Rachunek Ikozjański - Icosian calculus

Icosian rachunek jest non-przemienne algebraiczna struktura odkryta przez irlandzki matematyk William Rowan Hamilton w roku 1856. W nowoczesnych warunkach, wygłosił prezentację grupy z dwudzieściennym grupy obrotu przez wytwórców i relacji.

Odkrycie Hamiltona wywodzi się z jego prób znalezienia algebry „trojaczków” lub trójek, które jego zdaniem odzwierciedlałyby trzy osie kartezjańskie . Symbole rachunku ikozjańskiego można przyrównać do ruchów między wierzchołkami na dwunastościanie . Praca Hamiltona w tym zakresie pośrednio zaowocowała pojęciami obwodu hamiltonowskiego i ścieżki hamiltonowskiej w teorii grafów. Wymyślił też grę ikozjańską jako sposób na zilustrowanie i popularyzację swojego odkrycia.

Nieformalna definicja

Rzut stereograficzny dwunastościanu użyty w grze ikozjańskiej Hamiltona

Algebra opiera się na trzech symbolach, z których każdy jest pierwiastkiem jedności , w którym wielokrotne zastosowanie dowolnego z nich daje wartość 1 po określonej liczbie kroków. Oni są:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} \ iota ^ ^ {2} i = 1, \ \ \ kappa ^ {3} i = 1, \ \ \ lambda ^ {5} i = 1. \ koniec {wyrównane}}}$

Hamilton podaje również jeszcze jedną relację między symbolami:

${\ Displaystyle \ lambda = \ iota \ kappa.}$

(W dzisiejszych czasach jest to grupa trójkątów (2,3,5) .)

Operacja jest asocjacyjna, ale nie przemienna . Generują grupę rzędu 60, izomorficzną do grupy obrotów dwudziestościanu foremnego lub dwunastościanu , a więc do grupy przemiennej stopnia piątego.

Chociaż algebra istnieje jako konstrukcja czysto abstrakcyjna, najłatwiej można ją zobrazować za pomocą operacji na krawędziach i wierzchołkach dwunastościanu. Sam Hamilton użył spłaszczonego dwunastościanu jako podstawy swojej gry instruktażowej.

Wyobraź sobie owada pełzającego po określonej krawędzi dwunastościanu oznaczonego etykietą Hamiltona w określonym kierunku, powiedzmy od do . Możemy przedstawić tę skierowaną krawędź przez . ${\ Displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\ Displaystyle BC}$

Geometryczna ilustracja operacji iota w rachunku ikozjańskim

• Symbol icosian oznacza zmianę kierunku na dowolnej krawędzi, więc owad czołga się od do (zgodnie z skierowaną krawędzią ).${\ Displaystyle \ iota }$${\displaystyle C}$${\ Displaystyle B}$${\displaystyle CB}$
• Symbol ikozji oznacza obracanie aktualnego ruchu owada w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wokół punktu końcowego. W naszym przykładzie oznaczałoby to zmianę początkowego kierunku na .${\ Displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle BC}$${\ Displaystyle DC}$
• Symbol icosian oznacza wykonanie skrętu w prawo w punkcie końcowym, przejście od do .${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle BC}$${\displaystyle CD}$

Spuścizna

Rachunek icosian jest jednym z najwcześniejszych przykładów wielu pomysłów matematycznych, w tym:

• prezentowanie i badanie grupy przez generatory i relacje ;
• grupa trójkąt później uogólnić grup Coxeter ;
• wizualizacja grupy za pomocą grafu, która doprowadziła do kombinatorycznej teorii grup, a później geometrycznej teorii grup ;
• Obwody hamiltonowskie i ścieżki hamiltonowskie w teorii grafów;
• dessin d'enfant – szczegóły w opisie dessin d'enfant: historia .

Zobacz też

• Ikozjański

Bibliografia