Zasada wnioskowania - Rule of inference

W filozofii logiki , A reguła wnioskowania , reguły wnioskowania lub reguły transformacji jest forma logiczna składa się z funkcji, która zajmuje lokal, analizuje ich składnię i powraca do wniosku (lub wniosków ). Na przykład reguła wnioskowania zwana modus ponens przyjmuje dwie przesłanki, jedną w postaci „Jeżeli p, to q”, a drugą w postaci „p”, i zwraca wniosek „q”. Reguła obowiązuje w odniesieniu do semantyki logiki klasycznej (jak również semantyki wielu innych logik nieklasycznych ) w tym sensie, że jeśli przesłanki są prawdziwe (pod interpretacją), to taki jest wniosek.

Zazwyczaj reguła wnioskowania zachowuje prawdę, właściwość semantyczną. W logice wielowartościowej zachowuje ogólne oznaczenie. Ale zasada działania wnioskowania jest czysto syntaktyczna i nie musi zachowywać żadnej właściwości semantycznej: każda funkcja od zbiorów formuł do formuł liczy się jako reguła wnioskowania. Zwykle ważne są tylko reguły rekurencyjne ; tj. reguły takie, że istnieje skuteczna procedura określania, czy dana formuła jest konkluzją danego zestawu formuł zgodnie z regułą. Przykładem reguły, która nie jest skuteczna w tym sensie, jest nieskończona reguła .

Popularne reguły wnioskowania w logice zdań to modus ponens , modus tollens i kontrapozycja . Logika predykatów pierwszego rzędu używa reguł wnioskowania do radzenia sobie z kwantyfikatorami logicznymi .

Forma standardowa

W logice formalnej (i wielu powiązanych obszarach) reguły wnioskowania są zwykle podawane w następującej standardowej formie:

  Przesłanka#1
  Przesłanka#2
        ...
  Przesłanka#n   
  Wniosek

Wyrażenie to mówi, że ilekroć w trakcie jakiegoś logicznego wyprowadzenia uzyskano dane przesłanki, to określony wniosek można również przyjąć za pewnik. Dokładny język formalny używany do opisu zarówno przesłanek, jak i wniosków zależy od rzeczywistego kontekstu wyprowadzeń. W prostym przypadku można posłużyć się formułami logicznymi, np. w:

${\ Displaystyle A\ do B}$

${\displaystyle {\podkreślenie {A\quad \quad \quad}}\,\!}$

${\displaystyle B\!}$

Jest to modus ponens zasada logiki zdań . Reguły wnioskowania są często formułowane jako schematy wykorzystujące metazmienne . W powyższej regule (schemacie) metazmienne A i B można skonkretyzować do dowolnego elementu wszechświata (lub czasami, umownie, do ograniczonego podzbioru, takiego jak zdania ), aby utworzyć nieskończony zestaw reguł wnioskowania.

System dowodowy jest tworzony ze zbioru reguł połączonych ze sobą w celu utworzenia dowodów, zwanych również derywacjami . Każde wyprowadzenie ma tylko jeden końcowy wniosek, którym jest stwierdzenie udowodnione lub wyprowadzone. Jeśli przesłanki pozostają niezaspokojone w wyprowadzeniu, a następnie wyprowadzenie jest dowodem hipotetycznej stwierdzeniem: „ jeśli lokal przytrzymaj, a następnie zawarcie posiada.”

Przykład: systemy Hilberta dla dwóch logik zdań

W systemie Hilberta przesłanki i wnioski reguł wnioskowania są po prostu formułami jakiegoś języka, zwykle wykorzystującymi metazmienne. Aby uzyskać zwięzłość graficzną prezentacji i podkreślić różnicę między aksjomatami a regułami wnioskowania, w tej sekcji zastosowano notację sekwencyjną ( ) zamiast pionowej prezentacji reguł. W tym zapisie ${\displaystyle \vdash}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {tablica} {c} \ tekst {przesłanka}} 1 \ \ {\ tekst {przesłanka}} 2 \ \ \ hline {\ tekst {wniosek}} \ koniec {tablica}}}$

jest zapisany jako . ${\ Displaystyle ({\ tekst {Przesłanka}} 1), ({\ tekst {Przesłanka}} 2) \ vdash ({\ tekst {Wniosek}})}$

Język formalny klasycznej logiki zdań może być wyrażony za pomocą po prostu negacji (¬), implikacji (→) i symboli zdań. Dobrze znana aksjomatyzacja, składająca się z trzech schematów aksjomatów i jednej reguły wnioskowania ( modus ponens ), to:

(CA1) ⊢ A → (B → A)

(CA2) ⊢ (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))

(CA3) ⊢ (¬A → ¬B) → (B → A)

(MP)  A, A → B ⊢ B

W tym przypadku może się wydawać zbędne posiadanie dwóch pojęć wnioskowania, ⊢ i →. W klasycznej logice zdań rzeczywiście się pokrywają; że twierdzenie o dedukcji stwierdza, że ⊢ B wtedy i tylko wtedy, gdy ⊢ A → B . Istnieje jednak rozróżnienie warte podkreślenia nawet w tym przypadku: pierwsza notacja opisuje dedukcję , czyli czynność przechodzenia od zdań do zdań, podczas gdy A → B to po prostu formuła stworzona z spójnikiem logicznym , w tym przypadku implikacja. Bez reguły wnioskowania (jak w tym przypadku modus ponens ) nie ma dedukcji ani wnioskowania. Ten punkt ilustruje dialog Lewisa Carrolla zatytułowany „ Co powiedział żółw Achillesowi ”, a także późniejsze próby rozwiązania paradoksu wprowadzonego w dialogu przez Bertranda Russella i Petera Wincha .

W przypadku niektórych logik nieklasycznych twierdzenie o dedukcji nie ma zastosowania. Na przykład, trójwartościowym logiczny z Łukasiewicza można axiomatized jako:

(CA1) ⊢ A → (B → A)

(LA2) ⊢ (A → B) → ((B → C) → (A → C))

(CA3) ⊢ (¬A → ¬B) → (B → A)

(LA4) ⊢ ((A → ¬A) → A) → A

(MP)  A, A → B ⊢ B

Sekwencja ta różni się od klasycznej logiki zmianą aksjomatu 2 i dodaniem aksjomatu 4. Klasyczne twierdzenie o dedukcji nie obowiązuje dla tej logiki, jednak obowiązuje zmodyfikowana forma, a mianowicie A ⊢ B wtedy i tylko wtedy, gdy ⊢ A → ( A → B ).

Dopuszczalność i wyprowadzalność

W zestawie reguł reguła wnioskowania może być zbędna w tym sensie, że jest dopuszczalna lub możliwa do wyprowadzenia . Reguła wyprowadzalna to taka, której wniosek można wyprowadzić z jej przesłanek przy użyciu innych reguł. Dopuszczalna zasada to taka, której wniosek obowiązuje zawsze, gdy istnieją lokale. Dopuszczalne są wszystkie możliwe do wyprowadzenia reguły. Aby docenić różnicę, rozważ następujący zestaw reguł definiowania liczb naturalnych ( wyrok potwierdza fakt, że jest to liczba naturalna): ${\displaystyle n\,\,{\mathsf {nat}}}$${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle {\ rozpocznij macierz} {\ rozpocznij tablicę} {c} \ \ \ hline {\ mathbf {0} \ \, \ {\ mathsf {nat}}} \ koniec {tablica}} i {\ zacznij {tablica}{c}{n\,\,{\mathsf {narodowa}}}\\\hline {\mathbf {s(} n\mathbf {)} \,\,{\mathsf {narodowa}}}\ end{tablica}}\end{matryca}}}$

Pierwsza reguła mówi, że 0 jest liczbą naturalną, a druga, że s( n ) jest liczbą naturalną, jeśli n jest liczbą naturalną . W tym systemie dowodowym można wyprowadzić następującą regułę, wykazującą, że drugi następnik liczby naturalnej jest również liczbą naturalną:

${\ Displaystyle {\ zacząć {tablica} {c} {n \, \, {\ mathsf {nat}}} \ \ \ hline {\ mathbf {s (s (} n \ mathbf {))} \ \, \, {\mathsf {nat}}}\end{tablica}}}$

Jej wyprowadzeniem jest złożenie dwóch zastosowań powyższej reguły następcy. Poniższa reguła potwierdzania istnienia poprzednika dla dowolnej liczby niezerowej jest jedynie dopuszczalna:

${\ Displaystyle {\ zacząć {tablica} {c} {\ mathbf {s (} n \ mathbf {)} \ \ \ mathsf {nat}}} \ \ \ hline {n \ \ \, {\ mathsf {nat}}}\koniec{tablicy}}}$

Jest to prawdziwy fakt liczb naturalnych, co można udowodnić indukcją . (Aby udowodnić, że ta reguła jest dopuszczalna, należy przyjąć wyprowadzenie przesłanki i wywołać na niej wyprowadzenie .) Jednak nie jest ona wyprowadzalna, ponieważ zależy od struktury wyprowadzenia przesłanki. Z tego powodu wyprowadzalność jest stabilna w przypadku dodatków do systemu dowodowego, podczas gdy dopuszczalność nie. Aby zobaczyć różnicę, załóżmy, że do systemu dowodowego dodano następującą nonsensowną regułę: ${\displaystyle n\,\,{\mathsf {nat}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablicę} {c} \ \ \ hline {\ mathbf {s (-3)} \ \ \, {\ mathsf {nat}}} \ koniec {tablica}}}$

W tym nowym systemie nadal można wyprowadzić zasadę podwójnego następcy. Jednak zasada odnalezienia poprzednika jest już niedopuszczalna, ponieważ nie ma sposobu na wyprowadzenie . Kruchość dopuszczalności wynika ze sposobu, w jaki jest udowadniana: ponieważ dowód może wprowadzać do struktury wyprowadzeń przesłanek, rozszerzenia systemu dodają do tego dowodu nowe przypadki, które mogą już nie obowiązywać. ${\ Displaystyle \ mathbf {-3} \, \, {\ mathsf {nat}}}$

Dopuszczalne reguły można traktować jako twierdzenia systemu dowodowego. Na przykład, w rachunku Sequent gdzie eliminacja cięcia posiada The cut zasada jest dopuszczalna.

Zobacz też

• Schemat argumentacji
• Natychmiastowe wnioskowanie
• Wnioskowanie sprzeciw
• Prawo myśli
• Lista reguł wnioskowania
• Logiczna prawda
• Zasada strukturalna

Bibliografia