Twierdzenie Krulla - Krull's theorem
W matematyce , a dokładniej w teorii pierścieni , twierdzenie Krulla , nazwane na cześć Wolfganga Krulla , twierdzi, że niezerowy pierścień ma co najmniej jeden maksymalny ideał . Twierdzenie zostało udowodnione w 1929 roku przez Krulla, który użył indukcji pozaskończonej . Twierdzenie dopuszcza prosty dowód za pomocą lematu Zorna iw rzeczywistości jest równoważne lematowi Zorna , który z kolei jest równoważny z aksjomatem wyboru .
Warianty
- W przypadku pierścieni nieprzemiennych obowiązują również analogi dla maksymalnych ideałów lewej strony i maksymalnych ideałów prawej strony.
- W przypadku pseudo-pierścieni twierdzenie to odnosi się do ideałów regularnych .
- Nieco silniejszy (ale równoważny) wynik, który można udowodnić w podobny sposób, jest następujący:
- Niech R będzie pierścieniem i pozwól mi być właściwa idealny z R . Następnie jest ilość ideał R zawierającym I .
- Wynik ten implikuje pierwotne twierdzenie, przyjmując I jako zerowy ideał (0). I odwrotnie, zastosowanie pierwotnego twierdzenia do R / I prowadzi do tego wyniku.
- Aby udowodnić, silniejszy efekt bezpośrednio Rozważmy zbiór S wszystkich właściwych ideałów R zawierających ja . Zbiór S jest niepusty od I ∈ S . Ponadto, dla każdego łańcucha T z S , związek z ideami w T jest idealnym J i związek idei nie zawierających 1 nie zawiera 1, tak, J ∈ S . Przez lematu Zorna, S ma element ilość M . To M jest ilość idealnym zawierający I .
Hauptidealsatz Krulla
Inne twierdzenie powszechnie określane jako twierdzenie Krulla:
- Niech będzie pierścieniem Noetherian, którego element nie jest ani zerowym dzielnikiem, ani jednostką . Wtedy każdy minimalny ideał pierwszy zawierający ma wysokość 1.
Uwagi
Bibliografia
- Krull, W. (1929). „Idealtheorie in Ringen ohne Endlichkeitsbedingungen”. Mathematische Annalen . 101 (1): 729–744. doi : 10.1007 / BF01454872 .
- Hodges, W. (1979). „Krull implikuje Zorna”. Journal of the London Mathematical Society . s2-19 (2): 285–287. doi : 10.1112 / jlms / s2-19.2.285 .