Idealny (teoria pierścienia) - Ideal (ring theory)
Struktura algebraiczna → Teoria pierścieni Teoria pierścieni |
---|
W teorii pierścienia , gałęzią abstrakcyjnego Algebra An idealny z pierścieniem jest szczególną podgrupę jego elementów. Ideały uogólniają pewne podzbiory liczb całkowitych , takie jak liczby parzyste lub wielokrotności 3. Dodawanie i odejmowanie liczb parzystych zachowuje parzystość, a pomnożenie liczby parzystej przez dowolną inną liczbę całkowitą daje w wyniku kolejną liczbę parzystą; te właściwości zamykania i wchłaniania są definiującymi właściwościami ideału. Idealnym może być stosowany do konstruowania pierścienia ilorazu w podobny sposób, jak w teorii grup , A normalnego podgrupa mogą być wykorzystywane do konstruowania grupę iloraz .
Wśród liczb całkowitych ideały odpowiadają nieujemnym liczbom całkowitym jeden do jednego : w tym pierścieniu każdy ideał jest ideałem głównym składającym się z wielokrotności jednej nieujemnej liczby. Jednak w innych pierścieniach ideały mogą nie odpowiadać bezpośrednio elementom pierścienia, a pewne właściwości liczb całkowitych, gdy uogólni się je na pierścienie, bardziej naturalnie wiążą się z ideałami niż z elementami pierścienia. Na przykład ideały pierwsze pierścienia są analogiczne do liczb pierwszych , a chińskie twierdzenie o resztach można uogólnić na ideały. Istnieje wersja unikalnej faktoryzacji liczb pierwszych dla ideałów domeny Dedekind (rodzaj pierścienia ważny w teorii liczb ).
Pokrewna, lecz odrębna koncepcja ideału w porządku wywodzi się z pojęcia ideału w teorii pierścieni. Ułamkową idealny jest uogólnieniem ideału, a zwykłe ideały są czasami nazywane integralne ideały dla jasności.
Historia
Ernst Kummer wymyślił koncepcję liczb idealnych, aby służyć jako „brakujące” czynniki w pierścieniach liczbowych, w których unikalna faktoryzacja zawodzi; tutaj słowo „idealny” jest w sensie istnienia tylko w wyobraźni, w analogii do „idealnych” obiektów w geometrii, takich jak punkty w nieskończoności. W 1876 roku Richard Dedekind zastąpić niezdefiniowane pojęcie Kummer poprzez konkretnych zestawów liczb, zestawy, które nazwał ideały, w trzeciej edycji Dirichlet książki „s Vorlesungen über Zahlentheorie , do którego Dedekind dodał wiele suplementów. Później pojęcie to zostało rozszerzone poza pierścienie liczbowe do ustawienia pierścieni wielomianowych i innych pierścieni przemiennych przez Davida Hilberta, a zwłaszcza Emmy Noether .
Definicje i motywacja
Dla dowolnego pierścienia niech będzie jego grupa addytywna . Podzbiór nazywany jest po lewej idealnie od jeśli jest to dodatek podgrupa że „pochłania mnożenia z lewej strony przez elementy ”; że jest to lewa idealny , jeżeli spełnia następujące dwa warunki:
- jest podgrupa o
- Dla każdego i każdy produkt jest .
Prawo idealny jest zdefiniowany stan z „ RX ∈ I ” zastępuje się przez „ xr ∈ I ” . Dwustronny idealny jest idealny, że lewa jest również tuż idealne, i jest czasami nazywana po prostu idealne. W języku modułów definicje oznacza, że lewy (. Względnie prawy, dwustronny) Ideał R jest precyzyjnie lewy (względnie prawy, bi-.) R - modułem z R , gdy R jest postrzegana jako R -module . Gdy R jest pierścieniem przemiennym, definicje ideału lewego, prawego i dwustronnego pokrywają się, a termin ideał jest używany sam.
Aby zrozumieć pojęcie ideału, zastanów się, jak ideały powstają w konstrukcji pierścieni „elementów modulo”. Dla konkretności spójrzmy na pierścień ℤ n liczb całkowitych modulo dana liczba całkowita n ∈ ℤ (zauważmy, że ℤ jest pierścieniem przemiennym). Kluczową obserwacją jest tutaj to, że otrzymujemy ℤ n , biorąc linię liczb całkowitych ping i owijając ją wokół siebie, aby zidentyfikować różne liczby całkowite. Robiąc to, musimy spełnić dwa wymagania: 1) n musi być utożsamiane z 0, ponieważ n jest przystające do 0 modulo n , oraz 2) wynikowa struktura musi być ponownie pierścieniem. Drugi wymóg zmusza nas do dokonania dodatkowych identyfikacji (tzn. określa dokładny sposób, w jaki musimy owinąć się wokół siebie). Pojęcie ideału powstaje, gdy zadajemy pytanie:
Jaki jest dokładny zbiór liczb całkowitych, który jesteśmy zmuszeni identyfikować z 0?
Odpowiedzią jest, jak można się spodziewać, zbiór n ℤ = { nm | m ∈ ℤ } wszystkich liczb całkowitych przystających do 0 modulo n . Oznacza to, że musimy owijać ℤ wokół siebie nieskończenie wiele razy, aby liczby całkowite ..., n ⋅ (−2) , n ⋅ (−1) , n ⋅ (+1) , n ⋅ (+2) , .. .. wszystkie wyrównają się z 0. Jeśli przyjrzymy się, jakie właściwości musi spełniać ten zbiór, aby zapewnić, że ℤ n jest pierścieniem, to dochodzimy do definicji ideału. Rzeczywiście, można bezpośrednio zweryfikować, że n ℤ jest ideałem ℤ.
Uwaga. Należy również dokonać identyfikacji z elementami innymi niż 0. Na przykład, elementy 1 + n ℤ powinna być utożsamiane z 1, elementy w 2 + n ℤ powinna być utożsamiane z 2, i tak dalej. Te jednak są jednoznacznie określone przez n ℤ, ponieważ ℤ jest grupą addytywną.
Podobną konstrukcję możemy wykonać w dowolnym pierścieniu przemiennym R : zacznij od dowolnego x ∈ R , a następnie utożsamiaj się z 0 wszystkimi elementami ideału xR = { xr : r ∈ R }. Okazuje się, że ideałem xR jest najmniejszy ideał zawierający x , zwany ideałem generowanym przez x . Mówiąc bardziej ogólnie, możemy zacząć od dowolnego podzbioru S ⊆ R , a następnie zidentyfikować z 0 wszystkie elementy ideału wygenerowanego przez S : najmniejszy ideał ( S ) taki, że S ⊆ ( S ) . Pierścionek, który otrzymamy po identyfikacji, zależy tylko od ideału ( S ), a nie od zestawu S , od którego zaczęliśmy. Oznacza to, że jeśli ( S ) = ( T ) , to powstałe pierścienie będą takie same.
Dlatego idealny I pierścienia przemiennego R przechwytuje kanonicznie informację potrzebną do uzyskania pierścienia elementów R modulo danego podzbioru S ⊆ R . Elementy I , z definicji, to te, które są przystające do zera, to znaczy identyfikowane z zerem w powstałym pierścieniu. Otrzymany pierścień nazywa się iloraz z R o I i oznaczono R / I . Intuicyjnie definicja ideału postuluje dwa warunki naturalne, niezbędne do tego, aby I zawierał wszystkie elementy oznaczone jako „zera” przez R / I :
- I jest addytywną podgrupą R : zero 0 R jest „zerem” 0 ∈ I , a jeśli x 1 ∈ I i x 2 ∈ I są „zerami”, to x 1 − x 2 ∈ I jest „zerem” " także.
- Dowolne r ∈ R pomnożone przez „zero” x ∈ I to „zero” rx ∈ I .
Okazuje się, że powyższe warunki są również wystarczające, aby I zawierał wszystkie niezbędne „zera”: żadne inne elementy nie muszą być oznaczone jako „zero”, aby utworzyć R / I . (W rzeczywistości żadne inne elementy nie powinny być oznaczone jako „zero”, jeśli chcemy dokonać jak najmniejszej identyfikacji.)
Uwaga. Powyższa konstrukcja nadal działa przy użyciu dwustronnych ideałów, nawet jeśli R niekoniecznie jest przemienne.
Przykłady i właściwości
(Ze względu na zwięzłość, niektóre wyniki podano tylko dla lewicowych ideałów, ale zwykle są one również prawdziwe dla prawych ideałów z odpowiednimi zmianami notacji.)
- W pierścieniu R sam zbiór R tworzy dwustronny ideał R zwany ideałem jednostkowym . Często jest również oznaczany przez, ponieważ jest to właśnie dwustronny ideał generowany (patrz niżej) przez jedność . Również zbiór składający się tylko z identyczności addytywnej 0 R tworzy dwustronny ideał zwany ideałem zerowym i jest oznaczony przez . Każdy ideał (lewy, prawy lub dwustronny) zawiera ideał zerowy i jest zawarty w ideale jednostkowym.
- Ideał (lewy, prawy lub dwustronny), który nie jest ideałem jednostkowym, nazywamy ideałem właściwym (ponieważ jest to podzbiór właściwy ). Uwaga: ideał lewy jest właściwy wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera elementu jednostkowego, ponieważ if jest elementem jednostkowym, to dla każdego . Właściwych ideałów zazwyczaj jest mnóstwo. W rzeczywistości, jeśli R jest skośnym polem , to są jego jedynymi ideałami i odwrotnie: to znaczy, niezerowy pierścień R jest skośnym polem, jeśli są jedynymi lewymi (lub prawymi) ideałami. (Dowód: jeśli jest elementem niezerowym, to główny ideał lewy (patrz poniżej) jest niezerowy, a zatem ; tj. dla niektórych niezerowych . Podobnie dla niektórych niezerowych . Then .)
- Parzyste całkowite stanowią idealny w pierścieniu wszystkich liczb; jest zwykle oznaczany przez . Dzieje się tak, ponieważ suma parzystych liczb całkowitych jest parzysta, a iloczyn dowolnej liczby całkowitej z parzystą liczbą całkowitą jest również parzysty. Podobnie zbiór wszystkich liczb całkowitych podzielnych przez ustaloną liczbę całkowitą n jest ideałem oznaczonym .
- Zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych podzielnych przez wielomian x 2 + 1 jest ideałem w pierścieniu wszystkich wielomianów.
- Zbiór wszystkich n -by- n macierzy, których ostatni wiersz wynosi zero, tworzy prawy ideał w pierścieniu wszystkich n -by- n macierzy. To nie jest lewicowy ideał. Zbiór wszystkich macierzy n -by- n , których ostatnia kolumna ma wartość zero, tworzy ideał lewy, ale nie prawy.
- Pierścień wszystkich funkcji ciągłych f od do pod mnożenie punktowe zawiera ideał wszystkich funkcji ciągłych f takich, że f (1) = 0. Innym ideałem są te funkcje, które znikają dla wystarczająco dużych argumentów, tj. te funkcje ciągłe f dla gdzie istnieje liczba L > 0 taka, że f ( x ) = 0, gdy | x | > L .
- Pierścień nazywany jest pierścieniem prostym, jeśli jest niezerowy i nie ma żadnych ideałów dwustronnych innych niż . Zatem ukośne pole jest proste, a prosty pierścień przemienny jest polem. Pierścień matrycy na skośnej-dziedzinie jest prosty pierścień.
- Jeśli jest homomorfizmem pierścienia , to jądro jest dwustronnym ideałem . Z definicji , a więc jeśli nie jest pierścieniem zerowym (so ), to jest właściwym ideałem. Mówiąc ogólniej, dla każdego lewego idealnego I z S , wstępnie obraz jest lewy idealny. Jeśli I jest lewy ideał R , to jest z lewej ideał podpierścień z S : Jeśli f jest suriekcją, nie musi być idealna z S ; zobacz też # Przedłużenie i skurczenie ideału poniżej.
- Idealna korespondencja : Przy danym surjektywnym homomorfizmie pierścieni istnieje bijektywna, zachowująca porządek korespondencja między lewymi (odpowiednio prawym, dwustronnymi) ideałami zawierania jądra a lewymi (odpowiednio prawym, dwustronnym) ideałami : korespondencja jest podana przez i przedobraz . Co więcej, w przypadku pierścieni przemiennych ta bijektywna korespondencja ogranicza się do ideałów pierwszych, ideałów maksymalnych i ideałów radykalnych (zob. definicje tych ideałów w sekcji Typy ideałów).
- (Dla tych, którzy znają moduły) Jeżeli M jest lewy R -module i podzbiorem, wówczas annihilator z S jest lewy idealny. Biorąc idee przemiennej pierścienia R The R -annihilator stanowi to ideałem R zwany idealne iloraz z o i jest oznaczona ; jest to przykład idealizatora w algebrze przemiennej.
- Niech będzie rosnącym łańcuchem lewych ideałów w pierścieniu R ; tj. jest kompletnie uporządkowanym zestawem i dla każdego . Wtedy unia jest lewicowym ideałem R . (Uwaga: ten fakt pozostaje prawdziwy, nawet jeśli R jest bez jedności 1.)
- Powyższy fakt wraz z lematem Zorna dowodzi, że jeśli jest możliwie pustym podzbiorem i jest lewostronnym ideałem rozłącznym z E , to istnieje ideał, który jest maksymalny wśród ideałów zawierających i rozłącznych z E . (Ponownie jest nadal ważna, gdy pierścień R brak jednolitości 1) W przypadku , z i w szczególności istnieje lewy ideał, jest maksymalna pomiędzy odpowiednimi lewej idei (często nazywana po prostu ilość lewo idealnie); zobacz twierdzenie Krulla, aby uzyskać więcej informacji.
- Dowolny związek ideałów nie musi być ideałem, ale nadal prawdziwe jest następujące stwierdzenie: mając prawdopodobnie pusty podzbiór X z R , istnieje najmniejszy lewy ideał zawierający X , zwany lewym ideałem wygenerowanym przez X i oznaczony przez . Taki ideał istnieje, ponieważ jest przecięciem wszystkich lewych ideałów zawierających X . Równoważnie, jest zbiorem wszystkich (skończonych) lewostronnych R- liniowych kombinacji elementów X nad R :
- (ponieważ taki rozpiętość jest najmniejszym lewym ideałem zawierającym X .) Prawy (odpowiedni dwustronny) ideał generowany przez X jest definiowany w podobny sposób. W przypadku „dwustronnego” należy stosować kombinacje liniowe z obu stron; to znaczy,
- Ideał lewy (odp. prawy, dwustronny) generowany przez pojedynczy element x nazywany jest ideałem głównym lewym (odp. prawy, dwustronnym) generowanym przez x i oznaczany przez (odp. ). Główny ideał dwustronny jest często również oznaczany przez . Jeśli jest zbiorem skończonym, to jest również zapisywane jako .
- W kręgu liczb całkowitych każdy ideał może zostać wygenerowany przez jedną liczbę (a więc jest to główna dziedzina idealna ), w wyniku dzielenia euklidesowego (lub w inny sposób).
- Istnieje bijektywna zgodność pomiędzy ideałami a relacjami kongruencji ( relacjami równoważności, które respektują strukturę pierścienia) na pierścieniu: Mając idealny I pierścienia R , niech x ~ y jeśli x − y ∈ I . Wtedy ~ jest relacją kongruencji na R . I odwrotnie, mając relację kongruencji ~ na R , niech I = { x | x ~ 0 } . Wtedy jestem ideałem R .
Rodzaje ideałów
Dla uproszczenia opisu zakłada się, że wszystkie pierścienie są przemienne. Przypadek nieprzemienny został szczegółowo omówiony w odpowiednich artykułach.
Ideały są ważne, ponieważ pojawiają się jako jądra homomorfizmów pierścieni i pozwalają zdefiniować pierścienie czynnikowe . Badane są różne typy ideałów, ponieważ można je wykorzystać do budowy różnych typów pierścieni czynnikowych.
- Ideał maksymalny : Ideał właściwy I nazywamy ideałem maksymalnym , jeśli nie istnieje żaden inny ideał właściwy J z I właściwym podzbiorem J . Czynnik pierścienia maksymalnego ideału jestw ogólności pierścieniem prostym i jest polem dla pierścieni przemiennych.
- Minimalny ideał : Niezerowy ideał nazywa się minimalnym, jeśli nie zawiera żadnego innego niezerowego ideału.
- Ideałem : Odpowiedni idealnym I nazywa się ideałem , jeżeli dla każdej A i B w R , jeśli AB jest I , wówczas co najmniej jeden zi b w I . Czynnik pierścienia ideału pierwszego jestw ogóle pierścieniem pierwszym i jest integralną domeną dla pierścieni przemiennych.
- Rodnik idealny lub Liczba Półpierwsza idealnym : Odpowiedni idealnym I nazywa rodnik lub Liczba Półpierwsza jeżeli dla każdej A z B jeśli n jest I od pewnego n , a następniew I . Pierścień czynnikowy radykalnego ideału jest pierścieniem półpierwszym dla pierścieni ogólnych i jest pierścieniem zredukowanym dla pierścieni przemiennych.
- Podstawowym idealnym : idealne I nazywa się podstawowy idealny , jeżeli dla wszystkich A i B w R , jeśli AB jest I , wówczas co najmniej jeden zi B n jest I jakiegoś liczby naturalne n . Każdy ideał pierwotny jest pierwotny, ale nie odwrotnie. Pierwotny ideał półpierwszy jest pierwszym.
- Główny ideał : ideał generowany przez jeden element.
- Skończenie wygenerowany ideał : Ten typ ideału jest skończony generowany jako moduł.
- Prymitywny idealny : W lewej prymitywny ideał jest Annihilator z prostego lewego modułu .
- Ideał nieredukowalny : mówi się, że ideał jest nieredukowalny, jeśli nie można go zapisać jako skrzyżowanie ideałów, które właściwie go zawierają.
- Ideały przecinkowe : Dwa ideały są uważane za przecinkowe, jeśli dla niektórych i .
- Regularny ideał : termin ten ma wiele zastosowań. Zobacz artykuł na listę.
- Zerowy ideał : ideał jest zerowym ideałem, jeśli każdy z jego elementów jest zerowy.
- Nilpotentny ideał : Pewna jego moc wynosi zero.
- Idealny parametr : ideał generowany przez system parametrów .
Dwa inne ważne terminy używające „ideał” nie zawsze są ideałami ich kręgu. Zobacz odpowiednie artykuły, aby uzyskać szczegółowe informacje:
- Ideał ułamkowy : Jest zwykle definiowany , gdy R jest dziedziną przemienną z polem ilorazu K . Pomimo swoich nazw, ideały ułamkowe sąpodmodułami R K ze specjalną właściwością. Jeżeli ideał ułamkowy zawiera się całkowicie w R , to jest to naprawdę ideał R .
- Nieodwracalny ideał : Zwykle odwracalny ideał A jest definiowany jako ideał ułamkowy, dla którego istnieje inny ideał ułamkowy B taki, że AB = BA = R . Niektórzy autorzy mogą również stosować „ideał odwracalny” do zwykłych ideałów pierścieni A i B, gdzie AB = BA = R w pierścieniach innych niż domeny.
Idealne operacje
Suma i iloczyn ideałów są zdefiniowane w następujący sposób. Dla i , lewych (odpowiednio prawych) ideałów pierścienia R , ich suma wynosi
- ,
który jest ideałem lewicowym (lub prawym), a jeśli są dwustronne,
tzn. iloczyn jest ideałem generowanym przez wszystkie iloczyny postaci ab z a in i b in .
Uwaga to najmniejszy lewy (lub prawy) ideał zawierający oba i (lub sumę ), podczas gdy iloczyn znajduje się w przecięciu i .
Prawo podziału obowiązuje dla ideałów dwustronnych ,
- ,
- .
Jeśli produkt zostanie zastąpiony skrzyżowaniem, częściowe prawo dystrybucyjne obowiązuje:
gdzie równość zachodzi, jeśli zawiera lub .
Uwaga : suma i przecięcie ideałów to znowu ideał; dzięki tym dwóm operacjom jako połącz i spotkaj, zbiór wszystkich ideałów danego pierścienia tworzy kompletną sieć modułową . W ogólności krata nie jest kratą rozdzielczą . Trzy operacje przecięcia, sumy (lub złączenia) i iloczynu tworzą ze zbioru ideałów przemiennego pierścienia kwantal .
Jeśli są ideałami pierścienia przemiennego R , to w następujących dwóch przypadkach (przynajmniej)
- jest generowany przez elementy, które tworzą regularną sekwencję modulo .
(Ogólnie rzecz biorąc, różnicę między produktem a przecięciem ideałów mierzy się funktorem Tora : )
Domena integralna nazywana jest domeną Dedekinda, jeśli dla każdej pary ideałów istnieje ideał taki, że . Można wtedy wykazać, że każdy niezerowy ideał dziedziny Dedekinda może być jednoznacznie zapisany jako iloczyn maksymalnych ideałów, uogólnienie podstawowego twierdzenia arytmetyki .
Przykłady idealnych operacji
W mamy
ponieważ jest zbiorem liczb całkowitych podzielnych przez oba i .
Niech i niech . Następnie,
- i
- podczas
W pierwszym obliczeniu widzimy ogólny wzór dla sumy dwóch skończenie wygenerowanych ideałów, jest to ideał wygenerowany przez połączenie ich generatorów. W ostatnich trzech obserwujemy, że iloczyny i przecięcia zgadzają się, gdy te dwa ideały przecinają się z ideałem zerowym. Te obliczenia można sprawdzić za pomocą Macaulay2 .
Radykał pierścienia
Ideały pojawiają się naturalnie w badaniu modułów, zwłaszcza w postaci radykalnej.
- Dla uproszczenia pracujemy z pierścieniami przemiennymi, ale z pewnymi zmianami wyniki są również prawdziwe dla pierścieni nieprzemiennych.
Niech R będzie pierścieniem przemiennym. Z definicji, prymitywny idealny z R jest annihilator grupy (zera), prosty R -module . Jacobson rodnik o R jest przecięcia wszystkich pierwotnych idei. Równoważnie,
Rzeczywiście, jeśli jest prostym modułem, a x jest niezerowym elementem w M , to i , znaczenie jest maksymalnym ideałem. I odwrotnie, jeśli jest maksymalnym ideałem, to jest anihilatorem prostego modułu R . Jest też inna charakterystyka (dowód nie jest trudny):
W przypadku niekoniecznie przemiennego pierścienia, jest faktem ogólnym, że jest elementem jednostkowym wtedy i tylko wtedy, gdy jest (patrz link), a więc ta ostatnia charakterystyka pokazuje, że radykał można zdefiniować zarówno w kategoriach lewicowych, jak i prawicowych ideałów pierwotnych .
Poniższy prosty, ale ważny fakt ( lemat Nakayamy ) jest wbudowany w definicję rodnika Jacobsona: jeśli M jest modułem takim, że , to M nie dopuszcza maksymalnego podmodułu , ponieważ jeśli istnieje maksymalny podmoduł , i tak , sprzeczność. Ponieważ niezerowy moduł skończenie wygenerowany dopuszcza maksymalny podmoduł, w szczególności mamy:
- Jeśli i M jest skończenie generowane, wtedy
Ideał maksymalny jest ideałem pierwszym, więc trzeba
gdzie przecięcie po lewej stronie nazywa się nilradical z R . Jak się okazuje, jest także zestaw nilpotent elementów z R .
Jeśli R jest pierścieniem Artinian , to jest nilpotentny i . (Dowód: najpierw zauważ, że DCC implikuje dla niektórych n . Jeśli (DCC) jest ideałem odpowiednio minimalnym w stosunku do tego ostatniego, to . To jest , sprzeczność.)
Przedłużanie i skracanie ideału
Niech A i B będą dwoma pierścieniami przemiennymi i niech f : A → B będzie homomorfizmem pierścienia . Jeśli jest ideałem w A , to nie musi być ideałem w B (np. weź f za włączenie pierścienia liczb całkowitych Z do ciała wymiernych Q ). Przedłużenie o w B określa się w idealnym B generowane przez . Jawnie,
Jeśli jest to ideał B , wtedy zawsze jest ideałem A , zwany skurcz od do A .
Zakładając, że f : A → B jest homomorfizmem pierścienia, jest ideałem w A , jest ideałem w B , wtedy:
- jest liczbą pierwszą w B jest liczbą pierwszą w A .
Na ogół nieprawdą jest, że bycie liczbą pierwszą (lub maksymalną) w A implikuje, że jest ona pierwsza (lub maksymalna) w B . Wiele klasycznych przykładów tego wywodzi się z algebraicznej teorii liczb. Na przykład osadzanie . W , element 2 rozkłada się jak gdzie (można pokazać) żadna z jednostek nie jest w B . Więc nie jest liczbą pierwszą w B (a zatem również nie maksymalną). Rzeczywiście pokazuje, że , , a zatem .
Z drugiej strony, jeśli f jest surjekcją, a następnie:
- i .
- jest ideałem pierwszym w A jest ideałem pierwszym w B .
- jest maksymalnym ideałem w A jest maksymalnym ideałem w B .
Uwaga : Niech K będzie rozszerzenie ciała z L , i niech B i być pierścień liczb całkowitych z K i L , odpowiednio. Wtedy B jest integralnym przedłużeniem z A , i niech f będzie mapa włączenie od A do B . Zachowanie się ideału pierwszego A pod rozszerzeniem jest jednym z głównych problemów algebraicznej teorii liczb .
Czasami przydaje się następująca zasada: ideał pierwszy jest skróceniem ideału pierwszego wtedy i tylko wtedy, gdy . (Dowód: Zakładając, że te ostatnie, uwaga intersects . Sprzeczność Obecnie, głównymi idee odpowiadają numerom B , które są rozłączne z . W związku z tym, istnieje ideałem od B , rozłączne z tak, że jest maksymalny idealnym zawierających . Następnie sprawdzamy, czy to leży . Odwrotność jest oczywista.)
Uogólnienia
Ideały można uogólnić na dowolny obiekt monoidalny , gdzie jest obiektem, w którym zapomniano o strukturze monoidalnej . Lewej idealnie od jest podobiekt że „pochłania mnożenia z lewej strony przez elementy ”; że jest to lewa idealny , jeżeli spełnia następujące dwa warunki:
- jest podobiekt od
- Dla każdego i każdy produkt jest .
Prawo idealny jest zdefiniowany z warunkiem „ ” zastąpiono „” ”. Dwustronny idealny jest idealny, że lewa jest również tuż idealne, i jest czasami nazywana po prostu idealne. Gdy jest odpowiednio przemiennym obiektem monoidalnym, definicje ideału lewego, prawego i dwustronnego pokrywają się, a termin ideał jest używany sam.
Ideał może być również traktowany jako specyficzny typ modułu R . Jeśli weźmiemy pod uwagę jako lewe -module (mnożenie przez lewej), a następnie w lewo idealna jest naprawdę tylko lewa Podmoduł od . Innymi słowy, jest lewym (prawym) ideałem wtedy i tylko wtedy, gdy jest to lewy (prawy) moduł, który jest podzbiorem . jest dwustronnym ideałem, jeśli jest sub- bimodułem .
Przykład: Jeśli pozwolimy , ideałem jest grupa abelowa będąca podzbiorem , czyli dla niektórych . Tak więc dają one wszystkie ideały .
Zobacz też
- Arytmetyka modułowa
- Twierdzenie o izomorfizmie Noether
- Twierdzenie Boole'a pierwszego idealnego
- Idealna teoria
- Idealny (teoria porządku)
- Idealna norma
- Dzielenie ideałów pierwotnych w rozszerzeniach Galois
- Idealny snop
Uwagi
Bibliografia
- Atiyah, MF i Macdonald, IG , Wprowadzenie do algebry przemiennej , Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9
- Lang, Serge (2005). Algebra licencjacka (wyd. trzecie). Springer-Verlag . Numer ISBN 978-0-387-22025-3.
- Michiel Hazewinkel , Nadiya Gubareni, Nadieżda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebry, pierścienie i moduły . Tom 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
- Milnor, John Willard (1971), Wprowadzenie do algebraicznej teorii K , Annals of Mathematics Studies, 72 , Princeton, NJ: Princeton University Press , MR 0349811 , Zbl 0237.18005
Linki zewnętrzne
- Levinson, Jake (14 lipca 2014). „Geometryczna interpretacja rozszerzania ideałów?” . Wymiana stosu .