Nieskończona podzielność - Infinite divisibility

Nieskończona podzielność pojawia się na różne sposoby w filozofii , fizyce , ekonomii , teorii porządku (dział matematyki) i teorii prawdopodobieństwa (także dział matematyki). Można mówić o nieskończonej podzielności lub jej braku materii , przestrzeni , czasu , pieniędzy lub abstrakcyjnych obiektów matematycznych, takich jak kontinuum .

W filozofii

Początki tej idei w tradycji zachodniej sięgają V wieku p.n.e., począwszy od starożytnego greckiego filozofa przedsokratejskiego Demokryta i jego nauczyciela Leucippusa , którzy teoretyzowali o podzielności materii poza to, co można postrzegać zmysłami, aż w końcu do niepodzielnej atom. Indyjski filozof Kanada również zaproponował teorię atomistyczną, jednak nie ma wątpliwości, kiedy żył ten filozof, począwszy od VI do II wieku p.n.e. Atomizm jest badane w Plato „s dialogu Tymeusza a także wspierane przez Arystotelesa . Andrew Pyle przedstawia klarowny opis nieskończonej podzielności na pierwszych kilku stronach swojego Atomizmu i jego krytyków . Pokazuje tam, jak nieskończona podzielność wiąże się z ideą, że istnieje jakiś rozszerzony przedmiot , taki jak jabłko, które można podzielić nieskończenie wiele razy, gdzie nigdy nie dzielimy się na punkt lub na jakiekolwiek atomy. Wielu zawodowych filozofów twierdzi, że nieskończona podzielność obejmuje albo zbiór nieskończonej liczby elementów (ponieważ istnieje nieskończona liczba podziałów, musi istnieć nieskończony zbiór obiektów), albo (rzadziej) elementy o wielkości punktowej albo jedno i drugie. Pyle twierdzi, że matematyka nieskończenie podzielnych rozszerzeń nie obejmuje żadnego z nich — że istnieją nieskończone podziały, ale tylko skończone zbiory obiektów i nigdy nie są one dzielone na elementy bezrozciągłości punktowej.

Zenon zastanawiał się, jak może się poruszać strzała, jeśli w jednej chwili jest tutaj i jest nieruchoma, a w drugiej chwili jest gdzie indziej i nieruchoma.

Rozumowanie Zenona jest jednak błędne, gdy mówi, że jeśli wszystko, co zajmuje równą przestrzeń, jest w spoczynku i jeśli to, co jest w ruchu, zawsze zajmuje taką przestrzeń w dowolnym momencie, to lecąca strzała jest nieruchoma. To jest fałszywe, ponieważ czas nie składa się z niepodzielnych momentów, tak samo jak jakakolwiek inna wielkość nie składa się z niepodzielnych.

—  Arystoteles, Fizyka VI:9, 239b5

Odnosząc się do paradoksu Zenona dotyczącego strzały w locie, Alfred North Whitehead pisze, że „nieskończona liczba aktów stawania się może mieć miejsce w skończonym czasie, jeśli każdy kolejny akt jest mniejszy w zbieżnym szeregu”:

Argument, o ile jest słuszny, wywołuje sprzeczność z dwóch przesłanek: (i) w stawaniu się czymś ( res vera ) staje się i (ii) że każdy akt stawania się jest podzielny na wcześniejsze i późniejsze sekcje, które są samych aktów stawania się. Rozważmy na przykład akt stawania się w ciągu jednej sekundy. Akt jest podzielony na dwa akty, jeden w czasie pierwszej połowy drugiego, drugi w drugiej połowie sekundy. Tak więc to, co dzieje się w ciągu całej sekundy, zakłada to, co dzieje się w ciągu pierwszej połowy sekundy. Analogicznie to, co dzieje się w pierwszej połowie sekundy, zakłada to, co dzieje się w pierwszej ćwiartce sekundy i tak dalej w nieskończoność. Tak więc, jeśli rozważymy proces dochodzenia do początku drugiej w pytaniu i zapytamy, co się wtedy dzieje, nie możemy udzielić odpowiedzi. Bo jakiekolwiek stworzenie, które wskazujemy, zakłada istnienie wcześniejszego stworzenia, które stało się po rozpoczęciu drugiego i poprzedzającego wskazanego stworzenia. Dlatego nie ma nic, co by się stało, aby spowodować przejście do drugiego, o którym mowa.

—  AN Whitehead, Proces i Rzeczywistość

W fizyce kwantowej

Do czasu odkrycia mechaniki kwantowej nie robiono rozróżnienia między pytaniem, czy materia jest nieskończenie podzielna, a pytaniem, czy materię można ciąć na mniejsze części w nieskończoność .

W rezultacie greckie słowo átomos ( ἄτομος ), które dosłownie oznacza „nie do krojenia”, jest zwykle tłumaczone jako „niepodzielne”. Podczas gdy współczesny atom jest rzeczywiście podzielny, w rzeczywistości nie da się go przeciąć: nie ma podziału przestrzeni w taki sposób, aby jego części odpowiadały materialnym częściom atomu. Innymi słowy, kwantowo-mechaniczny opis materii nie jest już zgodny z paradygmatem foremek do ciastek. Rzuca to nowe światło na starożytną zagadkę podzielności materii. Wielość przedmiotu materialnego — liczba jego części — zależy nie tyle od istnienia powierzchni rozgraniczających, ile od wewnętrznych relacji przestrzennych (względnych pozycji między częściami), a tym brakuje zdeterminowanych wartości. Zgodnie z Modelem Standardowym fizyki cząstek elementarnych, cząstki tworzące atom — kwarki i elektrony — są cząstkami punktowymi : nie zajmują przestrzeni. Co sprawia, że atom mimo to zajmują miejsce jest nie lada przestrzennie rozszerzony „rzeczy”, że „zajmuje przestrzeń”, a które mogą być cięte na mniejsze i mniejsze kawałki, ale nieokreśloność jej wewnętrznych stosunków przestrzennych.

Przestrzeń fizyczna jest często uważana za nieskończenie podzielną: uważa się, że każdy obszar w przestrzeni, bez względu na to, jak mały, może być dalej dzielony. Podobnie czas jest uważany za nieskończenie podzielny.

Jednakże praca Pionierskie z Max Planck (1858-1947) w dziedzinie mechaniki kwantowej sugeruje, że nie jest w istocie minimalną zmierzyć odległość (zwany teraz długość Plancka , 1,616229 (38) x 10 -35 m), a zatem minimalny odstęp czasu (czas, który potrzebny na przechodzenie światła, że odległość w próżni, 5,39116 (13) x 10 -44 sekund, znane jako czas Plancka ) mniejszą niż których znaczenie pomiaru jest niemożliwe.

W ekonomii

Jeden dolar lub jedno euro dzieli się na 100 centów; można płacić tylko w ratach co do centa. Dosyć powszechne jest, że ceny niektórych towarów, takich jak benzyna, są zwiększane o jedną dziesiątą centa za galon lub litr. Jeśli benzyna kosztuje 3,979 USD za galon, a ktoś kupuje 10 galonów, to „dodatkowe” 9/10 centa jest dziesięciokrotnie wyższe: „dodatkowe” 9 centów, więc w tym przypadku cent zostaje zapłacony. Pieniądz jest nieskończenie podzielny w tym sensie, że opiera się na systemie liczb rzeczywistych. Jednak współczesne monety nie są podzielne (w przeszłości niektóre monety były ważone przy każdej transakcji i były uważane za podzielne bez określonego limitu). W każdej transakcji jest punkt precyzji, który jest bezużyteczny, ponieważ tak małe kwoty pieniędzy są nieistotne dla ludzi. Im bardziej cena jest mnożona, tym bardziej precyzja może mieć znaczenie. Na przykład, kupując milion akcji, kupujący i sprzedający mogą być zainteresowani różnicą w cenie rzędu jednej dziesiątej centa, ale to tylko wybór. Wszystko inne w pomiarze biznesowym i wyborze jest podobnie podzielne w stopniu, w jakim zainteresowane są strony. Na przykład raporty finansowe mogą być raportowane corocznie, kwartalnie lub miesięcznie. Niektórzy menedżerowie biznesowi sporządzają raporty przepływów pieniężnych więcej niż raz dziennie.

Chociaż czas może być nieskończenie podzielny, dane dotyczące cen papierów wartościowych są przekazywane w dyskretnych godzinach. Na przykład, jeśli spojrzymy na zapisy cen akcji w latach 20., możemy znaleźć ceny na koniec każdego dnia, ale być może nie w trzech setnych sekundy po 12:47. Jednak teoretycznie nowa metoda mogłaby raportować dwukrotnie szybciej, co nie zapobiegłoby dalszemu zwiększeniu szybkości raportowania. Być może paradoksalnie, matematyka techniczna stosowana na rynkach finansowych jest często prostsza, jeśli jako przybliżenie stosuje się nieskończenie podzielny czas. Nawet w takich przypadkach wybierana jest precyzja, z jaką należy pracować, a pomiary są zaokrąglane do tego przybliżenia. W kategoriach interakcji międzyludzkich pieniądze i czas są podzielne, ale tylko do momentu, w którym dalszy podział nie ma znaczenia, którego to punktu nie da się dokładnie określić.

W porządku teoria

Powiedzieć, że pole z liczb wymiernych jest nieskończenie podzielna (czyli kolejność teoretycznie gęsty ) oznacza, że między dowolnymi dwoma liczb wymiernych jest inna liczba wymierna. Natomiast pierścień z liczb nie jest nieskończenie podzielna.

Nieskończona podzielność nie implikuje braku luki: racjonalne nie mają własności najmniejszej górnej granicy . Oznacza to, że jeśli podzielić wymierne na dwa niepuste zbiory A i B, gdzie A zawiera wszystkie wymierne liczby mniejsze od pewnej liczby niewymiernej ( powiedzmy π ) i B wszystkie wymierne większe od niej, to A nie ma największego elementu, a B nie ma najmniejszego członka. Natomiast pole liczb rzeczywistych jest zarówno nieskończenie podzielne, jak i bez przerw. Każdy liniowo uporządkowany zbiór, który jest nieskończenie podzielny i nie ma przerw i ma więcej niż jeden element, jest niepoliczalnie nieskończony . Aby zobaczyć dowód, zobacz pierwszy dowód nieobliczalności Cantora . Sama podzielność nieskończona implikuje nieskończoność, ale nie niepoliczalność, jak to ilustrują liczby wymierne.

W rozkładach prawdopodobieństwa

Główny artykuł: nieskończona podzielność (prawdopodobieństwo)

Stwierdzenie, że rozkład prawdopodobieństwa F na prostej rzeczywistej jest nieskończenie podzielny oznacza, że ​​jeśli X jest dowolną zmienną losową o rozkładzie F , to dla każdej dodatniej liczby całkowitej n istnieje n niezależnych zmiennych losowych o identycznym rozkładzie X 1 , ..., X n którego suma jest równa w rozkładzie X (te n innych zmiennych losowych zwykle nie ma takiego samego rozkładu prawdopodobieństwa jak X ).

Poissona , jąkanie rozkład Poissona ujemnego rozkładu dwumianowego i rozkład Gamma przykłady rozkładów nieskończenie podzielnych - podobnie jak rozkład normalny , rozkład Cauchy- i wszystkich innych członków dystrybucji stabilne rodziny. Rozkład skośno-normalny jest przykładem rozkładu nieskończenie podzielnego. (Patrz Domínguez-Molina i Rocha Arteaga (2007).)

Każdy nieskończenie podzielne odpowiada rozkładzie prawdopodobieństwa w sposób naturalny do proces lévy'ego , tj stochastycznego procesu { x t  : t ≥ 0} stacjonarnych przyrostach niezależnych ( nieruchome oznacza, że dla y < t , o rozkładzie prawdopodobieństwa w X t - X s zależy tylko od t − s ; przyrosty niezależne oznaczają, że różnica ta jest niezależna od odpowiadającej jej różnicy na dowolnym przedziale nie pokrywającym się z [ s , t ] i podobnie dla dowolnej skończonej liczby przedziałów).

Ta koncepcja nieskończonej podzielności rozkładów prawdopodobieństwa została wprowadzona w 1929 roku przez Bruno de Finetti .

Zobacz też

Bibliografia

  1. ^ Edukacja, Pearson (2016). Trampolina Naukowa 9th . Numer ISBN 9789332585164.
  2. ^ Arystoteles. „Fizyka” . Archiwum Klasyków Internetowych .
  3. ^ B Ross SD (1983). Perspektywa w metafizyce Whiteheada . Seria Suny w filozofii systematycznej. Wydawnictwo Uniwersytetu Stanowego w Nowym Jorku. str.  182 -183. Numer ISBN 978-0-87395-658-1. LCCN  82008332 .
  4. ^ Ulrich Mohrhoff (2000). „Mechanika kwantowa i paradygmat Cookie Cutter”. arXiv : kwant-ph/0009001v2 .
  • Dominguez-Molina, JA; Rocha-Arteaga, A. (2007) „O nieskończonej podzielności niektórych rozkładów skośnych symetrycznych”. Statystyka i listy prawdopodobieństwa , 77 (6), 644–648 doi : 10.1016/j.spl.2006.09.014

Zewnętrzne linki