Prawo wyłączonego środka - Law of excluded middle

W logice The Prawo wyłączonego środka (lub zasada wyłączonego środka ) stwierdza, że na każdą propozycję , albo ta propozycja lub jego negacja jest prawdziwa . Jest to jedno z tzw. trzech praw myślenia , obok prawa niesprzeczności i prawa tożsamości . Jednak żaden system logiki nie jest zbudowany na tych właśnie prawach i żadne z tych praw nie dostarcza reguł wnioskowania , takich jak modus ponens czy prawa De Morgana.

Prawo jest również znane jako prawo (lub zasada ) wykluczonej osoby trzeciej , po łacinie principium tertii exclusi . Innym łacińskim określeniem tego prawa jest tertium non datur : „nie podano trzeciej [możliwości]”. To jest tautologia .

Zasady tej nie należy mylić z semantyczną zasadą biwalencji , która głosi, że każde zdanie jest albo prawdziwe, albo fałszywe. Zasada biwalencji zawsze implikuje prawo wyłączonego środka, podczas gdy odwrotność nie zawsze jest prawdziwa. Powszechnie przytaczany kontrprzykład wykorzystuje stwierdzenia, których nie można udowodnić obecnie, ale udowodnić w przyszłości, aby pokazać, że prawo wykluczonego środka może mieć zastosowanie, gdy zawiedzie zasada biwalencji.

Historia

Arystoteles

Najwcześniejsze znane sformułowanie znajduje się w Arystotelesowskim omówieniu zasady niesprzeczności , po raz pierwszy zaproponowanej w O interpretacji , gdzie mówi on, że z dwóch sprzecznych zdań (tj. gdy jedno zdanie jest negacją drugiego) jedno musi być prawdziwe, a drugie fałszywe. Stwierdza to również jako zasadę w księdze Metafizyki 3, mówiąc, że w każdym przypadku konieczne jest potwierdzenie lub zaprzeczenie, i że niemożliwe jest, aby między dwiema częściami sprzeczności było cokolwiek.

Arystoteles pisał, że dwuznaczność może wynikać z używania niejednoznacznych nazw, ale nie może istnieć w samych faktach:

Niemożliwe jest zatem, aby „bycie człowiekiem” oznaczało właśnie „niebycie mężczyzną”, skoro „człowiek” nie tylko oznacza coś na jeden temat, ale ma też jedno znaczenie. ... I nie będzie możliwe bycie i nie być tym samym, chyba że na mocy dwuznaczności, tak jak gdyby ktoś, kogo nazywamy „człowiekiem”, a inni nazywali „nie-człowiekiem”; nie chodzi jednak o to, czy ta sama rzecz może być jednocześnie i nie być człowiekiem z imienia, ale czy rzeczywiście może być. ( Metafizyka 4.4, WD Ross (tłum.), GBWW 8, 525-526).

Twierdzenie Arystotelesa, że ​​„nie będzie możliwe być i nie być tym samym”, które w logice zdań zapisywałoby się jako ¬( P ∧ ¬ P ), jest stwierdzeniem, które współcześni logicy mogliby nazwać prawem wyłączonego środka ( P ∨ ¬ P ), ponieważ rozkład negacji twierdzenia Arystotelesa czyni je równoważnymi, niezależnie od tego, że pierwsze twierdzi, że żadne zdanie nie jest jednocześnie prawdziwe i fałszywe, podczas gdy drugie wymaga, aby każde zdanie było albo prawdziwe, albo fałszywe.

Ale Arystoteles pisze także: „ponieważ niemożliwe jest, aby sprzeczności były jednocześnie prawdziwe w tej samej rzeczy, oczywiście przeciwieństwa również nie mogą należeć w tym samym czasie do tej samej rzeczy” (Księga IV, CH 6, s. 531). Następnie proponuje, że „nie może być pośrednika między sprzecznościami, ale jednego przedmiotu musimy albo potwierdzić, albo zaprzeczyć jednemu orzecznikowi” (Księga IV, CH 7, s. 531). W kontekście tradycyjnej logiki Arystotelesa jest to niezwykle precyzyjne stwierdzenie prawa wyłączonego środka P ∨ ¬ P .

Również w O interpretacji Arystoteles wydaje się zaprzeczać prawu wykluczonego środka w przypadku przyszłych kontyngentów , w swoich rozważaniach na temat bitwy morskiej.

Leibniz

Jego zwykła forma: „Każdy osąd jest albo prawdziwy, albo fałszywy” [przypis 9]…” (z Kolmogorova w van Heijenoort, s. 421) przypis 9: „Jest to bardzo proste sformułowanie Leibniza (zob. Nouveaux Essais , IV ,2)" (tamże s. 421)

Bertrand Russell i Principia Mathematica

Zasada została określona jako twierdzenia z logiki zdań przez Russella i Whiteheada w Principia Mathematica jako:

${\ Displaystyle \ mathbf {* 2 \ cdot 11}. \ \ \ vdash. \ p \ \ vee \ gruby p}$.

Czym więc jest „prawda” i „fałsz”? Na otwarciu premier szybko zapowiada kilka definicji:

Wartości prawdy . „Wartość prawdziwości” zdania jest prawdą, jeśli jest prawdą, a fałszem, jeśli jest fałszem* [*Zdanie to zawdzięczamy Frege'owi]...wartość prawdziwości „p ∨ q” jest prawdą, jeśli prawdziwość wartość p lub q jest prawdą i jest fałszem, w przeciwnym razie ... wartość "~ p" jest przeciwieństwem wartości p..." (s. 7-8)

To niewiele pomaga. Ale później, w znacznie głębszej dyskusji („Definicja i systematyczna niejednoznaczność prawdy i fałszu ”, rozdział II cz. III, s. 41 nn), PM definiuje prawdę i fałsz w kategoriach relacji między „a” i „b”. i „spostrzegawczy”. Na przykład „To 'a' to 'b'” (np. „Ten 'obiekt a' jest 'czerwony'”) tak naprawdę oznacza, że ​​"'obiekt a' to punkt odniesienia zmysłowego" i "'czerwony' to punkt odniesienia zmysłowego" i „stoją w relacji” do siebie i do „ja”. Tak naprawdę mamy na myśli: „Postrzegam, że 'ten przedmiot jest czerwony'” i jest to niezaprzeczalna „prawda” trzeciej strony.

PM dalej definiuje rozróżnienie między „sensem-datum” a „sensacją”:

To znaczy, kiedy oceniamy (powiedzmy) „to jest czerwone”, pojawia się relacja trzech terminów: umysł, „to” i „czerwony”. Z drugiej strony, kiedy dostrzegamy „czerwień tego”, istnieje relacja dwóch terminów, a mianowicie umysłu i złożonego obiektu „czerwień tego” (s. 43–44).

Russell powtórzył swoje rozróżnienie między „sensem-datum” i „sensacją” w swojej książce The Problems of Philosophy (1912), opublikowanej w tym samym czasie co PM (1910-1913):

Nazwijmy „dane zmysłowe” rzeczom, które są bezpośrednio poznawane w doznaniach: takim rzeczom jak kolory, dźwięki, zapachy, twardość, szorstkość i tak dalej. Doświadczenie natychmiastowej świadomości tych rzeczy nazwiemy "doznaniem"... Sam kolor jest daną zmysłową, a nie doznaniem. (str. 12)

Russell opisał dalej swoje rozumowanie stojące za swoimi definicjami „prawdy” i „fałszu” w tej samej książce (Rozdział XII, Prawda i fałsz ).

Konsekwencje prawa wyłączonego środka w Principia Mathematica

Z prawa wykluczonego środka, formuła ✸2.1 w Principia Mathematica , Whitehead i Russell czerpią niektóre z najpotężniejszych narzędzi w zestawie narzędzi argumentacji logika. (W Principia Mathematica formuły i zdania są identyfikowane przez wiodącą gwiazdkę i dwie liczby, takie jak „✸2.1”).

✸2.1 ~ p ∨ p „To jest prawo wyłączonego środka” ( PM , s. 101).

Dowód 2.1 jest mniej więcej następujący: „pierwotna idea” 1.08 definiuje p → q = ~ p ∨ q . Podstawienie p za q w tej regule daje p → p = ~ p ∨ p . Ponieważ p → p jest prawdziwe (jest to Twierdzenie 2.08, które jest udowadniane osobno), to ~ p ∨ p musi być prawdziwe.

✸2.11 p ∨ ~ p (Permutacja twierdzeń jest dozwolona przez aksjomat 1.4)
✸2.12 p → ~(~ p ) (Zasada podwójnej negacji, część 1: jeśli „ta róża jest czerwona” jest prawdziwe, to nie jest prawdą, że „ 'ta róża nie jest czerwona' jest prawdziwe".)
✸2.13 p ∨ ~{~(~ p )} (Lemat wraz z 2.12 użyty do wyprowadzenia 2.14)
✸2.14 ~(~ p ) → p (Zasada podwójnej negacji, część 2)
✸2,15 (~ p → q ) → (~ q → p ) (Jedna z czterech „Zasad transpozycji”. Podobna do 1.03, 1.16 i 1.17. Wymagana była tutaj bardzo długa demonstracja.)
✸2.16 ( p → q ) → (~ q → ~ p ) (Jeśli prawdą jest, że „Jeśli ta róża jest czerwona, to ta świnia leci”, to prawdą jest, że „Jeśli ta świnia nie lata, to ta róża nie jest czerwona.”)
✸ 2,17 ( ~ p → ~ q ) → ( q → p ) (Kolejna z „Zasad transpozycji”).
✸2,18 (~ p → p ) → p (Nazywane „Dopełnieniem reductio ad absurdum . Stwierdza, że ​​zdanie co wynika z hipotezy własnej fałszu, jest prawdziwe” ( PM , s. 103–104).

Większość z tych twierdzeń – w szczególności 2.1, 2.11 i ✸2.14 – jest odrzucana przez intuicjonizm. Narzędzia te są przekształcane w inną formę, którą Kołmogorowa przytacza jako „cztery aksjomaty implikacji Hilberta” i „dwa Hilberta aksjomaty negacji” (Kolmogorov in van Heijenoort, s. 335).

Twierdzenia § 2.12 i § 2.14, „podwójna negacja”: pisma intuicjonistów LEJ Brouwera odwołują się do tego, co nazywa on „ zasadą wzajemności wielu gatunków , to znaczy do zasady, że dla każdego systemu poprawność własności wynika z niemożliwość niemożliwości tej własności” (Brouwer, ibid, s. 335).

Zasada ta jest powszechnie nazywana „zasadą podwójnej negacji” ( PM , s. 101–102). Z prawa wykluczonego środka (✸2.1 i ✸2.11) PM natychmiast wyprowadza zasadę 2.12. Podstawiamy ~ p za p w 2.11, aby otrzymać ~ p ∨ ~(~ p ), a z definicji implikacji (tzn. 1.01 p → q = ~p ∨ q) wtedy ~p ∨ ~(~p)= p → ~ (~p). QED (Wyprowadzenie 2.14 jest nieco bardziej skomplikowane.)

Reichenbach

Prawdą jest, przynajmniej dla logiki biwalentnej — tj. można to zobaczyć na mapie Karnaugha — że to prawo usuwa „środek” z inkluzywnego — lub użytego w jego prawie (3). I to jest punkt dowodzenia Reichenbacha, że ​​niektórzy uważają, że wyłączność -lub powinna zająć miejsce inkluzywnego -lub .

O tej kwestii (w co prawda bardzo technicznej terminologii) Reichenbach zauważa:

Tertium non datur

29. ( x ) [ f ( x ) ∨ ~ f ( x )]

nie jest wyczerpująca w swoich głównych terminach i dlatego jest zawyżoną formułą. Fakt ten może być może wyjaśniać, dlaczego niektórzy uważają, że nierozsądne jest pisanie (29) za pomocą inkluzywnego-'lub' i chcą, aby było to napisane ze znakiem wyłącznego -'lub'

30. ( x )[ f ( x ) ⊕ ~ f ( x )], gdzie symbol "⊕" oznacza wyłączność lub

w jakiej formie byłaby w pełni wyczerpująca, a zatem nomologiczna w węższym znaczeniu. (Reichenbach, s. 376)

W wierszu (30) „(x)” oznacza „dla wszystkich” lub „dla każdego”, formę używaną przez Russella i Reichenbacha; dziś symbolika to zazwyczaj x . Zatem przykładowe wyrażenie wyglądałoby tak: ${\displaystyle \forall}$

• ( świnia ): ( Muchy ( świnia ) ⊕ ~ Muchy ( świnia ))
• (Dla wszystkich przypadków „świnia” widziana i niewidoczna): („Świnia lata” lub „Świnia nie lata”, ale nie oba jednocześnie)

Logicy kontra intuicjoniści

Od końca XIX wieku do lat 30. toczyła się zaciekła, uporczywa debata między Hilbertem i jego zwolennikami a Hermannem Weylem i LEJ Brouwerem . Filozofia Brouwera, zwana intuicjonizmem , zaczęła się na poważnie wraz z Leopoldem Kroneckerem pod koniec XIX wieku.

Hilbert bardzo nie lubił pomysłów Kroneckera:

Kronecker upierał się, że nie ma istnienia bez konstrukcji. Dla niego, podobnie jak dla Paula Gordana [innego starszego matematyka], dowodem Hilberta skończoności podstawy systemu niezmienniczego po prostu nie była matematyka. Z drugiej strony Hilbert przez całe życie upierał się, że jeśli można udowodnić, że atrybuty przypisane pojęciu nigdy nie doprowadzą do sprzeczności, w ten sposób ustala się matematyczne istnienie pojęcia (Reid, s. 34).

To jego [Kronecker] twierdził, że nic nie może być powiedziane, że ma matematyczne istnienie, jeśli nie może być faktycznie skonstruowane ze skończoną liczbą dodatnich liczb całkowitych (Reid s. 26)

Debata wywarła głęboki wpływ na Hilberta. Reid wskazuje, że drugi problem Hilberta (jeden z problemów Hilberta z Drugiej Międzynarodowej Konferencji w Paryżu w 1900 r.) wyewoluował z tej debaty (kursywa w oryginale):

W swoim drugim problemie [Hilbert] poprosił o matematyczny dowód zgodności aksjomatów arytmetyki liczb rzeczywistych.

Aby pokazać wagę tego problemu, dodał następującą obserwację:

„Jeśli do pojęcia przypisuje się sprzeczne atrybuty, mówię, że matematycznie pojęcie to nie istnieje ” (Reid s. 71)

Tak więc Hilbert mówił: „Jeśli oba p i ~ p są pokazane jako prawdziwe, to p nie istnieje” i tym samym odwoływał się do prawa wykluczonego środka, przemienionego w formę prawa sprzeczności.

I wreszcie konstruktywiści… ograniczyli matematykę do badania konkretnych operacji na skończonych lub potencjalnie (ale nie w rzeczywistości) nieskończonych strukturach; ukończone nieskończone całości... zostały odrzucone, podobnie jak dowód pośredni oparty na Prawie Wykluczonego Środka. Najbardziej radykalni wśród konstruktywistów byli intuicjoniści, kierowani przez niegdysiejszego topologa LEJ Brouwera (Dawson s. 49).

Zaciekła debata trwała od początku XX wieku do lat dwudziestych; w 1927 roku Brouwer skarżył się na „szydercze tony polemizowania przeciwko niemu [intuicjonizmowi]” (Brouwer in van Heijenoort, s. 492). Ale debata była płodna: zaowocowała Principia Mathematica (1910-1913) i ta praca dała dokładną definicję prawu wykluczonego środka, a wszystko to zapewniło intelektualną oprawę i narzędzia niezbędne matematykom z początku XX wieku :

Z urazy, częściowo przez nią zrodzonej, powstało kilka ważnych logicznych odkryć... aksjomatyzacja teorii mnogości przez Zermelo (1908a)... po której dwa lata później ukazał się pierwszy tom Principia Mathematica ... w którym Russell i Whitehead pokazali, jak dzięki teorii typów większość arytmetyki może zostać rozwinięta za pomocą logicznych środków (Dawson, s. 49)

Brouwer ograniczył debatę do wykorzystania dowodów zaprojektowanych z „negatywnego” lub „nieistnienia” kontra „konstruktywnego” dowodu:

Według Brouwera stwierdzenie, że istnieje przedmiot mający daną właściwość, oznacza, i jest udowadniane tylko wtedy, gdy znana jest metoda, która w zasadzie przynajmniej umożliwi znalezienie lub skonstruowanie takiego przedmiotu…

Hilbert oczywiście się z tym nie zgodził.

„Dowody czystej egzystencji były najważniejszymi punktami orientacyjnymi w historycznym rozwoju naszej nauki” – utrzymywał. (Reid s. 155)

Brouwer... odmówił zaakceptowania logicznej zasady wykluczonego środka... Jego argument był następujący:

„Załóżmy, że A jest stwierdzeniem „Istnieje członek zbioru S mający właściwość P ”. Jeżeli zbiór jest skończony, możliwe jest – w zasadzie – zbadanie każdego członka zbioru S i ustalenie, czy istnieje członek zbioru S z właściwością P lub tym, że każdy element zbioru S nie ma własności P. Brouwer przyjął zatem zasadę wyłączonego środka jako obowiązującą dla zbiorów skończonych. Odmówił jej przyjęcia dla zbiorów nieskończonych, ponieważ jeśli zbiór S jest nieskończony, nie możemy —nawet w zasadzie — zbadaj każdy członek zbioru.Jeżeli w toku naszego badania znajdujemy członka zbioru o własności P , to pierwsza alternatywa jest uzasadniona; ale jeżeli nigdy takiego członka nie znajdziemy, druga alternatywa nadal nie jest uzasadniona.

Ponieważ twierdzenia matematyczne są często udowadniane przez ustalenie, że negacja pociągnęłaby za sobą sprzeczność, ta trzecia możliwość, którą zasugerował Brouwer, podważyłaby wiele obecnie akceptowanych twierdzeń matematycznych.

„Odjęcie zasady wykluczonego środka od matematyka” – powiedział Hilbert – „jest tym samym, co… zakazanie bokserowi używania pięści”.

"Możliwa strata nie wydawała się niepokoić Weyla... Program Brouwera miał nadejść, nalegał swoim przyjaciołom w Zurychu." (Reid, s. 149)}}

W swoim wykładzie w 1941 r. w Yale i kolejnym artykule Gödel zaproponował rozwiązanie: „zaprzeczenie uniwersalnego twierdzenia należy rozumieć jako stwierdzenie istnienia… kontrprzykładu” (Dawson, s. 157)).

Podejście Gödla do prawa wyłączonego środka polegało na stwierdzeniu, że zarzuty przeciwko „stosowaniu „definicji impredatywnych” „mają większe znaczenie” niż „prawo wyłączonego środka i pokrewne twierdzenia rachunku zdań” (Dawson, s. 156). Zaproponował swój „system Σ ... i zakończył, wymieniając kilka zastosowań swojej interpretacji. Wśród nich był dowód zgodności z intuicjonistyczną logiką zasady ~ (∀A: (A ∨ ~A)) (pomimo niespójności założenia ∃ A: ~ (A ∨ ~A)” (Dawson, s. 157)

Debata wydawała się słabnąć: matematycy, logicy i inżynierowie nadal stosują w swojej codziennej pracy prawo wykluczonego środka (i podwójnej negacji).

Intuicjonistyczne definicje prawa (zasady) wykluczonego środka

Poniższy tekst podkreśla głęboki matematyczny i filozoficzny problem stojący za tym, co to znaczy „wiedzieć”, a także pomaga wyjaśnić, co oznacza „prawo” (tj. co tak naprawdę oznacza prawo). Pojawiają się ich trudności z prawem: że nie chcą przyjąć za prawdziwe implikacji wywodzących się z tego, co nieweryfikowalne (niesprawdzalne, niepoznawalne) lub z niemożliwego lub fałszywego. (Wszystkie cytaty pochodzą z van Heijenoorta, dodano kursywę).

Brouwer podaje swoją definicję „zasady wykluczonego środka”; widzimy tu także kwestię „testowalności”:

Na podstawie wspomnianej testowalności, dla własności pojmowanych w ramach określonego skończonego systemu głównego, istnieje „zasada wykluczonego środka”, to znaczy zasada, że ​​dla każdego systemu każda własność jest albo poprawna [richtig], albo niemożliwa , aw szczególności zasada wzajemności gatunków komplementarnych, to znaczy zasada, że ​​dla każdego systemu poprawność właściwości wynika z niemożliwości niemożliwości tej właściwości. (335)

Definicja Kołmogorowa przytacza dwa aksjomaty negacji Hilberta

5. A → (~ A → B )
6. ( A → B ) → { (~ A → B ) → B }

Pierwszy aksjomat negacji Hilberta, „wszystko wynika z fałszu”, pojawił się dopiero wraz z pojawieniem się logiki symbolicznej, podobnie jak pierwszy aksjomat implikacji… podczas gdy… rozważany aksjomat [aksjomat 5] stwierdza coś o konsekwencjach czegoś niemożliwego: musimy zaakceptować B, jeśli prawdziwy osąd A zostanie uznany za fałszywy...

Drugi aksjomat negacji Hilberta wyraża zasadę wykluczonego środka. Zasada jest tu wyrażona w postaci, w jakiej jest używana do wyprowadzeń: jeśli B wynika zarówno z A, jak iz ~ A , to B jest prawdziwe. Jego zwykła forma, „każdy osąd jest albo prawdziwy, albo fałszywy” jest równoważny temu podanemu powyżej.

Z pierwszej interpretacji negacji, czyli zakazu uznawania wyroku za prawdziwy, nie można uzyskać pewności, że zasada wyłączonego środka jest prawdziwa… Brouwer wykazał, że w przypadku takich sądów ponadskończonych zasada wykluczony środek nie może być uznany za oczywisty

przypis 9: „Jest to bardzo proste sformułowanie Leibniza (zob. Nouveaux Essais , IV,2). Sformułowanie „ A jest albo B albo nie- B ” nie ma nic wspólnego z logiką sądów.

przypis 10: „Symbolicznie druga forma jest wyrażona w ten sposób

∨ ~

gdzie ∨ oznacza „lub”. Równoważność tych dwóch form można łatwo udowodnić (s. 421)

Przykłady

Na przykład, jeśli P jest propozycją:

Sokrates jest śmiertelny.

wtedy prawo wyłączonego środka utrzymuje, że alternatywa logiczna :

Albo Sokrates jest śmiertelny, albo Sokrates nie jest śmiertelny.

jest prawdziwe tylko ze względu na swoją formę. Oznacza to, że „środkowa” pozycja, że ​​Sokrates nie jest ani śmiertelny, ani nie-śmiertelny, jest wykluczona przez logikę, a zatem albo pierwsza możliwość ( Sokrates jest śmiertelny ) albo jej negacja ( nie jest tak, że Sokrates jest śmiertelny ) musi Mów prawdę.

Poniżej znajduje się przykład argumentu, który opiera się na prawie wykluczonego środka. Staramy się to udowodnić

istnieją dwie liczby niewymierne i taka, która jest wymierna.${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\ Displaystyle a ^ {b}}$

Wiadomo, że jest to irracjonalne (patrz dowód ). Rozważ liczbę ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\ Displaystyle {\ sqrt {2}} ^ {\ sqrt {2}}}$.

Oczywiście (z wyłączeniem środka) ta liczba jest albo racjonalna, albo irracjonalna. Jeśli jest racjonalny, dowód jest kompletny i

${\displaystyle a={\sqrt {2}}}$i .${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$

Ale jeśli jest irracjonalne, to niech ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}} ^ {\ sqrt {2}}}$

${\ Displaystyle a = {\ sqrt {2}} ^ {\ sqrt {2}}}$i .${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$

Następnie

${\ Displaystyle a ^ {b} = \ lewo ({\ sqrt {2}} ^ {\ sqrt {2}} \ prawej) ^ {\ sqrt {2}} = {\ sqrt {2}} ^ {\ lewo ({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}\right)}={\sqrt {2}}^{2}=2}$,

a 2 jest z pewnością racjonalne. Na tym kończy się dowód.

W powyższym argumencie stwierdzenie „ta liczba jest albo racjonalna, albo irracjonalna” odwołuje się do prawa wykluczonego środka. Na przykład intuicjonista nie zaakceptowałby tego argumentu bez dalszego poparcia dla tego stwierdzenia. Może to mieć formę dowodu, że dana liczba jest w rzeczywistości irracjonalna (lub racjonalna, w zależności od przypadku); lub skończony algorytm, który mógłby określić, czy liczba jest racjonalna.

Niekonstruktywne dowody na nieskończoność

Powyższy dowód jest przykładem niedozwolonego przez intuicjonistów dowodu niekonstruktywnego :

Dowód nie jest konstruktywny, ponieważ nie daje konkretnych liczb i które spełniają twierdzenie ale tylko dwa oddzielne możliwości, z których jedna praca musi. (W rzeczywistości jest to irracjonalne, ale nie ma na to łatwego dowodu.) (Davis 2000:220)${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\ Displaystyle a = {\ sqrt {2}} ^ {\ sqrt {2}}}$

(Konstruktywne dowody powyższego konkretnego przykładu nie są trudne do stworzenia; na przykład i oba łatwo pokazują, że są irracjonalne, oraz dowód dozwolony przez intuicjonistów). ${\displaystyle a={\sqrt {2}}}$${\displaystyle b=\log_{2}9}$${\ Displaystyle a ^ {b} = 3}$

Przez niekonstruktywne Davis oznacza, że ​​„dowód, że rzeczywiście istnieją matematyczne byty spełniające określone warunki, nie musiałby dostarczać metody, która pozwalałaby na wyraźne pokazanie tych bytów”. (s. 85). Takie dowody zakładają istnienie całości, która jest zupełna, pojęcie nie dopuszczone przez intuicjonistów po rozciągnięciu do nieskończoności — dla nich nieskończoność nigdy nie może być skompletowana:

W matematyce klasycznej występują niekonstruktywne lub pośrednie dowody istnienia, których intuicjoniści nie akceptują. Na przykład, aby udowodnić, że istnieje n takie, że P ( n ), matematyk klasyczny może wyprowadzić sprzeczność z założenia dla wszystkich n , a nie P ( n ). Zarówno w logice klasycznej, jak i intuicjonistycznej, przez reductio ad absurdum daje to nie dla wszystkich n, nie P ( n ). Logika klasyczna pozwala na przekształcenie tego wyniku w istnienie n takiego, że P ( n ), ale nie w ogóle intuicjonistyczne… klasyczne znaczenie, że gdzieś w skończonej nieskończonej całości liczb naturalnych występuje n takie że P ( n ) nie jest dla niego dostępny, ponieważ nie pojmuje liczb naturalnych jako kompletnej całości. (Kleene 1952:49-50)

David Hilbert i Luitzen EJ Brouwer podają przykłady prawa wyłączonego środka rozszerzonego na nieskończoność. Przykład Hilberta: „zatwierdzenie, że albo istnieje tylko skończenie wiele liczb pierwszych, albo jest nieskończenie wiele” (cyt. za Davis 2000:97); i Brouwera: „Każdy gatunek matematyczny jest albo skończony, albo nieskończony”. (Brouwer 1923 w van Heijenoort 1967:336). Ogólnie rzecz biorąc, intuicjoniści dopuszczają stosowanie prawa wyłączonego środka, gdy ogranicza się ono do dyskursu nad zbiorami (zbiorami) skończonymi, ale nie, gdy stosuje się je w dyskursie nad zbiorami nieskończonymi (np. liczbami naturalnymi). Tak więc intuicjoniści całkowicie odrzucają ogólne twierdzenie: „Dla wszystkich zdań P dotyczących zbiorów nieskończonych D : P lub ~ P ” (Kleene 1952:48).

Domniemane kontrprzykłady dla prawa wykluczonego środka obejmują paradoks kłamcy lub paradoks Quine'a . Niektóre postanowienia tych paradoksów, zwłaszcza Graham Priest „s dialetheism jako sformalizowany w LP, mają prawo wyłączonego środka jako twierdzenie, ale zdecydowania zewnątrz Kłamcy jak zarówno prawdziwe i fałszywe. W ten sposób prawo wyłączonego środka jest prawdziwe, ale ponieważ sama prawda, a zatem alternatywa, nie jest wykluczająca, nie mówi prawie nic, czy jeden z rozdzieleń jest paradoksalny, czy też jest zarówno prawdziwy, jak i fałszywy.

Krytyka

Wiele nowoczesnych systemów logicznych zastępuje prawo wykluczonego środka koncepcją negacji jako porażki . Zamiast tego, że zdanie jest prawdziwe lub fałszywe, zdanie jest albo prawdziwe, albo nie może być udowodnione jako prawdziwe. Te dwie dychotomie różnią się jedynie systemami logicznymi, które nie są kompletne . Zasada negacji jako niepowodzenia jest wykorzystywana jako podstawa logiki autoepistemicznej i jest szeroko stosowana w programowaniu logicznym . W tych systemach programista może uznać prawo wykluczonego środka za prawdziwy fakt, ale nie jest ono wbudowane a priori w te systemy.

Matematycy, tacy jak L.E.J. Brouwer i Arend Heyting , również kwestionują przydatność prawa wykluczonego środka w kontekście współczesnej matematyki.

W logice matematycznej

We współczesnej logice matematycznej wykazano, że wykluczony środek może powodować możliwą sprzeczność wewnętrzną . W logice możliwe jest formułowanie dobrze skonstruowanych zdań, które nie mogą być ani prawdziwe, ani fałszywe; częstym tego przykładem jest „ paradoks kłamcy ”, stwierdzenie „to stwierdzenie jest fałszywe”, które samo w sobie nie może być ani prawdziwe, ani fałszywe. Nadal obowiązuje tu prawo wykluczonego środka, ponieważ negację tego stwierdzenia „To stwierdzenie nie jest fałszywe” można uznać za prawdziwe. W teorii mnogości taki paradoks samoodniesienia można skonstruować badając zbiór „zbiór wszystkich zbiorów, które nie zawierają samych siebie”. Zbiór ten jest jednoznacznie określony, ale prowadzi do paradoksu Russella : czy zbiór zawiera jako jeden ze swoich elementów sam siebie? Jednak we współczesnej teorii mnogości Zermelo-Fraenkla tego typu sprzeczność nie jest już dopuszczana.

Analogiczne prawa

Niektóre systemy logiki mają różne, ale analogiczne prawa. Dla niektórych logik o skończonych wartościach n istnieje analogiczne prawo zwane prawem wykluczonego n +1 . Jeśli negacja jest cykliczna, a „∨” jest „operatorem max”, to prawo można wyrazić w języku obiektowym przez (P ∨ ~P ∨ ~~P ∨ ... ∨ ~...~P), gdzie " ~...~" reprezentuje n −1 znaków negacji, a "∨ ... ∨" n −1 znaków alternatywy. Łatwo jest sprawdzić, czy zdanie musi otrzymać co najmniej jedną z n wartości logicznych (a nie wartość, która nie jest jedną z n ).

Inne systemy całkowicie odrzucają prawo.

Zobacz też

• Brouwer-Hilbert kontrowersje : relacja o formalistyczno-intuicjonistycznym rozłamie wokół prawa wykluczonego środka
• Consequentia mirabilis  – Wzorzec rozumowania w logice zdań
• Twierdzenie Diaconescu
• Prawo wykluczonej czwartej
• Prawo wykluczonego środka jest nieprawdziwe w logikach wielowartościowych, takich jak logika trójskładnikowa i logika rozmyta  – system wnioskowania o niejasności
• Prawa myśli
• Ograniczona zasada wszechwiedzy  – koncepcja matematyczna
• Grafy logiczne : graficzna składnia logiki zdań
• Prawo Peirce'a  – Aksjomat stosowany w logice i filozofii: kolejny sposób na klasyczne przekształcenie intuicji
• Determinizm logiczny : aplikacja wykluczyła od średniego do modalnego  – Rodzaj formalnych propozycji logicznych
• Negacja nieafirmująca w buddyjskiej szkole prasangika , kolejny system, w którym prawo wyłączonego środka jest nieprawdziwe
• Konstruktywizm matematyczny
• Konstruktywna teoria mnogości

Przypisy

Bibliografia

• Akwinu, Thomas , " Summa Theologica ", Ojców Dominikanów angielskiej prowincji (tłum.), Daniel J. Sullivan (red.), Vol. 19-20 w Robert Maynard Hutchins (red.), Great Books of the Western World , Encyclopædia Britannica, Inc., Chicago, IL, 1952. Cytowany jako GB 19-20.
• Arystoteles , „ Metafizyka ”, WD Ross (tłum.), t. 8 w: Robert Maynard Hutchins (red.), Great Books of the Western World , Encyclopaedia Britannica, Inc., Chicago, IL, 1952. Cyt. GB 8. 1. wydanie, WD Ross (tłum.), The Works of Arystoteles , Oxford Wydawnictwo Uniwersyteckie, Oksford, Wielka Brytania.
• Martin Davis 2000, Silniki logiki: Matematycy i pochodzenie komputera , WW Norton & Company, NY, ISBN  0-393-32229-7 pbk.
• Dawson, J. , Logiczne dylematy, Życie i twórczość Kurta Gödla , AK Peters, Wellesley, MA, 1997.
• van Heijenoort, J. , From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Przedruk z poprawkami, 1977.
• Luitzen Egbertus Jan Brouwer , 1923, O znaczeniu zasady wykluczonego środka w matematyce, zwłaszcza w teorii funkcji [przedruk z komentarzem, s. 334, van Heijenoort]
• Andriej Nikołajewicz Kołmogorow , 1925, O zasadzie wykluczonego środka , [przedruk z komentarzem, s. 414, van Heijenoort]
• Luitzen Egbertus Jan Brouwer , 1927, O dziedzinach definicji funkcji , [przedruk z komentarzem, s. 446, van Heijenoort] Chociaż nie jest to bezpośrednio związane z tematem, w swoim (1923) Brouwer używa pewnych słów zdefiniowanych w tym artykule.
• Luitzen Egbertus Jan Brouwer , 1927(2), Intuicjonistyczne refleksje nad formalizmem , [przedruk z komentarzem, s. 490, van Heijenoort]
• Stephen C. Kleene 1952 oryginalny druk, 1971 6-ty druk z poprawkami, 10-ty druk 1991, Wprowadzenie do metamatematyki , North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN  0-7204-2103-9 .
• Kneale, W. i Kneale, M. , The Development of Logic , Oxford University Press, Oxford, Wielka Brytania, 1962. Przedruk z poprawkami, 1975.
• Alfred North Whitehead i Bertrand Russell , Principia Mathematica do *56 , Cambridge w University Press 1962 (wydanie drugie z 1927 r., przedruk). Niezwykle trudny ze względu na tajemną symbolikę, ale obowiązkowy dla poważnych logików.
• Bertrand Russell , Badanie sensu i prawdy . Wykłady Williama Jamesa na rok 1940 wygłoszone na Uniwersytecie Harvarda.
• Bertrand Russell , The Problems of Philosophy, With a New Introduction Johna Perry'ego , Oxford University Press, New York, wydanie 1997 (pierwsze wydanie 1912). Bardzo łatwe do odczytania: Russell był wspaniałym pisarzem.
• Bertrand Russell , The Art of Philosophizing and Other Essays , Littlefield, Adams & Co., Totowa, NJ, wydanie 1974 (pierwsze wydanie 1968). Zawiera wspaniały esej na temat „Sztuka rysowania wnioskowań”.
• Hans Reichenbach , Elementy logiki symbolicznej , Dover, Nowy Jork, 1947, 1975.
• Tom Mitchell , Uczenie maszynowe , WCB McGraw-Hill, 1997.
• Constance Reid , Hilbert , Copernicus: Springer-Verlag New York, Inc. 1996, po raz pierwszy opublikowane w 1969. Zawiera bogactwo informacji biograficznych, w dużej mierze pochodzących z wywiadów.
• Bart Kosko , Fuzzy Thinking: The New Science of Fuzzy Logic , Hyperion, Nowy Jork, 1993. Myślenie rozmyte w najlepszym wydaniu. Ale dobre wprowadzenie do pojęć.
• David Hume , An Inquiry Concerning Human Understanding , przedrukowany w Great Books of the Western World Encyclopædia Britannica, tom 35, 1952, s. 449 nn. Praca ta została opublikowana przez Hume'a w 1758 r. jako przeróbka jego „młodocianego” traktatu o ludzkiej naturze: Bycie. Próba wprowadzenia eksperymentalnej metody rozumowania do tematów moralnych, tom. I, Of The Understanding opublikowane po raz pierwszy 1739, przedrukowane jako: David Hume, A Treatise of Human Nature , Penguin Classics, 1985. Zobacz także: David Applebaum , The Vision of Hume , Vega, London, 2001: przedruk fragmentu An Zapytanie zaczyna się na str. 94 ff

Zewnętrzne linki

• Wpis „Sprzeczność” w Stanford Encyclopedia of Philosophy