Incircle i excircles w trójkącie - Incircle and excircles of a triangle

W geometrii The incircle lub wpisany okrąg o trójkąta jest największy okrąg zawarty w trójkącie; dotyka (jest styczna ) z trzech stron. W centrum incircle jest centrum trójkąt zwany trójkąt za incenter .

Excircle lub ukierunkowują koło trójkąta znajduje się na zewnątrz okręgu leżącego trójkąta styczną do jednej z jego stron i stycznej do przedłużenia dwóch pozostałych . Każdy trójkąt ma trzy odrębne excircles, każdy styczny do jednego z boków trójkąta.

Środek okręgu, zwany środkiem , można znaleźć jako przecięcie trzech wewnętrznych dwusiecznych kąta . Środek wykrętu to przecięcie wewnętrznej dwusiecznej jednego kąta (na przykład w wierzchołku ) i dwusiecznej zewnętrznej dwóch pozostałych. W centrum tego excircle nazywa się mimośrodowej względem wierzchołka , lub mimośrodowej o . Ponieważ dwusieczna wewnętrzna kąta jest prostopadła do dwusiecznej zewnętrznej, wynika z tego, że środek kręgosłupa wraz z trzema środkami okręgów tworzy układ ortocentryczny . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Wszystkie regularne wielokąty mają kręgi styczne do wszystkich stron, ale nie wszystkie wielokąty mają; te, które tak są, są stycznymi wielokątami . Zobacz także Styczne do okręgów .

Incircle i incenter

Załóżmy, że ma okrąg o promieniu i środku . Niech będzie długością , długością i długością . Także niech , i być odpowiednich punktów gdzie dotyka incircle , oraz . ${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle AC}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle T_ {A}}$${\ displaystyle T_ {B}}$${\ displaystyle T_ {C}}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle AC}$${\ displaystyle AB}$

W centrum

Incenter jest punkt, w którym wewnętrzna dwusiecznych z spotykają. ${\ Displaystyle \ kąt ABC, \ kąt BCA, {\ tekst {i}} \ kąt BAC}$

Odległość od wierzchołka do środka wklęsłego wynosi: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle I}$

${\ Displaystyle d (A, ja) = c {\ Frac {\ sin \ lewo ({\ Frac {B} {2}} \ prawej)} {\ cos \ lewo ({\ Frac {C} {2}} \ right)}} = b {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)} {\ cos \ left ({\ frac {B} {2}} \ right)} }.}$

Współrzędne trójliniowe

Te współrzędne trójliniowe do punktu w trójkącie jest stosunkiem wszystkich odległościach do boków trójkąta. Ponieważ środek jest w tej samej odległości od wszystkich boków trójkąta, współrzędne trójliniowe dla środka są

${\ Displaystyle \ 1: 1: 1.}$

Współrzędne barycentryczne

W barycentryczne współrzędnych dla punktu w wag trójkąt dać takie, że punkt jest średnią ważoną położeń wierzchołków trójkąta. Współrzędne barycentryczne dla środka inkubatora są podane przez

${\ displaystyle \ a: b: c}$

gdzie , i są długościami boków trójkąta, lub równoważnie (używając prawa sinusów ) przez ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ Displaystyle \ sin (A): \ sin (B): \ sin (C)}$

gdzie , i są kątami na trzech wierzchołkach. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$

współrzędne kartezjańskie

Te współrzędne kartezjańskie z incenter są średnią ważoną współrzędnych trzech wierzchołków za pomocą długości boków trójkąta w stosunku do obwodu (to jest, przy użyciu współrzędnych barycentryczną podane powyżej, znormalizowana do jedności sumy) jako ciężarki. Wagi są dodatnie, więc środek znajduje się wewnątrz trójkąta, jak podano powyżej. Jeżeli trzy wierzchołki są umieszczone w , i , a boki przeciwległych Wierzchołki te mają odpowiednie odcinki , i , następnie incenter jest ${\ displaystyle (x_ {a}, y_ {a})}$${\ displaystyle (x_ {b}, y_ {b})}$${\ displaystyle (x_ {c}, y_ {c})}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle \ left ({\ Frac {ax_ {a} + bx_ {b} + cx_ {c}} {a + b + c}}, {\ frac {ay_ {a} + by_ {b} + cy_ { c}} {a + b + c}} \ right) = {\ frac {a \ left (x_ {a}, y_ {a} \ right) + b \ left (x_ {b}, y_ {b} \ right) + c \ left (x_ {c}, y_ {c} \ right)} {a + b + c}}.}$

Promień

Inradius z incircle w trójkąta o długości boków , , jest przez ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ Frac {(sa) (sb) (sc)} {s}}},}$ gdzie ${\ Displaystyle s = (a + b + c) / 2.}$

Zobacz wzór Herona .

Odległości do wierzchołków

Oznaczając środek as , odległości od środka do wierzchołków w połączeniu z długością boków trójkąta są zgodne z równaniem ${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle I}$

${\ Displaystyle {\ Frac {IA \ cdot IA} {CA \ cdot AB}} + {\ Frac {IB \ cdot IB} {AB \ cdot BC}} + {\ Frac {IC \ cdot IC} {BC \ cdot CA}} = 1.}$

Dodatkowo,

${\ Displaystyle IA \ cdot IB \ cdot IC = 4Rr ^ {2},}$

gdzie i są odpowiednio promieniem circumradius i inradius trójkąta . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle r}$

Inne właściwości

Zbiór centrów trójkątów może mieć strukturę grupy w wyniku mnożenia współrzędnych trójliniowych według współrzędnych; w tej grupie incenter tworzy element tożsamości .

Incircle i jego właściwości promienia

Odległości między wierzchołkiem a najbliższymi punktami styku

Odległości od wierzchołka do dwóch najbliższych punktów styku są równe; na przykład:

${\ Displaystyle d \ lewo (A, T_ {B} \ prawo) = d \ lewo (A, T_ {C} \ prawo) = {\ Frac {1} {2}} (b + ca).}$

Inne właściwości

Załóżmy, że punkty styczności w kręgu dzielą boki na długości i , i , i i . Wtedy incircle ma promień ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ Frac {xyz} {x + y + z}}}}$

a obszar trójkąta to

${\ Displaystyle \ Delta = {\ sqrt {xyz (x + y + z)}}.}$

Jeżeli wysokości od boków długości , i są , i , to promień wewnętrzny stanowi jedną trzecią średniej harmonicznej tych wysokości; to jest, ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle h_ {a}}$${\ displaystyle h_ {b}}$${\ displaystyle h_ {c}}$${\ displaystyle r}$

${\ Displaystyle r = {\ Frac {1} {{\ Frac {1} {h_ {a}}} + {\ Frac {1} {h_ {b}}} + {\ Frac {1} {h_ {c }}}}}.}$

Produkt promienia incircle i circumcircle promień trójkąta z boku , i jest ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle rR = {\ Frac {abc} {2 (a + b + c)}}.}$

Niektóre relacje między bokami, promień incircle i promień circumcircle to:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} ab + bc + ca & = s ^ {2} + (4R + r) r, \\ a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} & = 2s ^ {2} -2 (4R + r) r. \ End {aligned}}}$

Każda linia przechodząca przez trójkąt, która dzieli zarówno obszar trójkąta, jak i jego obwód na pół, przechodzi przez środek trójkąta (środek jego okręgu). Dla każdego trójkąta jest jeden, dwa lub trzy z nich.

Oznaczając środek incircle as , mamy ${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle I}$

${\ Displaystyle {\ Frac {IA \ cdot IA} {CA \ cdot AB}} + {\ Frac {IB \ cdot IB} {AB \ cdot BC}} + {\ Frac {IC \ cdot IC} {BC \ cdot CA}} = 1}$

i

${\ Displaystyle IA \ cdot IB \ cdot IC = 4Rr ^ {2}.}$

Promień incircle nie jest większy niż jedna dziewiąta sumy wysokości.

Kwadratowa odległość od środka do środka okalającego jest wyrażona przez ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle O}$

${\ Displaystyle OI ^ {2} = R (R-2r)}$ ,

a odległość od incenter do centrum w okrąg dziewięciu punktów jest ${\ displaystyle N}$

${\ Displaystyle IN = {\ Frac {1} {2}} (R-2r) <{\ Frac {1} {2}} R.}$

Środek znajduje się w przyśrodkowym trójkącie (którego wierzchołki są środkowymi punktami boków).

Relacja do obszaru trójkąta

Promień incircle jest powiązany z obszarem trójkąta. Stosunek pola powierzchni w kręgu do obszaru trójkąta jest mniejszy lub równy , przy czym równość obowiązuje tylko dla trójkątów równobocznych . ${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}}$

Załóżmy, że ma okrąg o promieniu i środku . Niech będzie długością , długością i długością . Otóż, w pewnym momencie incircle jest styczne i tak jest. Tak więc, promień jest wysokość od . Dlatego ma długość i wysokość podstawy , a więc ma powierzchnię . Podobnie ma obszar i ma obszar . Ponieważ te trzy trójkąty ulegają rozkładowi , widzimy, że pole to: ${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle AC}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle T_ {C}}$${\ displaystyle \ kąt AT_ {C} ja}$${\ displaystyle T_ {C} I}$${\ displaystyle \ triangle IAB}$${\ displaystyle \ triangle IAB}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} cr}$${\ displaystyle \ triangle IAC}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} br}$${\ displaystyle \ triangle IBC}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} ar}$${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ Displaystyle \ Delta {\ tekst {of}} \ trójkąt ABC}$

${\ Displaystyle \ Delta = {\ Frac {1} {2}} (a + b + c) r = sr,}$     i     ${\ displaystyle r = {\ frac {\ Delta} {s}},}$

gdzie jest pole i jest jego półmietrem . ${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a + b + c)}$

Rozważ alternatywną formułę . Jest to trójkąt prostokątny, którego jedna strona jest równa, a druga równa . To samo dotyczy . Duży trójkąt składa się z sześciu takich trójkątów, a jego całkowita powierzchnia wynosi: ${\ displaystyle \ triangle IT_ {C} A}$${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle r \ cot \ lewo ({\ Frac {A} {2}} \ prawej)}$${\ displaystyle \ triangle IB'A}$

${\ Displaystyle \ Delta = r ^ {2} \ lewo (\ cot \ lewo ({\ Frac {A} {2}} \ prawej) + \ cot \ lewo ({\ Frac {B} {2}} \ prawo) ) + \ cot \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) \ right).}$

Trójkąt i punkt Gergonne

Gergonne trójkąt (z ) jest określona przez trzy punkty styku z incircle na trzech bokach. Styczności naprzeciwko oznaczamy itp ${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle T_ {A}}$

Trójkąt Gergonne, znana jest również jako trójkąt kontaktu lub inTOUCH trójkąta o . Jego obszar to ${\ displaystyle \ triangle T_ {A} T_ {B} T_ {C}}$${\ displaystyle \ triangle ABC}$

${\ Displaystyle K_ {T} = K {\ Frac {2r ^ {2} s} {abc}}}$

gdzie , i to w obszarze, promień incircle i semiperimeter pierwotnego trójkąta i , i są długościami strony oryginału trójkąta. Jest to ten sam obszar, co trójkąt extouch . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

Trzy linie , i przecinają się w jednym punkcie zwany punkt Gergonne , oznaczona (lub środka trójkąta X ₇ ). Punkt Gergonne leży w otwartym dysku ortocentroidalnym z przebiciem w jego własnym środku i może być dowolnym jego punktem. ${\ displaystyle AT_ {A}}$${\ displaystyle BT_ {B}}$${\ displaystyle CT_ {C}}$${\ displaystyle G_ {e}}$

Punkt Gergonne trójkąta ma wiele właściwości, między innymi to, że jest symmedycznym punktem trójkąta Gergonne.

Trójliniowe współrzędne wierzchołków trójkąta intouch są podane przez

• ${\ Displaystyle {\ tekst {wierzchołek}} \, T_ {A} = 0: \ s ^ {2} \ lewo ({\ Frac {B} {2}} \ prawo): \ sec ^ {2} \ lewo ({\ frac {C} {2}} \ right)}$
• ${\ Displaystyle {\ tekst {wierzchołek}} \, T_ {B} = \ s ^ {2} \ lewo ({\ Frac {A} {2}} \ prawo): 0: \ sec ^ {2} \ lewo ({\ frac {C} {2}} \ right)}$
• ${\ Displaystyle {\ tekst {wierzchołek}} \, T_ {C} = \ s ^ {2} \ lewo ({\ Frac {A} {2}} \ prawo): \ s ^ {2} \ lewo ({ \ frac {B} {2}} \ right): 0.}$

Trójliniowe współrzędne punktu Gergonne podane są przez

${\ Displaystyle \ sec ^ {2} \ lewo ({\ Frac {A} {2}} \ prawej): \ sec ^ {2} \ lewo ({\ Frac {B} {2}} \ prawej): \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right),}$

lub, równoważnie, przez Prawo Sinusów ,

${\ Displaystyle {\ Frac {pne} {b + ca}}: {\ frac {ca} {c + ab}}: {\ frac {ab} {a + pne}}.}$

Excircles i excenters

Excircle lub ukierunkowują koło trójkąta znajduje się na zewnątrz okręgu leżącego trójkąta styczną do jednej z jego stron i stycznej do przedłużenia dwóch pozostałych . Każdy trójkąt ma trzy odrębne excircles, każdy styczny do jednego z boków trójkąta.

Środek wykrętu to przecięcie wewnętrznej dwusiecznej jednego kąta (na przykład w wierzchołku ) i dwusiecznej zewnętrznej dwóch pozostałych. W centrum tego excircle nazywa się mimośrodowej względem wierzchołka , lub mimośrodowej o . Ponieważ dwusieczna wewnętrzna kąta jest prostopadła do dwusiecznej zewnętrznej, wynika z tego, że środek kręgosłupa wraz z trzema środkami okręgów tworzy układ ortocentryczny . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Trójliniowe współrzędne wyrostków

Choć incenter z ma trójliniowe współrzędnych , gdy excenters mieć trilinears , oraz . ${\ displaystyle \ triangle ABC}$ ${\ displaystyle 1: 1: 1}$${\ displaystyle -1: 1: 1}$${\ displaystyle 1: -1: 1}$${\ displaystyle 1: 1: -1}$

Exradii

Promienie excircles nazywane są exradii .

Exradius przeciwległego excircle (tak dotykający , w środku ) jest ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle J_ {A}}$

${\ Displaystyle r_ {a} = {\ Frac {rs} {sa}} = {\ sqrt {\ Frac {s (sb) (sc)} {sa}}},}$ gdzie ${\ Displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a + b + c).}$

Zobacz wzór Herona .

Wyprowadzenie wzoru exradii

Inne właściwości

Z powyższych wzorów można zauważyć, że zaokrąglenia są zawsze większe niż w kole, a największe z nich jest styczne do najdłuższego boku, a najmniejsze z nich jest styczne do najkrótszego boku. Ponadto połączenie tych formuł daje:

${\ displaystyle \ Delta = {\ sqrt {rr_ {a} r_ {b} r_ {c}}}.}$

Inne właściwości excircle

Okrągły kadłub excircles jest wewnętrznie styczny do każdego z excircles, a zatem jest okręgiem Apoloniusza . Promień tego okręgu Apoloniusza to gdzie jest promień w kręgu i jest półmrokiem tego trójkąta. ${\ Displaystyle {\ tfrac {r ^ {2} + s ^ {2}} {4r}}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s}$

Poniższe relacje trzymać wśród inradius The circumradius The semiperimeter , a promienie excircle , , : ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle r_ {a}}$${\ displaystyle r_ {b}}$${\ displaystyle r_ {c}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} r_ {a} + r_ {b} + r_ {c} & = 4R + r, \\ r_ {a} r_ {b} + r_ {b} r_ {c} + r_ {c} r_ {a} & = s ^ {2}, \\ r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} & = \ left (4R + r \ right) ^ {2} -2s ^ {2}. \ end {aligned}}}$

Okrąg przechodzący przez środki trzech excircles ma promień . ${\ displaystyle 2R}$

Jeśli jest orthocenter z , a następnie ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ triangle ABC}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} r_ {a} + r_ {b} + r_ {c} + r & = AH + BH + CH + 2R, \\ r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} + r ^ {2} & = AH ^ {2} + BH ^ {2} + CH ^ {2} + (2R) ^ {2}. \ End {aligned }}}$

Trójkąt Nagel i punkt Nagel

Trójkąt Nagel lub extouch trójkąt z oznaczamy wierzchołkami , i że są trzy punkty, w których excircles dotykają odniesienia i gdzie to przeciwieństwo itp ten jest również znany jako extouch trójkąta o . Circumcircle z extouch nazywa się koło Mandart . ${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle T_ {A}}$${\ displaystyle T_ {B}}$${\ displaystyle T_ {C}}$${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle T_ {A}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ triangle T_ {A} T_ {B} T_ {C}}$${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle \ triangle T_ {A} T_ {B} T_ {C}}$

Trzy linie , i nazywane są cięcia trójkąta; każdy z nich przecina obwód trójkąta, ${\ displaystyle AT_ {A}}$${\ displaystyle BT_ {B}}$${\ displaystyle CT_ {C}}$

${\ Displaystyle AB + BT_ {A} = AC + CT_ {A} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (AB + BC + AC \ prawo).}$

Rozgałęźniki przecinają się w jednym punkcie, punkcie Nagela trójkąta (lub środku trójkąta X ₈ ). ${\ displaystyle N_ {a}}$

Trójliniowe współrzędne wierzchołków trójkąta wyciągnięcia są podane przez

• ${\ Displaystyle {\ tekst {wierzchołek}} \, T_ {A} = 0: \ csc ^ {2} \ lewo ({\ Frac {B} {2}} \ prawo): \ csc ^ {2} \ lewo ({\ frac {C} {2}} \ right)}$
• ${\ Displaystyle {\ tekst {wierzchołek}} \, T_ {B} = \ csc ^ {2} \ lewo ({\ Frac {A} {2}} \ prawo): 0: \ csc ^ {2} \ lewo ({\ frac {C} {2}} \ right)}$
• ${\ Displaystyle {\ tekst {wierzchołek}} \, T_ {C} = \ csc ^ {2} \ lewo ({\ Frac {A} {2}} \ prawo): \ csc ^ {2} \ lewo ({ \ frac {B} {2}} \ right): 0.}$

Trójliniowe współrzędne punktu Nagel są podane przez

${\ Displaystyle \ csc ^ {2} \ lewo ({\ Frac {A} {2}} \ prawej): \ csc ^ {2} \ lewo ({\ Frac {B} {2}} \ prawej): \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right),}$

lub, równoważnie, przez Prawo Sinusów ,

${\ Displaystyle {\ Frac {b + ca} {a}}: {\ Frac {c + ab} {b}}: {\ Frac {a + bc} {c}}.}$

Punkt Nagela jest izotomicznym koniugatem punktu Gergonne.

Powiązane konstrukcje

Dziewięciopunktowe koło i punkt Feuerbacha

W geometrii The okrąg dziewięciu punktów jest koło , które mogą być skonstruowane dla danego trójkąta . Jest tak nazwany, ponieważ przechodzi przez dziewięć znaczących punktów koncyklicznych określonych na podstawie trójkąta. Te dziewięć punktów to:

• Punkcie środkowym każdego boku trójkąta
• Stopa każdej wysokości
• Środek odcinka linii od każdego wierzchołka trójkąta do ortocentrum (gdzie spotykają się trzy wysokości; te odcinki linii leżą na odpowiednich wysokościach).

W 1822 roku Karl Feuerbach odkrył, że okrąg dziewięciu punktów każdym trójkącie jest zewnętrznie styczna do tego trójkąta trzech excircles i wewnętrznie styczna do jego incircle ; wynik ten jest znany jako twierdzenie Feuerbacha . Udowodnił, że:

... okrąg, który przechodzi przez stopy wysokości trójkąta, jest styczny do wszystkich czterech okręgów, które z kolei są styczne do trzech boków trójkąta ... ( Feuerbach 1822 ) błąd harv: brak celu: CITEREFFeuerbach1822 ( pomoc )

Środek trójkąta, w którym stykają się kółko i dziewięciopunktowe koło, nazywa się punktem Feuerbacha .

Trójkąty przyśrodkowe i mimośrodowe

Punkty przecięcia dwusiecznych kąta wewnętrznej z segmentami , , i są wierzchołki incentral trójkąta . Współrzędne trójliniowe wierzchołków trójkąta środkowego są podane przez ${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle CA}$${\ displaystyle AB}$

• ${\ Displaystyle \ \ lewo ({\ tekst {wierzchołek naprzeciwko}} \, A \ prawej) = 0: 1: 1}$
• ${\ Displaystyle \ \ lewo ({\ tekst {wierzchołek naprzeciwko}} \, B \ prawej) = 1: 0: 1}$
• ${\ Displaystyle \ \ lewo ({\ tekst {wierzchołek naprzeciwko}} \, C \ prawej) = 1: 1: 0.}$

Excentral trójkąt trójkąta odniesienia ma wierzchołki w centrach excircles trójkąta referencyjnego. Jego boki znajdują się na zewnętrznych dwusiecznych kąta trójkąta odniesienia (patrz rysunek na górze strony ). Współrzędne trójliniowe wierzchołków trójkąta mimośrodowego są podane przez

• ${\ Displaystyle ({\ tekst {wierzchołek naprzeciwko}} \, A) = - 1: 1: 1}$
• ${\ Displaystyle ({\ tekst {wierzchołek naprzeciwko}} \, B) = 1: -1: 1}$
• ${\ Displaystyle ({\ tekst {wierzchołek naprzeciwko}} \, C) = 1: 1: -1.}$

Równania dla czterech okręgów

Pozwolić być zmienna punkt w układzie współrzędnych trójliniowe , i niech , , . Cztery opisane powyżej okręgi są równoważne przez jedno z dwóch podanych równań: ${\ displaystyle x: y: z}$${\ Displaystyle u = \ cos ^ {2} \ lewo (A / 2 \ prawo)}$${\ Displaystyle v = \ cos ^ {2} \ lewo (B / 2 \ prawo)}$${\ Displaystyle w = \ cos ^ {2} \ lewo (C / 2 \ prawo)}$

• Incircle:

  ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} -2vwyz-2wuzx-2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {y}} \ cos \ left ({\ frac {B} {2 }} \ right) \ pm {\ sqrt {z}} \ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) & = 0 \ end {aligned}}}$

• ${\ displaystyle A}$ - excircle:

  ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} -2vwyz + 2wuzx + 2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {-x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {y}} \ cos \ left ({\ frac {B} { 2}} \ right) \ pm {\ sqrt {z}} \ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) & = 0 \ end {aligned}}}$

• ${\ displaystyle B}$ - excircle:

  ${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} + 2vwyz-2wuzx + 2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {-y}} \ cos \ left ({\ frac {B} { 2}} \ right) \ pm {\ sqrt {z}} \ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) & = 0 \ end {aligned}}}$

• ${\ displaystyle C}$ - excircle:

  ${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} + 2vwyz + 2wuzx-2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {y}} \ cos \ left ({\ frac {B} {2 }} \ right) \ pm {\ sqrt {-z}} \ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) & = 0 \ end {aligned}}}$

Twierdzenie Eulera

Twierdzenie Eulera stwierdza, że ​​w trójkącie:

${\ Displaystyle (Rr) ^ {2} = d ^ {2} + r ^ {2},}$

gdzie i to circumradius i inradius odpowiednio, i jest odległością między circumcenter i incenter. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle d}$

Dla excircles równanie jest podobne:

${\ displaystyle \ left (R + r _ {\ text {ex}} \ right) ^ {2} = d _ {\ text {ex}} ^ {2} + r _ {\ text {ex}} ^ {2}, }$

gdzie jest promień jednego z łuków i jest odległością między środkiem okręgu a środkiem tego łuku. ${\ displaystyle r _ {\ text {przykład}}}$${\ displaystyle d _ {\ text {przykład}}}$

Uogólnienie na inne wielokąty

Niektóre (ale nie wszystkie) czworoboki mają krąg. Nazywa się je stycznymi czworobokami . Wśród ich wielu właściwości być może najważniejszym jest to, że ich dwie pary przeciwległych boków mają równe sumy. Nazywa się to twierdzeniem Pitota .

Mówiąc bardziej ogólnie, wielokąt z dowolną liczbą boków, który ma wpisany okrąg (to znaczy taki, który jest styczny do każdego boku) nazywany jest wielokątem stycznym .

Zobacz też

• Circumgon
• Okrąg opisany
• Ex-styczna czworobok
• Twierdzenie Harcourta  - obszar trójkąta od jego boków i odległości wierzchołków do dowolnej linii stycznej do jego wręgu
• Circumconic and inconic  - przekrój stożkowy, który przechodzi przez wierzchołki trójkąta lub jest styczny do jego boków
• Kula wpisana
• Siła punktu
• Steiner inellipse
• Styczny czworokąt
• Twierdzenie Trilliuma  - Stwierdzenie o właściwościach okręgów wpisanych i opisanych

Uwagi

Bibliografia

• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble , LCCN   52013504
• Kay, David C. (1969), College Geometry , Nowy Jork: Holt, Rinehart and Winston , LCCN   69012075
• Kimberling, Clark (1998). „Środki trójkąta i trójkąty środkowe”. Congressus Numerantium (129): i – xxv, 1–295.
• Pocałunek, Sándor (2006). „Orthic-of-Intouch i Intouch-of-Orthic Triangles”. Forum Geometricorum (6): 171–177.

Linki zewnętrzne

• Wyprowadzenie wzoru na promień okręgu w trójkącie
• Weisstein, Eric W. „Incircle” . MathWorld .

Interaktywny

• Trójkąt incenter     trójkąt incircle    incircle regularnego wieloboku    z interaktywnymi animacjami
• Konstruowanie centrum / okręgu trójkąta za pomocą kompasu i linii prostej Interaktywna animowana demonstracja
• Twierdzenie o równych kręgach przy przecięciu węzła
• Twierdzenie o pięciu kręgach przy przecięciu węzła
• Pary kręgów w czworoboku w miejscu przecięcia węzła
• Interaktywny aplet Java dla incenter