Jan von Neumann - John von Neumann

Jana von Neumanna
JohnvonNeumann-LosAlamos.gif
John von Neumann w latach 40. XX wieku
Urodzić się
Neumann János Lajos

( 1903-12-28 )28 grudnia 1903
Zmarł 8 lutego 1957 (1957-02-08)(w wieku 53 lat)
Waszyngton, DC , Stany Zjednoczone
Obywatelstwo Węgry
Stany Zjednoczone
Alma Mater Pázmány Péter University
ETH Zürich
University of Getynga
Znany z
+79 więcej
Małżonkowie Marietta Kövesi
Klara Dan
Dzieci Marina von Neumann Whitman
Nagrody Bôcher Memorial Prize (1938)
Navy Distinguished Service Civilian Award (1946)
Medal za Zasługi (1946)
Medal Wolności (1956)
Enrico Fermi Award (1956)
Kariera naukowa
Pola Matematyka , fizyka , statystyka , ekonomia , informatyka
Instytucje University of Berlin
Princeton University
Institute for Advanced Study
Los Alamos Laboratory
Praca dyplomowa Az általános halmazelmélet axiomatikus felépítése (Konstrukcja aksjomatyczna ogólnej teorii mnogości)  (1925)
Doradca doktorski Lipót Fejér
Inni doradcy akademiccy László Ratz
David Hilbert
Doktoranci Donald B. Gillies
Israel Halperin
Friederich Mautner
Inni ważni studenci Paul Halmos
Clifford Hugh Dowker
Benoit Mandelbrot
Podpis
Johnny von Neumann sig.gif

John von Neumann ( / V ɒ n n ɔɪ m ə N / ; Węgierski : Neumann János Lajos , wyraźny  [nɒjmɒn jaːnoʃ lɒjoʃ] ; 28 grudnia 1903 - 8 lutego 1957) był węgierskim Ameryki matematyka , fizyki , komputer naukowiec , inżynier i politolog . Von Neumann był powszechnie uważany za czołowego matematyka swoich czasów i uważany za „ostatniego przedstawiciela wielkich matematyków”. Zintegrował nauki czyste i stosowane .

Von Neumanna się znaczący wkład w wielu dziedzinach, w tym matematyce ( podstawy matematyczne , analiza funkcjonalna , teoria ergodyczny , teoria grup , teorii reprezentacji , algebrach operatora , geometrii , topologii i analiza numeryczna ), fizyczne ( mechaniki kwantowej , hydrodynamiki , a Quantum statystycznej mechanika ), ekonomia ( teoria gier ), informatyka ( architektura Von Neumanna , programowanie liniowe , maszyny samoreplikujące , obliczenia stochastyczne ) i statystyka . Był pionierem zastosowania teorii operatorów w mechanice kwantowej w rozwoju analizy funkcjonalnej oraz kluczową postacią w rozwoju teorii gier i koncepcji automatów komórkowych , uniwersalnego konstruktora i komputera cyfrowego .

Von Neumann opublikował w swoim życiu ponad 150 prac: około 60 z czystej matematyki, 60 z matematyki stosowanej, 20 z fizyki, a resztę na specjalne przedmioty matematyczne lub niematematyczne. Jego ostatnia praca, niedokończony rękopis napisany podczas pobytu w szpitalu, została później opublikowana w formie książkowej jako Komputer i mózg .

Jego analiza struktury samoreplikacji poprzedziła odkrycie struktury DNA . W krótkiej liście faktów dotyczących jego życia, które przedłożył Narodowej Akademii Nauk , napisał: „Część mojej pracy, którą uważam za najistotniejszą, to praca dotycząca mechaniki kwantowej, która rozwinęła się w Getyndze w 1926 r., a następnie w Berlinie w 1927 r. – 1929. Również moja praca nad różnymi formami teorii operatorów, Berlin 1930 i Princeton 1935-1939; o twierdzeniu ergodycznym, Princeton, 1931-1932."

Podczas II wojny światowej von Neumann pracował nad Projektem Manhattan z fizykiem teoretykiem Edwardem Tellerem , matematykiem Stanisławem Ulamem i innymi, rozwiązując kluczowe etapy fizyki jądrowej związane z reakcjami termojądrowymi i bombą wodorową. Opracował matematyczne modele kryjące się za soczewkami wybuchowymi stosowanymi w implozyjnej broni jądrowej i ukuł termin „kiloton” (z TNT ) jako miarę generowanej siły wybuchowej. Po wojnie pracował w Komitecie General Doradczego Atomic Energy Commission i konsultacje dla organizacji, w tym United States Air Force , Armii Ballistic Research Laboratory , w siłach zbrojnych broni specjalny projekt , a Lawrence Livermore National Laboratory . Jako węgierski emigrant, zaniepokojony tym, że Sowieci osiągną wyższość nuklearną, zaprojektował i promował politykę wzajemnego gwarantowanego zniszczenia w celu ograniczenia wyścigu zbrojeń.

Wczesne życie i edukacja

Rodzinne tło

Miejsce urodzenia von Neumanna, przy ulicy Batorego 16 w Budapeszcie. Od 1968 roku mieści się tu Towarzystwo Komputerowe im . Johna von Neumanna .

Von Neumann urodził się jako Neumann János Lajos w zamożnej, akulturowanej i nie przestrzegającej prawa rodzinie żydowskiej . W języku węgierskim nazwisko rodowe jest na pierwszym miejscu, a jego imiona są odpowiednikiem w języku angielskim John Louis.

Von Neumann urodził się w Budapeszcie , Królestwie Węgier , które było wówczas częścią Cesarstwa Austro-Węgierskiego . Był najstarszym z trzech braci; jego dwa młodsze rodzeństwo to Mihály (ang. Michael von Neumann; 1907-1989) i Miklós (Nicholas von Neumann, 1911-2011). Jego ojciec, Neumann Miksa (Max von Neumann, 1873–1928) był bankierem, doktorem prawa . Przeniósł się do Budapesztu z Peczu pod koniec lat 80. XIX wieku. Ojciec i dziadek Miksy urodzili się w Ond (obecnie część miasta Szerencs ), w powiecie Zemplén na północy Węgier. Matką Johna była Kann Margit (po angielsku: Margaret Kann); jej rodzicami byli Jakab Kann i Katalin Meisels z rodziny Meisels . Trzy pokolenia rodziny Kann mieszkały w przestronnych mieszkaniach nad biurami Kann-Heller w Budapeszcie; Rodzina von Neumanna zajmowała 18-pokojowe mieszkanie na ostatnim piętrze.

20 lutego 1913 roku cesarz Franciszek Józef podniósł ojca Jana do szlachty węgierskiej za zasługi dla Cesarstwa Austro-Węgierskiego. W ten sposób rodzina Neumannów nabyła dziedziczną nazwę Margittai , co oznacza "Margitta" (dziś Marghita , Rumunia ). Rodzina nie miała żadnego związku z miastem; nazwa została wybrana w odniesieniu do Małgorzaty, podobnie jak wybrany przez nich herb przedstawiający trzy marguerites . Neumann János został margittai Neumann János (John Neumann de Margitta), którego później zmienił na Niemca Johanna von Neumanna.

Cudowne dziecko

Von Neumann był cudownym dzieckiem . Kiedy miał sześć lat, potrafił w głowie podzielić dwie ośmiocyfrowe liczby i mógł rozmawiać w starożytnej grece . Kiedy sześcioletni von Neumann przyłapał matkę na gapieniu się bez celu, zapytał ją: „Co ty kalkulujesz?”.

W młodości guwernantki uczyły von Neumanna, jego braci i kuzynów. Ojciec von Neumanna uważał, że znajomość języków innych niż ojczysty węgierski jest niezbędna, dlatego dzieci uczyły się angielskiego , francuskiego , niemieckiego i włoskiego . W wieku ośmiu lat, von Neumann był zaznajomiony z mechanizmem różnicowym i całkowego , ale był szczególnie zainteresowany w historii. Przeczytał 46-tomową serię historii świata Wilhelma Onckena Allgemeine Geschichte in Einzeldarstellungen ( Historia ogólna w monografiach ). Egzemplarz znajdował się w prywatnej bibliotece zakupionej przez Maxa. Jeden z pokoi w mieszkaniu został przekształcony w bibliotekę i czytelnię, z regałami od sufitu do podłogi.

Von Neumann wstąpił do luterańskiego Gimnazium Fasori Evangélikus w 1914 roku. Eugene Wigner był rok przed von Neumannem w szkole luterańskiej i wkrótce został jego przyjacielem. Była to jedna z najlepszych szkół w Budapeszcie i była częścią genialnego systemu edukacji zaprojektowanego dla elity. W systemie węgierskim dzieci otrzymywały całą edukację w jednym gimnazjum . Węgierski szkoła System produkowane pokolenie zauważyć osiągnięcia intelektualnego, który obejmował Theodore von Karman (ur 1881), György von Hevesy (ur 1885), Michael Polanyi (ur 1891), Leo Szilard (ur 1898), Dennis Gabor (ur 1900) , Eugene Wigner (ur. 1902), Edward Teller (ur. 1908) i Paul Erdős (ur. 1913). Zbiorowo nazywano ich czasami „ Marsjanami ”.

Chociaż ojciec von Neumanna nalegał, aby von Neumann uczęszczał do szkoły na poziomie klasy odpowiednim do jego wieku, zgodził się zatrudnić prywatnych nauczycieli, aby udzielili von Neumannowi zaawansowanych instrukcji w tych dziedzinach, w których wykazał się uzdolnieniami. W wieku 15 lat rozpoczął naukę zaawansowanego rachunku różniczkowego u znanego analityka Gabora Szegő . Podczas ich pierwszego spotkania Szegő był tak zdumiony matematycznym talentem chłopca, że ​​został doprowadzony do łez. Niektóre z błyskawicznych rozwiązań von Neumanna problemów, które postawił Szegő w rachunku różniczkowym, zostały naszkicowane na papeterii jego ojca i nadal znajdują się w archiwum von Neumanna w Budapeszcie. W wieku 19 lat von Neumann opublikował dwie ważne prace matematyczne, z których druga podała nowoczesną definicję liczb porządkowych , która zastąpiła definicję Georga Cantora . Pod koniec nauki w gimnazjum von Neumann usiadł i zdobył Nagrodę Eötvösa, krajową nagrodę w dziedzinie matematyki.

studia uniwersyteckie

Według jego przyjaciela Theodore'a von Kármána , ojciec von Neumanna chciał, aby John poszedł za nim do przemysłu i tym samym zainwestował swój czas w bardziej użyteczne finansowo przedsięwzięcie niż matematyka. W rzeczywistości jego ojciec poprosił von Kármána, aby przekonał syna, aby nie wybierał matematyki na kierunek studiów. Von Neumann i jego ojciec uznali, że najlepszą ścieżką kariery jest zostanie inżynierem chemikiem . Nie było to coś, o czym von Neumann miał dużą wiedzę, więc zorganizowano mu dwuletni, niedyplomowy kurs chemii na Uniwersytecie w Berlinie , po którym przystąpił do egzaminu wstępnego do prestiżowego ETH Zurich , którą zdał we wrześniu 1923 r. W tym samym czasie von Neumann wstąpił również na Uniwersytet Pázmány Péter w Budapeszcie, jako doktorat. kandydat z matematyki . Za pracę, postanowił produkować aksjomatyzacji z teorii mnogości Cantora . Ukończył studia inżynierskie w ETH Zurich w 1926 roku (chociaż Wigner mówi, że von Neumann nigdy nie był bardzo przywiązany do tematu chemii) i zdał egzaminy końcowe na stopień doktora. w matematyce jednocześnie ze stopniem inżynierii chemicznej, o którym Wigner pisał: „Najwyraźniej praca doktorska i egzamin nie stanowiły znacznego wysiłku”. Następnie udał się na Uniwersytet w Getyndze na stypendium Fundacji Rockefellera, aby studiować matematykę pod kierunkiem Davida Hilberta .

Wczesna kariera i życie prywatne

Wyciąg z kalendarzy uniwersyteckich na lata 1928 i 1928/29 Friedrich-Wilhelms-Universität Berlin ogłaszający wykłady Neumanna z aksjomatycznej teorii mnogości i logiki matematycznej, nowe prace z mechaniki kwantowej i specjalne funkcje fizyki matematycznej.

Habilitacja von Neumanna została zakończona 13 grudnia 1927 r., a on zaczął wykładać jako Privatdozent na Uniwersytecie w Berlinie w 1928 r. Był najmłodszym w historii uniwersytetu wybranym na Privatdozenta z jakiegokolwiek przedmiotu. Do końca 1927 r. von Neumann opublikował 12 głównych artykułów z matematyki, a pod koniec 1929 r. 32, prawie jeden główny artykuł miesięcznie. Jego zdolność zapamiętywania pozwalała mu szybko zapamiętywać strony z książek telefonicznych i recytować z nich nazwiska, adresy i numery. W 1929 został na krótko Privatdozent na Uniwersytecie w Hamburgu , gdzie szanse na stanowisko profesora etatowego były lepsze, ale w październiku tego samego roku pojawiła się lepsza oferta, gdy został zaproszony na Uniwersytet Princeton .

W Nowy Rok 1930 von Neumann poślubił Mariettę Kövesi, która studiowała ekonomię na uniwersytecie w Budapeszcie. Von Neumann i Marietta mieli jedno dziecko, córkę Marinę , urodzoną w 1935 r. Od 2021 r. Marina jest wybitnym emerytowanym profesorem administracji biznesu i polityki publicznej na Uniwersytecie Michigan . Para rozwiodła się w 1937 roku. W październiku 1938 roku von Neumann poślubił Klarę Dan , którą poznał podczas swoich ostatnich podróży powrotnych do Budapesztu przed wybuchem II wojny światowej .

W 1930 roku, przed ślubem z Mariettą, von Neumann został ochrzczony w Kościele katolickim . Ojciec von Neumanna, Max, zmarł w 1929 roku. Nikt z rodziny nie nawrócił się na chrześcijaństwo za życia Maxa, ale wszyscy przeszli później.

W 1933 roku zaproponowano mu dożywotnią profesurę w Institute for Advanced Study w New Jersey, kiedy plan tej instytucji powołania Hermanna Weyla upadł. Pozostał tam profesorem matematyki aż do śmierci, chociaż ogłosił zamiar rezygnacji i zostania profesorem na Uniwersytecie Kalifornijskim w Los Angeles . Jego matka, bracia i teściowie poszli za von Neumannem do Stanów Zjednoczonych w 1939 roku. Von Neumann zanglicyzował swoje imię na John, zachowując niemiecko-arystokratyczne nazwisko von Neumann. Jego bracia zmienili swoje na „Neumann” i „Vonneumann”. Von Neumann został naturalizowanym obywatelem Stanów Zjednoczonych w 1937 roku i natychmiast próbował zostać porucznikiem w Korpusie Rezerwowym Oficerów Armii Stanów Zjednoczonych . Zdał egzaminy z łatwością, ale został odrzucony ze względu na swój wiek. Często cytuje się jego przedwojenną analizę tego, jak Francja przeciwstawi się Niemcom: „Och, Francja nie będzie miała znaczenia”.

Klara i John von Neumann byli aktywni społecznie w lokalnej społeczności akademickiej. Jego biały drewniany dom przy Westcott Road 26 był jedną z największych prywatnych rezydencji w Princeton. Zawsze nosił formalne garnitury. Kiedyś nosił trzyczęściowy prążek, jadąc po Wielkim Kanionie na mule. Podobno Hilbert zapytał: „Módlcie się, kto jest krawcem kandydata?” na egzaminie doktorskim von Neumanna w 1926 r., ponieważ nigdy nie widział tak pięknych strojów wieczorowych.

Von Neumann przez całe życie pasjonował się historią starożytną i był znany ze swojej wiedzy historycznej. Profesor historii bizantyjskiej w Princeton powiedział kiedyś, że von Neumann miał większą wiedzę na temat historii bizantyjskiej niż on sam.

Von Neumann lubił jeść i pić; jego żona Klara powiedziała, że ​​potrafi liczyć wszystko oprócz kalorii. Lubił jidysz i „nie-kolorowy” humor (zwłaszcza limeryki ). Był niepalący. W Princeton otrzymywał skargi na regularne odtwarzanie niezwykle głośnej niemieckiej muzyki marszowej na swoim gramofonie , co odciągało od pracy pracowników sąsiednich biur, w tym Alberta Einsteina . Von Neumann wykonał jedne ze swoich najlepszych prac w hałaśliwym, chaotycznym otoczeniu, a kiedyś upomniał żonę za przygotowanie cichego gabinetu, w którym mógłby pracować. Nigdy z niego nie korzystał, wolał salon pary z głośnym odtwarzaniem telewizora. Pomimo tego, że był notorycznie złym kierowcą, lubił prowadzić – często podczas czytania książki – powodując liczne aresztowania, a także wypadki. Kiedy Cuthbert Hurd zatrudniał go jako konsultanta IBM , często po cichu płacił mandaty za mandaty drogowe.

Najbliższym przyjacielem von Neumanna w Stanach Zjednoczonych był matematyk Stanisław Ulam . Późniejszy przyjaciel Ulama, Gian-Carlo Rota , napisał: „Spędzali godziny na plotkowaniu i chichotaniu, wymienianiu żydowskich dowcipów oraz wpadaniu i wymykaniu się matematycznych gadek”. Kiedy von Neumann umierał w szpitalu, Ulam za każdym razem przychodził przygotowany z nową kolekcją dowcipów, aby go pocieszyć. Von Neumann uważał, że większość jego myśli matematycznych pojawia się intuicyjnie; często kładł się spać z nierozwiązanym problemem i znał odpowiedź po przebudzeniu. Ulam zauważył, że sposób myślenia von Neumanna może nie być wizualny, ale bardziej dźwiękowy.

Matematyka

Teoria mnogości

Historia podejść, które doprowadziły do ​​powstania teorii zbiorów NBG

Aksjomatyzacji matematyki, na modelu Euclid „s Elements , osiągnął nowy poziom rygoryzmu i wszerz pod koniec 19 wieku, szczególnie w arytmetyka, dzięki schemat aksjomatu o Richard Dedekind i Charles Sanders Peirce , aw geometrii , dzięki aksjomatom Hilberta . Jednak na początku XX wieku próby oparcia matematyki na naiwnej teorii zbiorów ucierpiały z powodu paradoksu Russella (ze zbioru wszystkich zbiorów, które nie należą do nich). Problem odpowiedniej aksjomatyzacji teorii mnogości został domyślnie rozwiązany około dwadzieścia lat później przez Ernsta Zermelo i Abrahama Fraenkla . Teoria mnogości Zermelo-Fraenkla dostarczyła szeregu zasad, które pozwoliły na konstruowanie zbiorów używanych w codziennej praktyce matematyki, ale nie wykluczały jednoznacznie możliwości istnienia zbioru, który należy do niej samej. W swojej pracy doktorskiej z 1925 r. von Neumann zademonstrował dwie techniki wykluczenia takich zbiorów — aksjomat podstawy i pojęcie klasy .

Aksjomat założenia zakładał, że każdy zbiór może być konstruowany od dołu do góry w uporządkowanej kolejności kroków na podstawie zasad Zermelo i Fraenkla. Jeśli jeden zestaw należy do drugiego, to pierwszy musi koniecznie poprzedzać drugi w kolejności. Wyklucza to możliwość przynależności zestawu do siebie. Aby zademonstrować, że dodanie tego nowego aksjomatu do pozostałych nie powoduje sprzeczności, von Neumann wprowadził metodę dowodzenia zwaną metodą modeli wewnętrznych , która stała się niezbędnym instrumentem w teorii mnogości.

Drugie podejście do problemu zbiorów należących do siebie za podstawę przyjmuje pojęcie klasy i definiuje zbiór jako klasę należącą do innych klas, podczas gdy klasa właściwa jest definiowana jako klasa nienależąca do innych klas. W podejściu Zermelo-Fraenkla aksjomaty utrudniają konstrukcję zbioru wszystkich zbiorów, które nie należą do siebie. W przeciwieństwie do tego, w podejściu von Neumanna można skonstruować klasę wszystkich zbiorów, które nie należą do siebie, ale jest to klasa właściwa , a nie zbiór.

Ogólnie rzecz biorąc, głównym osiągnięciem von Neumanna w teorii mnogości była „aksjomatyzacja teorii mnogości i (w związku z tym) eleganckiej teorii liczb porządkowych i kardynalnych oraz pierwsze ścisłe sformułowanie zasad definicji przez indukcję pozaskończoną ”.

Paradoks von Neumanna

Opierając się na pracy Felixa Hausdorffa , w 1924 Stefan Banach i Alfred Tarski udowodnili, że w przypadku bryły kuli w przestrzeni trójwymiarowej istnieje rozkład kuli na skończoną liczbę rozłącznych podzbiorów, które można ponownie złożyć w inny sposób aby uzyskać dwie identyczne kopie oryginalnej kuli. Banach i Tarski dowiedli, że przy pomocy przekształceń izometrycznych wynik rozbicia i złożenia dwuwymiarowej figury musiałby koniecznie mieć taką samą powierzchnię jak oryginał. Uniemożliwiłoby to utworzenie dwóch kwadratów jednostkowych z jednego. Ale w artykule z 1929 r. von Neumann udowodnił, że paradoksalne rozkłady mogą wykorzystywać grupę przekształceń, które zawierają jako podgrupę wolną grupę z dwoma generatorami. Grupa przekształceń zachowujących obszar zawiera takie podgrupy, a to otwiera możliwość dokonywania paradoksalnych dekompozycji z wykorzystaniem tych podgrup. Klasa grup von Neumanna wyodrębniona w jego pracy o dekompozycjach Banacha-Tarskiego była bardzo ważna w wielu dziedzinach matematyki, w tym w późniejszej pracy von Neumanna z teorii miary (patrz niżej).

Teoria dowodu

Dzięki wyżej wymienionym wkładom von Neumanna do zbiorów, system aksjomatyczny teorii zbiorów uniknął sprzeczności wcześniejszych systemów i stał się użyteczny jako podstawa matematyki, pomimo braku dowodu jego spójności . Następne pytanie dotyczyło tego, czy dostarcza definitywnych odpowiedzi na wszystkie pytania matematyczne, jakie można w nim postawić, czy też można je poprawić, dodając silniejsze aksjomaty, które można wykorzystać do udowodnienia szerszej klasy twierdzeń.

Opierając się na pracy Ackermanna , von Neumann rozpoczął próby udowodnienia (przy użyciu finistycznych metod szkoły Hilberta ) spójności arytmetyki pierwszego rzędu . Udało mu się udowodnić zgodność fragmentu arytmetyki liczb naturalnych (poprzez zastosowanie ograniczeń indukcji). Kontynuował poszukiwania bardziej ogólnego dowodu spójności matematyki klasycznej przy użyciu metod z teorii dowodu .

Zdecydowanie negatywna odpowiedź na pytanie, czy jest ona definitywna, nadeszła we wrześniu 1930 r. na historycznej Drugiej Konferencji Epistemologii Nauk Ścisłych w Królewcu , na której Kurt Gödel ogłosił swoje pierwsze twierdzenie o niezupełności : zwykłe systemy aksjomatyczne są niekompletne w tym sensie, że nie mogą udowodnić każdej prawdy, którą można wyrazić w ich języku. Co więcej, każde konsekwentne rozszerzenie tych systemów z konieczności pozostaje niekompletne.

Niecały miesiąc później von Neumann, który brał udział w konferencji, zakomunikował Gödelowi interesującą konsekwencję swojego twierdzenia: że zwykłe systemy aksjomatyczne nie są w stanie zademonstrować własnej spójności. Gödel już odkrył tę konsekwencję, znaną teraz jako jego drugie twierdzenie o niezupełności , i wysłał von Neumannowi wstępny wydruk swojego artykułu zawierającego oba twierdzenia. Von Neumann uznał priorytet Gödla w swoim następnym liście. Nigdy nie myślał wiele o „amerykańskim systemie przypisywania sobie osobistego pierwszeństwa we wszystkim”. Jednak metoda dowodowa von Neumanna różniła się od metody Gödla, ponieważ używał on wielomianów do wyjaśnienia spójności. Wraz z tym odkryciem von Neumann zaprzestał pracy nad logiką matematyczną i podstawami matematyki i zamiast tego poświęcił czas na problemy związane z zastosowaniami.

Teoria ergodyczna

W serii artykułów opublikowanych w 1932 roku von Neumann wniósł fundamentalny wkład w teorię ergodyczną , gałąź matematyki, która obejmuje stany układów dynamicznych z miarą niezmienniczą . Z artykułów z 1932 r. na temat teorii ergodycznej Paul Halmos napisał, że nawet „gdyby von Neumann nigdy nie zrobił nic innego, wystarczyłyby, by zagwarantować mu matematyczną nieśmiertelność”. Do tego czasu von Neumann napisał już swoje artykuły na temat teorii operatorów , a zastosowanie tej pracy odegrało zasadniczą rolę w twierdzeniu o średniej ergodycznej von Neumanna .

Teoria miary

W teorii miary „problem miary” dla n- wymiarowej przestrzeni euklidesowej R n może być sformułowany jako: „czy istnieje dodatnia, znormalizowana, niezmienna i addytywna funkcja zbioru w klasie wszystkich podzbiorów R n ?” Z pracy Felixa Hausdorffa i Stefana Banacha wynikało, że problem miary ma rozwiązanie dodatnie, jeśli n = 1 lub n = 2, a rozwiązanie ujemne (ze względu na paradoks Banacha–Tarskiego ) we wszystkich pozostałych przypadkach. Praca von Neumanna dowodziła, że ​​„problem ma zasadniczo charakter grupowo-teoretyczny”: istnienie miary można określić, patrząc na właściwości grupy przekształceń danej przestrzeni. Pozytywne rozwiązanie dla przestrzeni o co najwyżej dwóch wymiarach i negatywne dla wyższych wymiarów wynika z faktu, że grupa euklidesowa jest grupą rozwiązywalną dla wymiaru co najwyżej dwóch i nie jest rozwiązywalna dla wyższych wymiarów. „Tak więc, według von Neumanna, to zmiana grupy robi różnicę, a nie zmiana przestrzeni”.

W wielu pracach von Neumanna stosowane przez niego metody argumentacji są uważane za nawet ważniejsze niż wyniki. W oczekiwaniu na swoje późniejsze studia nad teorią wymiarów w algebrach operatorów, von Neumann wykorzystał wyniki dotyczące równoważności przez dekompozycję skończoną i przeformułował problem miary w kategoriach funkcji. Główny wkład von Neumanna do teorii miary był wynikiem pracy napisanej w celu odpowiedzi na pytanie Haara dotyczące tego, czy istnieje algebra wszystkich funkcji ograniczonych na osi liczb rzeczywistych, tak że tworzą one „kompletny system reprezentantów klas”. prawie wszędzie równych mierzalnych funkcji ograniczonych”. Udowodnił to pozytywnie, a w późniejszych pracach ze Stonem omówił różne uogólnienia i algebraiczne aspekty tego problemu. Udowodnił też nowymi metodami istnienie dezintegracji dla różnych ogólnych rodzajów miar. Von Neumann dał również nowy dowód na unikalność miar Haara, używając średnich wartości funkcji, chociaż ta metoda działała tylko dla grup zwartych . Musiał stworzyć zupełnie nowe techniki, aby zastosować to do lokalnych zwartych grup . Podał też nowy dowód dla twierdzenia Radona–Nikodyma . Jego notatki z wykładów na temat teorii miary w Institute for Advanced Study były wówczas ważnym źródłem wiedzy na ten temat w Ameryce i zostały później opublikowane.

Grupy topologiczne

Wykorzystując swoją poprzednią pracę nad teorią miary, von Neumann wniósł kilka wkładów do teorii grup topologicznych , zaczynając od artykułu o prawie okresowych funkcjach na grupach, gdzie von Neumann rozszerzył teorię funkcji prawie okresowych Bohra na dowolne grupy. Kontynuował tę pracę z innym artykułem we współpracy z Bochnerem, który poprawił teorię prawie okresowości, aby uwzględnić funkcje, które przyjmowały elementy przestrzeni liniowych jako wartości, a nie liczby. W 1938 roku otrzymał Nagrodę im. Bôchera za pracę nad analizą tych dokumentów.

W artykule z 1933 r. zastosował nowo odkrytą miarę Haara w rozwiązaniu piątego problemu Hilberta dla przypadku grup zwartych. Podstawowa idea została odkryta kilka lat wcześniej, kiedy von Neumann opublikował artykuł na temat właściwości analitycznych grup przekształceń liniowych i stwierdził, że zamknięte podgrupy ogólnej grupy liniowejgrupami Liego . Zostało to później rozszerzone przez Cartana na dowolne grupy Liego w postaci twierdzenia o podgrupach zamkniętych .

Analiza funkcjonalna

Von Neumann jako pierwszy wymyślił „abstrakcyjną” przestrzeń Hilberta w sposób formalny i aksjomatyczny. Została ona zdefiniowana jako złożona przestrzeń wektorowa z hermitowskim iloczynem skalarnym , przy czym odpowiadająca jej norma jest zarówno separowana, jak i kompletna. Kontynuował rozwój spektralnej teorii operatorów w przestrzeni Hilberta w trzech przełomowych pracach w latach 1929-1932. Przez dwadzieścia lat von Neumann był uważany za „niekwestionowanego mistrza” tej dziedziny. Zmiany te były spowodowane przede wszystkim potrzebami mechaniki kwantowej, gdzie von Neumann zdał sobie sprawę z potrzeby rozszerzenia teorii spektralnej operatorów hermitowskich z przypadku ograniczonego do przypadku nieograniczonego . Inne ważne osiągnięcia w tych pracach obejmują pełne wyjaśnienie teorii spektralnej dla operatorów normalnych, uogólnienie prezentacji Riesza na ówczesnych twierdzeniach spektralnych Hilberta oraz odkrycie operatorów hermitowskich w przestrzeni Hilberta, w odróżnieniu od self- operatory sprzężone , co umożliwiło mu opisanie wszystkich operatorów hermitowskich, które rozszerzają dany operator hermitowski. Ponadto napisał artykuł szczegółowo opisujący, w jaki sposób użycie macierzy nieskończonych , powszechne w tamtych czasach w teorii spektralnej, było nieodpowiednie jako reprezentacja dla operatorów hermitowskich. Jego praca nad teorią operatorów doprowadziła do jego najgłębszego wynalazku w czystej matematyce, badania algebr von Neumanna i ogólnie algebr operatorów .

W innych pracach z zakresu analizy funkcjonalnej von Neumann był również pierwszym matematykiem, który zastosował nowe idee topologiczne od Hausdorffa do przestrzeni Hilberta. Podał też pierwszą ogólną definicję przestrzeni lokalnie wypukłych . Późniejsze prace nad pierścieniami operatorów skłoniły go do powrotu do wcześniejszych prac nad teorią spektralną i zaproponowania nowego sposobu pracy nad geometryczną treścią teorii spektralnej za pomocą całek bezpośrednich przestrzeni Hilberta.

Algebry operatorów

Von Neumann założył badanie pierścieni operatorów za pomocą algebr von Neumanna . Von Neumann algebra jest * -algebra z ograniczonych operatorów na przestrzeni Hilberta , która jest zamknięta w słabej topologii operatora i zawiera operator tożsamości . W Neumanna bicommutant twierdzenie pokazuje, że analityczny definicja jest równoważna czysto algebraicznej definicji jako równa bicommutant. Po wyjaśnieniu przypadku algebry przemiennej , von Neumann rozpoczął w 1936 roku, przy częściowej współpracy FJ Murraya , nad przypadkiem nieprzemiennym , ogólne badanie klasyfikacji czynnikowej algebr von Neumanna. Sześć głównych prac, w których rozwinął tę teorię w latach 1936-1940, „należy do arcydzieł analizy XX wieku”. Bezpośredni integralną później został wprowadzony w 1949 roku przez Johna von Neumanna za prace nad teorią operatora. Jego praca tutaj prowadzi do kolejnych dwóch głównych tematów.

Geometria

Von Neumann założył dziedzinę geometrii ciągłej . Podążało za jego przełomową pracą nad pierścieniami operatorów. W matematyce geometria ciągła jest substytutem złożonej geometrii rzutowej , gdzie zamiast wymiaru podprzestrzeni znajdującej się w zbiorze dyskretnym 0, 1, ..., n , może być elementem przedziału jednostkowego [0,1] . Wcześniej Menger i Birkhoff dokonali aksjomatyzacji złożonej geometrii rzutowej pod względem własności jej sieci podprzestrzeni liniowych. Von Neumann, podążając za swoją pracą nad pierścieniami operatorów, osłabił te aksjomaty, aby opisać szerszą klasę sieci, geometrie ciągłe. O ile wymiary podprzestrzeni geometrii rzutowych są zbiorem dyskretnym (nieujemne liczby całkowite), to wymiary elementów geometrii ciągłej mogą zmieniać się w sposób ciągły w przedziale jednostkowym [0,1]. Von Neumann był motywowany odkryciem algebr von Neumanna z funkcją wymiaru przyjmującą ciągły zakres wymiarów, a pierwszym przykładem ciągłej geometrii innej niż przestrzeń rzutowa były rzuty czynnika nadskończonego typu II .

Teoria sieci

W latach 1937-1939 von Neumann pracował nad teorią krat , teorią zbiorów częściowo uporządkowanych, w której każde dwa elementy mają największe ograniczenie dolne i najmniejsze ograniczenie górne. Garrett Birkhoff pisze: „Genialny umysł Johna von Neumanna płonął nad teorią sieci jak meteor”.

Von Neumanna umieszczono streszczenie badanie wymiaru w zakończonych uzupełnione modułowych kraty topologicznych (właściwości, które powstają w siatkach podprzestrzeni w wewnętrznych przestrzeniach produktów ) „wymiar jest określony, do dodatniego liniowej transformacji za pomocą następujących dwóch właściwości jest zachowana. przez odwzorowania perspektywiczne („perspektywy") i uporządkowane przez inkluzje. Najgłębsza część dowodu dotyczy równoważności perspektywy z „projektywnością przez dekompozycję", której następstwem jest przechodnia perspektywa".

Dodatkowo, „[I]w ogólnym przypadku, von Neumann udowodnił następujące podstawowe twierdzenie o reprezentacji. Każda komplementarna sieć modularna L mająca „podstawę” n ≥ 4 parami elementów perspektywy, jest izomorficzna z siecią ℛ( R ) wszystkich głównych słuszne ideały odpowiedniego regularnego pierścienia R. Ten wniosek jest zwieńczeniem 140 stron błyskotliwej i wnikliwej algebry, zawierającej całkowicie nowe aksjomaty. Każdy, kto chce uzyskać niezapomniane wrażenie ostrej krawędzi umysłu von Neumanna, musi po prostu spróbować podążać za tym łańcuch dokładnego rozumowania dla siebie – zdając sobie sprawę, że często pięć stron zapisywano przed śniadaniem, siedząc w szlafroku przy biurku w salonie.

Matematyczne sformułowanie mechaniki kwantowej

Von Neumann jako pierwszy ustanowił rygorystyczne ramy matematyczne mechaniki kwantowej , znane jako aksjomaty Diraca-von Neumanna , w swojej pracy z 1932 r. Matematyczne podstawy mechaniki kwantowej . Po zakończeniu aksjomatyzacji teorii mnogości, zaczął konfrontować się z aksjomatyzacją mechaniki kwantowej. W 1926 zdał sobie sprawę, że stan układu kwantowego może być reprezentowany przez punkt w (złożonej) przestrzeni Hilberta, który ogólnie może być nieskończenie wymiarowy nawet dla pojedynczej cząstki. W tym formalizmie mechaniki kwantowej obserwowalne wielkości, takie jak położenie lub pęd, są reprezentowane jako operatory liniowe działające na przestrzeni Hilberta związanej z systemem kwantowym.

The Physics mechaniki kwantowej został obniżony do matematyki pomieszczeń Hilberta i operatorów liniowych działających na nie. Na przykład zasada nieoznaczoności , zgodnie z którą określenie położenia cząstki uniemożliwia określenie jej pędu i odwrotnie, przekłada się na nieprzemienność dwóch odpowiadających sobie operatorów. To nowe sformułowanie matematyczne obejmowało jako szczególne przypadki sformułowania zarówno Heisenberga, jak i Schrödingera. Kiedy Heisenberg został poinformowany, że von Neumann wyjaśnił różnicę między operatorem nieograniczonym, który był operatorem samosprzężonym, a operatorem, który był jedynie symetryczny, Heisenberg odpowiedział "Ech? Jaka jest różnica?"

Abstrakcyjne potraktowanie von Neumanna pozwoliło mu również zmierzyć się z fundamentalną kwestią determinizmu i niedeterminizmu, a w książce przedstawił dowód, że statystyczne wyniki mechaniki kwantowej nie mogą być prawdopodobnie średnimi podstawowego zestawu określonych „ukrytych zmiennych”. jak w klasycznej mechanice statystycznej. W 1935 Grete Hermann opublikowała artykuł, w którym argumentowała, że ​​dowód zawierał błąd koncepcyjny i dlatego jest nieważny. Praca Hermanna została w dużej mierze zignorowana do czasu, gdy John S. Bell przedstawił zasadniczo ten sam argument w 1966 roku. W 2010 roku Jeffrey Bub twierdził, że Bell błędnie zinterpretował dowód von Neumanna i wskazał, że dowód, choć nie jest ważny dla wszystkich ukrytych teorii zmiennych , nie wyklucz dobrze zdefiniowany i ważny podzbiór. Bub sugeruje również, że von Neumann był świadomy tego ograniczenia i nie twierdził, że jego dowód całkowicie wyklucza ukryte teorie zmiennych. Z kolei słuszność argumentacji Buba jest kwestionowana. W każdym razie twierdzenie Gleasona z 1957 roku wypełnia luki w podejściu von Neumanna.

Dowód von Neumanna zapoczątkował kierunek badań, który ostatecznie doprowadził, poprzez twierdzenie Bella i eksperymenty Alaina Aspecta w 1982 roku, do wykazania, że ​​fizyka kwantowa albo wymaga pojęcia rzeczywistości znacznie różniącego się od tego w fizyce klasycznej, albo musi uwzględniać nielokalność w sposób oczywisty. naruszenie szczególnej teorii względności.

W rozdziale The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics von Neumann dogłębnie przeanalizował tak zwany problem pomiarowy . Doszedł do wniosku, że cały wszechświat fizyczny może zostać poddany uniwersalnej funkcji falowej . Ponieważ do załamania funkcji falowej potrzebne było coś „poza obliczeniami”, von Neumann doszedł do wniosku, że załamanie było spowodowane świadomością eksperymentatora. Twierdził, że matematyka mechaniki kwantowej pozwala umieścić załamanie funkcji falowej w dowolnym miejscu w łańcuchu przyczynowym od urządzenia pomiarowego do „subiektywnej świadomości” ludzkiego obserwatora. Chociaż pogląd ten został zaakceptowany przez Eugene'a Wignera, interpretacja von Neumanna-Wignera nigdy nie zyskała akceptacji większości fizyków. Interpretacja von Neumanna-Wignera została podsumowana w następujący sposób:

Zasady mechaniki kwantowej są poprawne, ale istnieje tylko jeden system, który może być traktowany z mechaniką kwantową, a mianowicie cały świat materialny. Istnieją obserwatorzy zewnętrzni, których nie da się leczyć w mechanice kwantowej, a mianowicie umysły ludzkie (a może i zwierzęce) , które wykonują pomiary mózgu powodujące załamanie funkcji falowych.

Chociaż teorie mechaniki kwantowej wciąż ewoluują, istnieją podstawowe ramy formalizmu matematycznego problemów mechaniki kwantowej leżące u podstaw większości podejść, które można wywieść z formalizmów i technik matematycznych użytych po raz pierwszy przez von Neumanna. Innymi słowy, dyskusje na temat interpretacji teorii i jej rozszerzeń są obecnie w większości prowadzone na podstawie wspólnych założeń dotyczących podstaw matematycznych.

Entropia von Neumanna

Von Neumanna entropia jest szeroko stosowany w różnych postaciach ( entropia warunkowa , względnej entropii , etc.) w ramach teorii informacji kwantowej . Miary splątania są oparte na pewnej wielkości bezpośrednio związanej z entropią von Neumanna. Biorąc pod uwagę zespół statystyczny z kwantowych układów mechanicznych z macierzy gęstości , to jest przez wiele takich samych środków entropii w klasycznej teorii informacji można też uogólnić na przypadek kwantowej, takich jak Holevo entropii i warunkowego kwantowej entropii .

Wzajemna informacja kwantowa

Teoria informacji kwantowej w dużej mierze zajmuje się interpretacją i wykorzystaniem entropii von Neumanna. Entropia von Neumanna jest kamieniem węgielnym w rozwoju kwantowej teorii informacji, podczas gdy entropia Shannona ma zastosowanie do klasycznej teorii informacji. Jest to uważane za anomalię historyczną, ponieważ można było oczekiwać, że entropia Shannona zostanie odkryta przed entropią von Neumanna, biorąc pod uwagę szersze zastosowanie tej ostatniej w teorii informacji kwantowej. Ale von Neumann najpierw odkrył entropię von Neumanna i zastosował ją do zagadnień fizyki statystycznej. Kilkadziesiąt lat później Shannon opracował formułę teorii informacji do wykorzystania w klasycznej teorii informacji i zapytał von Neumanna, jak ją nazwać. Von Neumann powiedział, aby nazwać to entropią Shannona, ponieważ był to szczególny przypadek entropii von Neumanna.

Matryca gęstości

Formalizm operatorów i macierzy gęstości został wprowadzony przez von Neumanna w 1927 roku i niezależnie, ale mniej systematycznie, przez Leva Landaua i Felixa Blocha odpowiednio w 1927 i 1946 roku. Macierz gęstości to alternatywny sposób przedstawiania stanu układu kwantowego, który w innym przypadku można by przedstawić za pomocą funkcji falowej. Macierz gęstości pozwala na rozwiązanie pewnych problemów związanych z czasem w mechanice kwantowej.

Schemat pomiarowy von Neumanna

System pomiaru von Neumann , przodek kwantowa dekoherencja Teoretycznie oznacza projectively pomiarów, biorąc pod uwagę urządzenia pomiarowego, który jest również traktowany jako obiekt kwantowej. Schemat "pomiaru projekcyjnego" wprowadzony przez von Neumanna doprowadził do opracowania teorii dekoherencji kwantowej.

Logika kwantowa

Von Neumann po raz pierwszy zaproponował logikę kwantową w swoim traktacie z 1932 r. Matematyczne podstawy mechaniki kwantowej , w którym zauważył, że projekcje na przestrzeń Hilberta można postrzegać jako twierdzenia dotyczące fizycznych obserwowalnych. Dziedzina logiki kwantowej została następnie zainaugurowana w słynnej pracy von Neumanna i Garretta Birkhoffa z 1936 r., pierwszej pracy, która wprowadziła logikę kwantową, w której von Neumann i Birkhoff po raz pierwszy udowodnili, że mechanika kwantowa wymaga rachunku zdań znacznie różniącego się od klasycznego rachunku zdań. logiki i rygorystycznie wyizolowano nową strukturę algebraiczną dla logiki kwantowej. Koncepcja stworzenia rachunku zdań dla logiki kwantowej została po raz pierwszy zarysowana w krótkiej części pracy von Neumanna z 1932 r., ale w 1936 r. zademonstrowano potrzebę nowego rachunku zdań za pomocą kilku dowodów. Na przykład fotony nie mogą przejść przez dwa kolejne filtry, które są spolaryzowane prostopadle ( np. poziomo i pionowo), a zatem, a fortiori , nie mogą przejść, jeśli trzeci filtr spolaryzowany ukośnie zostanie dodany do pozostałych dwóch, przed lub za nimi w sukcesji, ale jeśli trzeci filtr zostanie dodany między dwoma pozostałymi, fotony rzeczywiście przejdą. Ten eksperymentalny fakt można przełożyć na logikę jako nieprzemienność koniunkcji . Wykazano również, że prawa rozkładu logiki klasycznej i , nie mają zastosowania do teorii kwantowej.

Powodem tego jest to, że alternatywa kwantowa, w przeciwieństwie do przypadku alternatywy klasycznej, może być prawdziwa nawet wtedy, gdy oba alternatywy są fałszywe, co z kolei można przypisać faktowi, że często w mechanice kwantowej para alternatywy są semantycznie zdeterminowane, podczas gdy każdy z jej członków jest z konieczności nieokreślony. Tę ostatnią właściwość można zilustrować prostym przykładem. Załóżmy, że mamy do czynienia z cząstkami (takimi jak elektrony) o półcałkowym spinie (spinowym momencie pędu), dla których możliwe są tylko dwie wartości: dodatnia lub ujemna. Następnie zasada nieokreśloności ustala, że ​​spin w dwóch różnych kierunkach (np. x i y ) daje w wyniku parę niezgodnych wielkości. Załóżmy, że stan ɸ pewnego elektronu weryfikuje zdanie „spin elektronu w kierunku x jest dodatni”. Zgodnie z zasadą nieoznaczoności wartość rotacji w kierunku y będzie całkowicie nieokreślona dla ɸ . Zatem ɸ nie może zweryfikować ani zdania „skręt w kierunku y jest dodatni”, ani zdania „skręt w kierunku y jest ujemny”. Niemniej jednak, alternatywa zdań „skręt w kierunku y jest dodatni lub obrót w kierunku y jest ujemny” musi być prawdziwe dla ɸ . W przypadku dystrybucji może więc dojść do sytuacji, w której , while .

Jak pisze Hilary Putnam , von Neumann zastąpił logikę klasyczną logiką skonstruowaną w kratach ortomodularnych (izomorficznych z kratą podprzestrzeni przestrzeni Hilberta danego układu fizycznego).

Teoria gry

Von Neumann założył dziedzinę teorii gier jako dyscyplinę matematyczną. Swoje twierdzenie minimaksowe udowodnił w 1928 roku. Ustala ono, że w grach o sumie zerowej z doskonałą informacją (tj. w których gracze znają za każdym razem wszystkie ruchy, które do tej pory miały miejsce), istnieje para strategii dla obu graczy, która pozwala każdy, aby zminimalizować jego maksymalne straty. Badając każdą możliwą strategię, gracz musi rozważyć wszystkie możliwe reakcje swojego przeciwnika. Gracz następnie rozgrywa strategię, która spowoduje zminimalizowanie jego maksymalnej straty.

Takie strategie, które minimalizują maksymalną stratę dla każdego gracza, nazywane są optymalnymi. Von Neumann wykazał, że ich minimaksy są równe (w wartości bezwzględnej) i przeciwne (w znaku). Udoskonalił i rozszerzył twierdzenie o minimaksach tak, aby obejmowało gry zawierające niedoskonałe informacje oraz gry z więcej niż dwoma graczami, publikując ten wynik w swojej teorii gier i zachowań ekonomicznych z 1944 r. , napisanej z Oskarem Morgensternem . Morgenstern napisał artykuł na temat teorii gier i pomyślał, że pokaże go von Neumannowi ze względu na jego zainteresowanie tym tematem. Przeczytał go i powiedział Morgensternowi, że powinien włożyć więcej. Powtórzono to kilka razy, po czym von Neumann został współautorem i artykuł miał 100 stron. Potem stała się książką. Zainteresowanie opinii publicznej tą pracą było tak duże, że The New York Times zamieścił artykuł na pierwszej stronie. W tej książce von Neumann zadeklarował, że teoria ekonomii powinna używać analizy funkcjonalnej , zwłaszcza zbiorów wypukłych i topologicznego twierdzenia o punkcie stałym , zamiast tradycyjnego rachunku różniczkowego, ponieważ operator maksimum nie zachowuje funkcji różniczkowalnych.

Niezależnie od tego, prace Leonida Kantorowicza w zakresie analizy funkcjonalnej dotyczące ekonomii matematycznej koncentrowały się również na teorii optymalizacji, nieróżnicowalności i sieciach wektorowych . Techniki funkcjonalno-analityczne von Neumanna — stosowanie par dualnych rzeczywistych przestrzeni wektorowych do reprezentowania cen i ilości, stosowanie wspierających i oddzielających hiperpłaszczyzn i zbiorów wypukłych oraz teoria punktów stałych — były od tamtego czasu podstawowymi narzędziami ekonomii matematycznej.

Ekonomia matematyczna

Von Neumann podniósł intelektualny i matematyczny poziom ekonomii w kilku wpływowych publikacjach. W swoim modelu rozwijającej się gospodarki udowodnił istnienie i niepowtarzalność równowagi, wykorzystując swoje uogólnienie twierdzenia Brouwera o punkcie stałym . Model von Neumanna rozwijającej się gospodarki uwzględniał ołówek macierzowy  A  − λ B z nieujemnymi macierzami  A i B ; von Neumann szukał wektorów prawdopodobieństwa pq oraz liczby dodatniej  λ , które rozwiązałyby równanie komplementarności  

wraz z dwoma systemami nierówności wyrażającymi efektywność ekonomiczną. W tym modelu ( transponowany ) wektor prawdopodobieństwa p reprezentuje ceny towarów, podczas gdy wektor prawdopodobieństwa q reprezentuje „intensywność”, z jaką przebiegałby proces produkcyjny. Unikalne rozwiązanie λ reprezentuje czynnik wzrostu równy 1 plus tempo wzrostu gospodarki; tempo wzrostu jest równe stopie procentowej .

Wyniki von Neumanna były postrzegane jako szczególny przypadek programowania liniowego , w którym jego model wykorzystuje tylko nieujemne macierze. Badanie jego modelu rozwijającej się gospodarki nadal interesuje ekonomistów matematycznych zainteresowanych ekonomią obliczeniową. Ten artykuł został nazwany przez kilku autorów najwspanialszym artykułem z ekonomii matematycznej, którzy rozpoznali wprowadzenie twierdzeń o punkcie stałym, nierówności liniowych , luzu komplementarnego i dualizmu punktu siodłowego . Podczas konferencji na temat modelu wzrostu von Neumanna Paul Samuelson powiedział, że wielu matematyków opracowało metody przydatne dla ekonomistów, ale von Neumann był wyjątkowy, ponieważ wniósł znaczący wkład w samą teorię ekonomii.

Słynna 9-stronicowa gazeta von Neumanna rozpoczęła życie jako wykład w Princeton, a następnie stała się gazetą w języku niemieckim, która została ostatecznie przetłumaczona na angielski. Jego zainteresowanie ekonomią, które doprowadziło do powstania tego artykułu, zaczęło się, gdy wykładał w Berlinie w 1928 i 1929 roku. Wakacje spędził w domu w Budapeszcie, podobnie jak ekonomista Nicholas Kaldor , i zawarli współpracę. Kaldor zalecił von Neumannowi przeczytanie książki matematycznego ekonomisty Léona Walrasa . Von Neumann znalazł w książce pewne błędy i poprawił je – na przykład zastępując równania nierównościami. Zauważył, że Walras w teorii równowagi ogólnej i prawo walrasa jest , co doprowadziło do układów równań liniowych, może produkować absurdalny skutek, że zysk może być zmaksymalizowane, produkując i sprzedając negatywny ilość produktu. Zastąpił równania nierównościami, wprowadził między innymi równowagi dynamiczne i ostatecznie stworzył artykuł.

Programowanie liniowe

Opierając się na swoich wynikach dotyczących gier macierzowych i na swoim modelu rozwijającej się gospodarki, von Neumann wynalazł teorię dualności w programowaniu liniowym, kiedy George Dantzig opisał swoją pracę w kilka minut, a zniecierpliwiony von Neumann poprosił go o przejście do sedna. Dantzig następnie słuchał oszołomiony, podczas gdy von Neumann wygłosił godzinny wykład na temat zbiorów wypukłych, teorii punktów stałych i dualności, odgadując równoważność między grami macierzowymi a programowaniem liniowym.

Później von Neumann zaproponował nową metodę programowania liniowego , wykorzystującą jednorodny system liniowy Paula Gordana (1873), który został później spopularyzowany przez algorytm Karmarkara . Metoda von Neumanna wykorzystywała algorytm obracania się pomiędzy prostymi, przy czym decyzję obrotu wyznaczał nieujemny podproblem najmniejszych kwadratów z ograniczeniem wypukłości ( rzutowanie wektora zerowego na wypukłą powłokę aktywnego simpleksu ). Algorytm von Neumanna był pierwszą wewnętrzną metodą programowania liniowego.

Statystyki matematyczne

Von Neumann wniósł fundamentalny wkład do statystyki matematycznej . W 1941 r. wyprowadził dokładny rozkład stosunku średniego kwadratu kolejnych różnic do wariancji próby dla zmiennych niezależnych i identycznych o rozkładzie normalnym . Stosunek ten zastosowano do reszt z modeli regresji i jest powszechnie znany jako statystyka Durbina-Watsona do testowania hipotezy zerowej, zgodnie z którą błędy są szeregowo niezależne od alternatywy, zgodnie z którą wynikają z stacjonarnej autoregresji pierwszego rzędu .

Następnie Denis Sargan i Alok Bhargava rozszerzyli wyniki o testowanie, czy błędy w modelu regresji są zgodne z błądzeniem losowym Gaussa ( tj. posiadają pierwiastek jednostkowy ) w stosunku do alternatywy, że są one stacjonarną autoregresją pierwszego rzędu.

Dynamika płynów

Von Neumann wniósł fundamentalny wkład w dziedzinie dynamiki płynów .

Wkład Von Neumanna w dynamikę płynów obejmował odkrycie klasycznego rozwiązania przepływowego dla fal podmuchowych oraz wspólne odkrycie (niezależnie od Jakova Borisovicha Zel'dovicha i Wernera Döringa ) modelu detonacji ZND materiałów wybuchowych. W latach trzydziestych von Neumann stał się autorytetem w dziedzinie matematyki ładunków kumulowanych .

Później wraz z Robertem D. Richtmyerem von Neumann opracował algorytm definiujący sztuczną lepkość, który poprawił zrozumienie fal uderzeniowych . Kiedy komputery rozwiązywały problemy hydrodynamiczne lub aerodynamiczne, próbowały umieścić zbyt wiele punktów siatki obliczeniowej w obszarach o ostrych nieciągłościach (fale uderzeniowe). Matematyka sztucznej lepkości wygładziła przejście szokowe bez poświęcania podstawowej fizyki.

Von Neumann wkrótce zastosował modelowanie komputerowe w terenie, opracowując oprogramowanie do swoich badań balistycznych. Podczas drugiej wojny światowej pewnego dnia przybył do biura RH Kenta, dyrektora Laboratorium Badań Balistycznych Armii Stanów Zjednoczonych , z programem komputerowym, który stworzył do obliczania jednowymiarowego modelu 100 molekuł symulujących falę uderzeniową. Von Neumann poprowadził następnie seminarium na temat swojego programu komputerowego dla publiczności, wśród której był jego przyjaciel Theodore von Kármán . Kiedy von Neumann skończył, von Kármán powiedział: „Cóż, Johnny, to bardzo interesujące. Oczywiście zdajesz sobie sprawę, że Lagrange również używał modeli cyfrowych do symulacji mechaniki kontinuum ”. Z twarzy von Neumanna jasno wynikało, że nie wiedział o Mécanique analytique Lagrange'a .

Opanowanie matematyki

Stan Ulam, który dobrze znał von Neumanna, tak opisał swoje mistrzostwo w matematyce: „Większość matematyków zna jedną metodę. Na przykład Norbert Wiener opanował transformacje Fouriera . Niektórzy matematycy opanowali dwie metody i mogą naprawdę zaimponować komuś, kto zna tylko jedną z nich. ich. John von Neumann opanował trzy metody”. Następnie wyjaśnił, że te trzy metody to:

  1. Obiekt z symboliczną manipulacją operatorów liniowych;
  2. Intuicyjne wyczucie logicznej struktury każdej nowej teorii matematycznej;
  3. Intuicyjne wyczucie kombinatorycznej nadbudowy nowych teorii.

Edward Teller napisał, że „Nikt nie zna całej nauki, nawet von Neumann nie znał. Ale jeśli chodzi o matematykę, miał swój wkład w każdą jej część z wyjątkiem teorii liczb i topologii. To jest, jak sądzę, coś wyjątkowego”.

Von Neumann został poproszony o napisanie eseju dla laika opisującego, czym jest matematyka, i przedstawił piękną analizę. Wyjaśnił, że matematyka oddziela świat między tym, co empiryczne i logiczne, argumentując, że geometria była pierwotnie empiryczna, ale Euklides skonstruował logiczną, dedukcyjną teorię. Twierdził jednak, że zawsze istnieje niebezpieczeństwo zbytniego oderwania się od realnego świata i stania się nieistotną sofistyką.

Bronie nuklearne

Zdjęcie odznaki identyfikacyjnej Los Alamos z czasów wojny von Neumanna

Projekt Manhattan

Począwszy od późnych lat trzydziestych von Neumann rozwinął ekspertyzę w eksplozjach — zjawiskach, które są trudne do modelowania matematycznego. W tym okresie von Neumann był czołowym autorytetem matematyki ładunków kumulowanych . To doprowadziło go do wielu konsultacji wojskowych, głównie dla marynarki wojennej, co z kolei doprowadziło do jego zaangażowania w Projekt Manhattan . Zaangażowanie obejmowało częste podróże pociągiem do tajnych obiektów badawczych projektu w laboratorium Los Alamos w odległej części Nowego Meksyku.

Von Neumann złożył główny wkład do bomby atomowej w koncepcji i projektu wybuchowych soczewek , które były potrzebne do kompresji plutonu rdzeń grubas broni, który został później spadła na Nagasaki . Chociaż von Neumann nie był pomysłodawcą koncepcji „ implozji ”, był jednym z jej najbardziej wytrwałych zwolenników, zachęcając do jej dalszego rozwoju wbrew instynktom wielu swoich kolegów, którzy uważali, że taki projekt jest niewykonalny. W końcu wpadł także na pomysł, aby użyć potężniejszych ładunków kumulacyjnych i mniej materiału rozszczepialnego, aby znacznie zwiększyć szybkość „montażu”.

Kiedy okazało się, że nie wystarczy uranu-235 do wyprodukowania więcej niż jednej bomby, projekt soczewki implozyjnej został znacznie rozszerzony i pomysł von Neumanna został wdrożony. Implozja była jedyną metodą, którą można było zastosować z plutonem-239 dostępnym w Hanford Site . Ustalił projekt wymaganych soczewek wybuchowych , ale pozostały obawy dotyczące „efektów krawędziowych” i niedoskonałości materiałów wybuchowych. Jego obliczenia wykazały, że implozja zadziała, jeśli nie odbiega o więcej niż 5% od symetrii sferycznej. Po serii nieudanych prób z modelami udało się to George'owi Kistiakowsky'emu , a budowę bomby Trinity zakończono w lipcu 1945 roku.

Podczas wizyty w Los Alamos we wrześniu 1944 r. von Neumann wykazał, że wzrost ciśnienia w wyniku odbicia fali uderzeniowej eksplozji od obiektów stałych był większy niż wcześniej sądzono, jeśli kąt padania fali uderzeniowej wynosił od 90° do pewnego kąta granicznego. W rezultacie ustalono, że skuteczność bomby atomowej zwiększy się po detonacji kilka kilometrów nad celem, a nie na poziomie gruntu.

Mechanizm implozji

Von Neumann, czterech innych naukowców i różny personel wojskowy zostali włączeni do komisji selekcji celów, która była odpowiedzialna za wybór japońskich miast Hiroszima i Nagasaki jako pierwsze cele bomby atomowej . Von Neumann nadzorował obliczenia związane z przewidywaną wielkością wybuchów bomb, szacowaną liczbą ofiar śmiertelnych oraz odległością nad ziemią, na której bomby powinny zostać zdetonowane, aby uzyskać optymalną propagację fali uderzeniowej, a tym samym maksymalny efekt. Kulturalna stolica Kioto , której oszczędziły bombardowania w miastach ważnych z punktu widzenia militarnego , była pierwszym wyborem von Neumanna, popartym przez lidera Projektu Manhattan, generała Leslie Grovesa . Cel ten został jednak odrzucony przez sekretarza wojny Henry'ego L. Stimsona .

16 lipca 1945 r. von Neumann i wielu innych pracowników Projektu Manhattan byli naocznymi świadkami pierwszego testu detonacji bomby atomowej o kryptonimie Trinity . Wydarzenie zostało przeprowadzone jako test urządzenia metodą implozji na poligonie bombowym w pobliżu lotniska wojskowego Alamogordo , 56 km na południowy wschód od Socorro w stanie Nowy Meksyk . Opierając się tylko na swoich obserwacjach, von Neumann oszacował, że test spowodował wybuch odpowiadający 5 kilotonom trotylu (21  TJ ), ale Enrico Fermi przedstawił dokładniejsze oszacowanie 10 kiloton, upuszczając skrawki podartego papieru podczas przechodzenia fali uderzeniowej jego lokalizacja i obserwowanie, jak daleko się rozproszyły. Rzeczywista siła eksplozji wynosiła od 20 do 22 kiloton. To właśnie w gazetach von Neumanna z 1944 r. po raz pierwszy pojawiło się wyrażenie „kilotony”. Po wojnie Robert Oppenheimer zauważył, że fizycy zaangażowani w projekt na Manhattanie „znali grzech”. Odpowiedź von Neumanna brzmiała, że ​​„czasami ktoś wyznaje grzech, aby przypisać mu zasługę”.

Von Neumann kontynuował swoją pracę niezakłócony i stał się, wraz z Edwardem Tellerem, jednym z tych, którzy podtrzymali projekt bomby wodorowej . Współpracował z Klausem Fuchsem nad dalszym rozwojem bomby, aw 1946 roku obaj złożyli tajny patent na „Poprawa metod i środków do wykorzystania energii jądrowej”, który nakreślił schemat użycia bomby rozszczepialnej do kompresji paliwa termojądrowego w celu zainicjowania jądrowego fuzja . Patent Fuchsa-von Neumanna wykorzystywał implozję radiacyjną , ale nie w taki sam sposób, jak w ostatecznym projekcie bomby wodorowej, projekcie Tellera-Ulama . Ich praca została jednak włączona do ujęcia „George” Operacji Cieplarnianej , która była pouczająca w testowaniu koncepcji, które znalazły się w ostatecznym projekcie. Praca Fuchsa-von Neumanna została przekazana Związkowi Radzieckiemu przez Fuchsa w ramach jego szpiegostwa nuklearnego , ale nie została wykorzystana we własnym, niezależnym rozwoju projektu Tellera-Ulama. Historyk Jeremy Bernstein zauważył, że ironicznie: „John von Neumann i Klaus Fuchs stworzyli genialny wynalazek w 1946 roku, który mógł zmienić cały bieg rozwoju bomby wodorowej, ale nie został w pełni zrozumiany, dopóki bomba nie została zniszczona. pomyślnie wykonane."

Za zasługi w czasie wojny von Neumann został odznaczony Nagrodą Zasłużonej Służby Cywilnej Marynarki Wojennej w lipcu 1946 r. oraz Medalem za Zasługi w październiku 1946 r.

Komisja Energii Atomowej

W 1950 roku von Neumann został konsultantem Grupy Oceny Systemów Broni (WSEG), której zadaniem było doradzanie Połączonym Szefom Sztabów i Sekretarzowi Obrony Stanów Zjednoczonych w zakresie rozwoju i wykorzystania nowych technologii. Został również doradcą Projektu Broni Specjalnej Sił Zbrojnych (AFSWP), który był odpowiedzialny za aspekty wojskowe związane z bronią jądrową. W ciągu następnych dwóch lat, stał się konsultant do Centralnej Agencji Wywiadowczej (CIA), członek wpływowej Komitet Generalny Doradczego w Komisji Energii Atomowej , konsultant do nowoutworzonej Lawrence Livermore National Laboratory oraz członkiem Scientific Advisory Group z Amerykańskich Sił Powietrznych .

W 1955 von Neumann został komisarzem AEC. Przyjął to stanowisko i wykorzystał je do dalszej produkcji kompaktowych bomb wodorowych nadających się do dostarczania międzykontynentalnych pocisków balistycznych (ICBM). Zaangażował się w naprawienie poważnego niedoboru trytu i litu 6 potrzebnego do tych kompaktowych broni i argumentował przeciwko zadowalaniu się pociskami średniego zasięgu, których potrzebowała armia. Był nieugięty, że bomby wodorowe dostarczane w serce terytorium wroga przez ICBM będą najskuteczniejszą możliwą bronią, a względna niedokładność pocisku nie będzie problemem w przypadku bomby wodorowej. Powiedział, że Rosjanie prawdopodobnie zbudują podobny system uzbrojenia, co się okazało. Pomimo sporu z Oppenheimerem co do potrzeby stworzenia programu awaryjnego w celu opracowania bomby wodorowej, zeznawał w jego imieniu na przesłuchaniu Oppenheimer w 1954 roku , na którym zapewnił, że Oppenheimer jest lojalny i pochwalił go za jego pomoc, gdy program został uruchomiony. dalej.

Krótko przed śmiercią na raka von Neumann kierował ściśle tajnym komitetem ICBM rządu Stanów Zjednoczonych, który czasami spotykał się w jego domu. Jego celem było podjęcie decyzji o wykonalności budowy ICBM wystarczająco dużego, aby pomieścić broń termojądrową. Von Neumann od dawna twierdził, że choć przeszkody techniczne są znaczne, można je pokonać na czas. SM-65 Atlas przeszedł pierwszy test w pełni funkcjonalny w 1959 roku, dwa lata po jego śmierci. Wykonalność ICBM zawdzięczała w równym stopniu ulepszonym, mniejszym głowicom, jak i postępom w rakietach, a jego zrozumienie tego pierwszego sprawiło, że jego rady były bezcenne.

Wzajemne gwarantowane zniszczenie

Próba jądrowa operacji Redwing w lipcu 1956 r.

Von Neumannowi przypisuje się opracowanie strategii równowagi wzajemnego gwarantowanego zniszczenia (MAD). On także „poruszył niebo i ziemię”, aby doprowadzić do MAD. Jego celem było szybkie opracowanie ICBM i kompaktowych bomb wodorowych, które mogliby dostarczyć ZSRR, i wiedział, że Sowieci wykonują podobną pracę, ponieważ CIA przeprowadziła wywiady z niemieckimi naukowcami rakietowymi, którym pozwolono wrócić do Niemiec, a von Neumann podłożył tuzin technicznych pracowników CIA. Sowieci uważali, że bombowce wkrótce będą podatne na ataki i podzielali pogląd von Neumanna, że ​​bomba wodorowa w ICBM to nowa broń plus ultra ; wierzyli, że ktokolwiek będzie miał przewagę w tej broni, przejmie świat, niekoniecznie używając jej. Obawiał się „luki rakietowej” i podjął jeszcze kilka kroków, aby osiągnąć swój cel, jakim było dotrzymanie kroku Sowietom:

  • Zmodyfikował ENIAC , czyniąc go programowalnym, a następnie napisał programy do wykonywania obliczeń bomby wodorowej, weryfikujących wykonalność projektu Tellera-Ulama i dalszego rozwoju.
  • Za pośrednictwem Komisji Energii Atomowej promował rozwój kompaktowej bomby wodorowej, która zmieściłaby się w ICBM.
  • Osobiście wstawił się w przyspieszeniu produkcji litu-6 i trytu potrzebnych do kompaktowych bomb.
  • Doprowadził do uruchomienia kilku odrębnych projektów rakietowych, bo uważał, że najlepsze rezultaty przynosi konkurencja połączona ze współpracą.

Ocena von Neumanna, że ​​Sowieci mają przewagę w technologii rakietowej, uważana wówczas za pesymistyczną, wkrótce okazała się słuszna podczas kryzysu sputnika .

Von Neumann rozpoczął służbę rządową przede wszystkim dlatego, że uważał, że jeśli wolność i cywilizacja miały przetrwać, to musiałoby to być spowodowane tym, że Stany Zjednoczone zatriumfowałyby nad totalitaryzmem nazizmu , faszyzmu i sowieckiego komunizmu . Podczas przesłuchania w komisji senackiej określił swoją ideologię polityczną jako „gwałtownie antykomunistyczną i znacznie bardziej militarystyczną niż norma”. Cytowano go w 1950 roku, zauważając: „Jeśli powiesz, dlaczego nie zbombardować [Sowietów] jutro, mówię, dlaczego nie dzisiaj? Jeśli powiesz dzisiaj o piątej, powiem, dlaczego nie o pierwszej?”

15 lutego 1956 r. prezydent Dwight D. Eisenhower wręczył von Neumannowi Medal Wolności . Jego cytat brzmiał:

Dr von Neumann, w serii projektów badań naukowych o dużym znaczeniu krajowym, znacząco zwiększył postęp naukowy tego kraju w dziedzinie uzbrojenia. Poprzez swoją pracę nad różnymi wysoce tajnymi misjami wykonywanymi poza kontynentalnymi granicami Stanów Zjednoczonych w połączeniu z krytycznie ważnymi programami międzynarodowymi, dr von Neumann rozwiązał niektóre z najtrudniejszych problemów technicznych obrony narodowej.

Przetwarzanie danych

Von Neumann był postacią założycielską w dziedzinie informatyki . Von Neumann był wynalazcą w 1945 roku algorytmu sortowania przez scalanie , w którym pierwsza i druga połowa tablicy są sortowane rekurencyjnie, a następnie łączone. Von Neumann napisał 23-stronicowy program sortowania dla EDVAC w tuszu. Na pierwszej stronie wciąż widoczne są ślady frazy „ŚCIŚLE TAJNE”, która została napisana ołówkiem, a później wymazana. Pracował również nad filozofią sztucznej inteligencji z Alanem Turingiem, gdy ten ostatni odwiedził Princeton w latach 30. XX wieku.

Praca von Neumanna nad bombą wodorową rozgrywała się w dziedzinie informatyki, gdzie on i Stanisław Ulam opracowali symulacje na komputerach cyfrowych von Neumanna do obliczeń hydrodynamicznych. W tym czasie przyczynił się do rozwoju metody Monte Carlo , która pozwalała na aproksymację rozwiązań skomplikowanych problemów za pomocą liczb losowych .

Schemat blokowy z „Planning and coding of problems for a electronic computing instrument” von Neumanna, opublikowanego w 1947 roku.

Algorytm von Neumanna do symulacji uczciwej monety z monetą obciążoną jest używany na etapie „programowego wybielania” niektórych sprzętowych generatorów liczb losowych . Ponieważ korzystanie z list „prawdziwie” losowych liczb było niezwykle powolne, von Neumann opracował formę tworzenia liczb pseudolosowych , wykorzystując metodę średnich kwadratów . Chociaż metoda ta była krytykowana jako surowa, von Neumann był tego świadom: uzasadniał ją jako szybszą niż jakakolwiek inna metoda, jaką miał do dyspozycji, pisząc, że „Każdy, kto rozważa arytmetyczne metody generowania losowych cyfr, jest oczywiście w stanie grzechu”. Von Neumann zauważył również, że kiedy ta metoda się nie powiodła, zrobiła to oczywiście, w przeciwieństwie do innych metod, które mogą być nieco niepoprawne.

Podczas konsultacji dla Moore School of Electrical Engineering na University of Pennsylvania nad projektem EDVAC, von Neumann napisał niekompletny pierwszy szkic raportu na temat EDVAC . Artykuł, którego przedwczesne rozpowszechnienie unieważniło roszczenia patentowe projektantów EDVAC J. Prespera Eckerta i Johna Mauchly'ego , opisał architekturę komputera, w której dane i program są przechowywane w pamięci komputera w tej samej przestrzeni adresowej. Ta architektura jest podstawą większości nowoczesnych projektów komputerowych, w przeciwieństwie do najwcześniejszych komputerów, które były „programowane” przy użyciu oddzielnego urządzenia pamięci, takiego jak taśma papierowa lub tablica wtykowa . Chociaż architektura programu z pojedynczą pamięcią jest powszechnie nazywana architekturą von Neumanna w wyniku artykułu von Neumanna, architektura została oparta na pracach Eckerta i Mauchly'ego, wynalazców komputera ENIAC z Uniwersytetu Pensylwanii.

John von Neumann konsultował się z Army's Ballistic Research Laboratory , w szczególności przy projekcie ENIAC, jako członek jego Naukowego Komitetu Doradczego. Elektronika nowego ENIACa pracowała z jedną szóstą szybkości, ale to w żaden sposób nie pogorszyło wydajności ENIAC-a, ponieważ nadal był on całkowicie związany z I/O . Skomplikowane programy można było opracowywać i debugować w ciągu kilku dni, a nie tygodni wymaganych do podłączenia starego ENIAC. Zachowały się niektóre z wczesnych programów komputerowych von Neumanna.

Następnym komputerem zaprojektowanym przez von Neumanna była maszyna IAS w Institute for Advanced Study w Princeton w stanie New Jersey. Zaaranżował jej finansowanie, a komponenty zostały zaprojektowane i zbudowane w pobliskim Laboratorium Badawczym RCA . John von Neumann zalecił, aby IBM 701 , nazywany komputerem obronnym , zawierał bęben magnetyczny. Była to szybsza wersja maszyny IAS i stanowiła podstawę komercyjnego sukcesu IBM 704 .

Obliczenia stochastyczne zostały po raz pierwszy wprowadzone w pionierskiej pracy von Neumanna w 1953 roku. Jednak teoria ta nie mogła zostać wdrożona aż do postępów w informatyce w latach 60. XX wieku.

Automaty komórkowe, DNA i uniwersalny konstruktor

Pierwsza implementacja samoodtwarzającego się uniwersalnego konstruktora von Neumanna. Pokazane są trzy generacje maszyny: druga prawie zakończyła budowę trzeciej. Linie biegnące w prawo to taśmy instrukcji genetycznych, które są kopiowane wraz z ciałami maszyn.
Prosta konfiguracja w automacie komórkowym von Neumanna. Sygnał binarny jest wielokrotnie przesyłany po niebieskiej pętli z wykorzystaniem zwykłych stanów transmisji wzbudzonych i spoczynkowych . Konfluentna komórka duplikuje sygnał na odcinku czerwonego przewodu składającego się ze specjalnych stanów transmisji . Sygnał przechodzi przez ten przewód i na końcu tworzy nową komórkę. Ten szczególny sygnał (1011) koduje specjalny stan transmisji skierowany na wschód, przedłużając w ten sposób czerwony przewód o jedną komórkę za każdym razem. Podczas budowy nowa komórka przechodzi przez kilka stanów uczulonych, kierowanych przez sekwencję binarną.

Odkrycie struktury DNA poprzedziła rygorystyczna matematyczna analiza struktury samoreplikacji (semiotycznej relacji między konstruktorem, opisem i tym, co jest konstruowane) von Neumanna .

Von Neumann stworzył dziedzinę automatów komórkowych bez pomocy komputerów, konstruując pierwsze samoreplikujące się automaty za pomocą ołówka i papieru milimetrowego.

Szczegółowa propozycja fizycznego niebiologicznego samoreplikującego się systemu została po raz pierwszy przedstawiona w wykładach von Neumanna wygłoszonych w 1948 i 1949 roku, kiedy jako pierwszy zaproponował jedynie kinematyczny automat samoodtwarzający. Choć jakościowo poprawny, von Neumann był ewidentnie niezadowolony z tego modelu samoreplikatora z powodu trudności w jego analizie z matematycznym rygorem. Zamiast tego opracował bardziej abstrakcyjny model samoreplikatora oparty na jego oryginalnej koncepcji automatów komórkowych .

Następnie koncepcja uniwersalnego konstruktora von Neumanna, opartego na automatach komórkowych von Neumanna, została rozwinięta w jego pośmiertnie opublikowanych wykładach Teoria automatów samoodtwarzających . Ulam i von Neumann opracowali metodę obliczania ruchu cieczy w latach pięćdziesiątych. Koncepcja napędzająca metodę polegała na rozważeniu cieczy jako grupy dyskretnych jednostek i obliczeniu ruchu każdej z nich na podstawie zachowań sąsiadów. Podobnie jak sieć kratownicowa Ulama, automaty komórkowe von Neumanna są dwuwymiarowe, a jego autoreplikator jest zaimplementowany algorytmicznie. W rezultacie powstała uniwersalna kopiarka i konstruktor pracujący w obrębie automatu komórkowego z małym sąsiedztwem (tylko te komórki, które się stykają, są sąsiadami; w przypadku automatów komórkowych von Neumanna tylko komórki ortogonalne ) iz 29 stanami na komórkę. Von Neumann dał dowód istnienia, że ​​konkretny wzór tworzy nieskończone kopie samego siebie w danym wszechświecie komórkowym, projektując konfigurację 200 000 komórek, która może to zrobić.

[I]istnieje rozmiar krytyczny, poniżej którego proces syntezy ma charakter degeneracyjny, ale powyżej którego zjawisko syntezy, jeśli jest odpowiednio uporządkowane, może stać się wybuchowe, innymi słowy, gdzie syntezy automatów mogą przebiegać w taki sposób, że każdy automat wyprodukuje inne automaty, które są bardziej złożone i mają większe możliwości niż on sam.

—von Neumann, 1948

Von Neumann zajął się ewolucyjnym wzrostem złożoności wśród swoich samoreplikujących się maszyn. Jego projekty „sprawdzające zasadę działania” pokazały, jak logicznie możliwe jest, przy użyciu programowalnego („uniwersalnego”) konstruktora ogólnego przeznaczenia, wykazanie nieskończenie dużej klasy samoreplikatorów, obejmującej szeroki zakres złożoności, połączonych ze sobą sieć potencjalnych szlaków mutacyjnych, w tym szlaków od najprostszych do najbardziej złożonych. Jest to ważny wynik, ponieważ wcześniej można było przypuszczać, że istnieje podstawowa logiczna bariera dla istnienia takich ścieżek; w takim przypadku organizmy biologiczne, które wspierają takie ścieżki, nie mogą być „maszynami”, jak konwencjonalnie rozumiane. Von Neumann rozważa możliwość konfliktu między swoimi samoreprodukjącymi się maszynami, stwierdzając, że „nasze modele prowadzą do takich sytuacji konfliktowych”, wskazując to jako pole dalszych badań.

Ruch cybernetyczny zwrócił uwagę na pytanie o to, co jest potrzebne, aby samoreprodukcja zachodziła autonomicznie, aw 1952 roku John von Neumann zaprojektował skomplikowany dwuwymiarowy automat komórkowy , który automatycznie tworzyłby kopię swojej początkowej konfiguracji komórek. Sąsiedztwo von Neumanna , w którym każda komórka w siatce dwuwymiarowej ma cztery prostopadle sąsiednie komórki siatki jako sąsiadów, nadal być wykorzystywane do innych automatów komórkowych. Von Neumann udowodnił, że najskuteczniejszym sposobem wykonywania operacji wydobywczych na dużą skalę, takich jak wydobycie całego księżyca lub pasa asteroid, byłoby użycie samoreplikujących się statków kosmicznych , wykorzystujących ich wykładniczy wzrost .

Von Neumann zbadał pytanie, czy modelowanie ewolucji na komputerze cyfrowym może rozwiązać problem złożoności programowania.

Począwszy od 1949 roku, projekt von Neumanna dotyczący samoreprodukującego się programu komputerowego jest uważany za pierwszego na świecie wirusa komputerowego , a on jest uważany za teoretycznego ojca wirusologii komputerowej.

Systemy pogodowe i globalne ocieplenie

W ramach swoich badań nad prognozowaniem pogody von Neumann założył w Princeton w 1946 r. „Program meteorologiczny”, zapewniając fundusze na swój projekt od US Navy. Von Neumann i jego wyznaczony asystent przy tym projekcie, Jule Gregory Charney , napisali pierwsze na świecie oprogramowanie do modelowania klimatu i wykorzystali je do wykonania pierwszych na świecie numerycznych prognoz pogody na komputerze ENIAC; von Neumann i jego zespół opublikowali wyniki jako Numerical Integration of the Barotropic Vorticity Equation w 1950 roku. Razem odegrali wiodącą rolę w wysiłkach na rzecz integracji wymiany energii i wilgoci pomiędzy morzem a powietrzem w badaniach klimatu. Von Neumann zaproponował jako program badawczy dla modelowania klimatu: „Podejście polega na wypróbowaniu najpierw krótkozasięgowych prognoz, następnie długozasięgowych prognoz tych właściwości cyrkulacji, które mogą się utrwalać w dowolnie długim okresie czasu, a dopiero na końcu prognoza dla średnio-długich okresów czasu, które są zbyt długie, by traktować je prostą teorią hydrodynamiczną i zbyt krótkie, by traktować je ogólną zasadą teorii równowagi.”

Badania von Neumanna nad systemami pogodowymi i prognozami meteorologicznymi doprowadziły go do zaproponowania manipulacji środowiskiem poprzez rozprowadzanie barwników na polarnych czapach lodowych w celu zwiększenia absorpcji promieniowania słonecznego (poprzez zmniejszenie albedo ), wywołując w ten sposób globalne ocieplenie . Von Neumann zaproponował teorię globalnego ocieplenia w wyniku działalności człowieka, zauważając, że Ziemia była tylko o 6 °F (3,3 °C) zimniejsza podczas ostatniego okresu lodowcowego , napisał w 1955 r.: „ Dwutlenek węgla uwolniony do atmosfery spalanie węgla i ropy przez przemysł - ponad połowę w ciągu ostatniego pokolenia - mogło zmienić skład atmosfery na tyle, aby uwzględnić ogólne ocieplenie świata o około jeden stopień Fahrenheita. Jednak von Neumann wezwał do pewnej ostrożności w każdym programie zamierzonego wytwarzania pogody dla ludzi: „To, co można zrobić, nie jest oczywiście żadnym wskaźnikiem tego, co należy zrobić… W rzeczywistości, aby ocenić ostateczne konsekwencje albo ogólnego ochłodzenie lub ogólne ogrzewanie byłoby sprawą złożoną. Zmiany wpłynęłyby na poziom mórz, a tym samym na zdolność do zamieszkania na kontynentalnych szelfach przybrzeżnych; na parowanie mórz, a tym samym na ogólny poziom opadów i zlodowacenia; i tak dalej... Ale nie ma wątpliwości, że można by przeprowadzić niezbędne analizy potrzebne do przewidywania wyników, interweniować na dowolną skalę i ostatecznie osiągnąć fantastyczne wyniki”.

„Technologia, która obecnie się rozwija i która będzie dominować przez następne dziesięciolecia, jest w konflikcie z tradycyjnymi, a przede wszystkim chwilowo wciąż aktualnymi jednostkami i koncepcjami geograficznymi i politycznymi. To jest dojrzewający kryzys technologii… Najbardziej obiecująca Odpowiedź brzmi, że gatunek ludzki był już wcześniej poddawany podobnym testom i wydaje się, że ma wrodzoną zdolność do przetrwania po różnych ilościach kłopotów.

—von Neumann, 1955

Hipoteza osobliwości technologicznej

Pierwsze użycie pojęcia osobliwości w kontekście technologicznym przypisuje się von Neumannowi, który według Ulama omawiał „wciąż przyspieszający postęp techniki i zmiany w sposobie życia ludzkiego, co sprawia wrażenie zbliżania się do jakiejś istotnej osobliwości w historię rasy, poza którą sprawy ludzkie, jakie znamy, nie mogły trwać dalej”. Koncepcja ta została uregulowana później w książce Future Shock przez Alvin Toffler .

Uznanie

Zdolności poznawcze

Laureat Nagrody Nobla Hans Bethe powiedział: „Czasem zastanawiałem się, czy mózg taki jak mózg von Neumanna nie wskazuje na gatunek lepszy od człowieka”, a później Bethe napisał, że „mózg [von Neumanna] wskazuje na nowy gatunek, ewolucję poza człowiekiem”. Widząc umysł von Neumanna przy pracy, Eugene Wigner napisał: „miało się wrażenie doskonałego instrumentu, którego koła zębate zostały obrobione tak, aby zazębiać się z dokładnością do jednej tysięcznej cala”. Paul Halmos stwierdza, że ​​„prędkość von Neumanna była zadziwiająca”. Israel Halperin powiedział: „Dotrzymanie mu kroku było… niemożliwe. Miałem wrażenie, że jedziesz trójkołowym samochodem ścigając samochód wyścigowy”. Edward Teller przyznał, że „nigdy nie mógł za nim nadążyć”. Teller powiedział również, że „von Neumann prowadził rozmowę z moim 3-letnim synem i obaj rozmawialiby jak równi sobie, a ja czasami zastanawiałem się, czy używał tej samej zasady, gdy rozmawiał z resztą z nas”. Peter Lax napisał „Von Neumann był uzależniony od myślenia, a w szczególności od myślenia o matematyce”.

Kiedy George Dantzig przedstawił von Neumannowi nierozwiązany problem z programowaniem liniowym „jak ja bym do zwykłego śmiertelnika”, na temat którego nie było żadnej opublikowanej literatury, był zdumiony, gdy von Neumann powiedział „Och, to!”, zanim bezceremonialnie wygłosił wykład ponad godzinę, wyjaśniając, jak rozwiązać problem za pomocą nierozwiniętej do tej pory teorii dualności .

Lothar Wolfgang Nordheim opisał von Neumanna jako „najszybszy umysł, jakiego kiedykolwiek spotkałem”, a Jacob Bronowski napisał: „Był najmądrzejszym człowiekiem, jakiego znałem, bez wyjątku. Był geniuszem”. George Pólya , którego wykłady w ETH Zürich von Neumann uczęszczał jako student, powiedział: „Johnny był jedynym studentem, którego kiedykolwiek się bałem. na końcu wykładu z kompletnym rozwiązaniem nabazgranym na kartce papieru." Eugene Wigner pisze: „Jancsi, mógłbym powiedzieć, czy moment pędu jest zawsze liczbą całkowitą h ? ” Wróciłby dzień później z rozstrzygającą odpowiedzią: „Tak, jeśli wszystkie cząstki są w spoczynku”. wszyscy byli zachwyceni Jancsi von Neumann”. Enrico Fermi powiedział fizykowi Herbertowi L. Andersonowi : „Wiesz, Herb, Johnny może wykonywać obliczenia w swojej głowie dziesięć razy szybciej niż ja! A ja mogę je robić dziesięć razy szybciej niż ty, Herb, więc możesz zobaczyć, jak imponujący Johnny!

Halmos opowiada historię Nicholasa Metropolisa dotyczącą szybkości obliczeń von Neumanna, gdy ktoś poprosił von Neumanna o rozwiązanie słynnej zagadki muchowej:

Dwóch rowerzystów startuje w odległości 20 mil od siebie i jedzie do siebie, każdy jadąc ze stałą prędkością 10 mil na godzinę. W tym samym czasie mucha, która leci ze stałą prędkością 15 mil na godzinę, rozpoczyna się od przedniego koła roweru jadącego na południe i leci do przedniego koła roweru jadącego na północ, następnie zawraca i leci do przedniego koła roweru jadącego na południe i kontynuuje w ten sposób, aż zostanie zmiażdżony między dwoma przednimi kołami. Pytanie: jaką całkowitą odległość pokonała mucha? Powolnym sposobem na znalezienie odpowiedzi jest obliczenie odległości, jaką mucha pokonuje w pierwszym, południowym etapie podróży, następnie w drugim, w kierunku północnym, potem w trzecim itd., itd., a na koniec Podsumowując ten nieskończony szereg tak uzyskany.

Szybkim sposobem jest obserwacja, że ​​rowery spotykają się dokładnie godzinę po starcie, więc mucha ma tylko godzinę na podróż; odpowiedź musi zatem wynosić 15 mil.

Kiedy pytanie zostało zadane von Neumannowi, rozwiązał je w mgnieniu oka i tym samym rozczarował pytającego: „Och, musiałeś już wcześniej słyszeć tę sztuczkę!” – Jaką sztuczkę? zapytał von Neumann: „Wszystko, co zrobiłem, to zsumowanie szeregu geometrycznego ”.

Eugene Wigner opowiedział podobną historię, tylko z jaskółką zamiast muchą, i mówi, że to Max Born zadał pytanie von Neumannowi w latach dwudziestych.

Pamięć ejdetyczna

Von Neumann był również znany ze swojej pamięci ejdetycznej (czasami nazywanej pamięcią fotograficzną). Herman Goldstine napisał:

Jedną z jego niezwykłych zdolności była moc absolutnego przywołania. O ile mogłem powiedzieć, von Neumann był w stanie, czytając kiedyś książkę lub artykuł, zacytować je dosłownie; co więcej, mógł to zrobić po latach bez wahania. Mógł również przetłumaczyć go z niesamowitą szybkością z oryginalnego języka na angielski. Pewnego razu sprawdziłem jego umiejętności, prosząc go, aby opowiedział mi, jak zaczęła się Opowieść o dwóch miastach . Po czym, bez przerwy, natychmiast zaczął recytować pierwszy rozdział i kontynuował, aż po około dziesięciu czy piętnastu minutach został poproszony o przerwanie.

Von Neumann był podobno w stanie zapamiętać strony książek telefonicznych. Zabawiał przyjaciół prosząc ich o losowe wywoływanie numerów stron; następnie wyrecytował w nich nazwiska, adresy i numery.

Dziedzictwo matematyczne

„Wydaje się słuszne stwierdzenie, że jeśli wpływ naukowca jest interpretowany na tyle szeroko, aby uwzględniał wpływ na dziedziny wykraczające poza samą naukę, to John von Neumann był prawdopodobnie najbardziej wpływowym matematykiem, jaki kiedykolwiek żył” – napisał Miklós Rédei w John von Neumann: Selected Listy . James Glimm napisał: „uważany jest za jednego z gigantów współczesnej matematyki”. Matematyk Jean Dieudonné powiedział, że von Neumann „może być ostatnim przedstawicielem niegdyś kwitnącej i licznej grupy, wielkich matematyków, którzy równie dobrze czuli się w matematyce czystej i stosowanej, i którzy przez całą swoją karierę utrzymywali stałą produkcję w obu kierunkach”. , podczas gdy Peter Lax opisał go jako posiadającego „najbardziej błyskotliwy intelekt tego stulecia”. W przedmowie do Wybranych listów Miklósa Rédeia Peter Lax napisał: „Aby zyskać miarę osiągnięć von Neumanna, weź pod uwagę, że gdyby żył normalnie, z pewnością zostałby laureatem Nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii. były Nagrody Nobla w dziedzinie informatyki i matematyki, on też byłby nimi uhonorowany, więc autora tych listów należy traktować jako potrójnego laureata Nagrody Nobla lub, być może, 3+1 / 2 -krotnie zwycięzca, za pracę w dziedzinie fizyki, aw szczególności mechaniki kwantowej”.

Choroba i śmierć

Nagrobek von Neumanna

W 1955 roku zdiagnozowano u von Neumanna raka kości , trzustki lub prostaty po tym, jak lekarze zbadali go pod kątem upadku, po czym zbadali guz rosnący w pobliżu obojczyka. Rak był prawdopodobnie spowodowany jego narażeniem na promieniowanie podczas jego pobytu w Narodowym Laboratorium Los Alamos . Nie był w stanie zaakceptować bliskości własnej śmierci, a cień zbliżającej się śmierci zaszczepił w nim wielki strach. Zaprosił księdza katolickiego, księdza Anselma Strittmattera OSB , aby odwiedził go w celu konsultacji. Von Neumann podobno powiedział: „Dopóki istnieje możliwość wiecznego potępienia dla niewierzących, bardziej logiczne jest bycie wierzącym na końcu”, odnosząc się do zakładu Pascala . Wcześniej zwierzył się matce: „Prawdopodobnie musi istnieć Bóg. Wiele rzeczy łatwiej wyjaśnić, jeśli istnieje, niż jeśli go nie ma”. Ojciec Strittmatter udzielił mu ostatniego namaszczenia . Niektórzy przyjaciele von Neumanna, tacy jak Abraham Pais i Oskar Morgenstern, twierdzili, że zawsze uważali go za „całkowitego agnostyka”. O tym nawróceniu na łożu śmierci Morgenstern powiedział Heimsowi: „Był oczywiście całkowicie agnostykiem przez całe życie, a potem nagle stał się katolikiem – nie zgadza się to z niczym w jego postawie, poglądach i myśleniu, kiedy był zdrowy”. Ksiądz Strittmatter przypomniał, że nawet po nawróceniu von Neumann nie odczuł z tego zbyt wiele spokoju ani pociechy, ponieważ wciąż był przerażony śmiercią.

Von Neumann był na łożu śmierci, gdy zabawiał brata, recytując na pamięć i słowo w słowo kilka pierwszych linijek każdej strony Fausta Goethego . Na łożu śmierci jego zdolności umysłowe stały się ułamkiem tego, czym były wcześniej, powodując wiele udręki; czasami von Neumann zapominał nawet o wersach, które jego brat recytował z Fausta Goethego . Zmarł w wieku 53 lat 8 lutego 1957 r. w Centrum Medycznym Armii Waltera Reeda w Waszyngtonie , pod nadzorem wojskowym, aby nie ujawnił tajemnic wojskowych podczas intensywnego leczenia. Został pochowany na cmentarzu Princeton w Princeton w hrabstwie Mercer w stanie New Jersey .

Korona

Krater von Neumanna po drugiej stronie Księżyca.

Wybrane prace

  • 1923. O wprowadzeniu liczb nadskończonych, 346–54.
  • 1925. Aksjomatyzacja teorii mnogości , 393–413.
  • 1932. Matematyczne podstawy mechaniki kwantowej , Beyer, RT, tłum., Princeton Univ. Naciskać. wydanie z 1996 r.: ISBN  0-691-02893-1 .
  • 1937. von Neumann, Jan (1981). Halperin, Izrael (red.). Geometrie ciągłe z prawdopodobieństwem przejścia . Wspomnienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 34 . Numer ISBN 978-0-8218-2252-4. MR  0634656 .
  • 1944. Teoria gier i zachowań ekonomicznych , z Morgensternem, O., Princeton Univ. Prasa, online na archive.org . Wydanie 2007: ISBN  978-0-691-13061-3 .
  • 1945. Pierwszy szkic raportu w sprawie EDVAC
  • 1948. „Ogólna i logiczna teoria automatów” w Cerebral Mechanisms in Behavior: The Hixon Symposium, Jeffress, LA ed., John Wiley & Sons, New York, NY, 1951, s. 1-31, MR 0045446 .
  • 1960. von Neumann, John (1998). Geometria ciągła . Zabytki Princeton w matematyce. Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton . Numer ISBN 978-0-691-05893-1. MR  0120174 .
  • 1963. Dzieła zebrane Johna von Neumanna , Taub, AH, red., Pergamon Press. ISBN  0-08-009566-6
  • 1966. Teoria samoreprodukujących się automatów , Burks, AW , red., University of Illinois Press. ISBN  0-598-37798-0

Zobacz też

doktoranci

Uwagi

Bibliografia

Dalsza lektura

Książki

Popularne czasopisma

Wideo

Zewnętrzne linki