przydatne są następujące nierówności: ${\ Displaystyle \ operatorname {cosh} (t) \ leq e ^ {t ^ {2}/2}}$

Można to udowodnić, porównując wyraz po wyrazie szereg Taylora obu funkcji.

Funkcje odwrotne jako logarytmy

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ operatorname {arsinh} (x) i = \ ln \ lewo (x + {\ sqrt {x ^ {2} +1}} \ po prawej) \ \ \ operatorname {arcosh} (x )&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geqslant 1\\\nazwa operatora {artanh} (x)&={\frac {1}{2} }\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operator {arcoth} (x)&={\frac {1}{2} }\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\nazwa operatora {arsech} (x)&=\ln \left({\frac { 1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1- x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leqslant 1\\\nazwa operatora {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{ \sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{wyrównany}}}$

Pochodne

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {d} {dx}} \ sinh x & = \ cosh x \ \ {\ frac {d} {dx}} \ cosh x & = \ sinh x \ \ {\ frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\ {\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2} x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\nazwa operatora {wyszukiwarka} x&=-\tanh x\nazwaoperatora {wyszukiwarka} x\\{\frac {d}{dx}}\nazwaoperatora {csch} x&=-\coth x\nazwa operatora {csch} x&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\nazwa operatora {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{ 2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\nazwa operatora {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\ \{\frac {d}{dx}}\nazwa operatora {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx }}\nazwa operatora {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\nazwa operatora {arsech} x&=- {\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\nazwa operatora {arcsch} x&=-{\ frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{wyrównany}}}$

Drugie pochodne

Każda z funkcji sinh i cosh jest równa swojej drugiej pochodnej , czyli:

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ sinh x = \ sinh x \}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ cosh x = \ cosh x \,.}$

Wszystkie funkcje z tym nieruchomości są liniowe kombinacje z Sinh i pałką , w szczególności funkcje wykładnicze i . ${\ Displaystyle e ^ {x}}$${\ Displaystyle e ^ {-x}}$

Całki standardowe

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ int \ sinh (ax) \ dx i = a ^ {-1} \ cosh (ax) + C \ \ \ int \ cosh (ax) \ dx i = a ^ {- 1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\, dx&=a^{-1}\ln \left|\sinh(ax)\right|+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh (ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right )\right|+C=a^{-1}\ln \left|\coth \left(ax\right)-\operatorname {csch} \left(ax\right)\right|+C=-a^{ -1}\operatorname {arcoth} \left(\cosh \left(ax\right)\right)+C\end{aligned}}}$

Następujące całki można udowodnić za pomocą podstawienia hiperbolicznego :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ int {{\ Frac {1} {\ sqrt {a ^ {2} + u ^ {2}}}} \ du} & = \ nazwa operatora {arsinh} \ lewo ( {\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&= \operatorname {sgn} {u}\operatorname {arcosh} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^ {2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\ \int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}} \right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du }&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt { a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+ C\end{wyrównany}}}$

gdzie C jest stałą całkowania .

Wyrażenia szeregu Taylora

Możliwe jest wyraźne wyrażenie szeregu Taylora na zero (lub szeregu Laurenta , jeśli funkcja nie jest zdefiniowana na zero) powyższych funkcji.

${\ Displaystyle \ sinh x = x + {\ Frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ Frac {x ^ {5}} {5!}} + {\ Frac {x ^ {7}} {7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$

Ten szereg jest zbieżny dla każdej złożonej wartości x . Ponieważ funkcja sinh x jest nieparzysta , tylko nieparzyste wykładniki x występują w jej szeregu Taylora.

${\ Displaystyle \ cosh x = 1 + {\ Frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ Frac {x ^ {4} {4!}} + {\ Frac {x ^ {6} }{6!}}+\cdots =\suma _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$

Ten szereg jest zbieżny dla każdej złożonej wartości x . Ponieważ funkcja cosh x jest parzysta , tylko parzyste wykładniki x występują w jej szeregu Taylora.

Suma szeregów sinha i cosha jest nieskończonym wyrażeniem szeregu funkcji wykładniczej .

Po kolejnych szeregach następuje opis podzbioru ich dziedziny zbieżności , gdzie szereg jest zbieżny, a jego suma jest równa funkcji.

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ tah x i = x-{\ Frac {x ^ {3}} {3}} + {\ Frac {2x ^ {5}} {15}} - {\ Frac {17x ^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^ {2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\ frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0} ^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\ \operatorname {sech} \,x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6} }{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x \right|<{\frac {\pi }{2}}\\\nazwa operatora {csch} \,x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^ {3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^ {2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}}$

gdzie:

${\displaystyle B_{n}\,}$jest n- tą liczbą Bernoulliego

${\ Displaystyle E_ {n} \,}$jest n- tą liczbą Eulera

Porównanie z funkcjami kołowymi

Okrąg i tangens hiperboli w (1,1) wyświetlają geometrię funkcji kołowych pod względem powierzchni sektora kołowego u oraz funkcji hiperbolicznych w zależności od powierzchni sektora hiperbolicznego u .

Funkcje hiperboliczne stanowią rozszerzenie trygonometrii poza funkcje kołowe . Oba typy zależeć od argumentu , albo okrągły kątem lub hiperbolicznej kątem .

Ponieważ powierzchnia wycinka kołowego o promieniu r i kącie u (w radianach) wynosi r ² u /2, będzie równa u, gdy r = √ 2 . Na diagramie taki okrąg jest styczny do hiperboli xy = 1 w punkcie (1,1). Żółty sektor przedstawia obszar i wielkość kąta. Podobnie sektory żółty i czerwony razem przedstawiają obszar i wielkość kąta hiperbolicznego .

Odnogi dwóch trójkątów prostokątnych z przeciwprostokątną na promieniu wyznaczającym kąty mają długość √ 2 razy większą od funkcji kołowej i hiperbolicznej.

Kąt hiperboliczny jest miarą niezmienną w odniesieniu do odwzorowania ściśnięcia , tak jak kąt kołowy jest niezmienny przy obrocie.

Funkcja Gudermanna daje bezpośredni związek między funkcjami kołowymi a funkcjami hiperbolicznymi, które nie obejmują liczb zespolonych.

Wykres funkcji a  cosh( x / a ) to sieć trakcyjna , krzywa utworzona przez jednorodny elastyczny łańcuch, swobodnie zawieszony między dwoma stałymi punktami pod równomierną siłą grawitacji.

Związek z funkcją wykładniczą

Rozkład funkcji wykładniczej na części parzyste i nieparzyste daje tożsamości

${\ Displaystyle e ^ {x} = \ cosh x + \ sinh x}$

oraz

${\ Displaystyle e ^ {-x} = \ cosh x-\ sinh x.}$

Pierwszy jest analogiczny do wzoru Eulera

${\ Displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x.}$

Dodatkowo,

${\ Displaystyle e ^ {x} = {\ sqrt {\ Frac {1 + \ tanh x} {1-\ tanh x}}} = {\ Frac {1 + \ tanh {\ Frac {x} {2}} }{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}$

Funkcje hiperboliczne dla liczb zespolonych

Ponieważ funkcję wykładniczą można zdefiniować dla dowolnego złożonego argumentu, możemy również rozszerzyć definicje funkcji hiperbolicznych na złożone argumenty. Funkcje sinh  z i cosh  z są wtedy holomorficzne .

Relacje do zwykłych funkcji trygonometrycznych podaje wzór Eulera dla liczb zespolonych:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} e ^ {ix} i = \ cos x + i \ sin x \ \ e ^ {-ix} i = \ cos xi \ sin x \ koniec {wyrównane}}}$

więc:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ cosh (ix) i = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (e ^ {ix} + e ^ {-ix} \ prawej) = \ cos x \ \ \sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)& =\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x )\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=- ja\tan(ix)\end{wyrównany}}}$

Zatem funkcje hiperboliczne są okresowe względem składnika urojonego, z kropką ( dla tangensa hiperbolicznego i cotangensa). ${\displaystyle 2\pi ja}$${\displaystyle \pi ja}$

Funkcje hiperboliczne na płaszczyźnie zespolonej

${\ Displaystyle \ operatorname {sinh} (z)}$	${\ Displaystyle \ Operatorname {cosh} (z)}$	${\ Displaystyle \ Operatorname {tanh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {coth} (z)}$	${\ Displaystyle \ operatorname {sech} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {csch} (z)}$

Zobacz też

• e (stała matematyczna)
• Twierdzenie o równych okręgach , oparte na sinh
• Wzrost hiperboliczny
• Odwrotne funkcje hiperboliczne
• Lista całek funkcji hiperbolicznych
• Spirale Poinsota
• Funkcja sigmoidalna
• Soboleva zmodyfikowany tangens hiperboliczny
• Funkcje trygonometryczne

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• „Funkcje hiperboliczne” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Funkcje hiperboliczne w PlanetMath
• GonioLab : Wizualizacja okręgu jednostkowego, funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych ( Java Web Start )
• Internetowy kalkulator funkcji hiperbolicznych