Lagrange'a (teoria pola) - Lagrangian (field theory)

Teoria pola Lagrange'a jest formalizmem klasycznej teorii pola . Jest to teoretyczny polowy odpowiednik mechaniki Lagrange'a . Mechanika Lagrange'a służy do analizy ruchu układu dyskretnych cząstek, z których każda ma skończoną liczbę stopni swobody . Teoria pola Lagrange'a ma zastosowanie do continuów i pól, które mają nieskończoną liczbę stopni swobody.

Jedną z motywacji do rozwoju formalizmu Lagrange'a dotyczącego pól, a bardziej ogólnie, klasycznej teorii pola , jest zapewnienie czystych podstaw matematycznych dla kwantowej teorii pola , która jest niesławnie obciążona trudnościami formalnymi, które czynią ją nieakceptowalną jako teoria matematyczna. Przedstawione tu Lagrange'y są identyczne z ich kwantowymi odpowiednikami, ale traktując pola jak pola klasyczne, zamiast być skwantowanymi, można podać definicje i uzyskać rozwiązania o własnościach zgodnych z konwencjonalnym formalnym podejściem do matematyki równań różniczkowych cząstkowych . Umożliwia to formułowanie rozwiązań na przestrzeniach o dobrze scharakteryzowanych właściwościach, takich jak przestrzenie Sobolewa . Umożliwia dostarczanie różnych twierdzeń, począwszy od dowodów istnienia, przez jednolitą zbieżność szeregów formalnych, aż do ogólnych ustawień teorii potencjału . Ponadto wgląd i przejrzystość uzyskuje się dzięki uogólnieniom na rozmaitości riemannowskie i wiązki włókien , co pozwala na wyraźne rozróżnienie struktury geometrycznej i jej rozplątywanie z odpowiednich równań ruchu. Jaśniejszy obraz struktury geometrycznej umożliwił z kolei wykorzystanie wysoce abstrakcyjnych twierdzeń z geometrii do uzyskania wglądu, od twierdzenia Cherna-Gaussa-Bonneta i twierdzenia Riemanna-Rocha po twierdzenie o indeksie Atiyaha-Singera i teorię Cherna-Simonsa .

Przegląd

W teorii pola zmienna niezależna jest zastępowana przez zdarzenie w czasoprzestrzeni ( x , y , z , t ) lub, bardziej ogólnie, przez punkt s na rozmaitości riemannowskiej . Zmienne zależne są zastępowane wartością pola w tym punkcie czasoprzestrzeni tak, że równania ruchu są otrzymywane za pomocą zasady działania , zapisanej jako:

gdzie działanie , , jest funkcjonałem zmiennych zależnych , ich pochodnych i samo s

,

gdzie nawiasy oznaczają ; i s = { s α } oznacza zestaw z n niezależnych zmiennych systemu z uwzględnieniem zmiennych czasu i jest indeksowana alfa = 1, 2, 3, ..., n . Kaligraficzny krój pisma, , służy do oznaczenia gęstości , i jest formą objętości funkcji pola, czyli miarą dziedziny funkcji pola.

W formułach matematycznych często wyraża się Lagrange'a jako funkcję na wiązce włókien , w której równania Eulera-Lagrange'a mogą być interpretowane jako określenie geodezji na wiązce włókien. Abraham i Marsdena podręcznik pod warunkiem, że pierwszy kompleksowy opis mechaniki klasycznej w zakresie nowoczesnych geometrycznych pomysłów, czyli pod względem rozmaitości stycznych , rozdzielaczy symplektycznych i geometrii kontaktowej . Podręcznik Bleeckera zapewnił obszerną prezentację teorii pola w fizyce pod kątem wiązek włókien niezmiennych cechowania. Takie preparaty były znane lub podejrzewane na długo wcześniej. Jost kontynuuje prezentację geometryczną, wyjaśniając związek między formami hamiltonowskimi i lagranżowskimi, opisując rozmaitości spinowe na podstawie pierwszych zasad itp. Obecne badania koncentrują się na niesztywnych strukturach afinicznych (czasami nazywanych „strukturami kwantowymi”), w których zastępuje się wystąpienia przestrzeni wektorowych przez algebry tensorowe . Badania te są motywowane przełomowym rozumieniem grup kwantowych jako afinicznych algebr Liego ( grupy Liego są w pewnym sensie „sztywne”, ponieważ są określone przez ich algebrę Liego. Po przeformułowaniu na algebrze tensora stają się „dyskietki”, ponieważ nieskończone stopnie swobody; patrz np . algebra Virasoro .)

Definicje

W teorii pola Lagrange'a Lagrange'a jako funkcję współrzędnych uogólnionych zastępuje się gęstością Lagrange'a, funkcją pól w układzie i ich pochodnych oraz ewentualnie samych współrzędnych przestrzennych i czasowych. W teorii pola zmienna niezależna t jest zastępowana przez zdarzenie w czasoprzestrzeni ( x , y , z , t ) lub jeszcze bardziej ogólnie przez punkt s na rozmaitości.

Często „gęstość Lagrange'a” jest po prostu określana jako „Lagranżian”.

Pola skalarne

Dla jednego pola skalarnego gęstość Lagrange'a przyjmie postać:

Dla wielu pól skalarnych

W preparatach matematycznych skalarne pola rozumie się współrzędne na wiązkę włókien , a także pochodne dziedzinie rozumie się odcinki z pakietu strumienia .

Pola wektorowe, pola tensorowe, pola spinorowe

Powyższe można uogólnić dla pól wektorowych , pól tensorowych i pól Spinor . W fizyce fermiony opisywane są przez pola spinorowe. Bozony są opisywane przez pola tensorowe, które w szczególnych przypadkach obejmują pola skalarne i wektorowe.

Na przykład, jeśli istnieją pola skalarne o wartościach rzeczywistych , , to rozmaitością pola jest . Jeżeli pole jest rzeczywistym polem wektorowym , to rozmaitość pola jest izomorficzna do .

Akcja

Czas całkowania z Lagrange'a nazywa się działanie oznaczony przez S . W teorii pola czasami rozróżnia się lagranżowskie L , którego działaniem jest całka czasowa

i gęstość Lagrange'a , którą integruje się w całej czasoprzestrzeni, aby uzyskać akcję:

Całka objętości przestrzennej gęstości Lagrange'a jest Lagrange'em; w 3D,

Akcja jest często nazywana „ funkcją akcji ”, ponieważ jest funkcją pól (i ich pochodnych).

Formularz objętości

W obecności grawitacji lub przy użyciu ogólnych współrzędnych krzywoliniowych gęstość Lagrange'a będzie zawierać współczynnik . Zapewnia to, że akcja jest niezmienna w ogólnych przekształceniach współrzędnych. W literaturze matematycznej czasoprzestrzeń jest uważana za rozmaitość Riemanna, a całka staje się wtedy formą objętości

Tutaj jest produkt klina i jest pierwiastkiem kwadratowym z wyznacznika tego tensora metrycznego sprawie . Dla płaskiej czasoprzestrzeni ( np. czasoprzestrzeni Minkowskiego ) jednostką objętości jest jeden, czyli często się ją pomija przy omawianiu teorii pola w płaskiej czasoprzestrzeni. Podobnie, użycie symboli iloczynu klina nie daje żadnego dodatkowego wglądu w zwykłą koncepcję objętości w rachunku różniczkowym wielowymiarowym, a zatem są one również pomijane. Niektóre starsze podręczniki, np. Landau i Lifschitz, piszą o formie objętości, ponieważ znak minus jest odpowiedni dla tensorów metrycznych z sygnaturą (+−−−) lub (−+++) (ponieważ wyznacznik jest ujemny w obu przypadkach). Omawiając teorię pola na ogólnych rozmaitościach riemannowskich, postać objętości jest zwykle zapisywana w notacji skróconej, gdzie jest gwiazdą Hodge'a . To jest,

a więc

Nierzadko powyższa notacja jest uważana za całkowicie zbędną i

jest często widywany. Nie daj się zwieść: forma objętości jest domyślnie obecna w powyższej całce, nawet jeśli nie jest wyraźnie napisana.

równania Eulera-Lagrange'a

Do równania Eulera-Lagrange'a opisują geodezyjnej przepływ pola w funkcji czasu. Biorąc wariację względem , otrzymujemy

Rozwiązując, ze względu na warunki brzegowe , otrzymujemy równania Eulera-Lagrange'a :

Przykłady

Wiele różnych układów fizycznych zostało sformułowanych w kategoriach Lagrange'ów nad polami. Poniżej znajduje się próbka niektórych z najczęściej spotykanych w podręcznikach fizyki dotyczących teorii pola.

Grawitacja newtonowska

Gęstość Lagrange'a dla grawitacji newtonowskiej wynosi:

gdzie Φ to potencjał grawitacyjny , ρ to gęstość masy, a G w m 3 ·kg −1 ·s −2 to stała grawitacyjna . Gęstość ma jednostki J·m -3 . Tutaj termin interakcji obejmuje ciągłą gęstość masy ρ w kg·m- 3 . Jest to konieczne, ponieważ użycie źródła punktowego dla pola spowodowałoby trudności matematyczne.

Lagrange'a można zapisać w postaci , podając termin kinetyczny, a interakcja termin potencjalny. Ta forma jest powtórzona w następnym przykładzie skalarnej teorii pola.

Odmiana całki względem Φ to:

Po scałkowaniu przez części, odrzuceniu całki całkowitej i podzieleniu przez δΦ wzór staje się:

co jest równoznaczne z:

co daje prawo Gaussa dla grawitacji .

Skalarna teoria pola

Lagrange'a dla pola skalarnego poruszającego się w potencjale można zapisać jako

Nie jest wcale przypadkiem, że teoria skalarna przypomina Lagrange'a z podręcznika studiów licencjackich dla terminu kinetycznego cząstki punktu swobodnego, pisanego jako . Teoria skalarna jest uogólnieniem teorii pola cząstki poruszającej się w potencjale. Gdy jest to potencjał meksykańskiego kapelusza , powstałe pola nazywane są polami Higgsa .

Sigma model Lagrange'a

Model sigma opisuje ruch punktowej cząstki skalarnej ograniczonej do poruszania się po rozmaitości Riemanna , takiej jak okrąg lub sfera. Uogólnia przypadek pól skalarnych i wektorowych, czyli pól ograniczonych do poruszania się po płaskiej rozmaitości. Lagranżian jest powszechnie pisany w jednej z trzech równoważnych form:

gdzie jest różnica . Równoważnym wyrażeniem jest

z tym Riemanna metryki na kolektorze w dziedzinie; tzn. pola są tylko lokalnymi współrzędnymi na wykresie współrzędnych rozmaitości. Trzecią powszechną formą jest

z

i The Lie grupę su (N) . Tę grupę można zastąpić dowolną grupą Liego lub, bardziej ogólnie, przestrzenią symetryczną . Ślad jest tylko formą zabijania w ukryciu; forma zabijania zapewnia formę kwadratową na rozmaitości pola, lagranżian jest wtedy tylko wycofaniem tej formy. Alternatywnie, Lagrange'a można również postrzegać jako cofnięcie formy Maurera-Cartana do czasoprzestrzeni bazowej.

Ogólnie rzecz biorąc, modele sigma wykazują topologiczne rozwiązania solitonów . Najbardziej znanym i dobrze zbadanym z nich jest Skyrmion , który służy jako model nukleonu , który przetrwał próbę czasu.

Elektromagnetyzm w szczególnej teorii względności

Rozważmy cząstkę punktową, naładowaną cząstkę, oddziałującą z polem elektromagnetycznym . Warunki interakcji

są zastępowane terminami obejmującymi gęstość ładunku ciągłego ρ w A·s·m- 3 i gęstość prądu w A·m- 2 . Otrzymana gęstość Lagrange'a dla pola elektromagnetycznego wynosi:

Zmieniając to względem ϕ, otrzymujemy

co daje prawo Gaussa .

Zmieniając się w stosunku do , otrzymujemy

co daje prawo Ampère'a .

Używając notacji tensorowej , możemy to wszystko napisać bardziej zwięźle. Termin jest w rzeczywistości iloczynem skalarnym dwóch czterech wektorów . Umieszczamy gęstość ładunku w 4-wektorze prądu, a potencjał w 4-wektorze potencjału. Te dwa nowe wektory to

Możemy wtedy zapisać termin interakcji jako

Dodatkowo możemy upakować pola E i B w tak zwany tensor elektromagnetyczny . Definiujemy ten tensor jako

Termin, którego szukamy, okazuje się być

Wykorzystaliśmy metrykę Minkowskiego do podniesienia indeksów na tensorze EMF. W tym zapisie równania Maxwella to

gdzie ε jest tensorem Levi-Civita . Tak więc gęstość Lagrange'a dla elektromagnetyzmu w szczególnej teorii względności zapisana w postaci wektorów i tensorów Lorentza wynosi

W tym zapisie widać, że klasyczny elektromagnetyzm jest teorią niezmienniczą Lorentza. Dzięki zasadzie równoważności łatwo jest rozszerzyć pojęcie elektromagnetyzmu na zakrzywioną czasoprzestrzeń.

Elektromagnetyzm i równania Yanga-Millsa

Wykorzystując formy różniczkowe , można zapisać działanie elektromagnetyczne S w próżni na (pseudo-) rozmaitości riemannowskiej (w jednostkach naturalnych , c = ε 0 = 1 ) jako

Tutaj A oznacza potencjał elektromagnetyczny w postaci 1, J jest obecną postacią 1, F jest natężeniem pola w postaci 2, a gwiazda oznacza operator gwiazdy Hodge'a . Jest to dokładnie ten sam Lagrange, co w sekcji powyżej, z wyjątkiem tego, że leczenie tutaj jest wolne od koordynatów; rozszerzenie całki w bazę daje identyczne, długie wyrażenie. Zwróć uwagę, że w przypadku formularzy dodatkowa miara integracji nie jest konieczna, ponieważ formularze mają wbudowane różnice współrzędnych. Zmiana działania prowadzi do

Są to równania Maxwella dotyczące potencjału elektromagnetycznego. Podstawienie F = d A natychmiast daje równanie dla pól,

ponieważ F jest formą dokładną .

Pole może być rozumiana jako afinicznej połączenie na U (1) - wiązka włókien . Oznacza to, że klasyczną elektrodynamikę, wszystkie jej efekty i równania, można całkowicie zrozumieć w kategoriach wiązki kołowej nad czasoprzestrzenią Minkowskiego .

W Yang Mills równanie można zapisać w dokładnie takiej samej postaci, jak wyżej, zastępując grupę Lie U (1) elektromagnetyzmu o dowolnej grupy Lie. W modelu standardowym przyjmuje się, że tak jest, chociaż ogólny przypadek jest przedmiotem ogólnego zainteresowania. We wszystkich przypadkach nie ma potrzeby przeprowadzania kwantyzacji. Chociaż równania Yanga-Millsa są historycznie zakorzenione w kwantowej teorii pola, powyższe równania są czysto klasyczne.

Funkcjonalny Chern-Simons

W tym samym duchu, co powyżej, można rozważyć działanie w jednym wymiarze mniej, tj. w ustawieniu geometrii kontaktu . Daje to funkcjonalność Chern-Simonsa . Jest napisane jako

Teoria Cherna-Simonsa została głęboko zbadana w fizyce, jako zabawkowy model dla szerokiego zakresu zjawisk geometrycznych, których można by się spodziewać w wielkiej zunifikowanej teorii .

Ginzburg-Landau Lagrangen

Gęstość Lagrange'a dla teorii Ginzburga-Landaua łączy razem Lagranżjan dla skalarnej teorii pola z Lagrange'em dla działania Yanga-Millsa . Może być napisany jako:

gdzie jest sekcja z wiązki wektora z włóknem . Do odpowiada parametrowi rzędu w nadprzewodniku ; równoważnie odpowiada polu Higgsa , po zauważeniu, że drugi termin to słynny potencjał „kapeluszu sombrero” . Pole jest (nieabelowym) polem cechowania, tj. polem Yanga–Millsa i jest jego siłą pola. Te równania Eulera-Lagrange'a dla Ginzburg-Landau funkcjonalnej są równania Yanga-Millsa

oraz

gdzie jest operator gwiazdy Hodge'a , czyli w pełni antysymetryczny tensor. Równania te są ściśle związane z równaniami Yanga-Millsa-Higgsa . Inny blisko spokrewniony lagranżjan znajduje się w teorii Seiberga-Wittena .

Diraca Lagrange'a

Gęstość Lagrange'a dla pola Diraca wynosi:

gdzie jest spinorem Diraca , jest jego sprzężeniem Diraca i jest notacją ukośnika Feynmana dla . W teorii klasycznej nie ma szczególnej potrzeby skupiania się na spinorach Diraca. W spinors Weyl zapewnić bardziej ogólny fundament; można je skonstruować bezpośrednio z algebry czasoprzestrzeni Clifforda ; konstrukcja działa w dowolnej liczbie wymiarów, a spinory Diraca występują jako specjalny przypadek. Spinory Weyla mają tę dodatkową zaletę, że mogą być stosowane w vielbeinie do metryki na rozmaitości riemannowskiej; umożliwia to koncepcję struktury spinowej , która, z grubsza mówiąc, jest sposobem konsekwentnego formułowania spinorów w zakrzywionej czasoprzestrzeni.

Kwantowy elektrodynamiczny lagranżian

Gęstość Lagrangianu dla QED łączy Lagranżian dla pola Diraca z Lagranżjanem dla elektrodynamiki w sposób niezmienny cechowania. To jest:

gdzie jest napinacz elektromagnetyczne , D jest pochodna kowariantna wskaźnik i jest oznaczenie Feynman na z którym jest czteropotencjał . Chociaż słowo „kwant” pojawia się w powyższym tekście, jest to artefakt historyczny. Definicja pola Diraca nie wymaga żadnej kwantyzacji, może być napisana jako czysto klasyczne pole antykomutujących spinorów Weyla zbudowanych z pierwszych zasad algebry Clifforda . Pełne, klasyczne sformułowanie niezmiennicze cechowania jest podane w Bleecker.

Kwantowy chromodynamiczny lagranżian

Gęstość Lagrange'a dla chromodynamiki kwantowej łączy razem Lagranżian dla jednego lub więcej masywnych spinorów Diraca z Lagrange'em dla działania Yanga-Millsa , który opisuje dynamikę pola cechowania; połączony Lagranżjan jest niezmiennikiem cechowania. Może być napisany jako:

gdzie D jest pochodną kowariantną cechowania QCD , n = 1, 2, ...6 zlicza typy kwarków i jest tensorem natężenia pola gluonowego . Co się tyczy powyższego przypadku elektrodynamiki, pojawienie się słowa „kwant” potwierdza jedynie jego historyczny rozwój. Lagrange'a i jego niezmienniczość cechowania można sformułować i potraktować w sposób czysto klasyczny.

Grawitacja Einsteina

Gęstość Lagrange'a dla ogólnej teorii względności w obecności pól materii wynosi

gdzie jest stałą kosmologiczną , jest skalarem krzywizny , który jest tensorem Ricciego skróconym z tensorem metrycznym , a tensor Ricciego jest tensorem Riemanna skróconym z deltą Kroneckera . Całka z jest znana jako działanie Einsteina-Hilberta . Tensor Riemanna jest tensorem siły pływowej i jest zbudowany z symboli Christoffel i pochodnych symboli Christoffel, które określają metryczne połączenie w czasoprzestrzeni. Samo pole grawitacyjne historycznie przypisywano tensorowi metrycznemu; współczesny pogląd jest taki, że połączenie jest „bardziej fundamentalne”. Wynika to ze zrozumienia, że ​​można pisać połączenia o niezerowym skręcaniu . Zmieniają one metrykę bez zmiany geometrii ani jednego bitu. Jeśli chodzi o rzeczywisty „kierunek, w którym grawitacja wskazuje” (np. na powierzchni Ziemi, skierowana jest w dół), pochodzi on od tensora Riemanna: jest to rzecz, która opisuje „grawitacyjne pole siłowe”, które poruszające się ciała odczuwają i reagują do. (To ostatnie stwierdzenie musi być zakwalifikowane: nie ma „pola siłowego” per se ; poruszające się ciała podążają za geodezją na rozmaitości opisanej przez połączenie. Poruszają się po „ linii prostej ”).

Lagrange'a dla ogólnej teorii względności można również zapisać w postaci, która czyni go wyraźnie podobnym do równań Yanga-Millsa. Nazywa się to zasadą działania Einsteina-Yanga-Millsa . Odbywa się to poprzez zauważenie, że większość geometrii różniczkowej działa „doskonale” na wiązkach z połączeniem afinicznym i dowolną grupą Liego. Następnie wstawiając SO(3,1) dla tej grupy symetrii, czyli dla pól ramki , otrzymujemy powyższe równania.

Podstawiając ten Lagrange'a do równania Eulera-Lagrange'a i biorąc tensor metryczny jako pole, otrzymujemy równania pola Einsteina

jest tensorem pędu energii i jest zdefiniowany przez

gdzie jest wyznacznikiem tensora metryki, gdy jest traktowany jako macierz. Ogólnie rzecz biorąc, w ogólnej teorii względności miarą całkowania działania gęstości Lagrange'a jest . To sprawia, że ​​współrzędna integralna jest niezależna, ponieważ pierwiastek wyznacznika metryki jest równoważny z wyznacznikiem jakobianu . Znak minus jest konsekwencją podpisu metryki (sam wyznacznik jest ujemny). Jest to przykład formy objętościowej , omówionej wcześniej, manifestującej się w niepłaskiej czasoprzestrzeni.

Elektromagnetyzm w ogólnej teorii względności

Gęstość Lagrange'a elektromagnetyzmu w ogólnej teorii względności zawiera również odgórne działanie Einsteina-Hilberta. Czysty lagranżian elektromagnetyczny jest właśnie lagranżjanem materii . Lagrangejczyk jest

Ten Lagranżian uzyskuje się po prostu przez zastąpienie metryki Minkowskiego w powyższym płaskim Lagranżianie bardziej ogólną (prawdopodobnie zakrzywioną) metryką . Możemy wygenerować równania pola Einsteina w obecności pola EM za pomocą tego lagranżanu. Tensor energii-pędu to

Można wykazać, że ten tensor pędu energii jest bezśladowy, tzn. że

Jeśli weźmiemy ślad obu stron równań pola Einsteina, otrzymamy

Zatem brak śladów tensora pędu energii implikuje, że skalar krzywizny w polu elektromagnetycznym zanika. Równania Einsteina są zatem

Dodatkowo równania Maxwella to

gdzie jest pochodną kowariantną . Dla wolnej przestrzeni możemy ustawić bieżący tensor równy zero, . Rozwiązanie równań Einsteina i Maxwella wokół sferycznie symetrycznego rozkładu masy w wolnej przestrzeni prowadzi do naładowanej czarnej dziury Reissnera-Nordströma , z definiującym elementem liniowym (zapisanym w jednostkach naturalnych i z ładunkiem Q):

Jeden z możliwych sposobów unifikacji lagranżanów elektromagnetycznych i grawitacyjnych (za pomocą piątego wymiaru) podaje teoria Kaluzy-Kleina . W efekcie konstruuje się wiązkę afiniczną, tak jak w przypadku podanych wcześniej równań Yanga–Millsa, a następnie rozpatruje działanie osobno na części 4-wymiarowej i 1-wymiarowej. Takie faktoryzacje , takie jak fakt, że 7-sfera może być zapisana jako iloczyn 4-sfery i 3-sfery, lub że 11-sfera jest iloczynem 4-sfery i 7-sfery, wyliczone przez większość wczesnego podniecenia, że znaleziono teorię wszystkiego . Niestety, 7-sfera okazała się niewystarczająco duża, aby objąć cały model Standard , niwecząc te nadzieje.

Dodatkowe przykłady

  • Model BF Lagrange'a, skrót od „Pola tła”, opisuje układ o trywialnej dynamice, gdy jest zapisany na płaskiej rozmaitości czasoprzestrzennej. W nietrywialnej topologicznie czasoprzestrzeni system będzie miał nietrywialne rozwiązania klasyczne, które można interpretować jako solitony lub instantony . Istnieje wiele rozszerzeń, tworzących podstawy topologicznych teorii pola .

Zobacz też

Uwagi

Cytaty