Skala logarytmiczna - Logarithmic scale

Skala logarytmiczna (lub skali logarytmicznej ) jest sposobem wyświetlania danych liczbowych w bardzo szerokim zakresie wartości w zwarty sposób, zwykle największe liczby w danych są setki lub nawet tysiące razy większe niż najmniejszych ilościach. Taka skala jest nieliniowa : liczby 10 i 20 oraz 60 i 70 nie są w tej samej odległości od siebie na skali logarytmicznej. Liczby 10 i 100 oraz 60 i 600 są raczej rozmieszczone równomiernie. W ten sposób przesunięcie jednostki odległości wzdłuż skali oznacza, że ​​liczba została pomnożona przez 10 (lub inny stały czynnik). Często krzywe wzrostu wykładniczego są wyświetlane w skali logarytmicznej, w przeciwnym razie wzrastałyby zbyt szybko, aby zmieścić się na małym wykresie. Innym sposobem myślenia o tym jest to, że liczba cyfr danych rośnie w stałym tempie. Na przykład liczby 10, 100, 1000 i 10000 są równomiernie rozmieszczone na skali logarytmicznej, ponieważ ich liczba cyfr rośnie za każdym razem o 1: 2, 3, 4 i 5 cyfr. W ten sposób dodanie dwóch cyfr mnoży ilość zmierzoną na skali logarytmicznej przez współczynnik 100.

Skala logarytmiczna od 0,1 do 100
Wykres półlogarytmiczny liczby hostów internetowych w czasie przedstawiony w skali logarytmicznej

Typowe zastosowania

Oznaczenia na suwakach są ułożone w skali logarytmicznej w celu mnożenia lub dzielenia liczb przez dodawanie lub odejmowanie długości na skali.

Dwie skale logarytmiczne suwaka logarytmicznego

Poniżej znajdują się przykłady powszechnie stosowanych skal logarytmicznych, w których większa ilość powoduje wyższą wartość:

Mapa Układu Słonecznego i odległość do Alfa Centauri w skali logarytmicznej.

Poniżej znajdują się przykłady powszechnie stosowanych skal logarytmicznych, w których większa ilość skutkuje niższą (lub ujemną) wartością:

Niektóre z naszych zmysłów działają w sposób logarytmiczny ( prawo Webera-Fechnera ), co sprawia, że ​​skale logarytmiczne dla tych wielkości wejściowych są szczególnie odpowiednie. W szczególności nasz zmysł słuchu postrzega równe stosunki częstotliwości jako równe różnice w wysokości tonu. Ponadto badania małych dzieci w odizolowanym plemieniu wykazały, że skala logarytmiczna jest najbardziej naturalnym sposobem przedstawiania liczb w niektórych kulturach.

Reprezentacja graficzna

Różne skale: lin–lin, lin–log, log–lin i log–log . Wykreślane wykresy to: y  = 10 x ( czerwony ), y  =  x ( zielony ), y  = log e ( x ) ( niebieski ). 
Główne artykuły: wykres log-log i semi-log plot

Górny lewy wykres jest liniowy na osiach X i Y, a oś Y ma zakres od 0 do 10. Skala logarytmiczna o podstawie 10 jest używana dla osi Y dolnego lewego wykresu, a oś Y mieści się w zakresie od 0,1 do 1000.

Prawy górny wykres wykorzystuje skalę log-10 tylko dla osi X, a dolny prawy wykres używa skali log-10 zarówno dla osi X, jak i Y.

Prezentacja danych w skali logarytmicznej może być pomocna, gdy dane:

  • obejmuje szeroki zakres wartości, ponieważ użycie logarytmów wartości zamiast wartości rzeczywistych ogranicza szeroki zakres do rozmiarów łatwiejszych do opanowania;
  • może zawierać prawa wykładnicze lub prawa potęgowe , ponieważ będą one wyświetlane jako linie proste.

Suwak logarytmiczny ma skal logarytmicznych i Nomogramy często zatrudniają logarytmiczne łuski. Średnią geometryczną z dwóch liczb jest w połowie drogi pomiędzy liczbami. Przed pojawieniem się grafiki komputerowej papier milimetrowy logarytmiczny był powszechnie używanym narzędziem naukowym.

Wykresy logarytmiczne

Wykres na skali logarytmicznej równania prostej

Jeśli zarówno pionowa, jak i pozioma oś wykresu są skalowane logarytmicznie, wykres jest określany jako wykres logarytmiczny .

Wykresy półlogarytmiczne

Jeśli tylko rzędna lub odcięta jest skalowana logarytmicznie, wykres jest określany jako wykres półlogarytmiczny.

Rozszerzenia

Zmodyfikowaną transformację logarytmiczną można zdefiniować dla ujemnych danych wejściowych ( y <0) i aby uniknąć osobliwości dla zerowych danych wejściowych ( y =0), tak aby uzyskać symetryczne wykresy logarytmiczne:

dla stałej C =1/ln(10).

Jednostki logarytmiczne

Jednostka logarytmiczna to jednostka, której można użyć do wyrażenia wielkości ( fizycznej lub matematycznej) w skali logarytmicznej, to znaczy jako proporcjonalnej do wartości funkcji logarytmicznej zastosowanej do stosunku ilości i wielkości referencyjnej taki sam typ. Wybór jednostki generalnie wskazuje na rodzaj wielkości i podstawę logarytmu.

Przykłady

Przykłady jednostek logarytmicznych obejmują jednostki pojemności przechowywania danych ( bit , bajt ), entropii informacji i informacji ( nat , shannon , ban ) oraz poziomu sygnału ( decybel , bel, neper ). Wielkości częstotliwości logarytmicznych są używane w elektronice ( dekada , oktawa ) oraz dla interwałów wysokości dźwięków ( oktawa , półton , cent itp.). Inne jednostki skali logarytmicznej obejmują punkt skali Richtera .

Ponadto kilka środki przemysłowe są logarytmiczna, takich jak standardowe wartości dla rezystorów The American wire gauge The miernik Birmingham wykorzystywane do drutu i igły, i tak dalej.

Jednostki informacji

Jednostki poziomu lub różnicy poziomów

Dalsze informacje: Poziom (ilość logarytmiczna)

Jednostki przedziału częstotliwości

Tabela przykładów

Jednostka Podstawa logarytmu Podstawowa ilość Interpretacja
fragment 2 liczba możliwych wiadomości ilość informacji
bajt 2 8 = 256 liczba możliwych wiadomości ilość informacji
decybel 10 (1/10) ≈ 1,259 dowolna wielkość mocy ( na przykład moc akustyczna ) poziom mocy akustycznej (na przykład)
decybel 10 (1/20) ≈ 1,122 dowolna ilość mocy korzeniowej ( na przykład ciśnienie akustyczne ) poziom ciśnienia akustycznego (na przykład)
półton 2 (1/12) ≈ 1,059 Częstotliwość z dźwiękiem interwał wysokości dźwięku

Dwie definicje decybela są równoważne, ponieważ stosunek wielkości mocy jest równy kwadratowi odpowiedniego stosunku wielkości pierwiastków .

Zobacz też

Skala

Aplikacje

Bibliografia

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki