Miara Lebesgue'a - Lebesgue measure

W teorii miary , gałąź matematyki , miara Lebesgue'a , nazwany po francuski matematyk Henri Lebesgue'a , to standardowy sposób przypisania środka do podzbiorów w n -wymiarowej przestrzeni euklidesowej . Dla n = 1, 2 lub 3, zbiega się ze standardową miarą długości , powierzchni lub objętości . Ogólnie nazywa się to również objętością n -wymiarową , n - objętością lub po prostu objętością . Jest używany w analizie rzeczywistej , w szczególności do zdefiniowania integracji Lebesgue'a . Zbiory, którym można przypisać miarę Lebesgue'a są nazywane mierzalnymi Lebesgue'a ; miara zbioru mierzalnego Lebesgue'a A jest tutaj oznaczona przez λ ( A ).

Henri Lebesgue opisał tę miarę w roku 1901, a w następnym roku przedstawił całkę Lebesgue'a . Oba zostały opublikowane w ramach jego pracy doktorskiej w 1902 roku.

Miara Lebesgue'a jest często oznaczana przez dx , ale nie należy jej mylić z odrębnym pojęciem formy objętości .

Definicja

Dla dowolnego przedziału (lub ) w zbiorze liczb rzeczywistych oznaczmy jego długość. Dla dowolnego podzbioru miara zewnętrzna Lebesgue'a jest zdefiniowana jako infimum

Niektóre zestawy spełniają kryterium Carathéodory , które wymaga , aby dla każdego ,

Zbiór wszystkich takich form to σ -algebra . Dla każdego takiego , jego miara Lebesgue'a jest zdefiniowana jako miara zewnętrzna Lebesgue'a: .

Zbiór , który nie spełnia kryterium Carathéodory'ego, nie jest mierzalny przez Lebesgue'a. Zbiory niemierzalne istnieją; przykładem są zestawy Vitali .

Intuicja

Pierwsza część definicji mówi, że podzbiór liczb rzeczywistych sprowadza się do swej miary zewnętrznej przez pokrycie zbiorami przedziałów otwartych. Każdy z tych zbiorów interwałów obejmuje w pewnym sensie, ponieważ suma tych interwałów zawiera . Całkowita długość dowolnego zestawu przedziałów pokrywających może zawyżać miarę, ponieważ jest podzbiorem sumy przedziałów, a więc przedziały mogą zawierać punkty, które nie są w . Miara zewnętrzna Lebesgue'a wyłania się jako największe dolne ograniczenie (infimum) długości spośród wszystkich możliwych takich zbiorów. Intuicyjnie jest to całkowita długość tych zestawów interwałów, które najlepiej pasują i nie nakładają się na siebie.

To charakteryzuje zewnętrzną miarę Lebesgue'a. To, czy ta miara zewnętrzna przekłada się na miarę właściwą Lebesgue'a, zależy od dodatkowego warunku. Warunek ten jest testowany poprzez podział podzbiorów liczb rzeczywistych jako instrumentu na dwie partycje: część, z którą się przecina, a pozostała część nie znajduje się w : ustawionej różnicy i . Te przegrody podlegają zewnętrznej mierze. Jeśli dla wszystkich możliwych takich podzbiorów liczb rzeczywistych podziały odcięte przez mają miary zewnętrzne, których suma jest miarą zewnętrzną , to miara zewnętrzna Lebesgue'a daje jej miarę Lebesgue'a. Intuicyjnie warunek ten oznacza, że ​​zbiór nie może mieć jakichś dziwnych właściwości, które powodują rozbieżność miary innego zbioru, gdy jest używany jako „maska” do „przycinania” tego zbioru, sugerując istnienie zbiorów, dla których zewnętrzna część Lebesgue'a miara nie daje miary Lebesgue'a. (Takie zestawy w rzeczywistości nie są mierzalne w skali Lebesgue'a.)

Przykłady

Nieruchomości

Niezmienność tłumaczenia: Miary Lebesgue'a i są takie same.

Miara Lebesgue'a na R n ma następujące właściwości:

  1. Jeśli jest iloczyn z przedziałów I 1 x I 2 x ⋯ x I n , a następnie jest Lebesgue'a mierzalną i tu | ja | oznacza długość przedziału I .
  2. Jeśli jest unia rozłączne od przeliczalnie wiele rozłącznych zbiorów mierzalnych-Lebesgue'a, a następnie jest sama Lebesgue'a-mierzalne i λ ( ) jest równa sumie (lub nieskończonej serii ) ze środków zaangażowanych zbiorów mierzalnych.
  3. Jeśli A jest mierzalne w skali Lebesgue'a, to jego dopełnienie .
  4. λ ( A ) ≥ 0 dla każdego zbioru mierzalnego Lebesgue'a A .
  5. Jeśli A i B są mierzalne w skali Lebesgue'a i A jest podzbiorem B , wtedy λ ( A ) ≤ λ ( B ). (Konsekwencja 2, 3 i 4.)
  6. Policzalne związki i skrzyżowań zestawów Lebesgue'a-mierzalne są Lebesgue'a-mierzalna. (Nie jest to konsekwencja 2 i 3, ponieważ rodzina zbiorów zamknięta pod dopełnieniami i rozłącznymi sumami przeliczalnymi nie musi być zamknięta pod sumami przeliczalnymi: .)
  7. Jeśli A jest otwartym lub zamkniętym podzbiorem R n (lub nawet zbiorem borelowskim , patrz przestrzeń metryczna ), to A jest mierzalne przez Lebesgue'a.
  8. Jeśli A jest zbiorem mierzalnym Lebesgue'a, to jest "w przybliżeniu otwarty" i "w przybliżeniu zamknięty" w sensie miary Lebesgue'a (patrz twierdzenie o regularności dla miary Lebesgue'a ).
  9. Zbiór mierzalny w skali Lebesgue'a można „ściskać” pomiędzy zbiorem otwartym i zbiorem zamkniętym zawierającym. Ta właściwość została wykorzystana jako alternatywna definicja mierzalności Lebesgue'a. Dokładniej, czy Lebesgue'a jest mierzalne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego istnieje zbiór otwarty i zbiór domknięty taki, że i .
  10. Zbiór mierzalny Lebesgue'a może być „ściśnięty” pomiędzy zawierającym zbiór G δ i zawartym F σ . To znaczy , jeśli A jest mierzalne przez Lebesgue'a, to istnieje zbiór G δ G i F σ F taki, że G  ⊇  A  ⊇  F i λ ( G  \  A ) =  λ ( A  \  F ) = 0.
  11. Miara Lebesgue'a jest zarówno lokalnie skończoną, jak i wewnętrzną regularną , a więc jest miarą Radona .
  12. Miara Lebesgue'a jest ściśle dodatnia na niepustych zbiorach otwartych, a więc jej wsparciem jest całość R n .
  13. Jeśli A jest zbiorem mierzalnym według Lebesgue'a z λ( A ) = 0 ( zestaw zerowy ), to każdy podzbiór A jest również zbiorem zerowym. A fortiori , każdy podzbiór A jest mierzalny.
  14. Jeśli A jest mierzalne przez Lebesgue'a i x jest elementem R n , to translacja A przez x , określona przez A + x = { a + x  : aA }, jest również mierzalna przez Lebesgue'a i ma taką samą miarę jak .
  15. Jeśli A jest mierzalne Lebesgue'a i , to rozszerzenie przez zdefiniowane przez jest również mierzalne Lebesgue'a i ma miarę
  16. Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli T jest transformacją liniową, a A jest mierzalnym podzbiorem R n , to T ( A ) jest również mierzalne w skali Lebesgue'a i ma miarę .

Wszystkie powyższe można zwięźle podsumować w następujący sposób (chociaż dwa ostatnie twierdzenia są nietrywialnie powiązane z następującymi):

W Lebesgue'a-mierzalne zestawy tworzą Ď -algebra zawierający wszystkie produkty odstępach czasu, a λ jest wyjątkowy kompletne tłumaczenie-niezmiennicza miara tego Ď-algebry z

Miara Lebesgue'a ma również właściwość bycia σ -skończoną .

Zerowe zestawy

Podzbiór R n jest zbiorem zerowym, jeśli dla każdego ε > 0, może być pokryty przeliczalnie wieloma produktami o n przedziałach, których całkowita objętość wynosi co najwyżej ε. Wszystkie zestawy policzalne są zestawami zerowymi.

Jeśli podzbiór R n ma wymiar Hausdorffa mniejszy niż n, to jest to zbiór zerowy względem n- wymiarowej miary Lebesgue'a. Tutaj wymiar Hausdorffa odnosi się do metryki euklidesowej na R n (lub dowolnej metryki równoważnej jej Lipschitzowi ). Z drugiej strony zbiór może mieć wymiar topologiczny mniejszy niż ni mieć dodatnią n- wymiarową miarę Lebesgue'a. Przykładem tego jest zbiór Smith-Volterra-Cantor, który ma wymiar topologiczny 0, ale ma dodatnią jednowymiarową miarę Lebesgue'a.

Aby pokazać, że dany zbiór A jest mierzalny w skali Lebesgue'a, zwykle próbuje się znaleźć „ładniejszy” zbiór B, który różni się od A tylko zbiorem zerowym (w tym sensie, że różnica symetryczna ( AB ) ∪ ( BA ) jest zbiorem zerowym), a następnie pokaż, że B można wygenerować za pomocą policzalnych sum i przecięć ze zbiorów otwartych lub zamkniętych.

Budowa miary Lebesgue'a

Nowoczesna konstrukcja miary Lebesgue'a jest zastosowaniem twierdzenia o rozszerzeniu Carathéodory'ego . Przebiega w następujący sposób.

Fix nN . Okno w R n jest zestaw formie

gdzie b ia i , a symbol iloczynu reprezentuje tutaj iloczyn kartezjański. Objętość tego pudełka jest zdefiniowana jako

Dla dowolnego podzbioru A o R n , można określić jej zewnętrzny środek λ * ( A ) poprzez:

Następnie definiujemy zbiór A jako mierzalny w skali Lebesgue'a, jeśli dla każdego podzbioru S z R n ,

Te mierzalne zbiory Lebesgue'a tworzą σ -algebrę , a miara Lebesgue'a jest zdefiniowana przez λ ( A ) = λ *( A ) dla dowolnego mierzalnego zbioru Lebesgue'a A .

Istnienie zbiorów, które nie są mierzalne według Lebesgue'a, jest konsekwencją aksjomatu wyboru teorii mnogości , który jest niezależny od wielu konwencjonalnych systemów aksjomatów dla teorii mnogości . Twierdzenie Vitali , co wynika z aksjomatu, stwierdza, że istnieją podzbiory R , które nie są Lebesgue'a-mierzalna. Przyjmując aksjomat wyboru, wykazano zbiory niemierzalne o wielu zaskakujących własnościach, jak np . paradoks Banacha–Tarskiego .

W 1970 r. Robert M. Solovay wykazał, że istnienie zbiorów, które nie są mierzalne w skali Lebesgue'a, nie jest dowodliwe w ramach teorii mnogości Zermelo-Fraenkla przy braku aksjomatu wyboru (zob . model Solovay'a ).

Stosunek do innych środków

Środek Borel zgadza się ze środkiem Lebesgue'a z tych zestawów, do których jest określony; jednak istnieje znacznie więcej zbiorów mierzalnych Lebesgue'a niż zbiorów mierzalnych borelowskich. Miara Borela jest niezmienna w tłumaczeniu, ale nie jest kompletna .

Środek Haar można określić w dowolnym lokalnie zwartej grupie i to uogólnienie środka Lebesgue'a ( R n , z dodatkiem jest lokalnie zwartą grupę).

Środek Hausdorff uogólnieniem środka Lebesgue'a, który jest przydatny do pomiaru podzbiory R n o mniejszych wymiarach niż N , jak podrozmaitości , na przykład, powierzchni lub krzywych R 3 i fraktali zestawy. Miary Hausdorffa nie należy mylić z pojęciem wymiaru Hausdorffa .

Można wykazać, że nie ma nieskończenie wymiarowego odpowiednika miary Lebesgue'a .

Zobacz też

Bibliografia