Matematyka indyjska - Indian mathematics

Matematyka indyjska pojawiła się na subkontynencie indyjskim od 1200 roku p.n.e. do końca XVIII wieku. W klasycznym okresie matematyki indyjskiej ( 400-1200 ne) ważny wkład wnieśli uczeni tacy jak Aryabhata , Brahmagupta , Bhaskara II i Varahamihira . System liczbę dziesiętną do dzisiaj po raz pierwszy odnotowano w Indian matematyki. Indyjscy matematycy wnieśli wczesny wkład w badanie koncepcji zera jako liczby, liczb ujemnych , arytmetyki i algebry . Ponadto w Indiach rozwinięto trygonometrię , aw szczególności opracowano tam współczesne definicje sinusa i cosinusa . Te matematyczne koncepcje zostały przekazane na Bliski Wschód, Chiny i Europę i doprowadziły do ​​dalszego rozwoju, który obecnie stanowi podwaliny wielu dziedzin matematyki.

Starożytne i średniowieczne indyjskie dzieła matematyczne, wszystkie skomponowane w sanskrycie , zwykle składały się z części sutr, w których zestaw zasad lub problemów został przedstawiony z wielką oszczędnością wierszem, aby pomóc uczniowi zapamiętywać. Następnie następowała druga część, składająca się z komentarza prozą (czasem wielu komentarzy różnych badaczy), który wyjaśniał problem bardziej szczegółowo i dostarczał uzasadnienia rozwiązania. W części prozy forma (a więc jej zapamiętywanie) nie była uważana za tak ważną, jak związane z nią idee. Wszystkie prace matematyczne były przekazywane ustnie do około 500 p.n.e.; następnie były przekazywane zarówno ustnie, jak i w formie rękopisu. Najstarszym zachowanym dokumentem matematycznym wytworzonym na subkontynencie indyjskim jest rękopis z kory brzozowej Bakhshali , odkryty w 1881 roku we wsi Bakhshali , niedaleko Peszawaru (dzisiejszy Pakistan ) i prawdopodobnie pochodzi z VII wieku n.e.

Późniejszym punktem zwrotnym w matematyce indyjskiej było opracowanie przez matematyków ze szkoły Kerala w XV wieku rozwinięcia serii funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus i arcus tangens ) . Ich niezwykłe dzieło, ukończone dwa wieki przed wynalezieniem rachunku różniczkowego w Europie, dostarczyło tego, co obecnie uważa się za pierwszy przykład szeregu potęgowego (poza szeregiem geometrycznym). Nie sformułowali jednak systematycznej teorii różnicowania i integracji , nie ma też żadnych bezpośrednich dowodów na to, że ich wyniki są przekazywane poza Keralę .

Pre-historia

Wykopaliska w Harappa , Mohendżo-Daro i innych miejscach cywilizacji doliny Indusu odkryły dowody na użycie „praktycznej matematyki”. Mieszkańcy Cywilizacji Doliny Indusu wytwarzali cegły o wymiarach 4:2:1, uznawanych za korzystne dla stabilności konstrukcji ceglanej. Użyli znormalizowanego systemu wag opartego na przełożeniach: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 i 500 z jednostką waga równa około 28 gramom (i w przybliżeniu równa uncji angielskiej lub greckiej uncia). Produkowali masowo odważniki o regularnych kształtach geometrycznych , które obejmowały sześciany , beczki , stożki i cylindry , demonstrując tym samym znajomość podstawowej geometrii .

Mieszkańcy cywilizacji Indusu starali się również ujednolicić pomiar długości z dużą dokładnością. Zaprojektowali władcę – władcę Mohendżo-Daro – którego jednostka długości (około 1,32 cala lub 3,4 centymetra) została podzielona na dziesięć równych części. Cegły produkowane w starożytnym Mohendżo-Daro często miały wymiary będące integralnymi wielokrotnościami tej jednostki długości.

Wykazano, że puste cylindryczne obiekty wykonane z muszli i znalezione w Lothal (2200 p.n.e. ) i Dholavirze mają zdolność mierzenia kątów w płaszczyźnie, a także określania pozycji gwiazd do nawigacji.

okres wedyjski


Samhitowie i bramini

Teksty religijne okresu wedyjskiego dostarczają dowodów na użycie dużej liczby . Do chwili Yajurvedasaṃhitā- (1200-900 pne), cyfry aż 10 12 były zawarte w tekście. Na przykład mantra (święta recytacja) pod koniec annahomy ("rytu ofiarowania pożywienia") wykonywanego podczas aśvamedha i wypowiadana tuż przed, w trakcie i tuż po wschodzie słońca, przywołuje moc dziesięciu od stu do bilion:

Grad do SATA ( "hundred", 10 2 ), grad do sahasra ( "tysięcy" 10 3 ), grad do ayuta ( "dziesięć tysięcy" 10 4 ), grad do niyuta ( "tysięcy" 10 5 ) grad do prayuta ( "milion" 10 6 ), grad do arbuda ( "dziesięć milionów" 10 7 ), grad do nyarbuda ( "sto milionów", 10 : 8 ), grad do Samudra ( "miliard", 10 : 9 , dosłownie „ocean”), grad madhya („dziesięć miliardów”, 10 10 , dosłownie „środek”), grad do anta („stu miliardów”, 10 11 , dosł. „koniec”), grad do parārdha („jeden bilion” ," 10 12 dosł., "poza stronami "), grad uṣas (świt), grad do vyuṣṭi (zmierzchu), grad do udeṣyat (tego, który ma wstać), grad do udyat (tego, który jest wstawać ), grad udita (tego, który właśnie wstał), grad svarga (niebo), grad martya (światowi), grad wszystkim.

Rozwiązanie częściowego ułamka było znane ludziom Rigwedy jako stany w puruszowej Sukcie (RV 10.90.4):

Z trzema czwartymi Purusa wzniósł się w górę: jedna czwarta z niego znów była tutaj.

Śatapathabrahmana ( ok. 7 wieku pne) zawiera zasady rytualnych konstrukcji geometrycznych, które są podobne do Sulba sutr.

Śulba Sutras

Śulba sutry (dosłownie „Aforyzmy akordów” w wedyjskiej sanskryt ) (ok. 700-400 pne) lista zasady budowy ołtarzy ofiarnych przeciwpożarowych. Większość problemów matematycznych rozważanych w Śulba Sutras wynika z „jednego teologicznego wymogu”, polegającego na konstruowaniu ołtarzy przeciwpożarowych, które mają różne kształty, ale zajmują ten sam obszar. Ołtarze musiały być zbudowane z pięciu warstw wypalanej cegły, pod warunkiem, że każda warstwa składa się z 200 cegieł i że żadne dwie sąsiadujące warstwy nie mają przystającego układu cegieł.

Według ( Hayashi 2005 , s. 363), Śulba Sutry zawierają „najwcześniejsze istniejące na świecie słowne wyrażenie twierdzenia Pitagorasa , chociaż było ono już znane Staro Babilończykom ”.

Ukośna lina ( akṣṇaya-rajju ) podłużnego (prostokąta) wytwarza zarówno liny boczne ( pārśvamāni ), jak i poziome ( tiryaṇmānī )."

Ponieważ zdanie jest sutrą , jest ono z konieczności skompresowane i nie jest szczegółowo omawiane to, co wytwarzają liny , ale kontekst wyraźnie wskazuje na kwadratowe obszary zbudowane na ich długościach i zostałyby tak wyjaśnione uczniowi przez nauczyciela.

Zawierają one listy trójek pitagorejskich , które są szczególnymi przypadkami równań diofantycznych . Zawierają też stwierdzenia (które z perspektywy czasu wiemy, że są przybliżone) o kwadraturze koła i „okrążeniu kwadratu”.

Baudhayana (ok. VIII wiek p.n.e. ) skomponował Sutrę Baudhayana Sulba , najbardziej znaną Sutrę Sulba , która zawiera przykłady prostych trójek pitagorejskich, takich jak: (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8 , 15, 17) , (7, 24, 25) , i (12, 35, 37) , a także stwierdzenie twierdzenia Pitagorasa dla boków kwadratu: „Lina rozciągnięta w poprzek kwadrat tworzy obszar dwukrotnie większy od oryginalnego kwadratu." Zawiera również ogólne stwierdzenie twierdzenia Pitagorasa (dla boków prostokąta): „Lina rozciągnięta na długości przekątnej prostokąta tworzy obszar, który tworzą razem boki pionowe i poziome”. Baudhayana daje wyrażenie na pierwiastek kwadratowy z dwóch :

Wyrażenie jest dokładne do pięciu miejsc po przecinku, prawdziwa wartość to 1,41421356... Wyrażenie to jest podobne w strukturze do wyrażenia znajdującego się na mezopotamskiej tabliczce z okresu starobabilońskiego (1900-1600 pne ):

który wyraża 2 w systemie sześćdziesiętnym i który jest również dokładny do 5 miejsc po przecinku.

Według matematyka SG Dani, babilońska tabliczka klinowa Plimpton 322 napisana ok. 1930 r . 1850 p.n.e. „zawiera piętnaście pitagorejskich trójek z dość dużymi wpisami, w tym (13500, 12709, 18541), który jest prymitywną trójką, co w szczególności wskazuje na wyrafinowane zrozumienie tego tematu” w Mezopotamii w 1850 r. p.n.e. „Ponieważ tabliczki te poprzedzają okres Sulbasutrów o kilka stuleci, biorąc pod uwagę kontekstowy wygląd niektórych trójek, rozsądne jest oczekiwanie, że podobne zrozumienie miałoby miejsce w Indiach”. Dani mówi dalej:

Ponieważ głównym celem Sulvasutr było opisanie konstrukcji ołtarzy i związanych z nimi zasad geometrycznych, temat trójek pitagorejskich, nawet jeśli został dobrze zrozumiany, może nadal nie pojawiać się w Sulvasutrach . Występowanie trójek w Sulvasutrach jest porównywalne z matematyką, którą można spotkać we wstępnej książce o architekturze lub innej podobnej dziedzinie, i nie odpowiadałoby bezpośrednio ogólnej wiedzy na ten temat w tamtym czasie. Ponieważ niestety nie znaleziono innych współczesnych źródeł, być może nigdy nie uda się rozwiązać tej kwestii w sposób satysfakcjonujący.

W sumie skomponowano trzy sutry Sulba . Pozostałe dwa, Manava Sulba Sutra skomponowana przez Manava (fl. 750-650 pne) i Apastamba Sulba Sutra , skomponowana przez Apasambę (ok. 600 pne), zawierały wyniki podobne do Sutry Baudhayana Sulba .

Wiakarana

Ważnym punktem zwrotnym okresu wedyjskiego była praca gramatyka sanskryckiego , Pāṇini (ok. 520-460 p.n.e.). Jego gramatyka obejmuje wczesne użycie logiki Boole'a , operatora null i gramatyk bezkontekstowych oraz zawiera prekursora formy Backusa-Naura (używanej w językach programowania opisu ).

Pingala (300 p.n.e. – 200 p.n.e.)

Wśród uczonych okresu po wedyjskiej, którzy przyczynili się do matematyki, najbardziej zauważalną jest Pingala ( Pingala ) ( fl. 300-200 pne), A teoretyk muzyki , która zredagowała Chhandas shastra ( chandah-Sastra , także Chhandas Sutra chhandaḥ-sutry ), traktat sanskrycki o prozodii . Istnieją dowody, że w swojej pracy nad wyliczaniem kombinacji sylabicznych Pingala natknął się zarówno na trójkąt Pascala, jak i na współczynniki dwumianowe , chociaż nie miał wiedzy na temat samego twierdzenia dwumianowego . Praca Pingala zawiera również podstawowe idee liczb Fibonacciego (zwanych maatraameru ). Chociaż sutra Chandah nie przetrwała w całości, zachował się do niej komentarz Halayudhy z X wieku. Halayudha, który odnosi się do trójkąta Pascala jako Meru- prastara (dosłownie „schody na górę Meru”), ma to do powiedzenia:

Narysuj kwadrat. Zaczynając od połowy kwadratu, narysuj pod nim dwa inne podobne kwadraty; poniżej tych dwóch, trzy inne kwadraty i tak dalej. Oznakowanie należy rozpocząć od wpisania 1 w pierwszym kwadracie. Umieść 1 w każdym z dwóch kwadratów drugiej linii. W trzecim wierszu umieść 1 w dwóch kwadratach na końcach, aw środkowym kwadracie sumę cyfr w dwóch leżących nad nim kwadratach. W czwartej linii umieść 1 w dwóch kwadratach na końcach. W środkowych umieść sumę cyfr w dwóch kwadratach nad każdym. Postępuj w ten sposób. Spośród tych linii druga podaje kombinacje z jedną sylabą, trzecia kombinacje z dwiema sylabami, ...

Tekst wskazuje również, że Pingala był świadomy tożsamości kombinatorycznej :

Katjajanah

Katyāyana (ok. III w. p.n.e.) wyróżnia się jako ostatni z matematyków wedyjskich. Napisał Katyayana Sulba Sutra , która przedstawiała wiele geometrii , w tym ogólne twierdzenie Pitagorasa i obliczenie pierwiastka kwadratowego z 2 z dokładnością do pięciu miejsc po przecinku.

Matematyka Jain (400 p.n.e. – 200 n.e.)

Chociaż dżinizm jest religią, a filozofia poprzedza jej najsłynniejszego przedstawiciela, wielkiego Mahaviraswamiego (VI wiek p.n.e.), większość tekstów dżinizmu na tematy matematyczne powstała po VI wieku p.n.e. Matematycy dżinizmu są ważni historycznie jako kluczowe ogniwa między matematyką okresu wedyjskiego a matematyką „okresu klasycznego”.

Znaczący wkład historyczny matematyków Jain polegał na uwolnieniu indyjskiej matematyki od jej religijnych i rytualnych ograniczeń. W szczególności ich fascynacja wyliczaniem bardzo dużych liczb i nieskończoności skłoniła ich do sklasyfikowania liczb na trzy klasy: przeliczalne, nieskończone i nieskończone . Nie zadowalając się prostym pojęciem nieskończoności, ich teksty definiują pięć różnych rodzajów nieskończoności: nieskończoną w jednym kierunku, nieskończoną w dwóch kierunkach, nieskończoną w obszarze, nieskończoną wszędzie i nieskończoną wiecznie. Ponadto matematycy Jain opracowali notacje dla prostych potęg (i wykładników) liczb, takich jak kwadraty i sześciany, co umożliwiło im zdefiniowanie prostych równań algebraicznych ( beejganita samikaran ). Najwyraźniej matematycy dżinizmu jako pierwsi użyli słowa shunya (dosłownie puste w sanskrycie ) w odniesieniu do zera. Ponad tysiąc lat później ich nazwa stała się angielskim słowem „zero” po krętej podróży tłumaczeń i transliteracji z Indii do Europy. (Zobacz Zero: Etymologia .)

Oprócz Surya Prajnapti , ważne prace Jain dotyczące matematyki obejmowały Sutrę Sthananga (ok. 300 p.n.e. – 200 n.e. ); Anuyogadwara Sutra (c 200 pne - 100 CE.); i Satkhandagama (ok. II w. n.e.). Ważnymi matematykami dżinizmu byli Bhadrabahu (zm. 298 p.n.e.), autor dwóch prac astronomicznych, Bhadrabahavi-Samhita i komentarza do Surya Prajinapti ; Yativrisham Acharya (ok. 176 pne), który jest autorem tekstu matematycznego o nazwie Tiloyapannati ; i Umasvati (ok. 150 pne), który, chociaż lepiej znany ze swoich wpływowych pism o filozofii i metafizyce Jain , skomponował dzieło matematyczne nazwane Tattwarthadhigama-Sutra Bhashya .

Tradycja ustna

Matematycy starożytnych i wczesnośredniowiecznych Indii byli prawie wszystkimi panditami sanskrytu ( paṇḍita „człowiek uczony”), którzy byli wyszkoleni w języku i literaturze sanskrytu i posiadali „wspólny zasób wiedzy z gramatyki ( vyākaraṇa ), egzegezy ( mīmāṃsā ) i logiki ( nyaya )." Zapamiętywanie „tego, co słychać” ( w sanskrycie śruti ) poprzez recytację odgrywało główną rolę w przekazie świętych tekstów w starożytnych Indiach. Zapamiętywanie i recytacja służyło także przekazywaniu dzieł filozoficznych i literackich, a także traktatów rytualnych i gramatycznych. Współcześni uczeni starożytnych Indii zauważyli „naprawdę niezwykłe osiągnięcia indyjskich panditów, którzy przez tysiąclecia przechowywali ustnie niezwykle obszerne teksty”.

Style zapamiętywania

Starożytna kultura indyjska zużyła niesamowitą energię na zapewnienie, że teksty te były przekazywane z pokolenia na pokolenie z nadmierną wiernością. Na przykład zapamiętywanie świętych Wed obejmowało do jedenastu form recytacji tego samego tekstu. Teksty zostały następnie „sprawdzone” poprzez porównanie różnych recytowanych wersji. Formy recytacji obejmowały jaṭā-pāṭha (dosłownie „recytacja siatki”), w której każde dwa sąsiadujące słowa w tekście były najpierw recytowane w ich oryginalnej kolejności, następnie powtórzone w odwrotnej kolejności, a na końcu powtórzone w oryginalnej kolejności. Recytacja przebiegała zatem w następujący sposób:

słowo1słowo2, słowo2słowo1,słowo1słowo2; słowo2słowo3, słowo3słowo2, słowo2słowo3; ...

W innej formie recytacji, dhvaja-pāṭha (dosłownie „recytacja flag”), sekwencja N słów była recytowana (i zapamiętywana) przez łączenie w pary pierwszych dwóch i ostatnich dwóch słów, a następnie postępując jako:

słowo 1 słowo 2 , słowo N − 1 słowo N ; słowo 2 słowo 3 , słowo N -3 słowo N -2 ; ..; słowo N − 1 słowo N , słowo 1 słowo 2 ;

Najbardziej złożona forma recytacji, ghana-pāṭha (dosłownie „gęsta recytacja”), według ( Filiozat 2004 , s. 139) przybrała postać:

słowo1słowo2, słowo2słowo1, słowo1słowo2słowo3, słowo3słowo2słowo1, słowo1słowo2słowo3; słowo2słowo3, słowo3słowo2, słowo2słowo3słowo4, słowo4słowo3słowo2, słowo2słowo3słowo4; ...

O skuteczności tych metod świadczy zachowanie najstarszego indyjskiego tekstu religijnego, Ṛgwedy (ok. 1500 r. p.n.e.), jako jednego tekstu, bez żadnych wariantów lektur. Podobne metody stosowano do zapamiętywania tekstów matematycznych, których przekaz pozostawał wyłącznie ustny do końca okresu wedyjskiego (ok. 500 p.n.e.).

Sutra gatunek

Aktywność matematyczna w starożytnych Indiach rozpoczęła się w ramach „refleksji metodologicznej” nad świętymi Wedami , która przybrała formę dzieł zwanych Vedāngami lub „Ancillarami Wed” (VII–IV wiek p.n.e.). Potrzeba zachowania brzmienia świętego tekstu za pomocą śikna ( fonetyki ) i chhandas ( metryki ); zachować jego znaczenie poprzez użycie vyakarana ( gramatyka ) i nirukta ( etymologia ); a prawidłowe wykonywanie rytuałów we właściwym czasie poprzez użycie kalpy ( rytuał ) i jyotiṣa ( astrologii ), dało początek sześciu dyscyplinom wedang . Matematyka powstała jako część dwóch ostatnich dyscyplin, rytuału i astronomii (do której należała także astrologia). Ponieważ Vedangi bezpośrednio poprzedziły użycie pisma w starożytnych Indiach, stanowiły ostatnią literaturę wyłącznie ustną. Zostały one wyrażone w wysoce skompresowanej formie mnemonicznej, sutra (dosłownie „nić”):

Znawcy sutry wiedzą, że posiada niewiele fonemów, jest pozbawiony dwuznaczności, zawiera esencję, jest zwrócony do wszystkiego, jest bez przerwy i bez zastrzeżeń.

Ekstremalną zwięzłość osiągnięto za pomocą wielu środków, które obejmowały użycie wielokropka „poza tolerancją języka naturalnego”, używanie nazw technicznych zamiast dłuższych nazw opisowych, skracanie list poprzez wymienianie tylko pierwszego i ostatniego wpisu oraz używanie znaczników i zmiennych. Te sutry stworzyć wrażenie, że komunikacja poprzez tekst był „tylko część całej instrukcji. Reszta instrukcji musi być przekazywany przez tzw parampara Guru-shishya ,„nieprzerwanej sukcesji nauczycieli ( guru ) dla studenta ( śisya )' i nie był otwarty dla ogółu społeczeństwa”, a może nawet utrzymywany w tajemnicy. Zwięzłość osiągniętą w sutrze jest zademonstrowana w następującym przykładzie z Sutry Baudhayana Śulba (700 p.n.e. ).

Projekt domowego ołtarza przeciwpożarowego w Śulba Sutra

Domowy ołtarz przeciwpożarowy w okresie wedyjskim wymagał rytuału, aby miał kwadratową podstawę i składał się z pięciu warstw cegieł, po 21 cegieł w każdej warstwie. Jedną z metod budowy ołtarza było podzielenie jednego boku kwadratu na trzy równe części za pomocą sznurka lub liny, a następnie podzielenie poprzecznego (lub prostopadłego) boku na siedem równych części, a tym samym podzielenie kwadratu na 21 przystających prostokątów . Cegły zostały następnie zaprojektowane tak, aby miały kształt prostokąta składowego i powstała warstwa. Do uformowania kolejnej warstwy użyto tego samego wzoru, ale cegły ułożono poprzecznie. Następnie proces powtórzono jeszcze trzy razy (w różnych kierunkach) w celu dokończenia budowy. W Baudhayana Śulba Sutrze procedura ta jest opisana następującymi słowami:

II.64. Po podzieleniu czworokąta na siedem dzieli się poprzeczny [sznur] na trzy.
II.65. W kolejnej warstwie umieszcza się [cegły] wskazujące na północ.

Według ( Filiozat 2004 , s. 144), budujący ołtarz ma do dyspozycji tylko kilka narzędzi i materiałów: sznur (sanskryt, rajju , f.), dwa kołki (sanskryt, śanku , m.) oraz glina do wyrobu cegieł (sanskryt, iṣṭakā , f.). Zwięzłość osiąga się w sutrze , nie wspominając wyraźnie, co kwalifikuje przymiotnik „poprzeczny”; jednakże z żeńskiej formy użytego przymiotnika (w sanskrycie) łatwo wywnioskować, że kwalifikuje się „sznur”. Podobnie w drugiej zwrotce „cegły” nie są wyraźnie wymienione, ale ponownie wywnioskowane przez żeńską liczbę mnogą „wskazywanie na północ”. Wreszcie, pierwsza strofa nigdy nie mówi wprost, że pierwsza warstwa cegieł jest zorientowana w kierunku wschód-zachód, ale to również wynika z wyraźnej wzmianki o „wskazaniu na północ” w drugiej strofie; jeśli bowiem orientacja miałaby być taka sama w obu warstwach, to albo w ogóle nie byłaby wspomniana, albo byłaby wspomniana tylko w pierwszej zwrotce. Wszystkie te wnioski wyciąga urzędnik, przywołując formułę z pamięci.

Tradycja pisana: komentarz prozą

Wraz ze wzrostem złożoności matematyki i innych nauk ścisłych wymagane było zarówno pisanie, jak i obliczenia. W konsekwencji wiele prac matematycznych zaczęto spisywać w rękopisach, które były następnie kopiowane i ponownie kopiowane z pokolenia na pokolenie.

Szacuje się, że dzisiejsze Indie mają około trzydziestu milionów rękopisów, co stanowi największy zbiór ręcznie pisanych materiałów do czytania na świecie. Piśmienna kultura indyjskiej nauki sięga co najmniej V wieku pne… jak pokazują elementy mezopotamskiej literatury omen i astronomii, które weszły wówczas do Indii i (były) zdecydowanie nie… zachowane ustnie.

Najwcześniejszym komentarzem prozy matematycznej był komentarz do tego dzieła, Āryabhaṭīya (napisany w 499 r. n.e. ), dzieło o astronomii i matematyce. Matematyczna część Āryabhaṭiya składała się z 33 sutr (w wersecie) składających się z matematycznych stwierdzeń lub reguł, ale bez żadnych dowodów. Jednak według ( Hayashi 2003 , s. 123) „niekoniecznie oznacza to, że ich autorzy ich nie udowodnili. Zapewne była to kwestia stylu ekspozycji”. Od czasów Bhaskary I (600 n.e. ) komentarze prozą coraz częściej zawierały pewne derywacje ( upapatti ). Komentarz Bhaskary I do Āryabhaṭiya miał następującą strukturę:

  • Reguła ('sūtra') w wersecie Āryabhaṭa
  • Komentarz Bhaskary I, składający się z:
    • Wyjaśnienie zasad (wyprowadzenia były wtedy jeszcze rzadkie, ale później stały się bardziej powszechne)
    • Przykład ( uddeśaka ) zwykle w wersecie.
    • Ustawienie ( nyāsa/sthāpanā ) danych liczbowych.
    • Praca ( karana ) rozwiązania.
    • Weryfikacja ( pratyayakaraṇa , dosłownie „przekonać”) odpowiedzi. Stały się one rzadkie w XIII wieku, a do tego czasu preferowano derywacje lub dowody.

Zazwyczaj w przypadku każdego tematu matematycznego studenci w starożytnych Indiach najpierw uczyli się na pamięć sutr , które, jak wyjaśniono wcześniej, były „celowo nieodpowiednie” pod względem wyjaśniających szczegółów (aby zwięźle przekazać podstawowe zasady matematyczne). Następnie uczniowie przepracowali tematykę komentarza prozą, pisząc (i rysując diagramy) na tablicach kredowych i pyłowych ( tj. tablicach pokrytych kurzem). Ta ostatnia działalność, podstawa pracy matematycznej, miała później skłonić matematyka-astronomę Brahmaguptę (od VII w . n.e.) do scharakteryzowania obliczeń astronomicznych jako „pracy z pyłem” (sanskryt: dhulikarman ).

Liczby i system liczb dziesiętnych

Powszechnie wiadomo, że używany dzisiaj system wartości dziesiętnych został po raz pierwszy odnotowany w Indiach, a następnie przeniesiony do świata islamskiego, a ostatecznie do Europy. Biskup syryjski Severus Sebokht napisał w połowie VII wieku n.e. o „dziewięciu znakach” Indian do wyrażania liczb. Nie jest jednak jasne, jak, kiedy i gdzie wynaleziono system wartości pierwszego miejsca po przecinku.

Najwcześniejszym zachowanym skryptem używanym w Indiach był pismo Kharothī używane w kulturze Gandhara na północnym zachodzie. Uważa się, że jest on pochodzenia aramejskiego i był używany od IV wieku p.n.e. do IV wieku n.e. Niemal równocześnie na większości subkontynentu pojawił się inny skrypt, pismo Brahmi , które później stało się podstawą wielu skryptów Azji Południowej i Azji Południowo-Wschodniej. Oba pisma miały symbole liczbowe i systemy liczbowe, które początkowo nie były oparte na systemie wartości miejsc.

Najwcześniejsze zachowane dowody dziesiętnych wartości miejsc w Indiach i południowo-wschodniej Azji pochodzą z połowy pierwszego tysiąclecia naszej ery. Miedziana tabliczka z Gujarat w Indiach wspomina datę 595 n.e., zapisaną w notacji wartości dziesiętnej, chociaż istnieją pewne wątpliwości co do autentyczności tabliczki. Liczby dziesiętne oznaczające lata 683 n.e. zostały również znalezione w kamiennych inskrypcjach w Indonezji i Kambodży, gdzie wpływ kultury indyjskiej był znaczny.

Istnieją starsze źródła tekstowe, chociaż zachowane kopie rękopisów tych tekstów pochodzą ze znacznie późniejszych dat. Prawdopodobnie najwcześniejszym takim źródłem jest dzieło buddyjskiego filozofa Vasumitry datowane prawdopodobnie na I wiek n.e. Omawiając doły do ​​liczenia kupców, Vasumitra zauważa: „Kiedy [ta sama] gliniana lizak znajduje się w miejscu jednostek, oznacza się ją jako jeden, gdy w setkach, sto”. Chociaż takie odniesienia zdają się sugerować, że jego czytelnicy posiadali wiedzę na temat reprezentacji wartości dziesiętnych, „zwięzłość ich aluzji i niejednoznaczność ich dat nie stanowią jednak solidnego ustalenia chronologii rozwoju tego pojęcia”.

Trzecia reprezentacja dziesiętna została zastosowana w technice układania wersetów, nazwanej później Bhuta-sankhya (dosłownie „numery obiektów”), używanej przez autorów wczesnych sanskryckich książek technicznych. Ponieważ wiele wczesnych prac technicznych skomponowano wierszami, liczby były często reprezentowane przez odpowiadające im przedmioty ze świata naturalnego lub religijnego; pozwoliło to na korespondencję wiele do jednego dla każdej liczby i ułatwiło tworzenie wersetów. Według ( Plofker 2009 ) liczba 4 mogłaby być na przykład reprezentowana przez słowo „ Weda ” (ponieważ istniały cztery takie teksty religijne), a liczba 32 przez słowo „zęby” (ponieważ cały zestaw składa się z 32), a cyfrę 1 przez „księżyc” (ponieważ jest tylko jeden księżyc). Tak więc Weda/zęby/księżyc odpowiadałyby liczbie dziesiętnej 1324, ponieważ konwencja liczb polegała na wyliczaniu ich cyfr od prawej do lewej. Najwcześniejsze odniesienie wykorzystujące numery obiektów to c. 269 ​​CE Sanskrycki tekst Yavanajātaka (dosłownie „horoskopia grecka”) z Sphujidhvaja, wersyfikacja wcześniejszej (ok. 150 n.e.) adaptacji prozy indyjskiej zaginionego dzieła astrologii hellenistycznej. Takie użycie wydaje się skłaniać do tego, że w połowie III wieku n.e. system wartości dziesiętnych był znany przynajmniej czytelnikom tekstów astronomicznych i astrologicznych w Indiach.

Postawiono hipotezę, że indyjski system wartości dziesiętnych był oparty na symbolach używanych na chińskich tablicach liczących już w połowie pierwszego tysiąclecia p.n.e. Według ( Plofker 2009 ),

Te tablice do liczenia, podobnie jak indyjskie doły do ​​liczenia, ... miały strukturę wartości dziesiętnych ... Indianie mogli dowiedzieć się o tych dziesiętnych „cyfrach prętowych” od chińskich buddyjskich pielgrzymów lub innych podróżników, lub też mogli się rozwinąć pojęcie niezależnie od ich wcześniejszego systemu wartości nie-miejscowej; nie zachowały się żadne dokumenty potwierdzające którykolwiek wniosek.”

Rękopis Bachszali

Najstarszym zachowanym rękopisem matematycznym w Indiach jest rękopis Bakhshali , rękopis z kory brzozowej napisany w „buddyjskim hybrydowym sanskrycie” w skrypcie Sarada , który był używany w północno-zachodnim regionie subkontynentu indyjskiego między VIII a XII wiekiem n.e. Rękopis został odkryty w 1881 roku przez rolnika podczas kopania kamiennego ogrodzenia w wiosce Bakhshali, niedaleko Peszawaru (wtedy w Indiach Brytyjskich, a obecnie w Pakistanie ). Nieznanego autorstwa, a obecnie zachowany w Bibliotece Bodleian na Uniwersytecie Oksfordzkim , manuskrypt był różnie datowany – czasami już na „wczesne stulecia ery chrześcijańskiej”. VII wiek n.e. jest obecnie uważany za prawdopodobną datę.

Zachowany rękopis ma siedemdziesiąt kart, z których część jest fragmentaryczna. Na jego matematyczną treść składają się reguły i przykłady pisane wierszem wraz z komentarzami prozą zawierającymi rozwiązania przykładów. Poruszane tematy obejmują arytmetykę (ułamki, pierwiastki kwadratowe, zysk i stratę, proste odsetki, regułę trzech i regula falsi ) i algebrę (jednoczesne równania liniowe i równania kwadratowe ) oraz progresje arytmetyczne. Ponadto istnieje kilka problemów geometrycznych (w tym problemy dotyczące objętości nieregularnych brył). Rękopis Bachszali „stosuje również system wartości dziesiętnych z kropką oznaczającą zero”. Wiele z jego problemów należy do kategorii znanej jako „problemy z wyrównywaniem”, które prowadzą do układów równań liniowych. Jeden przykład z fragmentu III-5-3v jest następujący:

Jeden kupiec ma siedem koni asava , drugi dziewięć koni haya , a trzeci dziesięć wielbłądów. Równie dobrze mają wartość swoich zwierząt, jeśli każdy daje dwa zwierzęta, po jednym dla każdego z nich. Znajdź cenę każdego zwierzęcia i całkowitą wartość zwierząt posiadanych przez każdego kupca.

Dołączony do przykładu komentarz prozą rozwiązuje problem, przekształcając go na trzy (niedostatecznie określone) równania w czterech niewiadomych i zakładając, że wszystkie ceny są liczbami całkowitymi.

W 2017 roku trzy próbki z rękopisu wykazały, że datowanie radiowęglowe pochodziło z trzech różnych wieków: z 224-383 AD, 680-779 AD i 885-993 AD. Nie wiadomo, w jaki sposób połączono ze sobą fragmenty z różnych wieków.

Okres klasyczny (400-1600)

Okres ten jest często nazywany złotym wiekiem matematyki indyjskiej. W tym okresie matematycy, tacy jak Aryabhata , Varahamihira , Brahmagupta , Bhaskara I , Mahavira , Bhaskara II , Madhava z Sangamagmary i Nilakantha Somayaji nadawali szerszy i wyraźniejszy kształt wielu gałęziom matematyki. Ich wkład rozprzestrzenił się na Azję, Bliski Wschód, a ostatecznie do Europy. W przeciwieństwie do matematyki wedyjskiej, ich prace zawierały zarówno wkład astronomiczny, jak i matematyczny. W rzeczywistości matematyka tego okresu została włączona do „nauki astralnej” ( jyotiḥśāstra ) i składała się z trzech poddyscyplin: nauk matematycznych ( gaṇita lub tantra ), astrologii horoskopów ( horā lub jātaka ) i wróżbiarstwa (saṃhitā). Ten trójpodział jest postrzegana w Varāhamihira w 6 wieku compilation- Pancasiddhantika (dosłownie pANCA , „pięć” siddhanta „Zawarcie rozwagą”, datowany 575 CE ) -z pięciu wcześniejszych prac, Surjasiddhanta , Romaka siddhantę , Paulisa siddhantę , Vasistha siddhantę i Paitamaha Siddhanta , będące adaptacjami jeszcze wcześniejszych dzieł astronomii mezopotamskiej, greckiej, egipskiej, rzymskiej i indyjskiej. Jak wyjaśniono wcześniej, główne teksty zostały skomponowane wersetem sanskryckim, po których następowały komentarze prozą.

V i VI wiek

Surya Siddhanta

Chociaż jej autorstwo jest nieznane, Surya Siddhanta (ok. 400) zawiera korzenie współczesnej trygonometrii . Ponieważ zawiera wiele słów obcego pochodzenia, niektórzy autorzy uważają, że powstał pod wpływem Mezopotamii i Grecji.

Ten starożytny tekst po raz pierwszy używa następujących funkcji jako funkcji trygonometrycznych:

Zawiera również najwcześniejsze zastosowania:

Późniejsi matematycy indyjscy, tacy jak Aryabhata, odwoływali się do tego tekstu, podczas gdy późniejsze tłumaczenia arabskie i łacińskie były bardzo wpływowe w Europie i na Bliskim Wschodzie.

Kalendarz Chhedi

Ten kalendarz Chhedi (594) zawiera wczesne zastosowanie nowoczesnej miejsce wartości hinduskiego-arabski System liczbowy obecnie używane powszechnie.

Aryabhata I

Aryabhata (476–550) napisał Aryabhatiya. Opisał ważne fundamentalne zasady matematyki w 332 shlokach . Traktat zawierał:

Aryabhata napisał również Arya Siddhantę , która teraz została utracona. Wkłady Aryabhaty obejmują:

Trygonometria:

(Patrz także: tablica sinusów Aryabhaty )

  • Wprowadzono funkcje trygonometryczne .
  • Zdefiniowano sinus ( jya ) jako współczesną relację między połową kąta a połową akordu.
  • Zdefiniowany cosinus ( kojya ).
  • Zdefiniowano werset ( utkrama-jya ).
  • Zdefiniowano odwrotny sinus ( otkram jya ).
  • Podano metody obliczania ich przybliżonych wartości liczbowych.
  • Zawiera najwcześniejsze tabele wartości sinus, cosinus i versine, w odstępach 3,75° od 0° do 90°, z dokładnością do 4 miejsc po przecinku.
  • Zawiera wzór trygonometryczny sin( n + 1) x − sin nx = sin nx − sin( n − 1) x − (1/225)sin nx .
  • Trygonometria sferyczna .

Arytmetyka:

Algebra:

  • Rozwiązania równoczesnych równań kwadratowych.
  • Rozwiązania liczbowe równań liniowych metodą równoważną z metodą współczesną.
  • Ogólne rozwiązanie równania liniowego niewyznaczalnego.

Astronomia matematyczna:

Warahamihira

Varahamihira (505–587) wyprodukował Pancha Siddhantę ( Pięć Kanonów Astronomicznych ). Wniósł istotny wkład w trygonometrię, w tym tablice sinusów i cosinusów z dokładnością do 4 miejsc po przecinku oraz następujące wzory dotyczące funkcji sinus i cosinus :

VII i VIII wiek

Twierdzenie Brahmagupty mówi, że AF = FD .

W VII wieku w matematyce indyjskiej zaczęły pojawiać się dwie odrębne dziedziny, arytmetyka (w tym pomiary ) i algebra . Te dwa pola zostaną później nazwane pāṭī-gaṇita (dosłownie „matematyka algorytmów”) i bīja-gaṇita (dosł „matematyka nasion”, z „nasionami” – jak nasiona roślin – reprezentującymi niewiadome z potencjałem generowania, w tym przypadku rozwiązania równań). Brahmagupta w swojej astronomicznej pracy Brahma Sphusa Siddhanta (628 ne) zamieścił dwa rozdziały (12 i 18) poświęcone tym dziedzinom. Rozdział 12, zawierający 66 wersetów sanskryckich, został podzielony na dwie sekcje: „operacje podstawowe” (w tym pierwiastki sześcienne, ułamki, stosunek i proporcje oraz barter) oraz „matematyka praktyczna” (w tym mieszanina, szeregi matematyczne, figury płaskie, układanie cegieł, cięcie drewna i pryzmowanie zboża). W drugiej części przedstawił swoje słynne twierdzenie o przekątnych czworokąta cyklicznego :

Twierdzenie Brahmagupty: Jeśli czworokąt cykliczny ma przekątne prostopadłe do siebie, to linia prostopadła poprowadzona od punktu przecięcia przekątnych do dowolnej strony czworokąta zawsze przecina przeciwną stronę.

Rozdział 12 zawierał również wzór na pole czworokąta cyklicznego (uogólnienie wzoru Herona ) oraz pełny opis trójkątów wymiernych ( tj. trójkątów o wymiernych bokach i wymiernych polach).

Wzór Brahmagupty: Pole powierzchni A cyklicznego czworoboku o bokach długości odpowiednio a , b , c , d , dane jest wzorem

gdzie s , półobwód , dany przez

Twierdzenie Brahmagupty o wymiernych trójkątach: Trójkąt o wymiernych bokach i wymiernej powierzchni ma postać:

dla niektórych liczb wymiernych i .

Rozdział 18 zawierał 103 wersety sanskryckie, które rozpoczynały się regułami operacji arytmetycznych na liczbach zerowych i ujemnych i jest uważany za pierwsze systematyczne ujęcie tematu. Wszystkie zasady (w tym i ) były poprawne, z jednym wyjątkiem: . W dalszej części rozdziału podał pierwsze wyraźne (choć wciąż nie do końca ogólne) rozwiązanie równania kwadratowego :

Do liczby bezwzględnej pomnożonej przez czterokrotność [współczynnika] kwadratu dodać kwadrat [współczynnika] środkowego wyrazu; pierwiastek kwadratowy z tego samego, pomniejszony o [współczynnik] środkowego członu, podzielony przez dwukrotność [współczynnika] kwadratu jest wartością.

Odpowiada to:

Również w rozdziale 18 Brahmagupta był w stanie poczynić postępy w znalezieniu (całkowych) rozwiązań równania Pella ,

gdzie jest liczbą całkowitą niekwadratową. Zrobił to, odkrywając następującą tożsamość:

Tożsamość Brahmagupty: która była uogólnieniem wcześniejszej tożsamości Diophantusa : Brahmagupta użył swojej tożsamości, aby udowodnić następujący lemat:

Lemat (Brahmagupta): Jeżeli jest rozwiązaniem i, jest rozwiązaniem , to:

jest rozwiązaniem

Następnie użył tego lematu, aby wygenerować nieskończenie wiele (całkowych) rozwiązań równania Pella, mając jedno rozwiązanie, i sformułować następujące twierdzenie:

Twierdzenie (Brahmagupta): Jeśli równanie ma rozwiązanie całkowitoliczbowe dla dowolnego z równań Pella:

ma również rozwiązanie całkowitoliczbowe.

Brahmagupta w rzeczywistości nie udowodnił twierdzenia, ale raczej opracował przykłady przy użyciu swojej metody. Pierwszym przedstawionym przez niego przykładem było:

Przykład (Brahmagupta): Znajdź liczby całkowite takie, że:

W swoim komentarzu Brahmagupta dodał: „osobą rozwiązującą ten problem w ciągu roku jest matematyk”. Rozwiązanie, które dostarczył, było:

Bhaskara I

Bhaskara I (ok. 600-680) rozszerzył dzieło Aryabhaty w swoich książkach zatytułowanych Mahabhaskariya , Aryabhatiya-bhashya i Laghu-bhaskariya . On wyprodukował:

  • Rozwiązania równań nieokreślonych.
  • Wymierne przybliżenie funkcji sinus .
  • Wzór na obliczenie sinusa kąta ostrego bez użycia tabeli, z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

od dziewiątego do dwunastego wieku

Virasena

Virasena (VIII wiek) był matematykiem dżinizmu na dworze króla Rashtrakuta Amoghavarsha z Manyakheta , Karnataka. Napisał Dhavala , komentarz do matematyki Jain, który:

  • Zajmuje się pojęciem ardhaccheda , ile razy liczba może być zmniejszona o połowę, i wymienia różne zasady dotyczące tej operacji. Zbiega się to z logarytmem binarnym przy zastosowaniu do potęg dwójki , ale różni się w przypadku innych liczb, bardziej przypominając porządek 2-adyczny .
  • Ta sama koncepcja dla bazy 3 ( trakacheda ) i bazy 4 ( caturthacheda ).

Virasena podała również:

  • Wyprowadzenie z tomu o ściętego przez rodzaj procedury nieskończonej.

Uważa się, że większość materiału matematycznego w Dhavali można przypisać poprzednim pisarzom, zwłaszcza Kundakunda, Szamakunda, Tumbulura, Samantabhadra i Bappadeva i datować, którzy pisali między 200 a 600 rokiem n.e.

Mahawira

Mahavira Acharya (ok. 800-870) z Karnataki , ostatni z wybitnych matematyków Jain, żył w IX wieku i był patronowany przez króla Rashtrakuta Amoghavarsha. Napisał książkę zatytułowaną Ganit Saar Sangraha o matematyce numerycznej, a także pisał traktaty o szerokim zakresie tematów matematycznych. Należą do nich matematyka:

Mahavira również:

  • Twierdził, że pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje
  • Dało sumę szeregu, którego warunki są kwadraty wydane arytmetycznej progresji i dał zasady empiryczne dla obszaru i obwód elipsy.
  • Rozwiązane równania sześcienne.
  • Rozwiązane równania kwarcowe.
  • Rozwiązał kilka równań kwintycznych i wielomianów wyższego rzędu .
  • Podał ogólne rozwiązania równań wielomianowych wyższego rzędu:
  • Rozwiązywanie niewyznaczonych równań kwadratowych.
  • Rozwiązywanie nieokreślonych równań sześciennych.
  • Rozwiązany nieokreślone równania wyższego rzędu.
Shridhara

Shridhara (ok. 870-930), który mieszkał w Bengalu , napisał książki zatytułowane Nav Shatika , Tri Shatika i Pati Ganita . Dał:

Pati Ganita jest praca na arytmetyki i pomiaru . Zajmuje się różnymi operacjami, w tym:

  • Operacje podstawowe
  • Wyodrębnianie pierwiastków kwadratowych i sześciennych.
  • Frakcje.
  • Osiem reguł podanych dla operacji zawierających zero.
  • Metody sumowania różnych szeregów arytmetycznych i geometrycznych, które miały stać się standardem w późniejszych pracach.
Manjula

Równania różniczkowe Aryabhaty zostały opracowane w X wieku przez Manjulę (również Munjala ), który zdał sobie sprawę, że wyrażenie

można w przybliżeniu wyrazić jako

Pojęcie różniczkowania zrozumiał po rozwiązaniu równania różniczkowego, które wynikało z zastąpienia tego wyrażenia równaniem różniczkowym Aryabhaty.

Aryabhata II

Aryabhata II (ok. 920–1000) napisał komentarz do Śridhary i astronomiczny traktat Maha-Siddhanta . Maha-siddhanta ma 18 rozdziałów i omawia:

  • Matematyka numeryczna ( Ank Ganit ).
  • Algebra.
  • Rozwiązania równań nieokreślonych ( kuttaka ).
Shripati

Shripati Mishra (1019-1066) napisał książki Siddhanta Shekhara , ważną pracę o astronomii w 19 rozdziałach, oraz Ganit Tilaka , niekompletny traktat arytmetyczny w 125 wersetach oparty na pracy Shridhary. Pracował głównie nad:

Był także autorem Dhikotidakarana , dzieła składającego się z dwudziestu wersetów na temat:

Dhruvamanasa jest dziełem 105 wersetów dotyczących:

Nemichandra Siddhanta Chakravati

Nemichandra Siddhanta Chakravati (ok. 1100) jest autorem traktatu matematycznego zatytułowanego Gome-mat Saar .

Bhaskara II

Bhāskara II (1114–1185) był matematykiem-astronomem, który napisał szereg ważnych traktatów, a mianowicie Siddhanta Shiromani , Lilavati , Bijaganita , Gola Addhaya , Griha Ganitam i Karan Kautoohal . Wiele jego wkładów zostało później przeniesionych na Bliski Wschód i do Europy. Jego wkład obejmuje:

Arytmetyka:

  • Obliczanie odsetek
  • Progresje arytmetyczne i geometryczne
  • Geometria samolotu
  • Geometria przestrzenna
  • Cień gnomona
  • Rozwiązania kombinacji
  • Dał dowód na to, że dzielenie przez zero jest nieskończonością .

Algebra:

  • Rozpoznanie liczby dodatniej mającej dwa pierwiastki kwadratowe.
  • Surdy .
  • Operacje z produktami kilku niewiadomych.
  • Rozwiązania:
    • Równania kwadratowe.
    • Równania sześcienne.
    • Równania kwarcowe.
    • Równania z więcej niż jedną niewiadomą.
    • Równania kwadratowe z więcej niż jedną niewiadomą.
    • Ogólna postać równania Pella przy użyciu metody czakramów .
    • Ogólne niewyznaczalne równanie kwadratowe z wykorzystaniem metody czakrawali .
    • Równania sześcienne nieokreślone.
    • Nieokreślone równania kwarcowe.
    • Równania wielomianowe wyższego rzędu nieokreślone.

Geometria:

Rachunek różniczkowy:

Trygonometria:

  • Rozwój trygonometrii sferycznej
  • Wzory trygonometryczne:

Matematyka Kerala (1300-1600)

Szkoła Kerala astronomii i matematyki, została założona przez Madhawa z Sangamagramy w Kerali, południowych Indiach i wśród swych członków: Parameshvara , Neelakanta Somayaji , Jyeshtadeva , Achyuta Pisharati , Melpathur Narayana Bhattathiri i Achyuta Panikkar. Rozkwitał między XIV a XVI wiekiem, a oryginalne odkrycia szkoły wydają się kończyć wraz z Narayana Bhattathiri (1559-1632). Próbując rozwiązać problemy astronomiczne, astronomowie ze szkoły w Kerali niezależnie stworzyli szereg ważnych pojęć matematycznych. Najważniejsze wyniki, rozwinięcie serii dla funkcji trygonometrycznych , zostały podane w wersecie sanskryckim w książce Neelakanty zatytułowanej Tantrasangraha i komentarzu do tej pracy zatytułowanej Tantrasangraha-vakhya nieznanego autorstwa. Twierdzenia zostały sformułowane bez dowodu, ale dowody na szereg dla sinusa , cosinusa i odwrotnego tangensa zostały dostarczone sto lat później w pracy Yuktibhāṣā (ok.1500–c.1610), napisanej w języku malajalam przez Jyesthadevę .

Ich odkrycie tych trzech ważnych serii rozszerzeń rachunku różniczkowego — kilka wieków przed rozwinięciem rachunku różniczkowego w Europie przez Isaaca Newtona i Gottfrieda Leibniza — było osiągnięciem. Jednak Szkoła Kerala nie wymyśliła rachunku różniczkowego , ponieważ chociaż była w stanie opracować rozwinięcia szeregów Taylora dla ważnych funkcji trygonometrycznych , różniczkowania , całkowania wyraz po wyrazie , testów zbieżności , iteracyjnych metod rozwiązywania równań nieliniowych i teorii że pole pod krzywą jest jej całką, nie rozwinęli ani teorii różniczkowania ani całkowania , ani podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego . Wyniki uzyskane przez szkołę Kerala obejmują:

  • (Nieskończony) szereg geometryczny :
  • Pół rygorystyczny dowód (patrz uwaga na temat „indukcji” poniżej) wyniku: dla dużego n .
  • Intuicyjne wykorzystanie indukcji matematycznej , jednak hipoteza indukcyjna nie została sformułowana ani zastosowana w dowodach.
  • Zastosowania idei z (co miało się stać) rachunku różniczkowego i całkowego w celu uzyskania nieskończonych szeregów (Taylor-Maclaurin) dla sin x, cos x i arctan x. Tantrasangraha-vakhya daje szereg wierszem, który po przetłumaczeniu do notacji matematycznej, można zapisać jako:
gdzie dla r  = 1 szereg redukuje się do standardowego szeregu potęgowego dla tych funkcji trygonometrycznych, na przykład:
oraz
  • Wykorzystanie prostowania (obliczenia długości) łuku koła do udowodnienia tych wyników. (Ten ostatni sposób Leibnizem używając kwadraturowej, czyli obliczenie powierzchni pod łuku koła został nie używane).
  • Wykorzystanie rozwinięcia szeregu do uzyskania wzoru Leibniza dla π :
  • Racjonalne przybliżenie błędu dla skończonej sumy szeregu ich zainteresowań. Na przykład błąd, , (dla n nieparzystych oraz i = 1, 2, 3) dla szeregu:
  • Manipulowanie błędem w celu uzyskania szybszej zbieżnej serii dla :
  • Używając ulepszonego szeregu do uzyskania wyrażenia wymiernego, 104348/33215 dla π popraw do dziewięciu miejsc po przecinku, tj  . 3.141592653.
  • Wykorzystanie intuicyjnego pojęcia granicy do obliczenia tych wyników.
  • Półrygorystyczna (patrz uwaga na temat granic powyżej) metoda różniczkowania niektórych funkcji trygonometrycznych. Jednak nie sformułowali pojęcia funkcji , ani nie mieli wiedzy o funkcjach wykładniczych lub logarytmicznych.

Prace szkoły keralskiej zostały po raz pierwszy spisane dla świata zachodniego przez Anglika CM Whish w 1835 roku. Według Whish, matematycy z Kerali „ położyli podwaliny pod kompletny system fluktuacji ”, a prace te obfitowały w „ fluksowe formy i serie”. nie można znaleźć w żadnym dziele obcych krajów ”.

Jednak wyniki Whish zostały prawie całkowicie zaniedbane, aż ponad wiek później, kiedy odkrycia szkoły Kerala zostały ponownie zbadane przez C. Rajagopala i jego współpracowników. Ich praca obejmuje komentarze do dowodów serii arctan w Yuktibhāṣā podane w dwóch artykułach, komentarz do dowodów Yuktibhāṣā dotyczących serii sinus i cosinus oraz dwa artykuły, które dostarczają sanskryckich wersetów z Tantrasangrahavakhya dla serii arctan, sin , i cosinus (z tłumaczeniem na język angielski i komentarzem).

Narayana Pandit jest czternastowiecznym matematykiem, który napisał dwa ważne dzieła matematyczne: traktat arytmetyczny Ganita Kaumudi i traktat algebraiczny Bijganita Vatamsa . Narayana jest również uważany za autora rozbudowanego komentarza Bhaskaraćarja „s Lilavati zatytułowany Karmapradipika (lub Karma-Paddhati ). Madhava z Sangamarama (ok. 1340-1425) był założycielem szkoły Kerala. Chociaż możliwe jest, że napisał Karana Paddhati, dzieło napisane między 1375 a 1475 rokiem, wszystko, co naprawdę wiemy o jego pracy, pochodzi z prac późniejszych uczonych.

Parameśwara (ok. 1370-1460) pisał komentarze do dzieł Bhaskary I , Aryabhaty i Bhaskary II. Jego Lilavati bhasya , komentarzem Bhaskaraćarja za Lilavati , zawiera jedno z jego ważnych odkryć: a wersja twierdzenia wartości średniej . Nilakantha Somayaji (1444–1544) skomponował Tantra Samgraha (która „zrodziła” późniejszy anonimowy komentarz Tantrasangraha-vyakhya oraz dalszy komentarz o nazwie Yuktidipaika , napisany w 1501). Opracował i rozszerzył wkład Madhavy.

Citrabhanu (ok. 1530) był XVI-wiecznym matematykiem z Kerali, który dał całkowite rozwiązania 21 typów systemów dwóch równoczesnych równań algebraicznych w dwóch niewiadomych. Te typy to wszystkie możliwe pary równań o następujących siedmiu formach:

W każdym przypadku Citrabhanu podał wyjaśnienie i uzasadnienie swojej reguły oraz przykład. Niektóre z jego wyjaśnień są algebraiczne, inne geometryczne. Jyesthadeva (ok. 1500-1575) był kolejnym członkiem szkoły Kerala. Jego kluczowym dziełem była Yukti-bhāṣā (napisana w malajalam, regionalnym języku Kerali). Jyesthadeva przedstawił dowody większości twierdzeń matematycznych i nieskończonych serii odkrytych wcześniej przez Madhavę i innych matematyków ze szkoły Kerala.

Zarzuty europocentryzmu

Sugerowano, że indyjski wkład w matematykę nie został należycie doceniony w historii nowożytnej i że wiele odkryć i wynalazków indyjskich matematyków jest obecnie przypisywanych kulturowo ich zachodnim odpowiednikom, w wyniku europocentryzmu . Zgodnie z podejściem GG Joseph do „ Ethnomatematics ”:

[Ich praca] uwzględnia niektóre z zarzutów podnoszonych wobec klasycznej trajektorii eurocentrycznej. Świadomość [matematyki indyjskiej i arabskiej] najprawdopodobniej zostanie złagodzona lekceważącym odrzuceniem ich znaczenia w porównaniu z matematyką grecką. Wkład innych cywilizacji, zwłaszcza Chin i Indii, jest postrzegany albo jako pożyczkobiorcy ze źródeł greckich, albo jako mający jedynie niewielki wkład w główny nurt rozwoju matematyki. Niestety brakuje otwartości na nowsze wyniki badań, zwłaszcza w przypadku matematyki indyjskiej i chińskiej”

Historyk matematyki, Florian Cajori , zasugerował, że on i inni „podejrzewają, że Diofantus po raz pierwszy zetknął się z wiedzą algebraiczną z Indii”. Napisał jednak również, że „jest pewne, że fragmenty matematyki hinduskiej mają pochodzenie greckie”.

Niedawno, jak omówiono w powyższej sekcji, nieskończone szeregi rachunku różniczkowego dla funkcji trygonometrycznych (odkryte na nowo przez Gregory'ego, Taylora i Maclaurina pod koniec XVII wieku) zostały opisane (z dowodami i wzorami na błąd obcięcia) w Indiach przez matematyków z szkoła Kerala , zadziwiająco jakieś dwa wieki wcześniej. Niektórzy uczeni sugerowali ostatnio, że wiedza o tych wynikach mogła być przekazywana do Europy szlakiem handlowym z Kerali przez kupców i misjonarzy jezuickich . Kerala była w ciągłym kontakcie z Chinami i Arabią , a od około 1500 roku z Europą. Istnienie szlaków komunikacyjnych i odpowiednia chronologia z pewnością stwarzają taką możliwość. Jednak nie ma bezpośredniego dowodu w postaci odpowiednich rękopisów, że taka transmisja rzeczywiście miała miejsce. Według Davida Bressouda „nie ma dowodów na to, że indyjskie prace nad serialami były znane poza Indiami, a nawet poza Keralą, aż do XIX wieku”.

Zarówno uczeni arabscy, jak i indyjscy dokonali odkryć przed XVII wiekiem, które są obecnie uważane za część rachunku różniczkowego. Jednak nie, jak to zrobili Newton i Leibniz , „nie połączyli wielu różnych idei w ramach dwóch jednoczących tematów pochodnej i całki , nie wykazali związku między nimi i nie przekształcili rachunku różniczkowego w wspaniałe narzędzie do rozwiązywania problemów, jakie mamy dzisiaj. " Kariery intelektualne zarówno Newtona, jak i Leibniza są dobrze udokumentowane i nic nie wskazuje na to, by ich praca nie była ich własną; nie wiadomo jednak z całą pewnością, czy najbliżsi poprzednicy Newtona i Leibniza, „w tym w szczególności Fermat i Roberval, dowiedzieli się o niektórych ideach matematyków islamskich i indyjskich ze źródeł, których obecnie nie znamy”. Jest to aktywny obszar aktualnych badań, zwłaszcza w zbiorach rękopisów Hiszpanii i Maghrebu . Badania te prowadzone są m.in. w Centre National de Recherche Scientifique w Paryżu.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Dalsza lektura

Książki źródłowe w sanskrycie

  • Keller, Agathe (2006), Wyjaśniając ziarno matematyczne. Tom. 1: The Translation: A Translation of Bhaskara I on the Mathematical Chapter of the Aryabhatiya , Basel, Boston i Berlin: Birkhäuser Verlag, 172 strony, ISBN 978-3-7643-7291-0.
  • Keller, Agathe (2006), Wyjaśniając ziarno matematyczne. Tom. 2: Suplementy: Tłumaczenie Bhaskary I na rozdziale matematycznym Aryabhatiya , Bazylea, Boston i Berlin: Birkhäuser Verlag, 206 stron, ISBN 978-3-7643-7292-7.
  • Sarma, KV , wyd. (1976), Āryabhaṭīya z Āryabhaṭa z komentarzem Suryadevy Yajvana , zredagowana krytycznie we Wstępie i dodatkach, New Delhi: Indian National Science Academy.
  • Sen, SN; Torba, AK, wyd. (1983), The Śulbasūtras of Baudhāyana, Āpastamba, Katyayana and Manava , z tekstem, tłumaczeniem na język angielski i komentarzem, New Delhi: Indian National Science Academy.
  • Szukla, KS, wyd. (1976), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa z komentarzem Bhāskara I i Someśvary , pod redakcją krytyczną: Wstęp, angielskie tłumaczenie, uwagi, komentarze i indeksy, New Delhi: Indian National Science Academy.
  • Szukla, KS, wyd. (1988), Āryabhaṭīya z Āryabhaṭa , pod redakcją krytyczną: Wstęp, tłumaczenie na język angielski, uwagi, komentarze i indeksy, we współpracy z KV Sarmą , New Delhi: Indian National Science Academy.

Zewnętrzne linki