Lemniskata - Lemniscate

Lemniskata Bernoulliego i jej dwa ogniska

W geometrii algebraicznej , A lemniscate jest jedną z kilku ósemki lub ∞ kszta? Cie krzywych . Słowo to pochodzi od łacińskiego „lēmniscātus” oznaczającego „ozdobiony wstążkami”, od greckiego λημνίσκος oznaczającego „wstążki” lub alternatywnie może odnosić się do wełny, z której zostały wykonane wstążki .

Krzywe, które nazwano lemniskatą, obejmują trzy krzywe płaszczyzny kwartycznej : hipopotama lub lemniskatę Bootha , lemniskatę Bernoulliego i lemniskatę Gerono . Badania nad lemniskatami (a w szczególności hipopotamem) sięgają starożytnej matematyki greckiej , ale termin „lemniskata” dla krzywych tego typu pochodzi z prac Jacoba Bernoulliego z końca XVII wieku.

Historia i przykłady

Lemniskata Booth

Lemniskata Booth

Rozważanie krzywych w kształcie ósemki można prześledzić wstecz do Proklosa , greckiego filozofa neoplatonisty i matematyka, który żył w V wieku naszej ery. Proklos uważa się przekroje w ciągu torusa płaszczyzną równoległą do osi torusa. Jak zauważył, dla większości takich przekrojów przekrój składa się z jednego lub dwóch owali; jednak, gdy płaszczyzna jest styczna do wewnętrznej powierzchni torusa, przekrój przyjmuje kształt ósemki, który Proclus nazwał kajdanami koni (urządzenie do trzymania razem dwóch nóg konia) lub „hipopedem” w greckim. Nazwa „lemniskata Bootha” dla tej krzywej pochodzi z badań dziewiętnastowiecznego matematyka Jamesa Bootha .

Lemniskata może być zdefiniowana jako krzywa algebraiczna , zerowy zbiór wielomianu kwarcowego, gdy parametr d jest ujemny (lub zero w szczególnym przypadku, gdy lemniskata staje się parą zewnętrznie stycznych okręgów). Dla dodatnich wartości d zamiast tego otrzymujemy owal Bootha . ${\ Displaystyle (x ^ {2} + Y ^ {2}) ^ {2}-cx ^ {2}-dy ^ {2}}$

Lemniskata Bernoulli

Lemniskata Bernoulli

1680, Cassini badano rodzinę krzywych, zwanej obecnie Cassini owalny , zdefiniowaną następująco: locus wszystkich punktów, w których iloczyn odległości od dwóch stałych punktach, krzywe ognisk jest stała. W bardzo szczególnych okolicznościach (gdy połowa odległości między punktami jest równa pierwiastkowi kwadratowemu stałej) powoduje to powstanie lemniskaty.

W 1694 r. Johann Bernoulli badał przypadek lemniskaty owalu Cassini, obecnie znany jako lemniskata Bernoulliego (pokazany powyżej), w związku z problemem „ izochron ”, który został postawiony wcześniej przez Leibniza . Podobnie jak hipopotam, jest to krzywa algebraiczna, zbiór zer wielomianu . Brat Bernoulliego, Jacob Bernoulli, również studiował tę samą krzywą w tym samym roku i nadał jej nazwę, lemniskata. Można go również zdefiniować geometrycznie jako położenie punktów, których iloczyn odległości od dwóch ognisk jest równy kwadratowi połowy odległości międzyogniskowej. Jest to szczególny przypadek hipopotama (lemniskata Bootha) z , i może być uformowany jako przekrój torusa, którego otwór wewnętrzny i przekroje kołowe mają taką samą średnicę. W lemniscatic funkcje eliptyczne są analogi funkcji trygonometrycznych dla Lemniskata Bernoulliego, a stałe lemniscate powstać w ocenie długości łuku tego lemniscate. ${\ Displaystyle (x ^ {2} + Y ^ {2}) ^ {2} -2a ^ {2} (x ^ {2}-y ^ {2})}$${\displaystyle d=-c}$

Lemniskata Gerono

Lemniskata Gerono: zbiór rozwiązań x ⁴ − x ² + y ² = 0

Inna lemniskata, lemniskata Gerono lub lemniskata Huygensa, jest zbiorem zerowym wielomianu kwartycznego . Krzywa Vivianiego , trójwymiarowa krzywa utworzona przez przecięcie kuli z cylindrem, również ma kształt ósemki i ma lemniskatę Gerono jako rzut płaski. ${\ Displaystyle y ^ {2}-x ^ {2} (a ^ {2}-x ^ {2})}$

Inni

Inne krzywe algebraiczne w kształcie ósemki obejmują

• Na krzywej diabła , krzywa określona przez Quartic równania , w których jeden połączony element ma kształt ósemki,${\ Displaystyle y ^ {2} (y ^ {2} -a ^ {2}) = x ^ {2} (x ^ {2} - b ^ {2})}$
• Krzywa Watta, krzywa w kształcie ósemki utworzona przez połączenie mechaniczne. Krzywa Watta jest zbiorem zer równania wielomianowego stopnia sześć i ma lemniskatę Bernoulliego jako przypadek szczególny.${\ Displaystyle (x ^ {2} + r ^ {2}) (x ^ {2} + r ^ {2}-d ^ {2}) ^ {2} + 4a ^ {2} r ^ {2} (x^{2}+y^{2}-b^{2})=0}$

Zobacz też

• Analemma , krzywa w kształcie ósemki śledzona przez pozycje słońca na niebie w południe w ciągu roku
• symbol nieskończoności
• Lemniskaty jako uogólnione stożki
• Atraktor Lorenza , trójwymiarowy układ dynamiczny o kształcie lemniskata
• Wielomianowy lemniskata , zestaw poziomów wartości bezwzględnej złożonego wielomianu

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• „Lemniskaty” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]