Lista oświadczeń niezależnych od ZFC - List of statements independent of ZFC

Te matematyczne oświadczenia omówione poniżej provably niezależny od ZFC (kanonicznej ustawionej aksjomat teorii współczesnej matematyki, składający się z aksjomatów Zermelo-Fraenkel plus aksjomatu wyboru ), przy założeniu, że ZFC jest spójna . Oświadczenie jest niezależne od ZFC (czasami określane jako „nierozstrzygalne w ZFC”), jeśli nie można go ani udowodnić, ani obalić z aksjomatów ZFC.

Aksjomatyczna teoria mnogości

W 1931 Kurt Gödel udowodnił pierwszy wynik niezależności ZFC, a mianowicie, że spójność samego ZFC była niezależna od ZFC ( drugie twierdzenie Gödla o niezupełności ).

Następujące stwierdzenia są niezależne od ZFC m.in.:

• spójność ZFC;
• hipoteza continuum lub CH (Gödel produkowany model ZFC w którym CH jest prawdą, pokazując, że CH nie może zostać obalona w ZFC; Paul Cohen później wynalazł metodę wymuszania wykazywać model ZFC w którym CH zawiedzie, pokazując, że CH nie może być udowodnione w ZFC Następujące cztery wyniki niezależności są również zasługą Gödel/Cohen.);
• hipoteza uogólnione continuum (GCH);
• powiązane niezależne stwierdzenie jest takie, że jeśli zbiór x ma mniej elementów niż y , to x ma również mniej podzbiorów niż y . W szczególności to stwierdzenie zawodzi, gdy moce zbioru potęgowego x i y pokrywają się;
• Aksjomat constructibility ( V = l );
• zasada diament (◊);
• Aksjomat Martina (MA);
• MA + ¬CH (niezależność pokazana przez Solovay'a i Tennenbauma ).

Mamy następujące łańcuchy implikacji:

V = L → ◊ → CH,

V = L → GCH → CH,

CH → MA,

oraz (patrz rozdział dotyczący teorii zamówień):

◊ → ¬ SH ,

MA + ¬CH → JE → SH.

Kilka stwierdzeń związanych z istnieniem dużych kardynałów nie może zostać udowodnione w ZFC (zakładając, że ZFC jest zgodne). Są one niezależne od ZFC pod warunkiem, że są zgodne z ZFC, co zdaniem większości pracujących teoretyków mnogości jest prawdą. Te stwierdzenia są wystarczająco mocne, aby sugerować spójność ZFC. Ma to konsekwencję (poprzez drugie twierdzenie Gödla o niezupełności ), że ich spójności z ZFC nie można udowodnić w ZFC (zakładając, że ZFC jest spójne). Do tej klasy należą następujące stwierdzenia:

• Istnienie niedostępnych kardynałów
• Istnienie kardynałów Mahlo
• Istnienie mierzalnych kardynałów (pierwsze przypuszczenie Ulama )
• Istnienie superkompaktowych kardynałów

Można udowodnić, że następujące stwierdzenia są niezależne od ZFC, zakładając spójność odpowiedniego dużego kardynała:

• Aksjomat prawidłowego forsowania
• Aksjomat otwartego kolorowania
• Maksimum Martina
• Istnienie 0 ^#
• Hipoteza pojedynczych kardynałów
• determinacja projekcyjna (a nawet pełny aksjomat determinacji, jeśli aksjomat wyboru nie jest założony)

Teoria mnogości linii rzeczywistej

Istnieje wiele niezmienników kardynalnych prostej rzeczywistej, związanych z teorią miary oraz twierdzeń związanych z twierdzeniem Baire'a o kategorii , których dokładne wartości są niezależne od ZFC. Chociaż można udowodnić nietrywialne relacje między nimi, większość niezmienników kardynalnych może być dowolnym regularnym kardynałem między ℵ ₁ a 2 ^{ℵ ₀} . Jest to główny obszar badań w teorii mnogości prostej rzeczywistej (patrz diagram Cichona ). MA ma tendencję do wyznaczania najciekawszych niezmienników kardynalnych równych 2 ^{ℵ ₀} .

Podzbiór X linii rzeczywistej jest silną miarą ustawioną na zero, jeśli do każdego ciągu ( ε _n ) dodatnich liczb rzeczywistych istnieje ciąg przedziałów ( I _n ), który pokrywa X i taki, że _In ma długość co najwyżej ε _n . Przypuszczenie Borela, że ​​każdy zbiór silnej miary zero jest przeliczalny, jest niezależne od ZFC.

Podzbiór X linii rzeczywistej jest -gęsty, jeśli każdy otwarty przedział zawiera -wiele elementów X . To, czy wszystkie -gęste zbiory są izomorficzne w rzędach, jest niezależne od ZFC. ${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$

Teoria zamówień

Problem Suslina to pytanie, czy zbiór uporządkowany liczb rzeczywistych R charakteryzuje określona krótka lista własności . W ZFC jest to nierozstrzygnięte. Linia Suslina to uporządkowany zestaw, który spełnia tę konkretną listę właściwości, ale nie jest izomorficzny z R . Zasada diamentu ◊ dowodzi istnienia linii Suslina, podczas gdy MA + ¬CH implikuje EATS ( każde drzewo Aronzajn jest szczególne ), co z kolei implikuje (ale nie jest równoznaczne) z nieistnieniem linii Suslina. Ronald Jensen udowodnił, że CH nie sugeruje istnienia linii Suslin.

Istnienie drzew Kurepa jest niezależne od ZFC, przy założeniu spójności niedostępnego kardynała .

Istnienie podziału liczby porządkowej na dwa kolory bez monochromatycznego niepoliczalnego podzbioru sekwencyjnie zamkniętego jest niezależne od ZFC, ZFC + CH i ZFC + ¬CH, przy założeniu konsystencji kardynała Mahlo . To twierdzenie Szeli odpowiada na pytanie H. Friedmana . ${\displaystyle \omega_{2}}$

Algebra abstrakcyjna

W 1973 Saharon Shelah wykazał, że problem Whiteheada („czy każda grupa abelowa A z Ext ¹ (A, Z ) = 0 jest wolną grupą abelową ?”) jest niezależny od ZFC. Grupa abelowa z Ext ¹ (A, Z ) = 0 nazywana jest grupą Whiteheada; MA + ¬CH dowodzi istnienia niewolnej grupy Whiteheada, podczas gdy V = L dowodzi, że wszystkie grupy Whiteheada są wolne. W jednym z najwcześniejszych zastosowań właściwego forsowania Shelah skonstruował model ZFC + CH, w którym występuje niewolna grupa Whiteheada.

Rozważmy pierścień A = R [ x , y , z ] wielomianów trzech zmiennych nad liczbami rzeczywistymi i jego polem ułamków M = R ( x , y , z ). Rzutowa wymiar z M jak A -module wynosi 2 lub 3, ale jest niezależna od ZFC czy jest równe 2; jest równy 2 wtedy i tylko wtedy, gdy CH się utrzyma.

Bezpośredni produkt przeliczalnie wielu dziedzinach ma wymiar globalny 2 wtedy i tylko wtedy, gdy hipoteza continuum trzyma.

Teoria liczb

Można zapisać konkretny wielomian p ∈ Z [ x ₁ , ..., x ₉ ] taki, że zdanie "istnieją liczby całkowite m ₁ , ..., m ₉ z p ( m ₁ , ..., m _{9 )} ) = 0" nie może być ani udowodnione, ani obalone w ZFC (zakładając, że ZFC jest spójne). Wynika to z rozwiązania dziesiątego problemu Hilberta przez Jurija Matiyasevicha ; wielomian jest skonstruowany tak, że ma pierwiastek całkowity wtedy i tylko wtedy, gdy ZFC jest niespójny.

Teoria miary

Silniejsza wersja twierdzenia Fubiniego dla funkcji dodatnich, gdzie funkcja nie jest już mierzalna, a jedynie, że dwie iterowane całki są dobrze zdefiniowane i istnieją, jest niezależna od ZFC. Z jednej strony CH implikuje, że istnieje funkcja na kwadracie jednostkowym, której iterowane całki nie są równe — funkcja jest po prostu funkcją wskaźnika uporządkowania [0, 1] równoważną dobremu uporządkowaniu liczby kardynalnej ω ₁ . Podobny przykład można skonstruować za pomocą MA . Z drugiej strony, niesprzeczność silnego twierdzenia Fubiniego po raz pierwszy wykazał Friedman . Można to również wyprowadzić z wariantu aksjomatu symetrii Freilinga .

Topologia

Hipotezę normalnej przestrzeni Moore'a, a mianowicie, że każda normalna przestrzeń Moore'a jest metryzowalna , można obalić przy założeniu CH lub MA + ¬CH i udowodnić przy założeniu pewnego aksjomatu, który implikuje istnienie dużych kardynałów. Tak więc, przyznani wielcy kardynałowie, hipoteza Normalnej przestrzeni Moore'a jest niezależna od ZFC.

Różne twierdzenia dotyczące skończoności, punktów P, punktów Q, ... ${\displaystyle P(\omega)/}$

Spacje S i L

Analiza funkcjonalna

Garth Dales i Robert M. Solovay udowodnili w 1976 roku, że hipoteza Kaplansky'ego , a mianowicie, że każdy homomorfizm algebry z algebry Banacha C(X) (gdzie X jest pewną zwartą przestrzenią Hausdorffa ) do dowolnej innej algebry Banacha musi być ciągła, jest niezależny od ZFC. CH implikuje, że dla każdego nieskończonego X istnieje nieciągły homomorfizm w dowolnej algebrze Banacha.

Rozważmy algebrę B ( H ) ograniczonych operatorów liniowych na nieskończenie wymiarowej separowalnej przestrzeni Hilberta H . Te zwarte operatorzy tworzą dwustronny ideał w B ( H ). Pytanie, czy ten ideał jest sumą dwóch odpowiednio mniejszych ideałów, jest niezależne od ZFC, jak wykazali Andreas Blass i Saharon Shelah w 1987 roku.

Charles Akemann i Nik Weaver pokazali w 2003 roku, że stwierdzenie „istnieje kontrprzykład dla problemu Naimark, który jest generowany przez elementy ₁ ”, jest niezależne od ZFC.

Miroslav Bačák i Petr Hájek udowodnili w 2008 roku, że stwierdzenie „każda przestrzeń Asplunda o charakterze gęstości ω ₁ ma renormację z własnością przecięcia Mazur ” jest niezależne od ZFC. Wynik przedstawiono za pomocą maksymalnego aksjomatu Martina , podczas gdy Mar Jiménez i José Pedro Moreno (1997) przedstawili kontrprzykład zakładając CH.

Jak wykazali Ilijas Farah oraz N. Christopher Phillips i Nik Weaver , istnienie zewnętrznych automorfizmów algebry Calkina zależy od założeń teorii mnogości wykraczających poza ZFC.

Teoria modeli

Przypuszczenie Changa jest niezależne od ZFC zakładającego spójność kardynała Erda .

Teoria obliczalności

Marcia Groszek i Theodore Slaman podali przykłady niezależnych od ZFC wypowiedzi dotyczących struktury stopni Turinga. W szczególności, czy istnieje maksymalnie niezależny zestaw stopni wielkości mniejszych niż kontinuum.

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Jakie są rozsądnie brzmiące stwierdzenia, które są niezależne od ZFC? , mathoverflow.net