Wielomian nierozkładalny - Irreducible polynomial

W matematyce An wielomian nierozkładalny się, z grubsza rzecz biorąc, wielomian , które nie mogą być uwzględnionych na produkt dwóch niż stałych wielomianów . Własność nieredukowalności zależy od charakteru współczynników przyjmowanych dla możliwych czynników, czyli od pola lub pierścienia, do którego mają należeć współczynniki wielomianu i jego możliwe czynniki. Na przykład wielomian x ² − 2 jest wielomianem o współczynnikach całkowitych , ale jak każda liczba całkowita jest również liczbą rzeczywistą, jest to również wielomian o rzeczywistych współczynnikach. Jest nieredukowalny, jeśli jest uważany za wielomian o współczynnikach całkowitych, ale rozkłada się tak, jakby był uważany za wielomian o współczynnikach rzeczywistych. Mówi się, że wielomian x ² − 2 jest nieredukowalny po liczbach całkowitych, ale nie po liczbach rzeczywistych. ${\ Displaystyle \ lewo (x-{\ sqrt {2}} \ prawo) \ lewo (x + {\ sqrt {2}} \ prawo)}$

Wielomian, który jest nierozkładalny na dowolnym polu zawierającym współczynniki, jest absolutnie nierozkładalny . Zgodnie z fundamentalnym twierdzeniem algebry , jednowymiarowy wielomian jest absolutnie nieredukowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego stopień jest jeden. Z drugiej strony, przy kilku nieoznaczonych , istnieją absolutnie nierozkładalne wielomiany dowolnego stopnia, takie jak dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n . ${\ Displaystyle x ^ {2} + Y ^ {n} -1,}$

Wielomian, który nie jest nierozkładalny jest czasami nazywany wielomianem redukowalnym .

Wielomiany nieredukowalne pojawiają się naturalnie w badaniach nad faktoryzacją wielomianów i rozszerzeniami pola algebraicznego .

Pomocne jest porównanie nierozkładalnych wielomianów z liczbami pierwszymi : liczby pierwsze (wraz z odpowiadającymi im liczbami ujemnymi o tej samej wielkości) są nierozkładalnymi liczbami całkowitymi . Wykazują one wiele ogólnych właściwości pojęcia „nieredukowalności”, które w równym stopniu odnoszą się do wielomianów nieredukowalnych, takich jak zasadniczo unikalne rozłożenie na czynniki pierwsze lub nieredukowalne. Gdy pierścień współczynnika jest polem lub inną unikatową domeną faktoryzacji , wielomian nieredukowalny jest również nazywany wielomianem pierwszym , ponieważ generuje ideał pierwszy .

Definicja

Jeśli F jest ciałem, niestały wielomian jest nierozkładalny przez F, jeśli jego współczynniki należą do F i nie można go rozłożyć na iloczyn dwóch niestałych wielomianów o współczynnikach w F .

Wielomian o współczynnikach całkowitych, lub, bardziej ogólnie, ze współczynnikami w unikalnym domeny faktoryzacji R , Czasem mówi się nierozkładalny (lub nierozkładalny nad R ), jeżeli jest to nierozkładalny elementem z wielomianu pierścienia , to znaczy, że nie jest odwracalna , a nie zero, i nie może być uwzględniony w iloczynie dwóch nieodwracalnych wielomianów o współczynnikach w R . Ta definicja uogólnia definicję podaną dla przypadku współczynników w polu, ponieważ w polu wielomiany niestałe są dokładnie wielomianami, które są nieodwracalne i niezerowe.

Inna definicja jest często stosowany, mówiąc, że wielomian jest nieredukowalne nad R , jeśli jest nieredukowalne nad dziedzinie frakcji o R (dziedzinie liczb wymiernych , jeśli R jest całkowite). Ta druga definicja nie jest używana w tym artykule.

Natura czynnika

Brak wyraźnego wyrażenia algebraicznego dla czynnika sam w sobie nie oznacza, że ​​wielomian jest nieredukowalny. Gdy wielomian jest redukowalny do czynników, czynniki te mogą być jawnymi wyrażeniami algebraicznymi lub wyrażeniami niejawnymi . Na przykład, mogą być uwzględnione wyraźnie ciągu liczb zespolonych jak jednak twierdzenie Abel-Ruffiniego stwierdza, że istnieją wielomiany dowolnym stopniu większym niż 4, dla których istnieją złożone czynniki, które nie mają wyraźnego wyrażenia algebraiczne. Taki czynnik można zapisać po prostu jako, powiedzmy, gdzie jest zdefiniowany niejawnie jako szczególne rozwiązanie równania, które ustawia wielomian równy 0. Ponadto czynniki dowolnego typu można również wyrazić jako przybliżenia liczbowe, które można uzyskać za pomocą algorytmów wyszukiwania pierwiastków , na przykład jako${\displaystyle x^{2}+2}$${\ Displaystyle \ lewo (x-{\ sqrt {2}} i \ po prawej) \ lewo (x + {\ sqrt {2}} i \ po prawej);}$${\ Displaystyle \ po lewej (x-x_ {1} \ po prawej),}$${\displaystyle x_{1}}$${\ Displaystyle \ lewo (x-1,2837 \ ldots \ prawo).}$

Proste przykłady

Następujące sześć wielomianów demonstruje pewne elementarne właściwości wielomianów redukowalnych i nieredukowalnych:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} p_ {1} (x) i = x ^ {2} + 4 x + 4 \ = {(x + 2) (x + 2)} \ \ p_ {2} (x )&=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}\\p_{3}(x)&=9x^{2}-3\,=3\left( 3x^{2}-1\right)\,=3\left(x{\sqrt {3}}-1\right)\left(x{\sqrt {3}}+1\right)\\p_{ 4}(x)&=x^{2}-{\frac {4}{9}}\,=\left(x-{\frac {2}{3}}\right)\left(x+{\ szczelina {2}{3}}\right)\\p_{5}(x)&=x^{2}-2\,=\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left( x+{\sqrt {2}}\right)\\p_{6}(x)&=x^{2}+1\,={(xi)(x+i)}\end{wyrównany}}}$

Na liczbach całkowitych pierwsze trzy wielomiany są redukowalne (trzeci jest redukowalny, ponieważ czynnik 3 nie jest odwracalny w liczbach całkowitych); dwa ostatnie są nieredukowalne. (Czwarty oczywiście nie jest wielomianem liczb całkowitych).

Na liczbach wymiernych pierwsze dwa i czwarty wielomian są redukowalne, ale pozostałe trzy wielomiany są nieredukowalne (jako wielomian na liczbach wymiernych, 3 jest jednostką i dlatego nie liczy się jako czynnik).

Na liczbach rzeczywistych pierwsze pięć wielomianów jest redukowalnych, ale jest nieredukowalnych. ${\ Displaystyle p_ {6} (x)}$

Na liczbach zespolonych wszystkie sześć wielomianów są redukowalne.

Nad liczbami zespolonymi

Przez dziedzinie zespolonej , a bardziej ogólnie, ponad ciało algebraicznie domknięte , o jednowymiarowej wielomian jest nieredukowalne wtedy i tylko wtedy, jeśli jego stopień jest jeden. Fakt ten jest znany jako podstawowe twierdzenie algebry w przypadku liczb zespolonych i ogólnie jako warunek bycia algebraicznie domkniętym.

Wynika z tego, że każdy niestały jednowymiarowy wielomian można rozłożyć na czynniki jako

${\ Displaystyle a \ lewo (x-z_ {1} \ prawo) \ cdots \ lewo (x-z_ {n} \ prawo)}$

gdzie jest stopień, jest wiodącym współczynnikiem i są zerami wielomianu (niekoniecznie odrębne i niekoniecznie posiadające wyraźne wyrażenia algebraiczne ). ${\ Displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle z_{1},\kropki,z_{n}}$

Na liczbach zespolonych istnieją nierozkładalne wielomiany wielowymiarowe każdego stopnia. Na przykład wielomian

${\ Displaystyle x ^ {n} + Y ^ {n} -1,}$

która definiuje krzywą Fermata , jest nieredukowalna dla każdego dodatniego n .

Ponad realami

Przez dziedzinie liczb rzeczywistych , stopień o nieredukowalnej jednoczynnikowej wielomianu jest jedno lub dwa. Dokładniej, wielomiany nierozkładalne to wielomiany pierwszego stopnia i wielomiany kwadratowe, które mają ujemny dyskryminator. Wynika z tego, że każdy niestały wielomian jednowymiarowy może być rozłożony na czynniki jako iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej dwóch. Na przykład czynniki nad liczbami rzeczywistymi jako i nie mogą być dalej rozkładane na czynniki, ponieważ oba czynniki mają negatywny dyskryminator:${\ Displaystyle topór ^ {2} + bx + c}$ ${\displaystyle b^{2}-4ac.}$${\ Displaystyle x ^ {4}+1}$${\ Displaystyle \ lewo (x ^ {2} + {\ sqrt {2}} x + 1 \ po prawej) \ po lewej (x ^ {2} - {\ sqrt {2}} x + 1 \ po prawej)}$${\ Displaystyle \ lewo (\ pm {\ sqrt {2}} \ prawo) ^ {2}-4 = -2 <0.}$

Unikalna właściwość faktoryzacji

Każdy wielomian nad ciałem F można rozłożyć na iloczyn niezerowej stałej i skończonej liczby wielomianów nierozkładalnych (nad F ). Rozkład ten jest unikalny aż do rzędu czynników i pomnożenia czynników przez stałe niezerowe, których iloczyn wynosi 1.

W przypadku unikatowej dziedziny faktoryzacji to samo twierdzenie jest prawdziwe, ale dokładniej sformułowane przy użyciu pojęcia wielomianu pierwotnego. Prymitywny wielomianu jest wielomianem na unikalnym domeny faktoryzacji, tak, że jeden jest największy wspólny dzielnik jego współczynników.

Niech F będzie unikalną domeną faktoryzacji. Niestały nierozkładalny wielomian nad F jest prymitywny. Pierwotna wielomian przez F jest nierozkładalny przez F , wtedy i tylko wtedy, gdy znajduje się nierozkładalny na polu frakcji o F . Każdy wielomian nad F można rozłożyć na iloczyn niezerowej stałej i skończonej liczby niestałych nierozkładalnych wielomianów pierwotnych. Niezerowa stała sama może być rozłożona na produkt o urządzeniu z F i skończonej liczby nieredukowalnych elementów z F . Obie faktoryzacje są unikalne aż do rzędu czynników i pomnożenia czynników przez jednostkę F .

To jest to twierdzenie, które uzasadnia, że ​​definicja nieredukowalnego wielomianu w unikalnej dziedzinie rozkładu na czynniki często zakłada, że ​​wielomian jest niestały.

Wszystkie algorytmy, które są obecnie zaimplementowane do rozkładania wielomianów na czynniki przez liczby całkowite i przez liczby wymierne, wykorzystują ten wynik (patrz Faktoryzacja wielomianów ).

Nad liczbami całkowitymi i ciałem skończonym

Nieredukowalność wielomianu nad liczbami całkowitymi jest związana z nieredukowalnością wielomianu nad ciałem pierwiastków (dla liczby pierwszej ). W szczególności, jeżeli w jednowymiarowej wielomianu f nad jest nierozkładalny na jakiegoś sile , które nie rozdzielają czołową współczynnik f (współczynnik najwyższej mocy zmiennej), a f jest nierozkładalny się . Kryterium Eisensteina jest odmianą tej własności, w której w grę wchodzi również nieredukowalność nad . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\displaystyle p^{2}}$

Nie jest to jednak odwrotność: istnieją wielomiany arbitralnie dużego stopnia, które są nieredukowalne na liczbach całkowitych i redukowalne na każdym ciele skończonym. Prostym przykładem takiego wielomianu jest${\ Displaystyle x ^ {4}+1.}$

Związek między nieredukowalnością po liczbach całkowitych a nierozkładalnością modulo p jest głębszy niż poprzedni wynik: do tej pory wszystkie zaimplementowane algorytmy faktoryzacji i nieredukowalności po liczbach całkowitych i wymiernych wykorzystują faktoryzację po ciałach skończonych jako podprogram .

Liczba stopni n nierozkładalnych wielomianów monicznych nad polem dla q potęgi pierwszej jest dana wzorem ${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}$

${\ Displaystyle N (q, n) = {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {d \ mid n} \ mu (d) q ^ {\ Frac {n} {d}}}$

gdzie μ jest funkcją Möbiusa . Dla q = 2 takie wielomiany są powszechnie używane do generowania pseudolosowych sekwencji binarnych .

W pewnym sensie prawie wszystkie wielomiany o współczynnikach zero lub jeden są nierozkładalne na liczbach całkowitych. Dokładniej, jeśli założymy wersję hipotezy Riemanna dla funkcji zeta Dedekinda , prawdopodobieństwo bycia nieredukowalnym po liczbach całkowitych dla wielomianu o losowych współczynnikach w {0, 1} dąży do jedności, gdy stopień wzrasta.

Algorytmy

Unikalna właściwość faktoryzacji wielomianów nie oznacza, że ​​zawsze można obliczyć faktoryzację danego wielomianu. Nawet nieredukowalność wielomianu nie zawsze może być udowodniona przez obliczenia: istnieją pola, nad którymi nie może istnieć żaden algorytm decydujący o nieredukowalności dowolnych wielomianów.

Algorytmy rozkładania na czynniki wielomianów i decydowania o nierozkładalności są znane i zaimplementowane w systemach algebr komputerowych dla wielomianów na liczbach całkowitych, liczb wymiernych, ciał skończonych i skończenie generowanego rozszerzenia tych ciał. Wszystkie te algorytmy wykorzystują algorytmy faktoryzacji wielomianów po ciałach skończonych .

Rozszerzenie pola

Pojęcia wielomianu nierozkładalnego i rozszerzenia pola algebraicznego są ze sobą silnie powiązane w następujący sposób.

Niech x będzie elementem rozszerzenia L ciała K . Mówi się, że ten element jest algebraiczny, jeśli jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach w K . Wśród wielomianów których x jest pierwiastkiem, jest dokładnie taki, który jest Monic i minimalnym stopniu, zwany minimalny wielomian od x . Minimalny wielomian elementu algebraicznego x z L jest nierozkładalny i jest unikalnym wielomianem nierozkładalnym monicznym, którego x jest pierwiastkiem. Minimalny wielomian x dzieli każdy wielomian, który ma x jako pierwiastek (jest to twierdzenie Abla o nieredukowalności ).

I odwrotnie, jeśli jest wielomianem jednowymiarowym nad ciałem K , niech będzie pierścieniem ilorazowym pierścienia wielomianowego przez ideał wygenerowany przez P . Wtedy L jest polem wtedy i tylko wtedy, gdy P jest nieredukowalne przez K . W tym przypadku, jeśli x jest obrazem X w L , minimalny wielomian x jest ilorazem P przez jego wiodący współczynnik . ${\ Displaystyle P (X) \ w K [X]}$${\ Displaystyle L = K [X] / P (X)}$${\ Displaystyle K [X]}$

Przykładem powyższego jest standardowa definicja liczb zespolonych jako${\ Displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [X] \; / \ lewo (X ^ {2} + 1 \ po prawej).}$

Jeśli wielomian P ma nieredukowalny czynnik Q nad K , który ma stopień większy niż jeden, można zastosować do Q poprzedzającą konstrukcję rozszerzenia algebraicznego, aby uzyskać rozszerzenie, w którym P ma co najmniej jeden pierwiastek więcej niż w K . Iterując tę ​​konstrukcję, otrzymujemy w końcu pole, nad którym P rozkłada się na czynniki liniowe. To pole, niepowtarzalny maksymalnie do izomorfizmu pola , nazywa się pole łupania z P .

Nad integralną domeną

Jeśli R stanowi integralną domeny , element F z R , która jest nie zerowa, ani urządzenie zwane nierozkładalny jeżeli nie ma nie-jednostki g i h o f = GH . Można wykazać, że każdy pierwiastek pierwszy jest nieredukowalny; odwrotność nie jest generalnie prawdziwa, ale dotyczy unikalnych dziedzin rozkładu na czynniki . Wielomian pierścień F [ x ] w polu F (lub każdej innej domeny unikalnych faktoryzacji) znowu unikalny domeny na czynniki. Indukcyjnie oznacza to, że pierścień wielomianowy w n nieokreślonych (nad pierścieniem R ) jest unikalną domeną faktoryzacji, jeśli to samo dotyczy R .

Zobacz też

• Lemat Gaussa (wielomian)
• Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych , metoda znajdowania, czy wielomian ma czynnik liniowy o współczynnikach wymiernych
• Kryterium Eisensteina
• Metoda Perrona
• Twierdzenie Hilberta o nieredukowalności
• Kryterium nieredukowalności Cohna
• Nieredukowalny komponent z przestrzeni topologicznej
• Faktoryzacja wielomianów nad ciałami skończonymi
• Funkcja kwartyczna § Kwarty redukcyjne
• Funkcja sześcienna § Faktoryzacja
• Casus irreducibilis , nieredukowalny sześcienny z trzema prawdziwymi korzeniami
• Równanie kwadratowe § Faktoryzacja kwadratowa

Uwagi

Bibliografia

• Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Poprawione trzecie wyd.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556. Ta klasyczna książka obejmuje większość treści tego artykułu.
• Gallian, Joseph (2012), Współczesna Abstrakcyjna Algebra (8th ed.), Cengage Learning, ISBN 978-1285402734
• Lidla, Rudolfa; Niederreiter, Harald (1997), pola skończone (2nd ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39231-0, s. 91 .
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd ed.), Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 9780821816462
• Menezes, Alfred J .; Van Oorschot, Paul C .; Vanstone, Scott A. (1997), Podręcznik kryptografii stosowanej , CRC Press , ISBN 978-0-8493-8523-0, s. 154 .

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. „Wielomian nierozkładalny” . MatematykaŚwiat .
• Nieredukowalny wielomian w PlanetMath .
• Informacje o wielomianach pierwotnych i nierozkładalnych , (kombinatoryczny) serwer obiektów.