Model wewnętrzny - Inner model

W teorii zbiorów , oddział logiki matematycznej An wewnętrzna modelu dla teorii T jest podłoże z modelu M o teorii zbiorów , która jest zarówno model T i zawiera wszystkie liczb porządkowych M .

Definicja

Niech będzie językiem teorii mnogości. Niech S będzie określoną teorią mnogości, na przykład aksjomatami ZFC i niech T (być może tak samo jak S ) również będzie teorią w . ${\ displaystyle L = \ langle \ in \ rangle}$${\ displaystyle L}$

Jeśli M jest modelem dla S , a N jest taką strukturą ${\ displaystyle L}$

1. N jest podstrukturą M , czyli interpretacji w w N jest ${\ displaystyle \ in _ {N}}$${\ displaystyle \ in}$${\ displaystyle {\ in _ {M}} \ cap N ^ {2}}$
2. N jest modelem dla T
3. domena N jest przechodni klasy o M
4. N zawiera wszystkie liczby porządkowe M

następnie, że N jest wewnętrzna modelu z T (w M ). Zazwyczaj T będzie równe (lub podciągnięcia) S , tak, że N jest model S „wewnątrz” model M z S .

Jeśli tylko warunków 1 i 2, zawieszone, N nazywa się standardowy model w T (w M ), A średnia submodel w T (w przypadku S  =  T a) N jest zestaw w M . Wzór N o T w M nazywa się przechodnia , gdy jest to standardowe i Warunek 3 posiada. Jeśli aksjomat podstawy nie jest przyjęty (to znaczy nie znajduje się w S ), wszystkie trzy pojęcia mają dodatkowy warunek, że N jest dobrze uzasadnione . Stąd modele wewnętrzne są przechodnie, modele przechodnie są standardowe, a modele standardowe są dobrze ugruntowane.

Założenie, że istnieje standardowy podmodel ZFC (w danym wszechświecie) jest silniejsze niż założenie, że istnieje model. W rzeczywistości, jeśli istnieje standardowy podmodel, wówczas istnieje najmniejszy standardowy podmodel zwany minimalnym modelem zawartym we wszystkich standardowych podmodelach. Minimalny podmodel nie zawiera standardowego podmodelu (ponieważ jest minimalny), ale (zakładając spójność ZFC) zawiera pewien model ZFC według twierdzenia o kompletności Gödla . Model ten niekoniecznie jest dobrze ugruntowany, w przeciwnym razie jego upadek Mostowskiego byłby standardowym podmodelem. (Nie jest ona dobrze ugruntowana jako relacja we wszechświecie, chociaż spełnia aksjomat podstawy, więc jest dobrze ugruntowana „wewnętrznie”. Bycie dobrze ugruntowanym nie jest własnością absolutną.) W szczególności w modelu podrzędnym minimalnym istnieje model ZFC, ale nie ma standardowego podmodelu ZFC.

Posługiwać się

Zwykle, gdy mówi się o wewnętrznych modeli teorii, jedna teoria dyskutuje jest ZFC lub niektóre rozszerzenie ZFC (jak ZFC +  a liczba mierzalna ). W przypadku braku teorii przyjmuje się zwykle, że omawiany model jest modelem wewnętrznym ZFC. Jednak nierzadko mówi się również o modelach wewnętrznych subteorii ZFC (takich jak ZF czy KP ). ${\ displaystyle \ exist}$

Powiązane pomysły

Stwierdzono przez Kurt Goedla że każdy model ZF ma najmniejszą wewnętrzną model ZF (który jest również wewnętrzna model ZFC +  GCH ), zwany konstruowalne wszechświat lub  L .

Istnieje gałąź teorii mnogości zwana teorią modeli wewnętrznych, która bada sposoby konstruowania najmniej wewnętrznych modeli teorii rozszerzających ZF. Teoria modeli wewnętrznych doprowadziła do odkrycia dokładnej siły spójności wielu ważnych właściwości teoretycznych zbioru.

Zobacz też

• Policzalne modele przechodnie i filtry ogólne

Bibliografia