Nieskończony zestaw - Infinite set

W teorii mnogości , nieskończony zestaw to zestaw , który nie jest skończony zestaw . Nieskończone zbiory mogą być policzalne lub niepoliczalne .

Nieruchomości

Zbiór liczb naturalnych (których istnienie postuluje aksjomat nieskończoności ) jest nieskończony. Jest to jedyny zbiór, którego aksjomaty wymagają bezpośrednio, aby był nieskończony. Istnienie dowolnego innego zbioru nieskończonego można udowodnić w teorii mnogości Zermelo – Fraenkla (ZFC), ale tylko wykazując, że wynika to z istnienia liczb naturalnych.

Zbiór jest nieskończony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej zbiór ma podzbiór, którego liczność jest tą liczbą naturalną.

Jeśli zachodzi aksjomat wyboru , zbiór jest nieskończony wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera policzalny nieskończony podzbiór.

Jeśli zbiór zbiorów jest nieskończony lub zawiera nieskończony element, to jego związek jest nieskończony. Moc zbioru nieskończonego jest nieskończona. Każdy nadzbiór nieskończonego zbioru jest nieskończony. Jeśli nieskończony zbiór jest podzielony na skończenie wiele podzbiorów, to przynajmniej jeden z nich musi być nieskończony. Każdy zbiór, który można odwzorować na zbiór nieskończony, jest nieskończony. Iloczyn kartezjański nieskończonego zbioru i niepusty zbiór jest nieskończony. Iloczyn kartezjański nieskończonej liczby zbiorów, z których każdy zawiera co najmniej dwa elementy, jest albo pusty, albo nieskończony; jeśli aksjomat wyboru zachowuje się, to jest nieskończony.

Jeśli nieskończony zbiór jest dobrze uporządkowanym zbiorem , to musi mieć niepusty, nietrywialny podzbiór, który nie ma największego elementu.

W ZF zbiór jest nieskończony wtedy i tylko wtedy, gdy zbiorem potęgowym jego zbioru potęg jest zbiór nieskończoności Dedekinda , mający odpowiedni podzbiór równy sobie. Jeśli aksjomat wyboru jest również prawdziwy, to zbiory nieskończone są dokładnie zestawami nieskończonymi Dedekinda.

Jeśli zbiór nieskończony jest zbiorem dobrze uporządkowanym , to ma wiele uporządkowań, które nie są izomorficzne.

Przykłady

Niezliczone nieskończone zbiory

Zbiór wszystkich liczb całkowitych {..., -1, 0, 1, 2, ...} jest policzalnie nieskończonym zbiorem. Zbiór wszystkich parzystych liczb całkowitych jest również policzalnie nieskończonym zbiorem, nawet jeśli jest odpowiednim podzbiorem liczb całkowitych.

Zbiór wszystkich liczb wymiernych jest policzalnie nieskończonym zbiorem, ponieważ istnieje bijekcja do zbioru liczb całkowitych.

Niezliczone nieskończone zbiory

Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych jest zbiorem nieskończenie nieskończonym. Zbiór wszystkich liczb niewymiernych jest również nieskończenie nieskończonym zbiorem.

Zobacz też

Bibliografia

Linki zewnętrzne