Lista nierówności trójkątów - List of triangle inequalities

W geometrii , nierówności trójkąta są nierówności obejmujące parametry z trójkątów , które posiadają dla każdego trójkąta, lub dla każdego trójkąta spełniającego określone warunki. Nierówności są uporządkowane według dwóch różnych wartości: mają one postać „mniejsze niż”, „mniejsze lub równe”, „większe niż” lub „większe lub równe”. Parametrami nierówności trójkąta mogą być długości boków, półobwód , miary kątów , wartości funkcji trygonometrycznych tych kątów, pole trójkąta, mediany boków, wysokości , długości wewnętrznych dwusiecznych kątów od każdego kąta do przeciwnej strony, prostopadłe dwusieczne boków, odległość od dowolnego punktu do innego punktu, promień , wysięg , obwód promienia , i/lub inne wielkości.

O ile nie zaznaczono inaczej, ten artykuł dotyczy trójkątów na płaszczyźnie euklidesowej .

Główne parametry i notacja

Parametry najczęściej występujące w nierównościach trójkątnych to:

• długości boków a , b , i c ;
• w semiperimeter s = (  +  b  +  c ) / 2 (na połowie obwodu s );
• że kąt działania , B i C z kątów wierzchołkach przeciwległych odnośnych stronach , b i c (z wierzchołków oznaczone tymi samymi symbolami jak środkami kąta);
• wartości funkcji trygonometrycznych kątów;
• obszar T trójkąta;
• że mediany m _o , m _b i m _c boków (każdy jest długością odcinka linii z punktem środkowym boku do przeciwległego wierzchołka);
• wysokościach H , H _b i H _C (każdy jest długość segmentu prostopadłej do jednej strony, a sięgających od tego boku (lub ewentualnie przedłużenia tej stronie) na przeciwległym wierzchołku);
• długości wewnętrznych dwusiecznych kąta t _a , t _b , i t _c (każda będąca odcinkiem od wierzchołka do przeciwnej strony i dwusieczną kąta wierzchołka);
• prostopadłe Dwusieczna P , str _b i s _c boków (każdy jest długością odcinka prostopadłego do jednej strony na środku jej długości, a osiągnięcie jednego z innych stron);
• długości odcinków linii z punktem końcowym w dowolnym punkcie P na płaszczyźnie (na przykład długość odcinka od P do wierzchołka A jest oznaczona jako PA lub AP );
• inradius R (promień okręgu wpisanego w trójkąt, styczny do trzech boków), przy czym exradii r , R _b i R _c (każdy jest promień styczny excircle na bok z , b lub c , odpowiednio, oraz styczna do przedłużeń pozostałych dwóch boków) i circumradius R (promień okręgu opisanego wokół trójkąta i przechodzącego przez wszystkie trzy wierzchołki).

Długość boków

Podstawowa nierówność trójkąta to

lub równoważnie

Ponadto,

gdzie wartość prawej strony jest najniższą możliwą granicą, podchodzącą asymptotycznie, gdy pewne klasy trójkątów zbliżają się do zdegenerowanego przypadku obszaru zerowego. Lewa nierówność, która obowiązuje dla wszystkich dodatnich a, b, c , to nierówność Nesbitta .

Mamy

${\ Displaystyle 3 \ lewo ({\ Frac {a} {b}} + {\ Frac {b} {c}} + {\ Frac {c} {a}} \ po prawej) \ geq 2 \ po lewej ({\ frac {b}{a}}+{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{c}}\prawo)+3.}$

${\displaystyle abc\geq (a+bc)(a-b+c)(-a+b+c).\quad}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{(a+b+c)^{2}} }<{\frac {1}{2}}.\quad }$

${\ Displaystyle {\ sqrt {a + bc}} + {\ sqrt {a-b + c}} + {\ sqrt {-a + b + c}} \ leq {\ sqrt {a}} + {\ sqrt {b}}+{\sqrt {c}}.}$

${\ Displaystyle a ^ {2} b (ab) + b ^ {2} c (bc) + c ^ {2} a (ca) \ geq 0.}$

Jeśli kąt C jest rozwarty (większy niż 90°), to

${\displaystyle a^{2}+b^{2}<c^{2};}$

jeśli C jest ostre (mniej niż 90 °), to

${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} > c ^ {2}.}$

Pośredni przypadek równości, gdy C jest kątem prostym, to twierdzenie Pitagorasa .

Ogólnie,

${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}> {\ Frac {c ^ {2}} {2}}}$

z równością zbliża się w granicy tylko wtedy, gdy kąt wierzchołkowy trójkąta równoramiennego zbliża się do 180°.

Jeżeli środek ciężkości trójkąta znajduje się wewnątrz trójkąta incircle , a następnie

${\displaystyle a^{2}<4BC,\quad b^{2}<4ac,\quadc^{2}<4ab.}$

Chociaż wszystkie powyższe nierówności są prawdziwe, ponieważ a , b i c muszą podążać za podstawową nierównością trójkąta, w której najdłuższy bok ma mniej niż połowę obwodu, następujące relacje obowiązują dla wszystkich dodatnich a , b i c :

${\displaystyle {\frac {3abc}{ab+bc+ca}}\leq {\sqrt[{3}]{abc}}\leq {\frac {a+b+c}{3}},}$

każde gospodarstwo z równością tylko wtedy, gdy a = b = c . To mówi, że w przypadku nierównobocznym średnia harmoniczna boków jest mniejsza niż ich średnia geometryczna, która z kolei jest mniejsza niż ich średnia arytmetyczna .

Kąty

${\ Displaystyle \ cos A + \ cos B + \ cos C \ leq {\ Frac {3}{2}}.}$

${\ Displaystyle (1-\ cos A) (1-\ cos B) (1-\ cos C) \ geq \ cos A \ cdot \ cos B \ cdot \ cos C.}$

${\ Displaystyle \ cos ^ {4} {\ Frac {A} {2}} + \ cos ^ {4} {\ Frac {B} {2}} + \ cos ^ {4} {\ Frac {C} 2}}\leq {\frac {s^{3}}{2abc}}}$

dla półobwodu s , z równością tylko w przypadku równobocznym.

${\ Displaystyle a + b + c \ geq 2 {\ sqrt {BC}} \ cos A + 2 {\ sqrt {ca}} \ cos B + 2 {\ sqrt {ab}} \ cos C.}$

${\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\leq {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}.}$

${\ Displaystyle \ sin ^ {2} A + \ sin ^ {2} B + \ sin ^ {2} C \ leq {\ Frac {9} {4}}.}$

${\ Displaystyle \ sin A \ cdot \ sin B \ cdot \ sin C \ leq \ lewo ({\ Frac {\ sin A + \ sin B + \ sin C} {3}} \ po prawej) ^ {3} \ leq \ po lewej (\sin {\frac {A+B+C}{3}}\right)^{3}=\sin ^{3}\left({\frac {\pi }{3}}\right)={ \frac {3{\sqrt {3}}}{8}}.}$

${\ Displaystyle \ sin A + \ sin B \ cdot \ sin C \ leq \ varphi}$

gdzie Złoty stosunek . ${\ Displaystyle \ varphi = {\ Frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}},}$

${\ Displaystyle \ grzech {\ Frac {A} {2}} \ cdot \ sin {\ Frac {B} {2}} \ cdot \ sin {\ Frac {C} {2}} \ Leq {\ Frac {1 }{8}}.}$

${\ Displaystyle \ tan ^ {2} {\ Frac {A} {2}} + \ tan ^ {2} {\ Frac {B} {2}} + \ tan ^ {2} {\ Frac {C} 2}}\geq 1.}$

${\ Displaystyle \ łóżeczko A + \ łóżeczko B + \ łóżeczko C \ geq {\ sqrt {3}}.}$

${\ Displaystyle \ sin A \ cdot \ cos B + \ sin B \ cdot \ cos C + \ sin C \ cdot \ cos A \ leq {\ Frac {3 {\ sqrt {3}}} {4}}.}$

Dla promienia promienia R i promienia r mamy

${\ Displaystyle \ max \ lewo (\ grzech {\ Frac {A} {2}}, \ grzech {\ Frac {B} {2}}, \ grzech {\ Frac {C} {2}} \ po prawej) \ leq {\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}\right),}$

z równością wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt jest równoramienny o kącie wierzchołka większym lub równym 60°; oraz

${\ Displaystyle \ min \ lewo (\ grzech {\ Frac {A} {2}}, \ grzech {\ Frac {B} {2}}, \ grzech {\ Frac {C} {2}} \ po prawej) \ geq {\frac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}\right),}$

z równością wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt jest równoramienny o kącie wierzchołka mniejszym lub równym 60°.

Mamy też

${\ Displaystyle {\ Frac {R} {R}} - {\ sqrt {1-{\ Frac {2r} {R}}}} \ leq \ cos A \ leq {\ Frac {R} {R}} + {\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}}$

i podobnie dla kątów B, C , z równością w pierwszej części, jeśli trójkąt jest równoramienny, a kąt wierzchołkowy wynosi co najmniej 60° i równość w drugiej części wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt jest równoramienny o kącie wierzchołkowym nie większym niż 60° .

Co więcej, dowolne dwie miary kątów A i B po przeciwnych stronach odpowiednio a i b są powiązane zgodnie z

${\displaystyle A>B\quad {\text{jeśli i tylko wtedy}}\quad a>b}$

co jest związane z twierdzeniem o trójkącie równoramiennym i jego odwrotnością, które stwierdzają, że A = B wtedy i tylko wtedy, gdy a = b .

Według twierdzenia Euklidesa o kącie zewnętrznym każdy kąt zewnętrzny trójkąta jest większy niż którykolwiek z kątów wewnętrznych na przeciwległych wierzchołkach:

${\ Displaystyle 180 ^ {\ circ}-A> \ max (B, C).}$

Jeżeli punkt D znajduje się we wnętrzu trójkąta ABC , to

${\ Displaystyle \ kąt BDC> \ kąt A.}$

Dla trójkąta ostrego mamy

${\ Displaystyle \ cos ^ {2} A + \ cos ^ {2} B + \ cos ^ {2} C < 1,}$

z odwróconą nierównością dla trójkąta rozwartego.

Ponadto dla trójkątów nierozwartych mamy

${\ Displaystyle {\ Frac {2R + R} {R}} \ Leq {\ sqrt {2}} \ po lewej (\ cos \ po lewej ({\ Frac {AC} {2}} \ po prawej) + \ cos \ po lewej ({\frac {B}{2}}\prawo)\prawo)}$

z równością wtedy i tylko wtedy, gdy jest to trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną AC.

Powierzchnia

Nierówność Weitzenböcka jest w ujęciu obszaru T ,

${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ geq 4 {\ sqrt {3}} \ cdot T}$

z równością tylko w przypadku równobocznym. Jest to następstwo z nierównością Hadwiger-Finsler , która jest

${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ geq (ab) ^ {2} + (BC) ^ {2} + (ca) ^ {2} + 4 {\ sqrt {3}}\cdot T.}$

Także,

${\displaystyle ab+bc+ca\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T}$

oraz

${\displaystyle T\leq {\frac {abc}{2}}{\sqrt {\frac {a+b+c}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc} }}\leq {\frac {1}{4}}{\sqrt[{6}]{\frac {3(a+b+c)^{3}(abc)^{4}}{a^{ 3}+b^{3}+c^{3}}}}\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.}$

Z skrajnie prawej górnej granicy na T , korzystając ze średniej arytmetyczno-geometrycznej nierówności , otrzymujemy nierówność izoperymetryczną dla trójkątów :

${\ Displaystyle T \ leq {\ Frac {\ sqrt {3}}{36}} (a + b + c) ^ {2} = {\ Frac {\ sqrt {3}}{9}} s ^ {2} }}$

dla półobwodu s . Czasami jest to określane jako obwód p as

${\displaystyle p^{2}\geq 12{\sqrt {3}}\cdot T}$

z równością dla trójkąta równobocznego . Jest to wzmocnione przez

${\ Displaystyle T \ leq {\ Frac {\ sqrt {3}} {4}} (abc) ^ {2/3}.}$

Nierówność Bonnesena wzmacnia również nierówność izoperimetryczną :

${\ Displaystyle \ pi ^ {2} (Rr) ^ {2} \ leq (a + b + c) ^ {2} -4 \ pi T.}$

Mamy też

${\displaystyle {\frac {9abc}{a+b+c}}\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T}$

z równością tylko w przypadku równobocznym;

${\ Displaystyle 38 T ^ {2} \ Leq 2s ^ {4}-a ^ {4}-b ^ {4}-c ^ {4}}$

dla semiperimeter s ; oraz

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {a}} + {\ Frac {1} {b}} + {\ Frac {1} {c}} < {\ Frac {s} {T}}.}$

Nierówność Ono dla trójkątów ostrych (tych o wszystkich kątach mniejszych niż 90°) wynosi

${\ Displaystyle 27 (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} (c ^ {2} + a ^ {2} - b ^ {2}) ^ {2} (a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4T)^{6}.}$

Obszar trójkąta może być porównana do obszaru incircle :

${\displaystyle {\frac {\text{powierzchnia okręgu}}{\tekst{powierzchnia trójkąta}}}\leq {\frac {\pi}{3{\sqrt {3}}}}}$

z równością tylko dla trójkąta równobocznego.

Jeśli trójkąt wewnętrzny jest wpisany w trójkąt odniesienia, tak że wierzchołki trójkąta wewnętrznego dzielą obwód trójkąta odniesienia na odcinki o równej długości, stosunek ich powierzchni jest ograniczony przez

${\displaystyle {\frac {\text{pole trójkąta wpisanego}}{\text{pole trójkąta odniesienia}}}\leq {\frac {1}{4}}.}$

Niech wewnętrzne dwusieczne kątów A , B i C spotkają się z przeciwległymi bokami w punktach D , E i F . Następnie

${\displaystyle {\frac {3abc}{4(a^{3}+b^{3}+c^{3})}}\leq {\frac {{\text{pole trójkąta}}\,DEF }{{\text{Pole trójkąta}}\,ABC}}\leq {\frac {1}{4}}.}$

Linia przechodząca przez medianę trójkąta dzieli obszar w taki sposób, że stosunek mniejszego podobszaru do obszaru pierwotnego trójkąta wynosi co najmniej 4/9.

Mediany i środek ciężkości

Każda z trzech środkowych trójkąta łączy wierzchołek ze środkiem przeciwnej strony, a suma ich długości jest satysfakcjonująca ${\ Displaystyle m_ {a}, \, m_ {b}, \, m_ {c}}$

${\displaystyle {\frac {3}{4}}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c.}$

Ponadto,

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {m_ {a}} {a}} \ po prawej) ^ {2} + \ po lewej ({\ Frac {m_ {b}} {b}} \ po prawej) ^ {2} +\lewo({\frac {m_{c}}{c}}\prawo)^{2}\geq {\frac {9}{4}},}$

z równością tylko w przypadku równobocznym i dla promienia r ,

${\ Displaystyle {\ Frac {m_ {a} m_ {b} m_ {c}} {m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2}}} \ geq r.}$

Jeśli dalej oznaczymy długości środkowych rozciągniętych na ich przecięcia z okręgiem opisanym jako M _a , M _b , i M _c , to

${\ Displaystyle {\ Frac {M_ {a}}{m_ {a}}} + {\ Frac {M_ {b}} {m_ {b}}} + {\ Frac {M_ {C}} {m_ {c }}}\geq 4.}$

Środek ciężkości G to punkt przecięcia środkowych. Niech AG , BG i CG spotkają się z okręgiem opisanym odpowiednio w punktach U , V i W . Wtedy oba

${\ Displaystyle GU + GV + GW \ geq AG + BG + CG}$

oraz

${\ Displaystyle GU \ cdot GV \ cdot GW \ geq AG \ cdot BG \ cdot CG;}$

Ponadto,

${\ Displaystyle \ sin GBC + \ sin GCA + \ sin GAB \ leq {\ Frac {3}{2}}.}$

Dla trójkąta ostrego mamy

${\ Displaystyle m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2}> 6R ^ {2}}$

w kategoriach promienia okręgu R , podczas gdy przeciwna nierówność dotyczy trójkąta rozwartego.

Oznaczając jako IA, IB, IC, odstępy między incenter od wierzchołków zachodzi:

${\ Displaystyle {\ Frac {IA ^ {2}} {m_ {a} ^ {2}}} + {\ Frac {IB ^ {2}} {m_ {b} ^ {2}}} + {\ Frac {IC^{2}}{m_{c}^{2}}}\leq {\frac {3}{4}}.}$

Trzy mediany dowolnego trójkąta mogą tworzyć boki innego trójkąta:

${\ Displaystyle m_ {a} < m_ {b} + m_ {c}, \ quad m_ {b} < m_ {c} + m_ {a}, \ quad m_ {c} < m_ {a} + m_ {b }.}$

Ponadto,

${\ Displaystyle \ max \ {bm_ {c} + cm_ {b}, \ quad cm_ {a} + am_ {c}, \ quad am_ {b} + bm_ {a} \} \ leq {\ Frac {a ^ {2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt {3}}}.}$

Wysokości

Wysokości H itp każdy wierzchołek podłączyć do strony przeciwnej i są prostopadłe do tej strony. Spełniają oba

${\ Displaystyle h_ {a} + h_ {b} + h_ {c} \ leq {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} (a + b + c)}$

oraz

${\ Displaystyle h_ {a} ^ {2} + h_ {b} ^ {2} + h_ {c} ^ {2} \ leq {\ Frac {3} {4}} (a ^ {2} + b ^ {2}+c^{2}).}$

Ponadto, jeśli wtedy ${\displaystyle a\geq b\geq c,}$

${\ Displaystyle a + h_ {a} \ geq b + h_ {b} \ geq c + h_ {c}.}$

Mamy też

${\ Displaystyle {\ Frac {h_ {a} ^ {2}} {(b ^ {2} + c ^ {2})}} \ cdot {\ Frac {h_ {b} ^ {2}} {(c ^{2}+a^{2})}}\cdot {\frac {h_{c}^{2}}{(a^{2}+b^{2})}}\leq \left({ \frac {3}{8}}\prawo)^{3}.}$

Dla wewnętrznych dwusiecznych kąta t _a , t _b , t _c od wierzchołków A, B, C oraz środka opisanego R i środka r , mamy

${\ Displaystyle {\ Frac {h_ {a}} {t_ {a}}} + {\ Frac {h_ {b}} {t_ {b}}} + {\ Frac {h_ {c}} {t_ {c }}}\geq {\frac {R+4r}{R}}.}$

Odwrotności wysokości dowolnego trójkąta mogą same tworzyć trójkąt:

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {h_ {a}}} < {\ Frac {1} {h_ {b}}} + {\ Frac {1} {h_ {c}}}, \ quad {\ Frac {1}{h_{b}}}<{\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{a}}},\quad {\frac {1}{h_{ c}}}<{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}.}$

Wewnętrzne dwusieczne kąta i incenter

Dwusieczne kąta wewnętrznego to odcinki wewnątrz trójkąta sięgające od jednego wierzchołka do przeciwnej strony i dzielące kąt wierzchołka na dwa równe kąty. Dwusieczne kąta t _a itd. spełniają

${\displaystyle t_{a}+t_{b}+t_{c}\leq {\frac {3}{2}}(a+b+c)}$

pod względem boków i

${\ Displaystyle h_ {a} \ równoważnik t_ {a} \ równoważnik m_ {a}}$

pod względem wysokości i median, podobnie dla t _b i t _c . Dalej,

${\ Displaystyle {\ sqrt {m_ {a}}} + {\ sqrt {m_ {b}}} + {\ sqrt {m_ {c}}} \ geq {\ sqrt {t_ {a}}} + {\ sqrt {t_{b}}}+{\sqrt {t_{c}}}}$

pod względem median, oraz

${\ Displaystyle {\ Frac {h_ {a}} {t_ {a}}} + {\ Frac {h_ {b}} {t_ {b}}} + {\ Frac {h_ {c}} {t_ {c }}}\geq 1+{\frac {4r}{R}}}$

pod względem wysokości, promień r i promień promienia R .

Niech T _a , T _b , i T _c będą długościami dwusiecznych kąta rozciągniętych na okrąg opisany. Następnie

${\ Displaystyle T_ {a} T_ {b} T_ {c} \ geq {\ Frac {8 {\ sqrt {3}}}{9}}ABC,}$

z równością tylko w przypadku równobocznym, oraz

${\ Displaystyle T_ {a} + T_ {b} + T_ {c} \ równoważnik 5R + 2r}$

dla promienia promienia R i promienia r , ponownie z równością tylko w przypadku równobocznym. Ponadto,.

${\ Displaystyle T_ {a} + T_ {b} + T_ {c} \ geq {\ Frac {4}{3}} (t_ {a} + t_ {b} + t_ {c}).}$

Dla środka I (przecięcie wewnętrznych dwusiecznych kąta),

${\ Displaystyle 6r \ leq AI + BI + CI \ leq {\ sqrt {12 (R ^ {2} - Rr ^ {2})}}.}$

Dla punktów środkowych L, M, N boków,

${\ Displaystyle IL ^ {2} + IM ^ {2} + IN ^ {2} \ geq r (R + r).}$

Dla incenter I , środek ciężkości G , okręgu opisanego O , dziewięć środkowy punkt N , a orthocenter H , mamy tylko dla trójkątów nierówności odległość

${\displaystyle IG<HG}$

${\ Displaystyle IH<HG}$

${\displaystyle IG<IO,}$

oraz

${\displaystyle IN<{\frac {1}{2}}IO;}$

i mamy nierówność kątową

${\ Displaystyle \ kąt IOH<{\ Frac {\ pi} {6}}.}$

Ponadto,

${\ Displaystyle IG<{\ Frac {1}{3}} v,}$

gdzie v jest najdłuższą medianą.

Trzy trójkąty z wierzchołkiem w środku , OIH , GIH i OGI , są rozwarte:

${\ Displaystyle \ kąt OIH}$> > 90° , > 90°.${\ Displaystyle \ kąt GIH}$${\ Displaystyle \ kąt OGI}$

Ponieważ te trójkąty mają wskazane kąty rozwarte, mamy

${\ Displaystyle OI ^ {2} + IH ^ {2} < OH ^ {2} \ quad GI ^ {2} + IH ^ {2} < GH ^ {2} \ quad OG ^ {2} + GI ^{2}<OI^{2},}$

i faktycznie drugi z nich jest równoważny wynikowi silniejszemu od pierwszego, pokazanego przez Eulera :

${\ Displaystyle OI ^ {2} < OH ^ {2} -2 \ cdot IH ^ {2} < 2 \ cdot OI ^ {2}.}$

Większy z dwóch kątów trójkąta ma krótszą dwusieczną kąta wewnętrznego:

${\ Displaystyle {\ tekst {jeśli}} \ quad A> B \ quad {\ tekst {wtedy}} \ quad t_ {a} < t_ {b}.}$

Dwusieczne prostopadłe boków

Nierówności te dotyczą długości p _a itd. trójkąta-wewnętrznych części prostopadłych dwusiecznych boków trójkąta. Oznaczanie boków tak, że mamy ${\displaystyle a\geq b\geq c,}$

${\displaystyle p_{a}\geq p_{b}}$

oraz

${\displaystyle p_{c}\geq p_{b}.}$

Segmenty z dowolnego punktu

Punkt wewnętrzny

Rozważ dowolny punkt P we wnętrzu trójkąta z wierzchołkami trójkąta oznaczonymi A , B i C oraz długościami odcinków linii oznaczonymi PA itd. Mamy

${\ Displaystyle 2 (PA + PB + PC)> AB + BC + CA> PA + PB + PC,}$

i mocniej niż druga z tych nierówności jest: Jeśli jest najkrótszym bokiem trójkąta, to ${\displaystyle AB}$

${\ Displaystyle PA + PB + PC \ Leq AC + BC.}$

Mamy też nierówność Ptolemeusza

${\ Displaystyle PA \ cdot BC + PB \ cdot CA> PC \ cdot AB}$

dla punktu wewnętrznego P i podobnie dla cyklicznych permutacji wierzchołków.

Jeśli narysujemy prostopadłe z punktu wewnętrznego P do boków trójkąta przecinających boki w punktach D , E i F , otrzymamy

${\ Displaystyle PA \ cdot PB \ cdot PC \ geq (PD + PE) (PE + PF) (PF + PD).}$

Co więcej, nierówność Erdősa-Mordella stwierdza, że:

${\ Displaystyle {\ Frac {PA + PB + PC} {PD + PE + PF}} \ geq 2}$

z równością w przypadku równobocznym. Mocniej nierówność barrowa stwierdza się, że jeżeli we wnętrzu Dwusieczna kątów w wewnętrzny punkt P (mianowicie z ∠ APB , ∠ BPC oraz ∠ CPA ) przecinają boków trójkąta w U , V i W , a następnie

${\ Displaystyle {\ Frac {PA + PB + PC} {PU + PV + PW}} \ geq 2.}$

Również silniejsza niż nierówność Erdősa-Mordella jest następująca: Niech D, E, F będą prostopadłymi rzutami P na odpowiednio BC, CA, AB , a H, K, L będą prostopadłymi rzutami P na styczne do trójkąta circumcircle na A, B, C odpowiednio. Następnie

${\displaystyle PH+PK+PL\geq 2(PD+PE+PF).}$

Przy rzutach ortogonalnych H, K, L z P na styczne do okręgu opisanego w trójkącie odpowiednio w punktach A, B, C mamy

${\ Displaystyle {\ Frac {PH} {a ^ {2}}} + {\ Frac {PK} {b ^ {2}}} + {\ Frac {PL} {c ^ {2}}} \ geq { \frac {1}{R}}}$

gdzie R jest promieniem okręgu.

Ponownie przy odległościach PD, PE, PF punktu wewnętrznego P od boków mamy te trzy nierówności:

${\ Displaystyle {\ Frac {PA ^ {2}} PE \ cdot PF}} + {\ Frac {PB ^ {2}} {PF \ cdot PD}} + {\ Frac {PC ^ {2}} PD\cdot PE}}\geq 12;}$

${\ Displaystyle {\ Frac {PA} {\ sqrt {PE \ cdot PF}}} + {\ Frac {PB} {\ sqrt {PF \ cdot PD}}} + {\ Frac {PC} {\ sqrt {PD \cdot PE}}}\geq 6;}$

${\ Displaystyle {\ Frac {PA} {PE + PF}} + {\ Frac {PB} {PF + PD}} + {\ Frac {PC} {PD + PE}} \ geq 3.}$

Dla punktu wewnętrznego P z odległościami PA, PB, PC od wierzchołków oraz z obszarem trójkąta T ,

${\ Displaystyle (b + c) PA + (c + a) PB + (a + b) PC \ geq 8T}$

oraz

${\ Displaystyle {\ Frac {PA} {a}} + {\ Frac {PB} {b}} + {\ Frac {PC} {c}} \ geq {\ sqrt {3}}.}$

Dla punktu wewnętrznego P , środka ciężkości G , punktów środkowych L, M, N boków i półobwodu s ,

${\ Displaystyle 2 (PL + PM + PN) \ równoważnik 3PG + PA + PB + PC \ równoważnik s + 2 (PL + PM + PN).}$

Ponadto dla liczb dodatnich k ₁ , k ₂ , k ₃ i t z t mniejszym lub równym 1:

${\ Displaystyle k_ {1} \ cdot (PA) ^ {t} + k_ {2} \ cdot (PB) ^ {t} + k_ {3} \ cdot (PC) ^ {t} \ geq 2 ^ {t }{\sqrt {k_{1}k_{2}k_{3}}}\left({\frac {(PD)^{t}}{\sqrt {k_{1}}}}+{\frac { (PE)^{t}}{\sqrt {k_{2}}}}+{\frac {(PF)^{t}}{\sqrt {k_{3}}}}\prawo),}$

natomiast dla t > 1 mamy

${\ Displaystyle k_ {1} \ cdot (PA) ^ {t} + k_ {2} \ cdot (PB) ^ {t} + k_ {3} \ cdot (PC) ^ {t} \ geq 2 {\ sqrt {k_{1}k_{2}k_{3}}}\lewo({\frac {(PD)^{t}}{\sqrt {k_{1}}}}+{\frac {(PE)^ {t}}{\sqrt {k_{2}}}}+{\frac {(PF)^{t}}{\sqrt {k_{3}}}}\prawo).}$

Punkt wewnętrzny lub zewnętrzny

Istnieją różne nierówności dla dowolnego punktu wewnętrznego lub zewnętrznego na płaszczyźnie pod względem promienia r okręgu wpisanego w trójkąt. Na przykład,

${\ Displaystyle PA + PB + PC \ geq 6r.}$

Inne obejmują:

${\ Displaystyle PA ^ {3} + PB ^ {3} + PC ^ {3} + k \ cdot (PA \ cdot PB \ cdot PC) \ geq 8 (k + 3) r ^ {3}}$

dla k = 0, 1, ..., 6;

${\ Displaystyle PA ^ {2} + PB ^ {2} + PC ^ {2} + (PA \ cdot PB \ cdot PC) ^ {2/3} \ geq 16r ^ {2};}$

${\ Displaystyle PA ^ {2} + PB ^ {2} + PC ^ {2} +2 (PA \ cdot PB \ cdot PC) ^ {2/3} \ geq 20r ^ {2};}$

oraz

${\ Displaystyle PA ^ {4} + PB ^ {4} + PC ^ {4} + k (PA \ cdot PB \ cdot PC) ^ {4/3} \ geq 16 (k + 3) r ^ {4} }$

dla k = 0, 1, ..., 9.

Ponadto dla promienia okręgu R ,

${\ Displaystyle (PA \ cdot PB) ^ {3/2} + (PB \ cdot PC) ^ {3/2} + (PC \ cdot PA) ^ {3/2} \ geq 12Rr ^ {2};}$

${\ Displaystyle (PA \ cdot PB) ^ {2} + (PB \ cdot PC) ^ {2} + (PC \ cdot PA) ^ {2} \ geq 8 (R + r) Rr ^ {2};}$

${\ Displaystyle (PA \ cdot PB) ^ {2} + (PB \ cdot PC) ^ {2} + (PC \ cdot PA) ^ {2} \ geq 48r ^ {4};}$

${\ Displaystyle (PA \ cdot PB) ^ {2} + (PB \ cdot PC) ^ {2} + (PC \ cdot PA) ^ {2} \ geq 6 (7R-6r) r ^ {3}.}$

Niech ABC będzie trójkątem, G będzie jego środkiem ciężkości, a D , E i F będą środkami odpowiednio BC , CA i AB . Dla dowolnego punktu P na płaszczyźnie ABC :

${\ Displaystyle PA + PB + PC \ leq 2 (PD + PE + PF) + 3PG.}$

Inradius, exradii i circumradius

Inradius i circumradius

Euler nierówność dla circumradius R i inradius r członkowskich, które

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq 2,}$

z równością tylko w przypadku równobocznym .

Mocniejsza wersja to

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a }{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a} {b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2.}$

W stosunku,

${\displaystyle {\frac {r}{R}}\geq {\frac {4abc-a^{3}-b^{3}-c^{3}}{2abc}},}$

gdzie prawa strona może być dodatnia lub ujemna.

Dwa inne udoskonalenia nierówności Eulera to:

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {(b+c)}{3a}}+{\frac {(c+a)}{3b}}+{\frac {( a+b)}{3c}}\geq 2}$

oraz

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {R} {R}} \ po prawej) ^ {3} \ geq \ lewo ({\ Frac {a} {b}} + {\ Frac {b} {a}} \ po prawej)\left({\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\right)\left({\frac {c}{a}}+{\frac {a}{ c}}\prawo)\geq 8.}$

Kolejna symetryczna nierówność to

${\ Displaystyle {\ Frac {\ lewo ({\ sqrt {a}} - {\ sqrt {b}} \ prawej) ^ {2} + \ lewo ({\ sqrt {b}}} - {\ sqrt {c} }\right)^{2}+\left({\sqrt {c}}-{\sqrt {a}}\right)^{2}}{\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}\right)^{2}}}\leq {\frac {4}{9}}\left({\frac {R}{r}}-2\right ).}$

Ponadto,

${\ Displaystyle {\ Frac {R} {R}} \ geq {\ Frac {2 (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2})} {ab + bc + ca}};}$

${\ Displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3} \ równa 8 s (R ​​^ {2} - r ^ {2})}$

w zakresie półobwodu s ;

${\displaystyle r(r+4R)\geq {\sqrt {3}}\cdot T}$

pod względem powierzchni T ;

${\displaystyle s{\sqrt {3}}\leq r+4R}$

oraz

${\ Displaystyle s ^ {2} \ geq 16Rr-5r ^ {2}}$

w zakresie półobwodu s ; oraz

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i 2R ^ {2} + 10Rr-r ^ {2}-2 (R-2r) {\ sqrt {R ^ {2}-2RR}} \ leq s ^ {2} \ \&\quad \leq 2R^{2}+10Rr-r^{2}+2(R-2r){\sqrt {R^{2}-2Rr}}\end{wyrównany}}}$

także pod względem półobwodu. Tutaj wyrażenie, gdzie d jest odległością między środkiem a środkiem okręgu opisanego. W tej ostatniej podwójnej nierówności pierwsza część jest równa wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt jest równoramienny o kącie wierzchołkowym równym co najmniej 60, a ostatnia część zachowuje równość wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt jest równoramienny o kącie wierzchołka równym najwyżej 60°. Zatem oba są równościami wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt jest równoboczny. ${\ Displaystyle {\ sqrt {R ^ {2}-2Rr}} = d}$

Mamy też dla każdej strony a

${\ Displaystyle (RD) ^ {2} -r ^ {2} \ równoważnik 4R ^ {2} r ^ {2} \ lewo ({\ Frac {(R + d) ^ {2} - r ^ {2}) }{(R+d)^{4}}}\right)\leq {\frac {a^{2}}{4}}\leq Q\leq (R+d)^{2}-r^{ 2},}$

gdzie jeśli circumcenter jest na lub poza incircle i jeśli circumcenter jest wewnątrz incircle. Obwód jest wewnątrz okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle Q = R ^ {2}}$${\ Displaystyle Q = 4R ^ {2} r ^ {2} \ lewo ({\ Frac {(Rd) ^ {2}-r ^ {2}} {(Rd) ^ {4}}} \ prawej)}$

${\displaystyle {\frac {R}{r}}<{\sqrt {2}}+1.}$

Dalej,

${\ Displaystyle {\ Frac {9r} {2T}} \ leq {\ Frac {1} {a}} + {\ Frac {1} {b}} + {\ Frac {1} {c}} \ leq { \frac {9R}{4T}}.}$

Nierówność Blundona stwierdza, że

${\ Displaystyle s \ leq (3 {\ sqrt {3}}-4) r + 2R.}$

Mamy również, dla wszystkich ostrych trójkątów,

${\displaystyle s>2R+r.}$

Dla środka Incircle I , niech AI , BI i CI rozciągają się poza I , aby przecinać okrąg opisany odpowiednio w D , E i F . Następnie

${\ Displaystyle {\ Frac {AI} {ID}} + {\ Frac {BI} {IE}} + {\ Frac {CI} {IF}} \ geq 3.}$

Jeśli chodzi o kąty wierzchołków, które mamy

${\ Displaystyle \ cos A \ cdot \ cos B \ cdot \ cos C \ leq \ lewo ({\ Frac {R} {R {\ sqrt {2}}}} \ prawej) ^ {2}.}$

Oznacz jako tanradii trójkąta. Następnie ${\ Displaystyle R_ {A}, R_ {B}, R_ {C}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {4} {R}} \ Leq {\ Frac {1} {R_ {A}}} + {\ Frac {1} {R_ {B}}} + {\ Frac {1} { R_{C}}}\leq {\frac {2}{r}}}$

z równością tylko w przypadku równobocznym, oraz

${\ Displaystyle {\ Frac {9} {2}} r \ równoważnik R_ {A} + R_ {B} + R_ {C} \ równoważnik 2R + {\ Frac {1} {2}} r}$

z równością tylko w przypadku równobocznym.

Circumradius i inne długości

Dla promienia okręgu R mamy

${\ Displaystyle 18R ^ {3} \ geq (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) R + abc {\ sqrt {3}}}$

oraz

${\ Displaystyle a ^ {2/3} + b ^ {2/3} + c ^ {2/3} \ równa 3 ^ {7/4} R ^ {3/2}.}$

Mamy też

${\displaystyle a+b+c\leq 3{\sqrt {3}}\cdot R}$

${\ Displaystyle 9R ^ {2} \ geq a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2},}$

${\ Displaystyle h_ {a} + h_ {b} + h_ {c} \ leq 3 {\ sqrt {3}} \ cdot R}$

pod względem wysokości,

${\ Displaystyle m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2} \ leq {\ Frac {27} {4}} R ^ {2}}$

pod względem median, oraz

${\ Displaystyle {\ Frac {ab} {a + b}} + {\ Frac {BC} {b + c}} + {\ Frac {ca} {c + a}} \ geq {\ Frac {2T} R}}}$

pod względem powierzchni.

Co więcej, dla okręgu opisanego O , niech proste AO , BO i CO przecinają przeciwległe boki BC , CA i AB odpowiednio w U , V i W . Następnie

${\displaystyle OU+OV+OW\geq {\frac {3}{2}}R.}$

Dla trójkąta ostrego odległość między środkiem opisanym O a ortocentrum H jest spełniony

${\displaystyle OH<R}$

z przeciwną nierównością dla trójkąta rozwartego.

Promień okręgu jest co najmniej dwukrotną odległością między pierwszym i drugim punktem Brocarda B ₁ i B ₂ :

${\displaystyle R\geq 2B_{1}B_{2}.}$

Inradius, exradii i inne długości

Dla promienia r mamy

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\leq {\frac {\sqrt {3}}{2r} },}$

${\ Displaystyle 9r \ leq h_ {a} + h_ {b} + h_ {c}}$

pod względem wysokości, oraz

${\ Displaystyle {\ sqrt {r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2}}} \ geq 6r}$

pod względem promieni ekskoli. Dodatkowo posiadamy

${\ Displaystyle {\ sqrt {s}} ({\ sqrt {a}} + {\ sqrt {b}} + {\ sqrt {c}}}) \ leq {\ sqrt {2}} (r_ {a} + r_{b}+r_{c})}$

oraz

${\displaystyle {\frac {abc}{r}}\geq {\frac {a^{3}}{r_{a}}}+{\frac {b^{3}}{r_{b}}} +{\frac {c^{3}}{r_{c}}}.}$

Eksradii i mediany są powiązane przez

${\displaystyle {\frac {r_{a}r_{b}}{m_{a}m_{b}}}+{\frac {r_{b}r_{c}}{m_{b}m_{c} }}+{\frac {r_{c}r_{a}}{m_{c}m_{a}}}\geq 3.}$

Ponadto dla trójkąta ostrego odległość między środkiem okręgu I a ortocentrum H jest spełniony

${\displaystyle IH<r{\sqrt {2}},}$

z odwrotną nierównością dla trójkąta rozwartego.

Spełnia również ostry trójkąt

${\ Displaystyle r ^ {2} + r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} <8R ^ {2},}$

w kategoriach promienia okręgu R , ponownie z odwrotną nierównością dla trójkąta rozwartego.

Jeżeli wewnętrzne dwusieczne kątów A , B , C spotykają się z przeciwległymi bokami w punktach U , V , W to

${\displaystyle {\frac{1}{4}}<{\frac{AI\cdot BI\cdot CI}{AU\cdot BV\cdot CW}}\leq {\frac {8}{27}}.}$

Jeśli wewnętrzne dwusiecznych przez incenter że rozciąga się zaspokoić okrąg na X , Y i Z , a następnie

${\displaystyle {\frac {1}{IX}}+{\frac {1}{IY}}+{\frac {1}{IZ}}\geq {\frac {3}{R}}}$

dla promienia okręgu R , oraz

${\ Displaystyle 0 \ leq (IX-IA) + (IY-IB) + (IZ-IC) \ leq 2 (R-2r).}$

Jeśli okrąg jest styczny do boków w punktach D , E , F , to

${\ Displaystyle EF ^ {2} + FD ^ {2} + DE ^ {2} \ leq {\ Frac {s ^ {2}} {3}}}$

dla półobwodu s .

Wpisane postacie

Wpisany sześciokąt

Jeśli sześciobok styczny jest tworzony przez narysowanie trzech odcinków stycznych do okręgu trójkąta i równoległych do boku tak, że sześciobok jest wpisany w trójkąt, a pozostałe trzy boki pokrywają się z częściami boków trójkąta, to

${\displaystyle {\text{obwód sześciokąta}}\leq {\frac {2}{3}}({\text{obwód trójkąta}}).}$

Wpisany trójkąt

Jeżeli trzy punkty D, E, F na odpowiednich bokach AB, BC i CA trójkąta odniesienia ABC są wierzchołkami trójkąta wpisanego, który w ten sposób dzieli trójkąt odniesienia na cztery trójkąty, to pole trójkąta wpisanego jest większe niż pole co najmniej jednego z pozostałych trójkątów wewnętrznych, chyba że wierzchołki trójkąta wpisanego znajdują się w środkach boków trójkąta odniesienia (w takim przypadku trójkąt wpisany jest trójkątem środkowym, a wszystkie cztery trójkąty wewnętrzne mają równe pola ):

${\ Displaystyle {\ tekst {Obszar (DEF)}} \ geq \ min ({\ tekst {Obszar (BED), Obszar (CFE), Obszar (ADF)}}).}$

Wpisane kwadraty

Ostry trójkąt ma trzy wpisane kwadraty , każdy z jednym bokiem pokrywającym się z częścią boku trójkąta i z pozostałymi dwoma wierzchołkami kwadratu na pozostałych dwóch bokach trójkąta. (Trójkąt prostokątny ma tylko dwa różne wpisane kwadraty.) Jeśli jeden z tych kwadratów ma długość boku x _{a ,} a drugi ma długość boku x _b przy x _a < x _b , wtedy

${\ Displaystyle 1 \ geq {\ Frac {x_ {a}} {x_ {b}}} \ geq {\ Frac {2 {\ sqrt {2}}} {3}} \ około 0,94.}$

Co więcej, dla dowolnego kwadratu wpisanego w dowolny trójkąt, który mamy

${\displaystyle {\frac {\tekst{pole trójkąta}}{\tekst{pole kwadratu wpisanego}}}\geq 2.}$

Linia Eulera

Trójkąt w Euler linia przechodzi przez jego orthocenter , jej circumcenter i jego ciężkości , ale nie przechodzą przez jego incenter chyba że trójkąt jest równoramienny . Dla wszystkich trójkątów nierównoramiennych odległość d od środka do linii Eulera spełnia następujące nierówności pod względem najdłuższej mediany v trójkąta , jego najdłuższego boku u i półobwodu s :

${\displaystyle {\frac {d}{s}}<{\frac {d}{u}}<{\frac {d}{v}}<{\frac {1}{3}}.}$

Dla wszystkich tych wskaźników górna granica 1/3 jest najściślejsza z możliwych.

Trójkąt prostokątny

W trójkątach prostokątnych odnogi a i b oraz przeciwprostokątna c są zgodne z poniższym, z równością tylko w przypadku równoramiennym:

${\displaystyle a+b\leq c{\sqrt {2}}.}$

Pod względem promienia przeciwprostokątna jest posłuszna

${\displaystyle 2r\leq c({\sqrt {2}}-1),}$

a pod względem wysokości od przeciwprostokątnej nogi są posłuszne

${\ Displaystyle h_ {c} \ leq {\ Frac {\ sqrt {2}} {4}} (a + b).}$

Trójkąt równoramienny

Jeśli dwa równe boki trójkąta równoramiennego mają długość a , a drugi bok ma długość c , to wewnętrzna dwusieczna kąta t od jednego z dwóch równokątnych wierzchołków spełnia

${\displaystyle {\frac {2ac}{a+c}}>t>{\frac {ac{\sqrt {2}}}{a+c}}.}$

Trójkąt równoboczny

Dla dowolnego punktu P w płaszczyźnie z trójkąta równobocznego ABC , odległości od P z wierzchołków, PA , PB i PC , są takie, że jeśli P jest na trójkącie w circumcircle oni przestrzegać podstawowe nierówności trójkąta, a zatem mogą sami uformuj boki trójkąta:

Jednak gdy P znajduje się na okręgu opisanym, suma odległości od P do najbliższych dwóch wierzchołków jest dokładnie równa odległości do najdalszego wierzchołka.

Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu P na płaszczyźnie, z odległościami PD , PE i PF do boków trójkąta i odległościami PA , PB i PC do jego wierzchołków,

Dwa trójkąty

Nierówność Pedoe'a dla dwóch trójkątów, jednego o bokach a , b , c i powierzchni T , a drugiego o bokach d , e , f i powierzchni S , stwierdza, że

${\ Displaystyle d ^ {2} (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}) + e ^ {2} (a ^ {2} + c ^ {2} - b ^ {2} })+f^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geq 16TS,}$

z równością wtedy i tylko wtedy, gdy oba trójkąty są podobne .

Twierdzenie zawias lub otwartym usta twierdzenie, że jeśli dwie strony tego samego trójkąta jest przystający do dwóch boków innego trójkąta, a kąt zawarty pierwszy jest większy niż kąt zawarty w drugim, a następnie do trzeciego boku pierwszego trójkąta jest dłuższy niż trzeci bok drugiego trójkąta. Oznacza to, że w trójkąty ABC i DEF z bokami a , b , c i d , e , f , odpowiednio (z w przeciwną A itp), jeżeli = d i b = e i k C > k M , a następnie

${\displaystyle c>f.}$

Odwrotność również obowiązuje: jeśli c > f , to C > F .

Kąty w dowolnych dwóch trójkątach ABC i DEF są powiązane pod względem funkcji cotangens zgodnie z

${\ Displaystyle \ łóżeczko A (\ łóżeczko E + \ łóżeczko F) + \ łóżeczko B (\ łóżeczko F + \ łóżeczko D) + \ łóżeczko C (\ łóżeczko D + \ łóżeczko E) \ geq 2.}$

Trójkąty nieeuklidesowe

W trójkącie na powierzchni kuli , a także w geometrii eliptycznej ,

${\ Displaystyle \ kąt A + \ kąt B + \ kąt C> 180 ^ {\ okrąg}.}$

Ta nierówność jest odwrócona dla trójkątów hiperbolicznych .

Zobacz też

• Lista nierówności
• Lista tematów trójkąta
• Czworokąt § Nierówności
• Czworokąt § Maksymalne i minimalne właściwości

Bibliografia