Orbita Keplera - Kepler orbit

Eliptyczna orbita Keplera o mimośrodzie 0,7, paraboliczna orbita Keplera i hiperboliczna orbita Keplera o mimośrodzie 1,3. Odległość do ogniska jest funkcją kąta biegunowego względem linii poziomej, zgodnie z równaniem ( 13 )

W mechanice niebieskich , A orbity Keplera (lub Keplerian orbity , nazwany niemieckiego astronoma Johannes Kepler ) jest ruch jednego z ciała w stosunku do drugiego, w postaci elipsy , paraboli lub hiperboli , który tworzy dwuwymiarową płaszczyznę orbity w trzy- przestrzeń wymiarowa. Orbita Keplera może również tworzyć linię prostą . Uwzględnia jedynie punktowe przyciąganie grawitacyjne dwóch ciał, pomijając perturbacje wynikające z oddziaływań grawitacyjnych z innymi obiektami, oporu atmosferycznego , ciśnienia promieniowania słonecznego , niesferycznego ciała centralnego i tak dalej. Mówi się więc, że jest to rozwiązanie szczególnego przypadku problemu dwóch ciał , znanego jako problem Keplera . Jako teoria mechaniki klasycznej nie uwzględnia również skutków ogólnej teorii względności . Orbity Keplera można sparametryzować na sześć elementów orbitalnych na różne sposoby.

W większości zastosowań występuje duży korpus centralny, którego środek masy przyjmuje się jako środek masy całego układu. Przez rozkład orbity dwóch obiektów o podobnej masie można opisać jako orbity Keplera wokół ich wspólnego środka masy, ich barycentrum .

Wstęp

Od czasów starożytnych do XVI i XVII wieku wierzono, że ruchy planet podążają idealnie kolistymi ścieżkami geocentrycznymi, jak nauczali starożytni greccy filozofowie Arystoteles i Ptolemeusz . Różnice w ruchach planet zostały wyjaśnione mniejszymi kołowymi ścieżkami nałożonymi na większą ścieżkę (patrz epicykl ). W miarę jak pomiary planet stawały się coraz dokładniejsze, zaproponowano poprawki do teorii. W 1543 r. Mikołaj Kopernik opublikował heliocentryczny model Układu Słonecznego , chociaż nadal uważał, że planety poruszają się po idealnie kołowych torach, których środek znajduje się na Słońcu.

Historia Keplera i teleskopu

Kepler przeniósł się do Pragi i rozpoczął współpracę z Tycho Brahe . Tycho powierzył mu zadanie przejrzenia wszystkich informacji, które Tycho miał na Marsie. Kepler zauważył, że pozycja Marsa była obarczona wieloma błędami i stwarzała problemy dla wielu modeli. To doprowadziło Keplera do skonfigurowania 3 praw ruchu planetarnego.

Pierwsze prawo: Planety poruszają się po elipsach ze Słońcem w jednym ognisku

Prawo zmieniłoby mimośród 0,0. i skupić się bardziej na ekscentryczności 0,8. które pokazują, że orbity kołowe i eliptyczne mają ten sam okres i skupienie, ale różne rozciągnięcia obszaru wyznaczonego przez Słońce.

Prowadzi to do drugiego prawa: wektor promienia opisuje równe obszary w równych czasach.

Te dwa prawa zostały opublikowane w książce Keplera Astronomia Nova w 1609 roku.

W przypadku ruchu kołowego jest jednostajny, jednak w przypadku maszyny eliptycznej, która przesuwa obszar w jednakowym tempie, obiekt porusza się szybko, gdy wektor promienia jest krótki, a wolniej, gdy wektor promienia jest długi.

Kepler opublikował swoje Trzecie Prawo Ruchu Planetarnego w 1619 roku w swojej książce Harmonices Mundi . Newton użył trzeciego prawa do zdefiniowania swoich praw grawitacji.

Trzecie Prawo: Kwadraty okresów są względem siebie sześcianami średnich odległości.

Rozwój prawa

W 1601 roku Johannes Kepler uzyskał obszerne, drobiazgowe obserwacje planet wykonane przez Tycho Brahe . Kepler miał spędzić następne pięć lat, próbując dopasować obserwacje planety Mars do różnych krzywych. W 1609 Kepler opublikował pierwsze dwa ze swoich trzech praw ruchu planet . Pierwsza ustawa stanowi:

„ Orbita każdej planety jest elipsą ze słońcem w centrum uwagi ”.

Mówiąc ogólniej, tor obiektu przechodzącego ruch Keplera może również przebiegać po paraboli lub hiperboli , które wraz z elipsami należą do grupy krzywych zwanych przekrojami stożkowymi . Matematycznie odległość między ciałem centralnym a ciałem orbitującym można wyrazić jako:

${\ Displaystyle r (\ theta ) = {\ Frac {a (1-e ^ {2})} {1 + e \ cos (\ theta)}}}$

gdzie:

• ${\ Displaystyle r}$ jest odległość?
• ${\displaystyle a}$jest wielką półoś , która określa wielkość orbity
• ${\displaystyle e}$jest mimośród , który określa kształt orbity
• ${\displaystyle \theta}$jest prawdziwą anomalią , która jest kątem między aktualną pozycją obiektu na orbicie a położeniem na orbicie, w którym znajduje się on najbliżej ciała centralnego (tzw. perycentrum ).

Alternatywnie równanie można wyrazić jako:

${\ Displaystyle r (\ theta ) = {\ Frac {p} {1 + e \ cos (\ theta )}}}$

Gdzie nazywa się odbytnicą półlatusową krzywej. Ta postać równania jest szczególnie przydatna w przypadku trajektorii parabolicznych, dla których wielka półoś jest nieskończona. ${\displaystyle p}$

Pomimo opracowania tych praw na podstawie obserwacji, Kepler nigdy nie był w stanie opracować teorii wyjaśniającej te ruchy.

Izaak Newton

W latach 1665-1666 Isaac Newton opracował kilka koncepcji związanych z ruchem, grawitacją i rachunkiem różniczkowym. Jednak koncepcje te zostały opublikowane dopiero w 1687 r. w Principia , w którym nakreślił swoje prawa ruchu i prawo powszechnego ciążenia . Jego drugie z jego trzech praw ruchu mówi:

Przyspieszenie ciała jest równoległa i jest bezpośrednio proporcjonalna do siatki siłą działającą na ciele, w kierunku siły netto i jest odwrotnie proporcjonalna do masy ciała:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a} = m {\ Frac {d ^ {2} \ mathbf {R}} {dt ^ {2}}}}$

Gdzie:

• ${\ Displaystyle \ mathbf {F} }$ jest wektorem siły
• ${\ Displaystyle m}$ masa ciała, na którą działa siła
• ${\displaystyle \mathbf {a}}$ jest wektorem przyspieszenia, drugą pochodną wektora położenia ${\displaystyle \mathbf {r}}$

Ściśle mówiąc, ta postać równania odnosi się tylko do obiektu o stałej masie, co jest prawdziwe w oparciu o przyjęte poniżej założenia upraszczające.

Mechanizmy prawa powszechnego ciążenia Newtona; masa punktowa m ₁ przyciąga inną masę punktową m ₂ siłą F _{2 ,} która jest proporcjonalna do iloczynu dwóch mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości ( r ) między nimi. Niezależnie od mas lub odległości, wielkości | F ₁ | i | F ₂ | zawsze będą równe. G jest stałą grawitacyjną .

Prawo ciążenia Newtona stwierdza:

Każda masa punktowa przyciąga każdą inną masę punktową siłą skierowaną wzdłuż linii przecinającej oba punkty. Siła jest proporcjonalna do iloczynu dwóch mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między masami punktowymi:

${\ Displaystyle F = G {\ Frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}}}$

gdzie:

• ${\ Displaystyle F}$ jest wielkością siły grawitacyjnej między dwoma masami punktowymi
• ${\ Displaystyle G}$jest stałą grawitacyjną
• ${\displaystyle m_{1}}$ jest masą pierwszego punktu masy
• ${\displaystyle m_{2}}$ jest masą drugiego punktu masy
• ${\ Displaystyle r}$ to odległość między dwoma masami punktowymi

Z praw ruchu i prawa powszechnego ciążenia Newton był w stanie wyprowadzić prawa Keplera, które są specyficzne dla ruchu orbitalnego w astronomii. Ponieważ prawa Keplera były dobrze poparte danymi obserwacyjnymi, ta spójność dostarczyła silnego wsparcia dla słuszności uogólnionej teorii Newtona oraz zunifikowanej mechaniki nieba i zwyczajnej. Te prawa ruchu stanowiły podstawę współczesnej mechaniki nieba, dopóki Albert Einstein nie wprowadził na początku XX wieku koncepcji szczególnej i ogólnej teorii względności. W większości zastosowań ruch keplerowski przybliża ruchy planet i satelitów ze stosunkowo wysokim stopniem dokładności i jest szeroko stosowany w astronomii i astrodynamice .

Uproszczony problem dwóch ciał

Zobacz także Analiza orbity

Aby rozwiązać ruch obiektu w układzie dwuciałowym, można przyjąć dwa upraszczające założenia:

1. Ciała są sferycznie symetryczne i można je traktować jako masy punktowe.

2. Nie ma żadnych zewnętrznych ani wewnętrznych sił działających na ciała poza ich wzajemną grawitacją.

Kształty dużych ciał niebieskich są zbliżone do kul. Dzięki symetrii wypadkowa siła grawitacyjna przyciągająca punkt masy w kierunku jednorodnej kuli musi być skierowana w kierunku jej środka. Twierdzenie powłoki (również okazały Isaac Newton) stwierdza, że wartość tej siły jest taka sama, jak w przypadku wszystkich masę zatężono w środku kuli, nawet jeśli gęstość zakresie zmienia się z głębokością (jak ma to miejsce w przypadku większości niebieskich organy). Z tego wynika od razu, że przyciąganie pomiędzy dwiema jednorodnymi sferami jest takie, jakby ich masa była skoncentrowana w swoim środku.

Mniejsze obiekty, takie jak asteroidy czy statki kosmiczne, często mają kształt silnie odbiegający od kuli. Jednak siły grawitacyjne wytwarzane przez te nieregularności są na ogół niewielkie w porównaniu z grawitacją ciała centralnego. Różnica między nieregularnym kształtem a idealną kulą również maleje wraz z odległościami, a większość odległości orbitalnych jest bardzo duża w porównaniu ze średnicą małego ciała orbitującego. Dlatego w niektórych zastosowaniach nieregularność kształtu można pominąć bez znaczącego wpływu na dokładność. Efekt ten jest dość zauważalny w przypadku sztucznych satelitów Ziemi, zwłaszcza tych na niskich orbitach.

Planety obracają się z różnymi prędkościami i dlatego mogą przybierać nieco spłaszczony kształt z powodu siły odśrodkowej. Przy takim spłaszczonym kształcie przyciąganie grawitacyjne będzie się nieco różnić od przyciągania jednorodnej kuli. Przy większych odległościach efekt tej spłaszczenia staje się znikomy. Ruchy planet w Układzie Słonecznym można obliczyć z wystarczającą precyzją, jeśli traktuje się je jako masy punktowe.

Dwa obiekty o masie punktowej z masami i wektorami położenia oraz względem pewnej bezwładnościowej ramy odniesienia doświadczają sił grawitacyjnych: ${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {2}}$

${\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {r}}}_{1}={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\kapelusz {r}} }$

${\displaystyle m_{2}{\ddot {\mathbf {r}}}_{2}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\kapelusz { r}} }$

gdzie jest względnym wektorem położenia masy 1 względem masy 2, wyrażonym jako: ${\displaystyle \mathbf {r}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {1}-\ mathbf {r} _ {2}}$

i jest wektorem jednostkowym w tym kierunku i jest długością tego wektora. ${\displaystyle \mathbf {\kapelusz {r}}}$${\ Displaystyle r}$

Dzieląc przez ich odpowiednie masy i odejmując drugie równanie od pierwszego otrzymujemy równanie ruchu na przyspieszenie pierwszego obiektu względem drugiego:

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r}}}=-{\frac {\alfa}}{r^{2}}}\mathbf {\kapelusz {r}}}$

( 1 )

gdzie jest parametrem grawitacyjnym i jest równy ${\ Displaystyle \ alfa}$

${\ Displaystyle \ alfa = G (m_ {1} + m_ {2})}$

W wielu zastosowaniach można przyjąć trzecie założenie upraszczające:

3. W porównaniu z ciałem centralnym masa ciała orbitującego jest nieznaczna. Matematycznie, m ₁ >> m ₂ , więc α = G ( m ₁  +  m ₂ ) ≈ Gm ₁ .

To założenie nie jest konieczne do rozwiązania uproszczonego problemu dwóch ciał, ale upraszcza obliczenia, szczególnie w przypadku satelitów krążących wokół Ziemi i planet krążących wokół Słońca. Nawet masa Jowisza jest mniejsza od masy Słońca 1047 razy, co oznaczałoby błąd 0,096% w wartości α. Godne uwagi wyjątki obejmują układ Ziemia-Księżyc (stosunek masy 81,3), układ Pluton-Charon (stosunek masy 8,9) i układy podwójne gwiazd.

Przy tych założeniach równanie różniczkowe dla przypadku dwóch ciał może być całkowicie rozwiązane matematycznie, a wynikająca z tego orbita, która jest zgodna z prawami ruchu planetarnego Keplera, jest nazywana „orbitą Keplera”. Orbity wszystkich planet są z dużą dokładnością orbity Keplera wokół Słońca. Małe odchylenia wynikają ze znacznie słabszego przyciągania grawitacyjnego między planetami, aw przypadku Merkurego z ogólnej teorii względności . Orbity sztucznych satelitów wokół Ziemi są, z dużym przybliżeniem, orbitami Keplera z małymi perturbacjami spowodowanymi przyciąganiem grawitacyjnym Słońca, Księżyca i spłaszczeniem Ziemi. W zastosowaniach o wysokiej dokładności, dla których równanie ruchu musi być zintegrowane numerycznie z uwzględnieniem wszystkich sił grawitacyjnych i niegrawitacyjnych (takich jak ciśnienie promieniowania słonecznego i opór atmosferyczny ), koncepcje orbity Keplera mają ogromne znaczenie i są intensywnie wykorzystywane.

Elementy keplerowskie

Keplerowskie elementy orbitalne .

Dowolną trajektorię Keplera można zdefiniować za pomocą sześciu parametrów. Ruch obiektu poruszającego się w przestrzeni trójwymiarowej charakteryzuje wektor położenia i wektor prędkości. Każdy wektor ma trzy składniki, więc łączna liczba wartości potrzebnych do zdefiniowania trajektorii w przestrzeni wynosi sześć. Orbita jest ogólnie definiowana przez sześć elementów (znanych jako elementy Keplera ), które można obliczyć na podstawie położenia i prędkości, z których trzy zostały już omówione. Te elementy są wygodne w tym, że z sześciu, pięć jest niezmiennych dla niezakłóconej orbity (ostry kontrast dla dwóch ciągle zmieniających się wektorów). Przyszłe położenie obiektu na jego orbicie można przewidzieć, a jego nowe położenie i prędkość można łatwo uzyskać z elementów orbitalnych.

Dwa definiują rozmiar i kształt trajektorii:

• Półoś wielka ( )${\displaystyle a}$
• Mimośród ( )${\displaystyle e}$

Trzy określają orientację płaszczyzny orbity :

• Nachylenie ( ) określa kąt pomiędzy płaszczyzną orbity a płaszczyzną odniesienia.${\displaystyle i}$
• Długość geograficzna węzła wstępującego ( ) określa kąt między kierunkiem odniesienia a przecięciem się orbity w górę na płaszczyźnie odniesienia (węzeł wstępujący).${\ Displaystyle \ Omega}$
• Argument perycentrum ( ) określa kąt między węzłem wstępującym a perycentrum.${\ Displaystyle \ omega}$

I w końcu:

• Prawdziwa anomalia ( ) określa pozycję ciała na orbicie wzdłuż trajektorii, mierzoną od perycentrum. Kilka wartości alternatywne mogą być stosowane zamiast prawdziwej anomalii, najczęściej będąc anomalia średnia i czas od perycentrum.${\displaystyle \nu}$${\ Displaystyle M}$${\displaystyle T}$

Ponieważ , i są po prostu pomiarami kątowymi określającymi orientację trajektorii w układzie odniesienia, nie są one bezwzględnie konieczne przy omawianiu ruchu obiektu w płaszczyźnie orbity. Zostały one tutaj wymienione dla kompletności, ale nie są wymagane dla poniższych dowodów. ${\displaystyle i}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ omega}$

Matematyczne rozwiązanie równania różniczkowego ( 1 ) powyżej)

Dla ruchu pod dowolną siłą centralną, tj. siłą równoległą do r , właściwy względny moment pędu pozostaje stały: ${\ Displaystyle \ mathbf {H} = \ mathbf {r} \ razy {\ kropka {\ mathbf {r}}}}$

${\ Displaystyle {\ kropka {\ mathbf {H} }} = {\ Frac {d} {dt}} \ lewo (\ mathbf {r} \ razy {\ kropka {\ mathbf {r}}} \ po prawej) = {\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {0} + \mathbf {0} =\mathbf {0} }$

Ponieważ iloczyn poprzeczny wektora położenia i jego prędkości pozostaje stały, muszą leżeć na tej samej płaszczyźnie, prostopadłej do . Oznacza to, że funkcja wektora jest krzywą płaską . ${\ Displaystyle \ mathbf {H}}$

Ponieważ równanie ma symetrię wokół swojego początku, łatwiej jest je rozwiązać we współrzędnych biegunowych. Należy jednak zauważyć, że równanie ( 1 ) odnosi się do przyspieszenia liniowego w przeciwieństwie do przyspieszenia kątowego lub promieniowego . Dlatego należy być ostrożnym przy przekształcaniu równania. Wprowadzenie kartezjańskiego układu współrzędnych i biegunowych wektorów jednostkowych w płaszczyźnie ortogonalnej do : ${\ Displaystyle \ lewo ({\ ddot {\ mathbf {r}}} \ po prawej),}$${\ Displaystyle \ po lewej ({\ ddot {\ theta}} \ po prawej)}$${\ Displaystyle \ lewo ({\ ddot {r}} \ po prawej)}$${\ Displaystyle ({\ kapelusz {\ mathbf {x}}}, {\ kapelusz {\ mathbf {y}}})}$ ${\ Displaystyle ({\ kapelusz {\ mathbf {r} }}, {\ kapelusz {\ mathbf {q}}})}$${\ Displaystyle \ mathbf {H}}$

${\displaystyle {\kapelusz {\mathbf {r}}}=\cos {\theta}{\kapelusz {\mathbf {x}}}+\sin {\theta}}{\kapelusz {\mathbf {y}}} }$

${\displaystyle {\kapelusz {\mathbf {q}}}=-\sin {\theta}}{\kapelusz {\mathbf {x}}}+\cos {\theta}{\kapelusz {\mathbf {y}} }}$

Możemy teraz przepisać funkcję wektorową i jej pochodne jako: ${\displaystyle \mathbf {r}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {r} = r (\ cos \ theta {\ kapelusz {\ mathbf {x}}} + \ grzech \ theta {\ kapelusz {\ mathbf {y}}}) = r {\ kapelusz {\ mathbf {czas.} }}}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r}}}={\dot {r}}{\kapelusz {\mathbf {r}}}+r{\dot {\theta}}{\kapelusz {\mathbf { Q} }}}$

${\ Displaystyle {\ ddot {\ mathbf {r} }} = ({\ ddot {r}}-r {\ kropka {\ theta}} ^ {2}) {\ kapelusz {\ mathbf {r}}} + (r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\mathbf {q} }}}$

(patrz „ Rachunek wektorowy ”). Zastępując je w ( 1 ), znajdujemy:

${\displaystyle ({\ddot {r}}-r{\dot {\theta}}^{2}){\kapelusz {\mathbf {r}}}+(r{\ddot {\theta}}}+2 {\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\mathbf {q} }}=\left(-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\right) {\kapelusz {\mathbf {r} }}+(0){\kapelusz {\mathbf {q} }}}$

Daje to niezwyczajne biegunowe równanie różniczkowe:

${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta}}^{2}=-{\frac {\alfa}{r^{2}}}}$

( 2 )

Aby rozwiązać to równanie, wszystkie pochodne czasowe muszą zostać wyeliminowane. Daje to:

${\ Displaystyle H = | \ mathbf {r} \ razy {\ kropka {\ mathbf {r}}} | = | (r \ cos (\ theta), r \ grzech (\ teta), 0 \ razy ({ \dot {r}}\cos(\theta )-r\sin(\theta ){\dot {\theta }},{\dot {r}}\sin(\theta )+r\cos(\theta ) {\dot {\theta }},0)|=|(0,0,r^{2}{\dot {\theta}})|=r^{2}{\dot {\theta}}}$

${\ Displaystyle {\ kropka {\ theta}} = {\ Frac {H} {r ^ {2}}}}$

( 3 )

Wyznaczając pochodną czasu ( 3 ) otrzymujemy)

${\displaystyle {\ddot {\theta}}=-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}}$

( 4 )

Równania ( 3 ) i ( 4 ) pozwalają nam wyeliminować pochodne po czasie . W celu wyeliminowania pochodnych czasowych , stosuje się regułę łańcucha do znalezienia odpowiednich podstawień: ${\displaystyle \theta}$${\ Displaystyle r}$

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{d\theta}}\cdot {\dot {\theta}}}$

( 5 )

${\ Displaystyle {\ ddot {r}} = {\ Frac {d ^ {2} r} {d \ teta ^ {2}}} \ cdot {\ kropka {\ teta}} ^ {2} + {\ Frac {dr}{d\theta}}\cdot {\ddot {\theta}}}$

( 6 )

Korzystając z tych czterech podstawień, wszystkie pochodne czasu w ( 2 ) mogą zostać wyeliminowane, co daje zwykły równanie różniczkowe dla jako funkcję${\ Displaystyle r}$${\displaystyle \theta.}$

${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta}}^{2}=-{\frac {\alfa}{r^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot {\dot {\theta}}^{2}+{\frac {dr}{d\theta} }\cdot {\ddot {\theta }}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} r} {d \ theta ^ {2}}} \ cdot \ lewo ({\ Frac {H} {r ^ {2}}} \ po prawej) ^ {2} +{\frac {dr}{d\theta }}\cdot \left(-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}\right)-r \left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {H ^ {2}} {r ^ {4}}} \ cdot \ lewo ({\ Frac {d ^ {2} r} {d \ theta ^ {2}}} -2 \ cdot {\frac {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}{r}}-r\right)=-{\frac {\alpha }{r^{ 2}}}}$

( 7 )

Równanie różniczkowe ( 7 ) można rozwiązać analitycznie przez podstawienie zmiennej

${\ Displaystyle r = {\ Frac {1} {s}}}$

( 8 )

Użycie reguły łańcucha do różnicowania otrzymuje:

${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta}}=-{\frac {1}{s^{2}}}\cdot {\frac {ds}{d\theta}}}$

( 9 )

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} r} {d \ theta ^ {2}}} = {\ Frac {2} {s ^ {3}}} \ cdot \ lewo ({\ Frac {ds} {d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{s^{2}}}\cdot {\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}} }}$

( 10 )

Używając wyrażeń ( 10 ) i ( 9 ) for i gets 9 ${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} r} {d \ theta ^ {2}}}}$${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta}}}$

${\ Displaystyle H ^ {2} \ cdot \ lewo ({\ Frac {d ^ {2} s} {d \ theta ^ {2}}} + s \ prawej) = \ alfa}$

( 11 )

z ogólnym rozwiązaniem

${\ Displaystyle s = {\ Frac {\ alfa} {H ^ {2}}} \ cdot \ lewo (1 + e \ cdot \ cos (\ theta - \ theta _ {0}) \ prawej)}$

( 12 )

gdzie e i są stałymi całkowania w zależności od wartości początkowych dla s i${\ Displaystyle \ theta _ {0}}$${\displaystyle {\tfrac {ds}{d\theta}}.}$

Zamiast jawnie używać stałej całkowania wprowadza się konwencję, że wektory jednostkowe definiujące układ współrzędnych na płaszczyźnie orbity są dobierane tak, że przyjmują wartość zero, a e jest dodatnie. Oznacza to wtedy, że wynosi zero w punkcie, w którym jest maksymalny, a zatem minimalny. Definiowanie parametru p tak, jak się to ma ${\ Displaystyle \ theta _ {0}}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}}, {\ kapelusz {y}}}$${\ Displaystyle \ theta _ {0}}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle s}$${\displaystyle r={\tfrac {1}{s}}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {H ^ {2}} {\ alfa}}}$

${\ Displaystyle r = {\ Frac {1} {s}} = {\ Frac {p} {1 + e \ cdot \ cos \ theta}}}$

Alternatywne wyprowadzenie

Innym sposobem rozwiązania tego równania bez użycia równań różniczkowych biegunowych jest:

Zdefiniuj wektor jednostkowy taki, że i . Wynika, że ${\displaystyle \mathbf {u}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} = r \ mathbf {u}}$${\ Displaystyle {\ ddot {\ mathbf {r} }} = - {\ tfrac {\ alfa} {r ^ {2}}} \ mathbf {u}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {H} = \ mathbf {r} \ razy {\ kropka {\ mathbf {r}}} = r \ mathbf {u} \ razy {\ Frac {d} {dt}} (r \ mathbf {u} )=r\mathbf {u} \times (r{\dot {\mathbf {u}}}+{\dot {r}}\mathbf {u})=r^{2}(\mathbf { u} \times {\dot {\mathbf {u} }})+r{\dot {r}}(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )=r^{2}\mathbf {u} \times {\kropka {\mathbf {u} }}}$

Teraz rozważ

${\ Displaystyle {\ ddot {\ mathbf {r}}} \ razy \ mathbf {H} = - {\ Frac {\ alfa} {r ^ {2}}} \ mathbf {u} \ razy (r ^ {2 }\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha \mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }} )=-\alpha [(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }})\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ){\dot { \mathbf {u} }}]}$

(patrz produkt potrójny Vector ). Zauważ, że

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u} = | \ mathbf {u} | ^ {2} = 1}$

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u}}}={\frac {1}{2}}(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u}} }+{\dot {\mathbf {u} }}\cdot \mathbf {u} )={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )=0}$

Podstawiając te wartości do poprzedniego równania otrzymujemy:

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r}}}\razy \mathbf {H} =\alfa {\dot {\mathbf {u}}}}$

Integracja obu stron:

${\ Displaystyle {\ kropka {\ mathbf {r}}} \ razy \ mathbf {H} = \ alfa \ mathbf {u} + \ mathbf {c}}$

gdzie c jest wektorem stałym. Kropkowanie tego przez r daje interesujący wynik:

${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ cdot ({\ kropka {\ mathbf {r}}} \ razy \ mathbf {H} ) = \ mathbf {r} \ cdot (\ alfa \ mathbf {u} + \ mathbf { c} )=\alpha \mathbf {r} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {r} \cdot \mathbf {c} =\alpha r(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )+ rc\cos(\theta )=r(\alpha +c\cos(\theta ))}$

gdzie jest kąt pomiędzy i . Rozwiązywanie dla r : ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \mathbf {r}}$${\displaystyle \mathbf {c}}$

${\ Displaystyle r = {\ Frac {\ mathbf {r} \ cdot ({\ kropka {\ mathbf {r}}} \ razy \ mathbf {H}}} {\ alfa + c \ cos (\ teta)}} ={\frac {(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }})\cdot \mathbf {H} }{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {|\mathbf {H} |^{2}}{\alfa +c\cos(\theta )}}.}$

Zauważ, że są to właściwie współrzędne biegunowe funkcji wektorowej. Dokonując podstawień i , ponownie dochodzimy do równania ${\displaystyle (r,\theta)}$${\ Displaystyle p = {\ tfrac {| \ mathbf {H} | ^ {2}} {\ alfa}}}$${\ Displaystyle e = {\ tfrac {c} {\ alfa}}}$

${\ Displaystyle r = {\ Frac {p} {1 + e \ cdot \ cos \ theta}}}$

( 13 )

Jest to równanie we współrzędnych biegunowych dla przekroju stożkowego, którego początek znajduje się w punkcie ogniskowym. Argument ten nazywa się „prawdziwą anomalią”. ${\displaystyle \theta}$

Własności równania trajektorii

Do tego jest okręgiem o promieniu p . ${\displaystyle e=0}$

Bo to jest elipsa z ${\displaystyle 0<e<1,}$

${\ Displaystyle a = {\ Frac {p} {1-e ^ {2}}}}$

( 14 )

${\ Displaystyle b = {\ Frac {p} {\ sqrt {1-e ^ {2}}}} = a \ cdot {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}$

( 15 )

Bo to parabola o ogniskowej${\displaystyle e=1}$${\displaystyle {\tfrac {p}{2}}}$

Bo to jest hiperbola z ${\displaystyle e>1}$

${\ Displaystyle a = {\ Frac {p} {e ^ {2}-1}}}$

( 16 )

${\ Displaystyle b = {\ Frac {p} {\ sqrt {e ^ {2}-1}}} = a \ cdot {\ sqrt {e ^ {2}-1}}}$

( 17 )

Poniższy obraz przedstawia okrąg (szary), elipsę (czerwony), parabolę (zielony) i hiperbolę (niebieski)

Schemat różnych form orbity Keplera i ich mimośrodów. Niebieski to trajektoria hiperboliczna ( e > 1). Zielony to trajektoria paraboliczna ( e = 1). Czerwony to orbita eliptyczna (0 < e < 1). Szary to orbita kołowa ( e = 0).

Punkt na linii poziomej wychodzącej na prawo od ogniska to punkt, dla którego odległość do ogniska przyjmuje minimalną wartość perycentrum. Dla elipsy istnieje także apocentrum dla którego odległość do ogniska przyjmuje wartośćmaksymalną Dla hiperboli zakres dla wynosi ${\ Displaystyle \ theta = 0}$${\displaystyle {\tfrac {p}{1+e}},}$${\displaystyle {\tfrac {p}{1-e}}.}$${\displaystyle \theta}$

${\ Displaystyle \ po lewej [-\ cos ^ {-1} \ po lewej (- {\ Frac {1} {e}} \ po prawej) <\ theta < \ cos ^ {-1} \ po lewej (- {\ Frac { 1}{e}}\prawo)\prawo]}$

a dla paraboli zasięg wynosi

${\ Displaystyle \ po lewej [- \ pi < \ theta < \ pi \ po prawej]}$

Stosując regułę łańcucha do różniczkowania ( 5 ), równanie ( 2 ) i definicję p, ponieważ otrzymujemy, że składowa prędkości promieniowej jest równa ${\ Displaystyle {\ Frac {H ^ {2}} {\ alfa}}}$

${\ Displaystyle V_ {r} = {\ kropka {r}} = {\ Frac {H} {p}} \ cdot e \ cdot \ sin \ theta = {\ sqrt {\ Frac {\ alfa} {p}} }\cdot e\cdot \sin \theta }$

( 18 )

i że składowa styczna (składowa prędkości prostopadła do ) to ${\displaystyle V_{r}}$

${\ Displaystyle V_ {t} = r \ cdot {\ kropka {\ theta}} = {\ Frac {H} {r}} = {\ sqrt {\ Frac {\ alfa} {p}}} \ cdot (1 +e\cdot \cos \theta )}$

( 19 )

Związek między argumentem biegunowym a czasem t jest nieco inny dla orbit eliptycznych i hiperbolicznych. ${\displaystyle \theta}$

W przypadku orbity eliptycznej przełącza się na „ ekscentryczną anomalię ” E, dla której

${\ Displaystyle x = a \ cdot \ cos e}$

( 20 )

${\ Displaystyle y = b \ cdot \ sin E}$

( 21 )

i konsekwentnie

${\ Displaystyle {\ kropka {x}} = - a \ cdot \ grzech e \ cdot {\ kropka {e}}}$

( 22 )

${\ Displaystyle {\ kropka {y}} = b \ cdot \ cos e \ cdot {\ kropka {e}}}$

( 23 )

a moment pędu H wynosi

${\ Displaystyle H = x \ cdot {\ kropka {y}} -y \ cdot {\ kropka {x}} = a \ cdot b \ cdot (1-e \ cdot \ cos e) \ cdot {\ kropka {e }}}$

( 24 )

Całkowanie względem czasu t daje

${\ Displaystyle H \ cdot t = a \ cdot b \ cdot (EE \ cdot \ sin E)}$

( 25 )

przy założeniu, że czas jest tak dobrany, że stała całkowania wynosi zero. ${\displaystyle t=0}$

Jak z definicji p jeden ma one

${\ Displaystyle H = {\ sqrt {\ alfa \ cdot p}}}$

( 26 )

można to napisać

${\ Displaystyle t = a \ cdot {\ sqrt {\ Frac {a} {\ alfa}}} (EE \ cdot \ sin E)}$

( 27 )

W przypadku orbity hiperbolicznej do parametryzacji wykorzystuje się funkcje hiperboliczne

${\ Displaystyle x = a \ cdot (e-\ cosh e)}$

( 28 )

${\ Displaystyle y = b \ cdot \ sinh E}$

( 29 )

dla którego się ma

${\ Displaystyle {\ kropka {x}} = - a \ cdot \ sinh e \ cdot {\ kropka {e}}}$

( 30 )

${\ Displaystyle {\ kropka {y}} = b \ cdot \ cosh e \ cdot {\ kropka {e}}}$

( 31 )

a moment pędu H wynosi

${\ Displaystyle H = x \ cdot {\ kropka {y}} -y \ cdot {\ kropka {x}} = a \ cdot b \ cdot (e \ cdot \ cosh e-1) \ cdot {\ kropka {e }}}$

( 32 )

Całkowanie względem czasu t dostaje

${\ Displaystyle H \ cdot t = a \ cdot b \ cdot (e \ cdot \ sinh EE)}$

( 33 )

tj

${\ Displaystyle t = a \ cdot {\ sqrt {\ Frac {a} {\ alfa}}} (e \ cdot \ sinh EE)}$

( 34 )

Aby znaleźć czas t, który odpowiada pewnej prawdziwej anomalii, oblicza się odpowiedni parametr E związany z czasem w relacji ( 27 ) dla orbity eliptycznej iw relacji ( 34 ) dla orbity hiperbolicznej. ${\displaystyle \theta}$

Zauważ, że relacje ( 27 ) i ( 34 ) definiują odwzorowanie między zakresami

${\ Displaystyle \ lewo [- \ infty < t < \ infty \ prawo] \ longleftrightarrow \ lewo [- \ infty < E < \ infty \ prawo]}$

Kilka dodatkowych formuł

Dla orbity eliptycznej otrzymujemy z ( 20 ) i ( 21 ), że

${\ Displaystyle r = a \ cdot (1-e \ cdot \ cos e)}$

( 35 )

i dlatego, że

${\ Displaystyle \ cos \ theta = {\ Frac {x} {r}} = {\ Frac {\ cos e} {1-e \ cdot \ cos e}}}$

( 36 )

Z ( 36 ) wynika, że

${\ Displaystyle \ tan ^ {2} {\ Frac {\ theta} {2}} = {\ Frac {1-\ cos \ theta} {1 + \ cos \ theta}} = {\ Frac {1-{\ frac {\cos Ee}{1-e\cdot \cos E}}}{1+{\frac {\cos Ee}{1-e\cdot \cos E}}}}={\frac {1-e \cdot \cos E-\cos E+e}{1-e\cdot \cos E+\cos Ee}}={\frac {1+e}{1-e}}\cdot {\frac {1-\ cos E}{1+\cos E}}={\frac {1+e}{1-e}}\cdot \tan ^{2}{\frac {E}{2}}}$

Z konstrukcji geometrycznej definiującej anomalię ekscentryczną jasno wynika, że ​​wektory i znajdują się po tej samej stronie osi x . Z tego wynika, że ​​wektory i znajdują się w tym samym kwadrancie. Dlatego ma się to has ${\ Displaystyle (\ cos e, \ sin e)}$${\displaystyle (\cos \theta,\sin \theta)}$${\ Displaystyle \ lewo (\ cos {\ tfrac {e} {2}}, \ grzech {\ tfrac {e} {2}} \ po prawej)}$${\displaystyle \lewo (\cos {\tfrac {\theta}{2}},\sin {\tfrac {\theta}{2}}\prawo)}$

${\displaystyle \tan {\frac {\theta}{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \tan {\frac {e}{2}}}$

( 37 )

i to

${\ Displaystyle \ theta = 2 \ cdot \ arg \ lewo ({\ sqrt {1-e}} \ cdot \ cos {\ Frac {E} {2}}, {\ sqrt {1 + e}} \ cdot \ grzech {\frac {E}{2}}\prawo)+n\cdot 2\pi }$

( 38 )

${\ Displaystyle E = 2 \ cdot \ arg \ lewo ({\ sqrt {1 + e}} \ cdot \ cos {\ frac {\ theta} {2}}, {\ sqrt {1-e}} \ cdot \ grzech {\frac {\theta }{2}}\right)+n\cdot 2\pi }$

( 39 )

gdzie " " jest argumentem biegunowym wektora, a n jest wybrane tak, że${\ Displaystyle \ arg (x, y)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle |e-\theta |<\pi}$

Do obliczeń numerycznych można użyć standardowej funkcji ATAN2(y,x) (lub o podwójnej precyzji DATAN2(y,x)) dostępnej np. w języku programowania FORTRAN . ${\ Displaystyle \ arg (x, y)}$

Zauważ, że jest to mapowanie między zakresami

${\ Displaystyle \ lewo [- \ infty < \ theta < \ infty \ prawo] \ longleftrightarrow \ lewo [- \ infty < E < \ infty \ prawo]}$

Dla orbity hiperbolicznej otrzymujemy z ( 28 ) i ( 29 ) że

${\ Displaystyle r = a \ cdot (e \ cdot \ cosh E-1)}$

( 40 )

i dlatego, że

${\ Displaystyle \ cos \ theta = {\ Frac {x} {r}} = {\ Frac {e-\ Cosh E} {e \ cdot \ Cosh E-1}}}$

( 41 )

NS

${\ Displaystyle \ tan ^ {2} {\ Frac {\ theta} {2}} = {\ Frac {1-\ cos \ theta} {1 + \ cos \ theta}} = {\ Frac {1-{\ frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}{1+{\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}}={\frac {e\cdot \cosh E-e+\cosh E}{e\cdot \cosh E+e-\cosh E}}={\frac {e+1}{e-1}}\cdot {\frac {\ cosh E-1}{\cosh E+1}}={\frac {e+1}{e-1}}\cdot \tanh ^{2}{\frac {E}{2}}}$

i jak i mają ten sam znak, wynika z tego, że ${\displaystyle \tan {\frac {\theta}{2}}}$${\ Displaystyle \ tanh {\ Frac {E} {2}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\theta}{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\cdot \tanh {\frac {e}{2}}}$

( 42 )

Relacja ta jest wygodna do przechodzenia między „prawdziwą anomalią” a parametrem E , przy czym ten ostatni jest powiązany z czasem poprzez relację ( 34 ). Zauważ, że jest to mapowanie między zakresami

${\ Displaystyle \ po lewej [-\ cos ^ {-1} \ po lewej (- {\ Frac {1} {e}} \ po prawej) <\ theta < \ cos ^ {-1} \ po lewej (- {\ Frac { 1}{e}}\right)\right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}$

i można to obliczyć za pomocą relacji ${\displaystyle {\tfrac {E}{2}}}$

${\ Displaystyle \ tanh ^ {-1} x = {\ Frac {1} {2}} \ ln \ lewo ({\ Frac {1 + x} {1-x}} \ prawej)}$

Z zależności ( 27 ) wynika, że ​​okres orbitalny P dla orbity eliptycznej wynosi

${\ Displaystyle P = 2 \ pi \ cdot a \ cdot {\ sqrt {\ Frac {a} {\ alfa}}}}$

( 43 )

Ponieważ energia potencjalna odpowiadająca polu sił relacji ( 1 ) wynosi

${\displaystyle -{\frac {\alfa}}{r}}}$

z ( 13 ), ( 14 ), ( 18 ) i ( 19 ) wynika, że ​​suma energii kinetycznej i potencjalnej

${\ Displaystyle {\ Frac {{V_ {R}} ^ {2} + {V_ {T}} ^ {2}} {2}} - {\ Frac {\ alfa} {r}}}$

dla orbity eliptycznej jest

${\ Displaystyle - {\ Frac {\ alfa} {2 \ cdot a}}}$

( 44 )

oraz z ( 13 ), ( 16 ), ( 18 ) i ( 19 ), że suma energii kinetycznej i potencjalnej orbity hiperbolicznej wynosi

${\displaystyle {\frac {\alfa}}{2\cdot a}}}$

( 45 )

Względem bezwładnościowego układu współrzędnych coordinate

${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}}, {\ kapelusz {y}}}$

w płaszczyźnie orbity w kierunku perycentrum z ( 18 ) i ( 19 ) wynika, że ​​składowe prędkości są ${\displaystyle {\kapelusz {x}}}$

${\ Displaystyle V_ {x} = \ cos \ theta \ cdot V_ {r} - \ sin \ theta \ cdot V_ {t} = - {\ sqrt {\ Frac {\ alfa} {p}}} \ cdot \ sin \theta}$

( 46 )

${\ Displaystyle V_ {y} = \ sin \ theta \ cdot V_ {R} + \ cos \ theta \ cdot V_ {t} = {\ sqrt {\ Frac {\ alfa} {p}}} \ cdot (e + \ cos \theta )}$

( 47 )

Zobacz także Równanie centrum – Rozszerzenia analityczne

Równanie środka wiąże średnią anomalię z prawdziwą anomalią dla orbit eliptycznych, dla małego mimośrodu numerycznego.

Wyznaczenie orbity Keplera odpowiadającej danemu stanowi początkowemu

Jest to „ problem z wartością początkową ” dla równania różniczkowego ( 1 ), które jest równaniem pierwszego rzędu dla 6-wymiarowego „wektora stanu” zapisanego jako ${\ Displaystyle ({\ bar {r}}, {\ bar {v}})}$

${\displaystyle {\dot {\bar {v}}}=-\alfa \cdot {\frac {\kapelusz {r}}{r^{2}}}}$

( 48 )

${\displaystyle {\dot {\bar {r}}}={\bar {v}}}$

( 49 )

Dla dowolnych wartości początkowego „wektora stanu” orbitę Keplera odpowiadającą rozwiązaniu tego problemu wartości początkowej można znaleźć za pomocą następującego algorytmu: ${\ Displaystyle ({\ bar {r_ {0}}}, {\ bar {v_ {0}}})}$

Zdefiniuj ortogonalne wektory jednostkowe poprzez ${\ Displaystyle ({\ kapelusz {R}}, {\ kapelusz {t}})}$

${\displaystyle {\bar {r_{0}}}=r\cdot {\kapelusz {r}}}$

( 50 )

${\displaystyle {\bar {v_{0}}}=V_{r}\cdot {\kapelusz {r}}+V_{t}\cdot {\kapelusz {t}}}$

( 51 )

z i${\displaystyle r>0}$${\ Displaystyle V_ {t}> 0}$

Z ( 13 ), ( 18 ) i ( 19 ) wynika, że ​​przez ustawienie

${\ Displaystyle p = {\ Frac {{(r \ cdot V_ {t})} ^ {2}} {\ alfa}}}$

( 52 )

i poprzez zdefiniowanie i takie, że ${\displaystyle e\geq 0}$${\displaystyle \theta}$

${\ Displaystyle e \ cdot \ cos \ theta = {\ Frac {V_ {t}} {V_ {0}}} -1}$

( 53 )

${\ Displaystyle e \ cdot \ sin \ theta = {\ Frac {V_ {R}} {V_ {0}}}}$

( 54 )

gdzie

${\ Displaystyle V_ {0}= {\ sqrt {\ Frac {\ alfa} {p}}}}$

( 55 )

dostaje orbity Kepler że prawdziwa anomalia ma taką samą R , i wartości jak te określone przez ( 50 ) i ( 51 ). ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle V_{r}}$${\ Displaystyle V_ {t}}$

Jeśli ta orbita Keplera również ma te same wektory dla tej prawdziwej anomalii, jak te zdefiniowane przez ( 50 ) i ( 51 ) wektor stanu orbity Keplera przyjmuje żądane wartości dla prawdziwej anomalii . ${\ Displaystyle ({\ kapelusz {R}}, {\ kapelusz {t}})}$${\displaystyle \theta}$${\ Displaystyle ({\ bar {r}}, {\ bar {v}})}$${\ Displaystyle ({\ bar {r_ {0}}}, {\ bar {v_ {0}}})}$${\displaystyle \theta}$

Standardowy bezwładnościowo ustalony układ współrzędnych w płaszczyźnie orbity (z kierunkiem od środka kuli jednorodnej do perycentrum) określający orientację przekroju stożkowego (elipsa, parabola lub hiperbola) można następnie wyznaczyć z zależności ${\ Displaystyle ({\ kapelusz {x}}, {\ kapelusz {y}})}$${\displaystyle {\kapelusz {x}}}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}} = \ cos \ theta \ cdot {\ kapelusz {r}} - \ grzech \ theta \ cdot {\ kapelusz {t}}}$

( 56 )

${\ Displaystyle {\ kapelusz {y}} = \ grzech \ theta \ cdot {\ kapelusz {r}} + \ cos \ theta \ cdot {\ kapelusz {t}}}$

( 57 )

Zauważ, że relacje ( 53 ) i ( 54 ) mają osobliwość, gdy i ${\ Displaystyle V_ {r} = 0}$

${\ Displaystyle V_ {t} = V_ {0}= {\ sqrt {\ Frac {\ alfa} {p}}} = {\ sqrt {\ Frac {\ alfa} {\ Frac {{(r \ cdot V_ { t})}^{2}}{\alfa }}}}}$

tj

${\ Displaystyle V_ {t} = {\ sqrt {\ Frac {\ alfa} {r}}}}$

( 58 )

co oznacza, że ​​jest to orbita kołowa, która pasuje do stanu początkowego ${\ Displaystyle ({\ bar {r_ {0}}}, {\ bar {v_ {0}}})}$

Oskulująca orbita Keplera

Dla dowolnego wektora stanu orbitę Keplera odpowiadającą temu stanowi można obliczyć za pomocą algorytmu zdefiniowanego powyżej. Najpierw wyznaczane są parametry, a następnie ortogonalne wektory jednostkowe na płaszczyźnie orbity z zależności ( 56 ) i ( 57 ). ${\ Displaystyle ({\ bar {r}}, {\ bar {v}})}$${\displaystyle p,e,\theta}$${\ Displaystyle r, V_ {r}, V_ {t}}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}}, {\ kapelusz {y}}}$

Jeśli teraz równanie ruchu to

${\ Displaystyle {\ ddot {\ bar {r}}} = \ nazwa operatora {\ bar {f}} ({\ bar {r}}, {\ kropka {\ bar {r}}}, t)}$

( 59 )

gdzie

${\ Displaystyle \ operatorname {\ bar {F}} ({\ bar {r}}, {\ kropka {\ bar {r}}}, t)}$

jest funkcją inną niż

${\ Displaystyle - \ alfa \ cdot {\ Frac {\ kapelusz {R}} {r ^ {2}}}}$

otrzymane parametry

${\displaystyle p,e,\theta,{\kapelusz {x}},{\kapelusz {y}}}$

zdefiniowane przez będą się zmieniać w czasie, w przeciwieństwie do przypadku orbity Keplera, dla której zmienia się tylko parametr ${\displaystyle {\bar {r}},{\kropka {\bar {r}}}}$${\displaystyle \theta}$

Orbita Keplera obliczona w ten sposób ma taki sam „wektor stanu” jak rozwiązanie „równania ruchu” ( 59 ) w czasie t, o którym mówi się, że w tym czasie „oskuluje”.

Ta koncepcja jest przydatna na przykład w przypadku

${\ Displaystyle \ operatorname {\ bar {F}} ({\ bar {r}}, {\ kropka {\ bar {r}}}, t) = - \ alfa \ cdot {\ Frac {\ kapelusz {r} }{r^{2}}}+\nazwa operatora {\bar {f}} ({\bar {r}},{\dot {\bar {r}}},t)}$

gdzie

${\ Displaystyle \ operatorname {\ bar {f}} ({\ bar {r}}, {\ kropka {\ bar {r}}}, t)}$

jest małą „siłą zaburzającą” spowodowaną na przykład słabym przyciąganiem grawitacyjnym innych ciał niebieskich. Parametry oscylującej orbity Keplera będą się wówczas zmieniać tylko powoli, a oscylująca orbita Keplera jest dobrym przybliżeniem do rzeczywistej orbity przez znaczny okres czasu przed i po czasie oskulowania.

Ta koncepcja może być również przydatna w przypadku rakiety podczas lotu z napędem, ponieważ mówi wtedy, po której orbicie Keplera rakieta będzie kontynuowała, gdyby ciąg został wyłączony.

Dla orbity „blisko kołowej” przydatne jest pojęcie „ wektora ekscentryczności ” . Z ( 53 ), ( 54 ) i ( 56 ) wynika, że ${\displaystyle {\bar {e}}=e\cdot {\kapelusz {x}}}$

${\ Displaystyle {\ bar {e}} = {\ Frac {(V_ {T}-V_ {0}) \ cdot {\ kapelusz {R}} - V_ {R} \ cdot {\ kapelusz {t}}} {V_{0}}}}$

( 60 )