W geometrii The krzywa kappa lub krzywa Gutschoven za to dwuwymiarowy algebraiczne łuk przypominający grecką literę k (kappa)Gérarda van Gutschovena około 1662 r. W historii matematyki została zapamiętana jako jeden z pierwszych przykładów zastosowania przez Izaaka Barrowa podstawowych metod obliczeniowych do wyznaczania stycznej krzywej. Isaac Newton i Johann Bernoulli kontynuowali później badania tej krzywej.
Używając kartezjańskiego układu współrzędnych, można go wyrazić jako
x
2
(
x
2
+
y
2
)
=
za
2
y
2
{\ Displaystyle x ^ {2} \ lewo (x ^ {2} + y ^ {2} \ prawej) = a ^ {2} y ^ {2}}
lub używając równań parametrycznych ,
x
=
za
grzech
t
,
y
=
za
grzech
t
dębnik
t
.
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & = a \ sin t, \\ y & = a \ sin t \ tan t. \ koniec {wyrównane}}}
We współrzędnych biegunowych równanie jest jeszcze prostsze:
r
=
za
dębnik
θ
.
{\ displaystyle r = a \ tan \ theta.}
Ma dwie pionowe asymptoty w x = ± a
Krzywizna krzywej kappa :
κ
(
θ
)
=
8
(
3
-
grzech
2
θ
)
grzech
4
θ
za
(
grzech
2
(
2
θ
)
+
4
)
3
2
.
{\ Displaystyle \ kappa (\ theta) = {\ Frac {8 \ lewo (3- \ sin ^ {2} \ theta \ prawej) \ sin ^ {4} \ theta} {a \ lewo (\ sin ^ {2 } (2 \ theta) +4 \ right) ^ {\ frac {3} {2}}}}.}
styczny :
ϕ
(
θ
)
=
-
arctan
(
1
2
grzech
(
2
θ
)
)
.
{\ Displaystyle \ phi (\ theta) = - \ arctan \ lewo ({\ tfrac {1} {2}} \ sin (2 \ theta) \ prawej).}
Styczne przez nieskończenie małe Styczne krzywej kappa można również określić geometrycznie za pomocą różniczek i elementarnych zasad arytmetyki nieskończenie małych. Załóżmy, że x i y są zmiennymi, podczas gdy a jest traktowane jako stała. Z definicji krzywej kappa,
x
2
(
x
2
+
y
2
)
-
za
2
y
2
=
0
{\ Displaystyle x ^ {2} \ lewo (x ^ {2} + y ^ {2} \ prawej) -a ^ {2} y ^ {2} = 0}
Teraz nieskończenie mała zmiana w naszej lokalizacji musi również zmienić wartość lewej strony, więc
re
(
x
2
(
x
2
+
y
2
)
-
za
2
y
2
)
=
0
{\ Displaystyle d \ lewo (x ^ {2} \ lewo (x ^ {2} + y ^ {2} \ prawej) -a ^ {2} y ^ {2} \ prawo) = 0}
Dystrybucja różniczki i stosowanie odpowiednich reguł ,
re
(
x
2
(
x
2
+
y
2
)
)
-
re
(
za
2
y
2
)
=
0
(
2
x
re
x
)
(
x
2
+
y
2
)
+
x
2
(
2
x
re
x
+
2
y
re
y
)
-
za
2
2
y
re
y
=
0
(
4
x
3
+
2
x
y
2
)
re
x
+
(
2
y
x
2
-
2
za
2
y
)
re
y
=
0
x
(
2
x
2
+
y
2
)
re
x
+
y
(
x
2
-
za
2
)
re
y
=
0
x
(
2
x
2
+
y
2
)
y
(
za
2
-
x
2
)
=
re
y
re
x
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} d \ lewo (x ^ {2} \ lewo (x ^ {2} + y ^ {2} \ prawej) \ prawej) -d \ lewo (a ^ {2} y ^ {2} \ right) & = 0 \\ [6px] (2x \, dx) \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) + x ^ {2} (2x \, dx + 2y \, dy) -a ^ {2} 2y \, dy & = 0 \\ [6px] \ left (4x ^ {3} + 2xy ^ {2} \ right) dx + \ left (2yx ^ {2} -2a ^ {2} y \ right) dy & = 0 \\ [6px] x \ left (2x ^ {2} + y ^ {2} \ right) dx + y \ left (x ^ {2} -a ^ {2} \ right) dy & = 0 \\ [6px] {\ frac {x \ left (2x ^ {2} + y ^ {2} \ right)} {y \ left (a ^ {2} -x ^ {2} \ right)}} & = {\ frac {dy} {dx}} \ end {aligned}}}
Pochodna Jeśli zastosujemy nowoczesną koncepcję zależności funkcjonalnej y ( x )niejawne zróżnicowanie , to nachylenie stycznej do krzywej kappa w punkcie ( x , y ) wynosi:
2
x
(
x
2
+
y
2
)
+
x
2
(
2
x
+
2
y
re
y
re
x
)
=
2
za
2
y
re
y
re
x
2
x
3
+
2
x
y
2
+
2
x
3
=
2
za
2
y
re
y
re
x
-
2
x
2
y
re
y
re
x
4
x
3
+
2
x
y
2
=
(
2
za
2
y
-
2
x
2
y
)
re
y
re
x
2
x
3
+
x
y
2
za
2
y
-
x
2
y
=
re
y
re
x
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} 2x \ lewo (x ^ {2} + y ^ {2} \ prawej) + x ^ {2} \ lewo (2x + 2y {\ Frac {dy} {dx}} \ po prawej) & = 2a ^ {2} y {\ frac {dy} {dx}} \\ [6px] 2x ^ {3} + 2xy ^ {2} + 2x ^ {3} & = 2a ^ {2} y {\ frac {dy} {dx}} - 2x ^ {2} y {\ frac {dy} {dx}} \\ [6px] 4x ^ {3} + 2xy ^ {2} & = \ left (2a ^ {2} y-2x ^ {2} y \ right) {\ frac {dy} {dx}} \\ [6px] {\ frac {2x ^ {3} + xy ^ {2}} {a ^ {2 } yx ^ {2} y}} & = {\ frac {dy} {dx}} \ end {aligned}}}
Linki zewnętrzne
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
![{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} d \ lewo (x ^ {2} \ lewo (x ^ {2} + y ^ {2} \ prawej) \ prawej) -d \ lewo (a ^ {2} y ^ {2} \ right) & = 0 \\ [6px] (2x \, dx) \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) + x ^ {2} (2x \, dx + 2y \, dy) -a ^ {2} 2y \, dy & = 0 \\ [6px] \ left (4x ^ {3} + 2xy ^ {2} \ right) dx + \ left (2yx ^ {2} -2a ^ {2} y \ right) dy & = 0 \\ [6px] x \ left (2x ^ {2} + y ^ {2} \ right) dx + y \ left (x ^ {2} -a ^ {2} \ right) dy & = 0 \\ [6px] {\ frac {x \ left (2x ^ {2} + y ^ {2} \ right)} {y \ left (a ^ {2} -x ^ {2} \ right)}} & = {\ frac {dy} {dx}} \ end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2fbbee06e516acb095da379a192f66d2c38e956)
![{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} 2x \ lewo (x ^ {2} + y ^ {2} \ prawej) + x ^ {2} \ lewo (2x + 2y {\ Frac {dy} {dx}} \ po prawej) & = 2a ^ {2} y {\ frac {dy} {dx}} \\ [6px] 2x ^ {3} + 2xy ^ {2} + 2x ^ {3} & = 2a ^ {2} y {\ frac {dy} {dx}} - 2x ^ {2} y {\ frac {dy} {dx}} \\ [6px] 4x ^ {3} + 2xy ^ {2} & = \ left (2a ^ {2} y-2x ^ {2} y \ right) {\ frac {dy} {dx}} \\ [6px] {\ frac {2x ^ {3} + xy ^ {2}} {a ^ {2 } yx ^ {2} y}} & = {\ frac {dy} {dx}} \ end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba914f68cdf1eee7a64e63203b830e54b63a6522)