Energia kinetyczna - Kinetic energy

Energia kinetyczna
Drewniana kolejka górska txgi.jpg
Samochody kolejki górskiej osiągają maksymalną energię kinetyczną, gdy znajdują się na dole ścieżki. Kiedy zaczynają rosnąć, energia kinetyczna zaczyna być przekształcana w potencjalną energię grawitacyjną . Suma energii kinetycznej i potencjalnej w układzie pozostaje stała, ignorując straty tarcia .
Wspólne symbole
KE, E K lub T
Jednostka SI dżul (J)
Pochodne z
innych wielkości
E k = 1/2m v 2
E k = E t + E r
Malarka nieznana: Émilie du Châtelet (1706-1749) z cyrklem w prawej ręce. Jako pierwsza opublikowała zależność na energię kinetyczną . Oznacza to, że obiekt z dwukrotnie większą prędkością uderza cztery razy – 2x2 – mocniej.

W fizyce , energia kinetyczna obiektu jest energia , że posiada ze względu na jego ruch . Definiuje się ją jako pracę potrzebną do przyspieszenia ciała o danej masie od spoczynku do jego zadanej prędkości . Otrzymawszy tę energię podczas przyspieszania , ciało utrzymuje tę energię kinetyczną, dopóki nie zmieni się jego prędkość. Tę samą pracę wykonuje ciało podczas zwalniania z aktualnej prędkości do stanu spoczynku.

W mechanice klasycznej energia kinetyczna niewirującego obiektu o masie m poruszającego się z prędkością v wynosi . W mechanice relatywistycznej jest to dobre przybliżenie tylko wtedy, gdy v jest znacznie mniejsze niż prędkość światła .

Standardowa jednostka energii kinetycznej jest dżul , natomiast jednostka English energii kinetycznej jest stopa-funt .

Historia i etymologia

Przymiotnik kinetyczna ma swoje korzenie w greckim słowem κίνησις Kinesis , czyli „ruch”. Dychotomię między energią kinetyczną a energią potencjalną można wywieść z koncepcji aktualności i potencjalności Arystotelesa .

Zasada w mechanice klasycznej że E a mv 2 został opracowany przez Gottfrieda Leibniza i Johann Bernoulli , który opisał energię kinetyczną jako siły życiowej , vis viva . Holenderski Gravesande Willema dostarczył eksperymentalnych dowodów tego związku. Upuszczając ciężarki z różnych wysokości na blok gliny, Willem's Gravesande ustalił, że ich głębokość penetracji była proporcjonalna do kwadratu prędkości uderzenia. Émilie du Châtelet rozpoznała implikacje eksperymentu i opublikowała wyjaśnienie.

Terminy energia kinetyczna i praca w obecnym znaczeniu naukowym sięgają połowy XIX wieku. Wczesne zrozumienie tych idei można przypisać Gaspard-Gustave Coriolisowi , który w 1829 roku opublikował pracę zatytułowaną Du Calcul de l'Effet des Machines opisującą matematykę energii kinetycznej. William Thomson , późniejszy Lord Kelvin, przypisuje się ukuciu terminu „energia kinetyczna”. 1849–51. Rankine , który wprowadził termin „energia potencjalna” w 1853 r. i uzupełniając ją frazą „energia rzeczywista”, później cytuje Williama Thomsona i Petera Taita, którzy zastąpili słowo „kinetyczny” zamiast „rzeczywista”.

Przegląd

Energia występuje w wielu postaciach, w tym energią chemiczną , energii cieplnej , promieniowanie elektromagnetyczne , energii grawitacyjnej , energii elektrycznej , energii sprężystej , energii jądrowej oraz energii spoczynkowej . Można je podzielić na dwie główne klasy: energia potencjalna i energia kinetyczna. Energia kinetyczna to energia ruchu obiektu. Energia kinetyczna może być przenoszona między obiektami i przekształcana w inne rodzaje energii.

Energię kinetyczną można najlepiej zrozumieć na przykładach, które pokazują, w jaki sposób jest przekształcana do i z innych form energii. Na przykład rowerzysta wykorzystuje energię chemiczną dostarczaną przez jedzenie, aby przyspieszyć rower do wybranej prędkości. Na płaskiej powierzchni prędkość tę można utrzymać bez dalszej pracy, z wyjątkiem pokonania oporu powietrza i tarcia . Energia chemiczna została zamieniona na energię kinetyczną, energię ruchu, ale proces nie jest całkowicie wydajny i wytwarza ciepło wewnątrz rowerzysty.

Energię kinetyczną poruszającego się rowerzysty i roweru można przekształcić w inne formy. Na przykład rowerzysta może napotkać wzgórze wystarczająco wysokie, aby podjechać do góry, tak że rower całkowicie się zatrzymał na szczycie. Energia kinetyczna została teraz w dużej mierze zamieniona na potencjalną energię grawitacji, którą można uwolnić podczas swobodnego poruszania się po drugiej stronie wzgórza. Ponieważ rower stracił część energii na skutek tarcia, nigdy nie odzyskuje pełnej prędkości bez dodatkowego pedałowania. Energia nie ulega zniszczeniu; został przekształcony w inną formę tylko przez tarcie. Alternatywnie, rowerzysta może podłączyć dynamo do jednego z kół i generować trochę energii elektrycznej podczas zjazdu. Rower poruszałby się wolniej u podnóża wzgórza niż bez generatora, ponieważ część energii została zamieniona na energię elektryczną. Inną możliwością byłoby użycie przez rowerzystę hamulców, w którym to przypadku energia kinetyczna zostałaby rozproszona poprzez tarcie w postaci ciepła .

Jak każdy wielkości fizycznej, która jest funkcją prędkości, energia kinetyczna obiektu zależy od relacji między przedmiotem i obserwatora układu odniesienia . Zatem energia kinetyczna obiektu nie jest niezmienna .

Statki kosmiczne wykorzystują energię chemiczną do startu i zyskują znaczną energię kinetyczną, aby osiągnąć prędkość orbitalną . Na całkowicie kołowej orbicie ta energia kinetyczna pozostaje stała, ponieważ w przestrzeni ziemskiej prawie nie występuje tarcie. Jednak staje się to widoczne przy ponownym wejściu, gdy część energii kinetycznej jest zamieniana na ciepło. Jeżeli orbita jest eliptyczna lub hiperboliczna , to na całej orbicie następuje wymiana energii kinetycznej i potencjalnej ; Energia kinetyczna jest największa, a energia potencjalna najniższa przy najbliższym zbliżeniu do Ziemi lub innego masywnego ciała, podczas gdy energia potencjalna jest największa, a energia kinetyczna najmniejsza przy maksymalnej odległości. Jednak bez strat lub zysków suma energii kinetycznej i potencjalnej pozostaje stała.

Energia kinetyczna może być przekazywana z jednego obiektu na drugi. W grze w bilard gracz wywiera energię kinetyczną na bili uderzając ją kijem. Jeśli biała bila zderzy się z inną bilą, drastycznie spowalnia, a uderzona bila przyspiesza swoją prędkość w miarę przekazywania na nią energii kinetycznej. Zderzenia w bilardzie to zderzenia sprężyste , w których zachowana jest energia kinetyczna. W zderzeniach niesprężystych energia kinetyczna jest rozpraszana w różnych formach energii, takich jak ciepło, dźwięk, energia wiązania (rozerwanie struktur wiązanych).

Koła zamachowe zostały opracowane jako metoda magazynowania energii . To pokazuje, że energia kinetyczna jest również magazynowana w ruchu obrotowym.

Istnieje kilka matematycznych opisów energii kinetycznej, które opisują ją w odpowiedniej sytuacji fizycznej. Dla obiektów i procesów w powszechnym ludzkim doświadczeniu odpowiedni jest wzór ½mv² podany przez mechanikę newtonowską (klasyczną) . Jeśli jednak prędkość obiektu jest porównywalna z prędkością światła, efekty relatywistyczne stają się znaczące i stosuje się formułę relatywistyczną. Jeśli obiekt znajduje się w skali atomowej lub subatomowej , efekty mechaniki kwantowej są znaczące i należy zastosować model mechaniki kwantowej.

Newtonowska energia kinetyczna

Energia kinetyczna ciał sztywnych

W mechanice klasycznej energia kinetyczna obiektu punktowego (obiektu tak małego, że jego masa może być założona w jednym punkcie) lub nieobrotowego ciała sztywnego zależy od masy tego ciała oraz jego prędkości . Energia kinetyczna jest równa 1/2 iloczynu masy i kwadratu prędkości. W formie wzoru:

gdzie jest masa i jest prędkością (lub prędkością) ciała. W jednostkach SI masa jest mierzona w kilogramach , prędkość w metrach na sekundę , a uzyskana energia kinetyczna jest w dżulach .

Na przykład można obliczyć energię kinetyczną masy 80 kg (około 180 funtów) poruszającej się z prędkością 18 metrów na sekundę (około 40 mil na godzinę lub 65 km/h) jako

Kiedy osoba rzuca piłkę, osoba pracuje nad nią, aby nadać jej prędkość, gdy opuszcza rękę. Poruszająca się piłka może wtedy w coś uderzyć i popchnąć, wykonując pracę nad tym, w co uderza. Energia kinetyczna poruszającego się obiektu jest równa pracy wymaganej do doprowadzenia go ze stanu spoczynku do tej prędkości lub pracy, jaką obiekt może wykonać w stanie spoczynku: siła wypadkowa × przemieszczenie = energia kinetyczna , tj.

Ponieważ energia kinetyczna rośnie wraz z kwadratem prędkości, obiekt podwajający swoją prędkość ma cztery razy więcej energii kinetycznej. Na przykład samochód jadący dwa razy szybciej niż inny potrzebuje cztery razy większej odległości do zatrzymania, przy założeniu stałej siły hamowania. W wyniku tego czterokrotnego zwiększenia prędkości trzeba czterokrotnie więcej pracy.

Energia kinetyczna obiektu jest powiązana z jego pędem równaniem:

gdzie:

  • jest pęd
  • to masa ciała

Dla translacyjnej energii kinetycznej, czyli energii kinetycznej związanej z ruchem prostoliniowym , ciała sztywnego o stałej masie , którego środek masy porusza się w linii prostej z prędkością , jak widać powyżej, jest równa

gdzie:

  • to masa ciała
  • to prędkość środka masy ciała.

Energia kinetyczna dowolnej jednostki zależy od układu odniesienia, w którym jest mierzona. Jednak całkowita energia systemu izolowanego, tj. takiego, w którym energia nie może wejść ani wyjść, nie zmienia się w czasie w układzie odniesienia, w którym jest mierzona. W ten sposób energia chemiczna przekształcona w energię kinetyczną przez silnik rakietowy jest dzielona w różny sposób między statek rakietowy i jego strumień spalin, w zależności od wybranej ramki odniesienia. Nazywa się to efektem Obertha . Jednak całkowita energia systemu, w tym energia kinetyczna, energia chemiczna paliwa, ciepło itp., jest zachowywana w czasie, niezależnie od wyboru układu odniesienia. Różni obserwatorzy poruszający się w różnych układach odniesienia nie byliby jednak zgodni co do wartości tej zachowanej energii.

Energia kinetyczna takich układów zależy od wyboru układu odniesienia: układem odniesienia, który daje minimalną wartość tej energii, jest środek układu pędu , czyli układ odniesienia, w którym całkowity pęd układu wynosi zero. Ta minimalna energia kinetyczna wpływa na niezmienną masę układu jako całości.

Pochodzenie

Bez wektorów i rachunku różniczkowego

Praca W wykonana przez siłę F na obiekcie na odległości s równoległej do F jest równa

.

Korzystanie z drugiego prawa Newtona

o m masa i przyspieszanie przedmiotu i

odległość przebytą przez przyspieszany obiekt w czasie t , znajdujemy dla prędkości v obiektu

Z wektorami i rachunkiem różniczkowym

Praca wykonana przy przyspieszaniu cząstki o masie m w nieskończenie małym przedziale czasu dt jest iloczynem skalarnym siły F i nieskończenie małego przemieszczenia d x

gdzie założyliśmy zależność p  =  m  v i ważność drugiego prawa Newtona . (Jednak zobacz także specjalne relatywistyczne wyprowadzenie poniżej .)

Stosując regułę produktu widzimy, że:

Dlatego (zakładając stałą masę, tak że dm = 0), mamy,

Ponieważ jest to różniczka całkowita (to znaczy zależy tylko od stanu końcowego, a nie od tego, jak się tam dostała), możemy ją scałkować i wynikową energię kinetyczną nazwać. Zakładając, że obiekt znajdował się w spoczynku w czasie 0, całkujemy od czasu 0 do czasu t, ponieważ praca wykonana przez siłę w celu doprowadzenia obiektu z spoczynku do prędkości v jest równa pracy niezbędnej do wykonania odwrotności:

To równanie stwierdza, że energia kinetyczna ( E k ) jest równa całce z iloczynu skalarnego do prędkości ( v ) z korpusu i nieskończenie małej zmiany w organizmie pędu ( p ). Zakłada się, że ciało w stanie spoczynku (nieruchome) startuje bez energii kinetycznej.

Obrotowe korpusy

Jeśli sztywne ciało Q obraca się wokół dowolnej linii przechodzącej przez środek masy, wówczas ma obrotową energię kinetyczną ( ), która jest po prostu sumą energii kinetycznych jego ruchomych części, a zatem jest dana wzorem:

gdzie:

(W tym równaniu moment bezwładności należy przyjąć wokół osi przechodzącej przez środek masy, a obrót mierzony przez ω musi być wokół tej osi; bardziej ogólne równania istnieją dla układów, w których obiekt podlega chwianiu ze względu na jego mimośrodowy kształt) .

Energia kinetyczna systemów

Układ ciał może mieć wewnętrzną energię kinetyczną ze względu na ruch względny ciał w układzie. Na przykład w Układzie Słonecznym planety i planetoidy krążą wokół Słońca. W zbiorniku z gazem cząsteczki poruszają się we wszystkich kierunkach. Energia kinetyczna układu jest sumą energii kinetycznych zawartych w nim ciał.

Ciało makroskopowe, które jest nieruchome (tj. wybrano układ odniesienia, aby odpowiadało środkowi pędu ciała ) może mieć różne rodzaje energii wewnętrznej na poziomie molekularnym lub atomowym, które można uznać za energię kinetyczną, ze względu na translację molekularną, rotacja i wibracje, translacja elektronów i spin oraz spin jądrowy. Wszystko to ma wpływ na masę ciała, jak zapewnia szczególna teoria względności. Omawiając ruchy ciała makroskopowego, odnosi się zwykle do energii kinetycznej tylko ruchu makroskopowego. Jednak wszystkie wewnętrzne energie wszystkich typów przyczyniają się do masy ciała, bezwładności i całkowitej energii.

Dynamika płynów

W dynamice płynów energia kinetyczna na jednostkę objętości w każdym punkcie pola przepływu nieściśliwego płynu nazywana jest ciśnieniem dynamicznym w tym punkcie.

Dzieląc przez V, jednostka objętości:

gdzie jest ciśnieniem dynamicznym, a ρ jest gęstością nieściśliwego płynu.

Ramy Odniesienia

Prędkość, a tym samym energia kinetyczna pojedynczego obiektu jest zależna od klatki (względna): może przyjąć dowolną nieujemną wartość, wybierając odpowiedni układ inercyjny . Na przykład pocisk przechodzący przez obserwatora ma energię kinetyczną w układzie odniesienia tego obserwatora. Ten sam pocisk jest nieruchomy dla obserwatora poruszającego się z taką samą prędkością jak pocisk, a więc ma zerową energię kinetyczną. Natomiast całkowita energia kinetyczna układu obiektów nie może być zredukowana do zera przez odpowiedni dobór bezwładnościowego układu odniesienia, chyba że wszystkie obiekty mają tę samą prędkość. W każdym innym przypadku całkowita energia kinetyczna ma niezerowe minimum, ponieważ nie można wybrać bezwładnościowego układu odniesienia, w którym wszystkie obiekty są nieruchome. Ta minimalna energia kinetyczna wpływa na niezmienną masę układu , która jest niezależna od układu odniesienia.

Całkowita energia kinetyczna układu zależy od bezwładnościowego układu odniesienia : jest to suma całkowitej energii kinetycznej w środku układu pędu i energii kinetycznej, jaką miałaby całkowita masa, gdyby była skoncentrowana w środku masy .

Można to po prostu pokazać: niech będzie względna prędkość środka masy ramy i w układzie k . Odkąd

Następnie,

Niech jednak energia kinetyczna w układzie środka masy byłaby po prostu całkowitym pędem, czyli z definicji zero w układzie środka masy, i niech masa całkowita: . Zastępując otrzymujemy:

Zatem energia kinetyczna układu jest najniższa do środka układu odniesienia pędu, tj. układu odniesienia, w którym środek masy jest nieruchomy (albo środek układu masy, albo inny środek układu pędu ). W każdym innym układzie odniesienia istnieje dodatkowa energia kinetyczna odpowiadająca całkowitej masie poruszającej się z prędkością środka masy. Energia kinetyczna układu w środku układu pędu jest wielkością niezmienną (wszyscy obserwatorzy widzą ją jako taką samą).

Rotacja w systemach

Czasami wygodnie jest podzielić całkowitą energię kinetyczną ciała na sumę translacyjnej energii kinetycznej środka masy ciała i energii obrotu wokół środka masy ( energia obrotowa ):

gdzie:

  • E k jest całkowitą energią kinetyczną
  • E t jest translacyjną energią kinetyczną
  • E r jest energią obrotową lub kątową energią kinetyczną w spoczynkowej ramce

Zatem energia kinetyczna piłki tenisowej w locie to energia kinetyczna wynikająca z jej obrotu plus energia kinetyczna wynikająca z jej translacji.

Relatywistyczna energia kinetyczna ciał sztywnych

Jeśli prędkość ciała jest znaczącym ułamkiem prędkości światła , do obliczenia jego energii kinetycznej konieczne jest zastosowanie mechaniki relatywistycznej. W szczególnej teorii względności wyrażenie na pęd liniowy jest modyfikowane.

Gdy m jest masą spoczynkową obiektu , v i v jego prędkością i prędkością, a c prędkością światła w próżni, używamy wyrażenia na pęd liniowy , gdzie .

Całkowanie według uzysków części

Ponieważ ,

jest stałą całkowania dla całki nieoznaczonej .

Upraszczając wyrażenie, które otrzymujemy

znajduje się obserwując, że kiedy i , dając

w wyniku czego powstaje formuła

Ten wzór pokazuje, że praca włożona w przyspieszenie obiektu ze spoczynku zbliża się do nieskończoności, gdy prędkość zbliża się do prędkości światła. Zatem niemożliwe jest przyspieszenie obiektu przez tę granicę.

Matematycznym produktem ubocznym tych obliczeń jest wzór równoważności masy i energii — ciało w spoczynku musi mieć zawartość energetyczną

Przy małej prędkości ( vc ) relatywistyczna energia kinetyczna jest dobrze aproksymowana przez klasyczną energię kinetyczną. Odbywa się to przez aproksymację dwumianową lub przez wzięcie dwóch pierwszych członów rozwinięcia Taylora dla odwrotności pierwiastka kwadratowego:

Tak więc całkowita energia może być podzielona na pozostałą energię masy oraz energię kinetyczną Newtona przy niskich prędkościach.

Gdy obiekty poruszają się z prędkością znacznie wolniejszą niż światło (np. w codziennych zjawiskach na Ziemi), przeważają dwa pierwsze człony serii. Następny wyraz w aproksymacji szeregiem Taylora

jest mały dla niskich prędkości. Na przykład dla prędkości 10 km/s (22 000 mph) poprawka na energię kinetyczną Newtona wynosi 0,0417 J/kg (dla energii kinetycznej Newtona 50 MJ/kg), a dla prędkości 100 km/s 417 J/kg (na newtonowskiej energii kinetycznej 5 GJ/kg).

Relatywistyczną relację między energią kinetyczną a pędem wyraża

Można to również rozszerzyć jako szereg Taylora , którego pierwszym wyrazem jest proste wyrażenie z mechaniki Newtona:

Sugeruje to, że formuły na energię i pęd nie są szczególne i aksjomatyczne, ale pojęcia wyłaniające się z równoważności masy i energii oraz zasad względności.

Ogólna teoria względności

Stosując konwencję, że

gdzie cztery prędkości cząstki

i jest właściwym czasem cząstki, istnieje również wyrażenie na energię kinetyczną cząstki w ogólnej teorii względności .

Jeśli cząstka ma pęd

gdy przechodzi obok obserwatora z czterema prędkościami u obs , to wyrażenie na całkowitą energię obserwowanej cząstki (mierzonej w lokalnym układzie inercjalnym) jest

a energię kinetyczną można wyrazić jako energię całkowitą minus energia spoczynkowa:

Rozważmy przypadek metryki, która jest diagonalna i przestrzennie izotropowa ( g tt , g ss , g ss , g ss ). Odkąd

gdzie v α jest zwykłą prędkością mierzoną w układzie współrzędnych, otrzymujemy

Rozwiązywanie u t daje

Zatem dla obserwatora stacjonarnego ( v = 0)

a zatem energia kinetyczna przyjmuje postać

Wydzielenie pozostałej energii daje:

To wyrażenie sprowadza się do szczególnego przypadku relatywistycznego dla metryki płaskiej przestrzeni, gdzie

W przybliżeniu Newtona do ogólnej teorii względności

gdzie Φ jest newtonowskim potencjałem grawitacyjnym . Oznacza to, że zegary pracują wolniej, a pręty pomiarowe są krótsze w pobliżu masywnych ciał.

Energia kinetyczna w mechanice kwantowej

W mechanice kwantowej obserwowalne, takie jak energia kinetyczna, są przedstawiane jako operatory . Dla jednej cząstki o masie m operator energii kinetycznej pojawia się jako wyraz w hamiltonianie i jest zdefiniowany w kategoriach bardziej fundamentalnego operatora pędu . Operator energii kinetycznej w przypadku nierelatywistycznym można zapisać jako

Zauważ, że może to być uzyskane poprzez zastąpienie przez w klasycznym wyrażeniu na energię kinetyczną pod względem tempa ,

W obrazie Schrödingera , ma postać w której pochodna jest brana pod względem współrzędnych położenia i stąd

Wartość oczekiwana energii kinetycznej elektronu , dla układu N elektronów opisanego funkcją falową jest sumą wartości oczekiwanych operatora 1-elektronowego:

gdzie jest masa elektronu i jest operatorem Laplace'a działającym na współrzędne i- tego elektronu, a suma przebiega przez wszystkie elektrony.

Gęstość funkcjonalne formalizm mechaniki kwantowej wymaga znajomości gęstości elektronowej tylko , to znaczy, że formalnie nie wymaga znajomości funkcji falowej. Przy danej gęstości elektronowej dokładny funkcjonał energii kinetycznej N-elektronów jest nieznany; jednak dla konkretnego przypadku układu 1-elektronowego energia kinetyczna może być zapisana jako

gdzie jest znany jako funkcjonał energii kinetycznej von Weizsäckera .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki