Kuratowskiego zbieżność - Kuratowski convergence

W matematyce , Kuratowskiego zbieżność jest pojęcie konwergencji dla sekwencji (lub, bardziej ogólnie, siatki ) o zwartych podzbiorów w przestrzeniach metrycznych , nazwanych Kazimierza Kuratowskiego . Intuicyjnie granica Kuratowskiego sekwencji zestawów gdzie zestawy „ zgromadzić ”.

definicje

Niech ( X ,  d ) będzie przestrzenią metryczną , gdzie X jest zbiorem oraz d jest funkcją odległości między punktami X .

Dla każdego punktu x  ∈  X i każdy niepusty zwarty podzbiór  ⊆  X , określa odległość między punktem i podgrupy:

${\ Displaystyle D (X,) = \ Pow \ {D (X, A) | a \ in A \}}$,

Dla każdej sekwencji takich podgrup A _n  ⊆  X , n  ∈  N , The Kuratowskiego Termin niższa (lub dolny zamknięty granicznej ) z A _N co N  → ∞ jest

${\ Displaystyle \ mathop {\ operatorname {Li}} _ {n \ z \ infty} a_ {n} = \ left \ {x \ in X \ lewo | \ limsup _ {n \ z \ infty} D (x, A_ {n}) = 0 \ prawo. \ prawo \}}$

${\ Displaystyle = \ left \ {x \ in X \ lewo | {\ {zaczynać matrycy} {\ mbox {dla otwartych sąsiedztwie}} U {\ mbox {z}} x \\ U \ Czapka A_ {n} . \ neq \ emptyset {\ mbox {wystarczająco duża}} {n \ końca matrycy}} \ prawo \ prawo \};}$

granica Kuratowskiego lepsze (lub górna granica zamknięte ) od A _N co N  → ∞ jest

${\ Displaystyle \ mathop {\ operatorname {Ls}} _ {n \ z \ infty} A_ {n} = \ left \ {x \ in X \ lewo | \ liminf _ {n \ z \ infty} • D (x, A_ {n}) = 0 \ prawo. \ prawo \}}$

${\ Displaystyle = \ left \ {x \ in X \ lewo | {\ {zaczynać matrycy} {\ mbox {dla otwartych sąsiedztwie}} U {\ mbox {z}} x \\ U \ Czapka A_ {n} \ neq \ emptyset {\ mbox {dla nieskończenie wiele}} n \ koniec {matrycy}} \ prawo. \ prawo \}.}$

Jeżeli granice Kuratowskiemu niższe oraz wszelkie zgadzają (czyli takie same podzbiór X ), a następnie ich wspólna wartość nazywa się Ogranicz Kuratowskiemu z zestawów A _n a n  → ∞ i oznaczono Lt _{n → ∞} A _N .

Definicje ogólnej sieci zwartych podzbiorów X przejść mutatis mutandis .

Nieruchomości

• Choć może się to wydawać sprzeczne z intuicją, że limit Kuratowskiego gorszy polega limit przełożony odległości i vice versa , nomenklatura staje się coraz bardziej oczywiste, gdy widzi, że dla dowolnej sekwencji zbiorów,

${\ Displaystyle \ mathop {\ operatorname {Li}} _ {n \ z \ A_ infty} {n} \ subseteq \ mathop {\ operatorname {Ls}} _ {n \ z \ A_ infty} {n}.}$

Czyli granica gorszy jest mniejszy zestaw a limit Superior większy.

• Terminy górna i dolna granica zamknięty wynikają z faktu, że Li _{n → ∞ n} i LS _{n → ∞} A _n jest zawsze zamknięty zestawy w topologii metryki ( x ,  d ).

Pojęcia pokrewne

Dla Przestrzenie metryczne X mamy następujące:

• Kuratowskiego zbieżność pokrywa się z konwergencji Fell topologii .
• Kuratowskiego zbieżność jest słabszy niż zbieżności w topologii Vietoris .
• Kuratowskiego zbieżność jest słabszy niż konwergencji Hausdorffa metryki .
• Kompaktowych Przestrzenie metryczne X , Kuratowskiego konwergencja pokrywa zarówno konwergencji Hausdorffa topologii metrycznej i Vietoris.

Przykłady

• Niech _n oznacza zbiór zero sin ( nx ), w zależności od x od B do siebie

${\ A_ displaystyle {N} = {\ duże \} {x \ w \ mathbf {R} {\ duże |} \ sin (nx) = 0 {\ duże \}}.}$

Następnie _n zwęża się w sensie Kuratowskiemu do całej prostej R . Zauważmy, że w tym przypadku, w A _n nie muszą być zwarte.

Zobacz też

• Borel-Cantelli lemat
• Wijsman konwergencja
• Metryka Hausdorffa
• Hemicontinuity
• Topologia Vietoris

Referencje

• Kuratowskiego Kazimierz (1966). Topologii. Tom I i II . Nowe wydanie, poprawione i rozszerzone. Przetłumaczony z francuskiego J. Jaworowskiego. New York: Academic Press. str. xx + 560. MR 0217751