Równanie Kleina-Gordona - Klein–Gordon equation

Równanie Klein-Gordon ( Klein-Focka-Gordon równanie lub czasem równanie Klein-Gordon-Focka ) jest Relatywistyczna równanie fali , związanych z równania Schrödingera . Jest drugim rzędu w przestrzeni i czasie i jest oczywiście kowariancją Lorentza . Jest to skwantowana wersja relatywistycznej relacji energia-pęd . Jego rozwiązania obejmują kwantowe pole skalarne lub pseudoskalarne , czyli pole, którego kwantami są cząstki bezobrotowe. Jego teoretyczne znaczenie jest podobne do równania Diraca . Oddziaływania elektromagnetyczne mogą być włączone, tworząc temat elektrodynamiki skalarnej , ale ponieważ zwykłe cząstki bezspinowe, takie jak piony, są niestabilne i również doświadczają oddziaływania silnego (z nieznanym terminem interakcji w hamiltonie ), ich praktyczna użyteczność jest ograniczona.

Równanie można przedstawić w postaci równania Schrödingera. W tej postaci jest wyrażony jako dwa sprzężone równania różniczkowe, każde pierwszego rzędu w czasie. Rozwiązania składają się z dwóch elementów, odzwierciedlających stopień swobody ładunku w teorii względności. Dopuszcza zachowaną ilość, ale nie jest to jednoznacznie określone. Funkcja falowa nie może być zatem interpretowana jako amplituda prawdopodobieństwa . Zachowana wielkość jest zamiast tego interpretowana jako ładunek elektryczny , a norma kwadratowa funkcji falowej jest interpretowana jako gęstość ładunku . Równanie opisuje wszystkie cząstki bezobrotowe o ładunku dodatnim, ujemnym i zerowym.

Każde rozwiązanie swobodnego równania Diraca jest, dla każdego z jego czterech składników, rozwiązaniem swobodnego równania Kleina-Gordona. Równanie Klein-Gordon nie tworzy podstawę zgodne kwantowej Relatywistyczna jeden cząstek teoretycznej. Nie jest znana taka teoria dla cząstek o dowolnym spinie. Do pełnego pogodzenia mechaniki kwantowej ze szczególną teorią względności potrzebna jest kwantowa teoria pola , w której równanie Kleina-Gordona pojawia się ponownie jako równanie przestrzegane przez składniki wszystkich wolnych pól kwantowych. W kwantowej teorii pola rozwiązania swobodnych (nieoddziałujących) wersji pierwotnych równań nadal odgrywają rolę. Są one potrzebne do zbudowania przestrzeni Hilberta (przestrzeń Focka ) i wyrażenia pól kwantowych za pomocą kompletnych zbiorów (obejmujących zbiory przestrzeni Hilberta) funkcji falowych.

Oświadczenie

Równanie Kleina-Gordona można zapisać na różne sposoby. Samo równanie zwykle odnosi się do postaci przestrzeni pozycyjnej, gdzie można je zapisać w postaci rozdzielonych składowych czasoprzestrzennych lub łącząc je w czterowektor . Przez transformację pola Fouriera w przestrzeń pędu, rozwiązanie jest zwykle zapisywane w postaci superpozycji fal płaskich, których energia i pęd są zgodne z relacją dyspersji energia-pęd ze szczególnej teorii względności . Tutaj równanie Kleina-Gordona jest podane dla obu dwóch wspólnych konwencji podpisów metrycznych .

Równanie Kleina-Gordona w jednostkach normalnych z podpisem metrycznym
Miejsce na pozycję

transformacja Fouriera

Przestrzeń pędu

Rozdzielony

czas i przestrzeń

Forma czterowektorowa

Tutaj jest operator d'Alembert i jest operatorem Laplace'a . Prędkość światła i stałej Plancka jest często postrzegana zaśmiecać równania, tak więc są one często wyrażane w jednostkach naturalnych gdzie .

Równanie Kleina-Gordona w jednostkach naturalnych z podpisem metrycznym
Miejsce na pozycję

transformacja Fouriera

Przestrzeń pędu

Rozdzielony

czas i przestrzeń

Forma czterowektorowa

W przeciwieństwie do równania Schrödingera, równanie Kleina-Gordona dopuszcza dwie wartości ω dla każdego k : jeden dodatni i jeden ujemny. Tylko oddzielając dodatnią i ujemną część częstotliwości, otrzymuje się równanie opisujące relatywistyczną funkcję falową. Dla przypadku niezależnego od czasu równanie Kleina-Gordona staje

które jest formalnie takie samo jak jednorodne ekranowane równanie Poissona .

Rozwiązanie dla wolnej cząstki

Tutaj równanie Kleina-Gordona w jednostkach naturalnych, , z sygnaturą metryczną, jest rozwiązywane przez transformację Fouriera. Wstawianie transformacji Fouriera

a użycie ortogonalności złożonych wykładników daje relację dyspersji
Ogranicza to pęd do tych, które leżą na powłoce , dając pozytywne i negatywne rozwiązania energetyczne
Dla nowego zestawu stałych , rozwiązanie staje się
Powszechne jest zajmowanie się rozwiązaniami z pozytywną i negatywną energią poprzez oddzielenie negatywnych energii i pracę tylko z pozytywnymi :
W ostatnim kroku zmieniono nazwę. Teraz możemy wykonać -całkowanie, pobierając tylko dodatnią część częstotliwości z funkcji delta:

Jest to powszechnie uważane za ogólne rozwiązanie równania Kleina-Gordona. Zauważ, że ponieważ początkowa transformacja Fouriera zawierała wielkości niezmiennicze Lorentza, jak tylko, ostatnie wyrażenie jest również niezmienniczym rozwiązaniem Lorentza równania Kleina-Gordona. Jeśli nie wymaga się niezmienności Lorentza, można wchłonąć współczynnik - do współczynników i .

Historia

Równanie zostało nazwane na cześć fizyków Oskara Kleina i Waltera Gordona , którzy w 1926 zaproponowali, że opisuje ono relatywistyczne elektrony. Inni autorzy wysuwający podobne twierdzenia w tym samym roku to Vladimir Fock , Johann Kudar, Théophile de Donder i Frans-H. van den Dungen i Louis de Broglie . Chociaż okazało się, że modelowanie spinu elektronu wymagało równania Diraca , równanie Kleina-Gordona poprawnie opisuje bezspinowe relatywistyczne cząstki kompozytowe , takie jak pion . 4 lipca 2012 r. Europejska Organizacja Badań Jądrowych CERN ogłosiła odkrycie bozonu Higgsa . Ponieważ bozon Higgsa jest cząstką o zerowym spinie, jest to pierwsza obserwowana pozornie cząstka elementarna, którą można opisać równaniem Kleina-Gordona. Konieczne są dalsze eksperymenty i analizy, aby ustalić, czy obserwowany bozon Higgsa pochodzi z Modelu Standardowego, czy też z bardziej egzotycznej, prawdopodobnie złożonej formy.

Równanie Kleina-Gordona zostało po raz pierwszy uznane za równanie fal kwantowych przez Schrödingera w jego poszukiwaniu równania opisującego fale de Broglie . Równanie to znajduje się w jego zeszytach z końca 1925 roku i wydaje się, że przygotował rękopis, stosując go do atomu wodoru. Jednak, ponieważ nie uwzględnia spinu elektronu, równanie to błędnie przewiduje subtelną strukturę atomu wodoru, w tym przeszacowanie ogólnej wielkości wzoru rozszczepienia o współczynnik 4 n/2 n - 1dla n-tego poziomu energii. Widmo relatywistyczne równania Diraca można jednak łatwo odtworzyć, jeśli liczbę kwantową l pędu orbitalnego zastąpimy całkowitą liczbą kwantową pędu kątowego j . W styczniu 1926 Schrödinger przedłożył do publikacji swoje równanie, nierelatywistyczne przybliżenie, które przewiduje poziomy energetyczne Bohra wodoru bez drobnej struktury .

W 1926 r., wkrótce po wprowadzeniu równania Schrödingera, Vladimir Fock napisał artykuł o jego uogólnieniu dla przypadku pól magnetycznych , gdzie siły były zależne od prędkości , i niezależnie wyprowadził to równanie. Zarówno Klein, jak i Fock stosowali metodę Kaluzy i Kleina. Fock określił również teorię cechowania dla równania falowego . Równanie Kleina-Gordona dla cząstki swobodnej ma proste rozwiązanie fali płaskiej .

Pochodzenie

Nierelatywistyczne równanie energii cząstki swobodnej to

Kwantując to, otrzymujemy nierelatywistyczne równanie Schrödingera dla cząstki swobodnej:

gdzie

jest operatorem pędu ( jest operatorem del ), a

jest operatorem energetycznym .

Równanie Schrödingera cierpi na to, że nie jest relatywistycznie niezmiennicze , co oznacza, że ​​jest niezgodne ze szczególną teorią względności .

Naturalną rzeczą jest próba użycia tożsamości ze szczególnej teorii względności opisującej energię:

Następnie, po prostu wstawiając operatory kwantowo-mechaniczne dla pędu i energii, otrzymujemy równanie

Pierwiastek kwadratowy operatora różniczkowego można zdefiniować za pomocą transformacji Fouriera , ale ze względu na asymetrię pochodnych czasoprzestrzennych Dirac stwierdził, że niemożliwe jest uwzględnienie zewnętrznych pól elektromagnetycznych w sposób relatywistycznie niezmienny. Poszukał więc innego równania, które można zmodyfikować, aby opisać działanie sił elektromagnetycznych. Ponadto to równanie w obecnej formie jest nielokalne (patrz także Wprowadzenie do równań nielokalnych ).

Klein i Gordon zamiast tego zaczęli od kwadratu powyższej tożsamości, tj

co po skwantowaniu daje

co upraszcza do

Zmiana terminów plonów

Ponieważ z tego równania wyeliminowano wszelkie odniesienia do liczb urojonych, można je zastosować do pól o wartościach rzeczywistych , a także tych, które mają wartości złożone .

Przepisując dwa pierwsze wyrazy używając odwrotności metryki Minkowskiego (− c 2 , 1, 1, 1) i pisząc wprost konwencję sumowania Einsteina otrzymujemy

Zatem równanie Kleina-Gordona można zapisać w notacji kowariantnej. Często oznacza to skrót w postaci

gdzie

oraz

Ten operator nazywa się operatorem d'Alemberta .

Dziś postać ta jest interpretowana jako relatywistyczne równanie pola dla cząstek o spinie -0. Ponadto każdy składnik dowolnego rozwiązania swobodnego równania Diraca (dla cząstki o spinie 1/2 ) jest automatycznie rozwiązaniem swobodnego równania Kleina-Gordona. To uogólnia się na cząstki o dowolnym spinie ze względu na równania Bargmanna-Wignera . Co więcej, w kwantowej teorii pola każdy składnik każdego pola kwantowego musi spełniać swobodne równanie Kleina-Gordona, co czyni równanie ogólnym wyrażeniem pól kwantowych.

Równanie Kleina-Gordona w potencjale

Równanie Kleina-Gordona można uogólnić, aby opisać pole w pewnym potencjale V ( ψ ) jako

Zachowany prąd

Zachowany prąd związany z symetrią U (1) pola zespolonego spełniającego równanie Kleina-Gordona odczytuje

Postać zachowanego prądu można wyprowadzić systematycznie, stosując twierdzenie Noether do symetrii U (1). Nie zrobimy tego tutaj, ale po prostu damy dowód, że ten zachowany prąd jest prawidłowy.

Dowód za pomocą manipulacji algebraicznych z równania KG

Z równania Kleina-Gordona dla złożonego pola masy , zapisanego w notacji kowariantnej

i jego złożony koniugat

mamy, mnożąc przez lewo odpowiednio przez i (i pomijając dla zwięzłości wyraźną zależność),

Odejmując pierwsze od drugiego otrzymujemy

wtedy też wiemy

z którego uzyskujemy prawo zachowania dla pola Kleina-Gordona:

Akcja

Równanie Kleina-Gordona można również wyprowadzić metodą wariacyjną , biorąc pod uwagę działanie

gdzie ψ jest polem Kleina-Gordona, a m jest jego masą. Zespoloną sprzężoną z * F jest napisane ψ . Jeśli przyjąć, że pole skalarne jest wartością rzeczywistą, to ψ = ψ , i zwyczajowo wprowadza się współczynnik 1/2 dla obu wyrazów.

Stosując wzór na tensor naprężenia-energii Hilberta do gęstości Lagrange'a (wielkość wewnątrz całki), możemy wyprowadzić tensor naprężenia-energii pola skalarnego. To jest

Poprzez całkowanie składowej czasowo-czasowej T 00 w całej przestrzeni można wykazać, że zarówno rozwiązania z dodatnią, jak i ujemną częstotliwością fal płaskich mogą być fizycznie związane z cząstkami o dodatniej energii. Inaczej jest w przypadku równania Diraca i jego tensora energia-pęd.

Granica nierelatywistyczna

Pole klasyczne

Biorąc nierelatywistyczną granicę ( vc ) klasycznego pola Kleina-Gordona ψ ( x , t ) zaczynamy od czynnika ansatzowego składnika energii masy spoczynkowej oscylacyjnej ,

Definiowanie energii kinetycznej , w nierelatywistycznej granicy v~p << c , a co za tym idzie

Zastosowanie tego daje nierelatywistyczną granicę drugiej pochodnej czasu ,

Podstawiając do wolnego równania Kleina-Gordona , , daje

co (poprzez podzielenie wykładnika i odjęcie wyrazu masy) upraszcza do

Jest to klasyczne pole Schrödingera .

Pole kwantowe

Analogiczną granicę kwantowego pola Kleina-Gordona komplikuje nieprzemienność operatora pola. W Limit v « c , że operatory kreacji i anihilacji oddzielić i zachowywać się jak niezależne kwantowych pól Schrödingera .

Oddziaływanie elektromagnetyczne

Istnieje prosty sposób na wywołanie interakcji dowolnego pola z elektromagnetyzmem w sposób niezmienniczy cechowania : zastąp operatory różniczkowania operatorami różniczkowymi z cechowaniem kowariancyjnym. Dzieje się tak dlatego, że aby zachować symetrię równań fizycznych funkcji falowej pod lokalną transformacją cechowania U (1) , gdzie jest lokalnie zmiennym kątem fazowym, który to przekształcenie przekierowuje funkcję falową w złożonej przestrzeni fazowej zdefiniowanej przez , wymagane jest, aby zwykłe pochodne być zastąpione przez pochodne cechowania-kowariancji , podczas gdy pola cechowania przekształcają się jako . Z podpisu metrycznego (-, +, +, +), równanie Kleina-Gordona staje się zatem

w jednostkach naturalnych , gdzie A jest potencjałem wektora. Chociaż możliwe jest dodanie wielu terminów wyższego rzędu, na przykład

terminy te nie podlegają renormalizacji w wymiarach 3+1.

Równanie pola dla naładowanego pola skalarnego mnoży się przez i , co oznacza, że ​​pole musi być złożone. Aby pole było naładowane, musi mieć dwa składniki, które mogą się wzajemnie obracać, część rzeczywistą i urojoną.

Akcja dla bezmasowego naładowanego skalara jest kowariantną wersją akcji nienaładowanej:

Oddziaływanie grawitacyjne

W ogólnej teorii względności uwzględniamy efekt grawitacji, zastępując częściowe pochodnymi kowariantnymi , a równanie Kleina-Gordona staje się (w większości sygnatury plusów )

lub równoważnie,

gdzie g αβ jest odwrotnością tensora metrycznego , czyli pola potencjału grawitacyjnego, g jest wyznacznikiem tensora metrycznego, μ jest pochodną kowariantną , a Γ σ μν jest symbolem Christoffela , czyli polem siły grawitacyjnej .

Zobacz też

Uwagi

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki