Limit (matematyka) - Limit (mathematics)

W matematyce , A granica jest wartością, że funkcja (lub ciąg ) zbliża się jako wejście (lub indeksu) zbliża się pewną wartość . Granice są niezbędne w rachunku różniczkowym i analizie matematycznej oraz służą do definiowania ciągłości , pochodnych i całek .

Pojęcie granicy ciągu jest dalej uogólniane do pojęcia granicy sieci topologicznej i jest ściśle związane z granicą i granicą bezpośrednią w teorii kategorii .

We wzorach granica funkcji jest zwykle zapisywana jako

lub
Ltx  →  c f ( x ) = L ,

i jest czytane jako „granica f ( x), gdy x zbliża się do c równa się L ”. Fakt, że funkcja f zbliża się do granicy L, gdy x zbliża się do c, jest czasami oznaczany strzałką w prawo (→ lub ), jak w

który brzmi „ z tendencją do tego, jak ma tendencję do ”.

Granica funkcji

Kiedy tylko punkt x jest w odległości hemibursztynianu z C , wartość f ( x ) jest w odległości ε z L .
Dla wszystkich x > S , wartość f ( x ) znajduje się w odległości ε od L .

Załóżmy, że f jest funkcją o wartościach rzeczywistych, a c jest liczbą rzeczywistą . Intuicyjnie mówiąc, wyrażenie

oznacza, że f ( x ) można sprawić, aby było tak blisko L, jak jest to pożądane, czyniąc x wystarczająco blisko c . W takim przypadku powyższe równanie można odczytać jako „granica f od x , gdy x zbliża się do c , wynosi L ”.

Augustin-Louis Cauchy w 1821, a następnie Karl Weierstrass sformalizował definicję granicy funkcji, która stała się znana jako (ε, δ)-definicja granicy . Definicja używa ε (mała grecka litera epsilon ) do reprezentowania dowolnej małej liczby dodatniej, tak że „ f ( x ) staje się arbitralnie bliskie L ” oznacza, że f ( x ) ostatecznie leży w przedziale ( Lε , L + ε ) , który można również zapisać za pomocą znaku wartości bezwzględnej jako | f ( x ) − L | < ε . Wyrażenie "gdy x zbliża się do c " wskazuje, że odnosimy się do wartości x , których odległość od c jest mniejsza niż pewna liczba dodatnia δ (mała litera grecka delta ) - to znaczy wartości x w obrębie jednego z nich ( c - δ , c ) lub ( c , c + δ ) , które można wyrazić jako 0 < | xc | < Δ . Pierwsza nierówność oznacza, że ​​odległość między x i c jest większa niż 0 i że xc , natomiast druga wskazuje, że x jest w odległości δ od c .

Powyższa definicja granicy jest prawdziwa, nawet jeśli f ( c )≠ L . W rzeczywistości funkcja f nie musi być nawet zdefiniowana w c .

Na przykład, jeśli

wtedy f (1) nie jest zdefiniowane (patrz formy nieokreślone ), ale ponieważ x przesuwa się dowolnie blisko 1, f ( x ) odpowiednio zbliża się do 2:

f (0,9) f (0,99) f (0,999) f (1,0) f (1.001) f (1.01) f (1.1)
1.900 1.990 1.999 nieokreślony 2.001 2.010 2.100

Zatem f ( x ) można dowolnie przybliżyć do granicy 2 — po prostu czyniąc x wystarczająco blisko 1 .

Innymi słowy,

Można to również obliczyć algebraicznie, jak dla wszystkich liczb rzeczywistych x ≠ 1 .

Teraz, ponieważ x + 1 jest ciągłe w x przy 1, możemy teraz wstawić 1 dla x , co prowadzi do równania

Oprócz limitów w wartościach skończonych funkcje mogą mieć również limity w nieskończoności. Rozważmy na przykład funkcję

gdzie:
  • f (100) = 1,9900
  • f (1000) = 1,9990
  • f (10000) = 1,9999

Gdy x staje się ekstremalnie duże, wartość f ( x ) zbliża się do 2 , a wartość f ( x ) może być tak bliska 2, jak tylko można - czyniąc x wystarczająco dużym. W tym przypadku, granica f ( x ) jako x zbliża nieskończoność jest 2 lub w notacji matematycznej

Granica ciągu

Rozważ następującą sekwencję: 1,79, 1,799, 1,7999, … Można zauważyć, że liczby „zbliżają się” do 1,8, granicy ciągu.

Formalnie, załóżmy 1 , 2 , ... jest sekwencja z liczb rzeczywistych . Można stwierdzić, że liczba rzeczywista L jest granicą tego ciągu, a mianowicie:

który jest odczytywany jako

„Granica a n, gdy n zbliża się do nieskończoności równa się L

wtedy i tylko wtedy gdy

Dla każdej liczby rzeczywistej ε > 0 istnieje taka liczba naturalna N , że dla wszystkich n > N mamy | a nL | < ε .

Intuicyjnie oznacza to, że ostatecznie wszystkie elementy ciągu zbliżają się arbitralnie do limitu, ponieważ wartość bezwzględna | a nL | jest odległością między a n i L . Nie każda sekwencja ma granicę; jeśli tak, to nazywa się to zbieżnym , a jeśli nie, to jest rozbieżne . Można pokazać, że ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę.

Granica ciągu i granica funkcji są ze sobą ściśle powiązane. Z jednej strony, granica, gdy n zbliża się do nieskończoności ciągu { a n }, jest po prostu granicą w nieskończoności funkcji a ( n ) —określonej na liczbach naturalnych { n } . Z drugiej strony, jeśli X jest dziedziną funkcji f ( x ) i jeśli granica, gdy n zbliża się do nieskończoności f ( x n ) to L dla każdego dowolnego ciągu punktów { x n } w { X – { x 0 }} która zbiega się do x 0 , to granica funkcji f ( x ) gdy x zbliża się do x 0 to L . Jedną z takich sekwencji byłoby { x 0 + 1/ n } .

Limit jako „część standardowa”

W analizie niestandardowej (która obejmuje hiperrzeczywiste powiększenie systemu liczbowego) granicę ciągu można wyrazić jako standardową część wartości naturalnego rozszerzenia ciągu przy nieskończonym indeksie hipernaturalnym n=H . Zatem,

Tutaj funkcja części standardowej „st” zaokrągla każdą skończoną liczbę hiperrzeczywistą do najbliższej liczby rzeczywistej (różnica między nimi jest nieskończenie mała ). Formalizuje to naturalną intuicję, że dla „bardzo dużych” wartości indeksu, terminy w ciągu są „bardzo bliskie” wartości granicznej ciągu. I odwrotnie, standardowa część hiperrzeczywistego reprezentowana w konstrukcji ultrapotężnej przez sekwencję Cauchy'ego jest po prostu granicą tej sekwencji:

W tym sensie branie limitu i branie części standardowej są procedurami równoważnymi.

Zbieżność i punkt stały

Formalną definicję konwergencji można sformułować w następujący sposób. Załóżmy, jak idzie od celu jest sekwencja, która zbiega się ze wszystkim . Jeśli dodatnie stałe i istnieją z

następnie jak idzie od do zbiega się do porządku , ze stałą błędu asymptotycznego .

Mając funkcję ze stałym punktem , istnieje ładna lista kontrolna do sprawdzania zbieżności ciągu .

  1. Najpierw sprawdź, czy p jest rzeczywiście punktem stałym:
  2. Sprawdź zbieżność liniową. Zacznij od znalezienia . Gdyby…
wtedy jest zbieżność liniowa
seria się rozchodzi
wtedy jest przynajmniej zbieżność liniowa i może coś lepszego, wyrażenie należy sprawdzić pod kątem zbieżności kwadratowej
  1. Jeśli okaże się, że istnieje coś lepszego niż liniowe, wyrażenie należy sprawdzić pod kątem zbieżności kwadratowej. Zacznij od znalezienia Jeśli…
wtedy występuje zbieżność kwadratowa pod warunkiem, że jest ciągła
to jest coś jeszcze lepszego niż zbieżność kwadratowa
nie istnieje to jest zbieżność, która jest lepsza niż liniowa, ale nadal nie kwadratowa

Obliczalność granicy

Limity mogą być trudne do obliczenia. Istnieją wyrażenia graniczne, których moduł zbieżności jest nierozstrzygalny . W teorii rekursji The lemat granica udowadnia, że możliwe jest, aby zakodować problem nierozstrzygalny wykorzystaniem limitów.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki

Posłuchaj tego artykułu ( 15 minut )
Mówiona ikona Wikipedii
Ten plik audio został utworzony na podstawie rewizji tego artykułu z dnia 6 czerwca 2021 r. i nie odzwierciedla kolejnych zmian. ( 2021-06-06 )