Równoważność logiczna - Logical equivalence

W logice i matematyce , twierdzenia i są uważane za logicznie równoważne , jeśli można je wzajemnie udowodnić na podstawie zbioru aksjomatów lub mają taką samą wartość logiczną w każdym modelu . Logiczną równoważność i jest czasami wyrażana w , , lub , w zależności od zapisu używany. Symbole te są jednak również używane do oznaczania równoważności materiału , więc właściwa interpretacja zależałaby od kontekstu. Równoważność logiczna różni się od równoważności materialnej, chociaż te dwa pojęcia są wewnętrznie powiązane.

Równoważności logiczne

W logice istnieje wiele powszechnych równoważności logicznych, które są często wymieniane jako prawa lub właściwości. Poniższe tabele ilustrują niektóre z nich.

Ogólne równoważności logiczne

Równorzędność Nazwa

Prawa dotyczące tożsamości !

Prawa dominacji

Prawa idempotentne lub tautologiczne
Prawo podwójnej negacji

Prawa przemienne

Prawa stowarzyszeniowe

Prawa dystrybucyjne

Prawa de Morgana

Prawa absorpcji

Prawa negacji

Logiczne równoważności obejmujące instrukcje warunkowe

Równoważności logiczne obejmujące dwuwarunkowe

Przykłady

W logice

Poniższe stwierdzenia są logicznie równoważne:

  1. Jeśli Lisa jest w Danii , to jest w Europie (oświadczenie z formularza ).
  2. Jeśli Lisy nie ma w Europie, to nie ma jej w Danii (oświadczenie z formularza ).

Syntaktycznie (1) i (2) można wyprowadzić od siebie za pomocą reguł kontrapozycji i podwójnej negacji . Semantycznie (1) i (2) są prawdziwe w dokładnie tych samych modelach (interpretacjach, wycenach); mianowicie te, w których albo Lisa jest w Danii, są fałszywe, albo Lisa jest w Europie, są prawdziwe.

(Zauważ, że w tym przykładzie założono logikę klasyczną . Niektóre logiki nieklasyczne nie uznają (1) i (2) za logicznie równoważne.)

W matematyce

W matematyce, dwa zdania i często mówi się, że są logicznie równoważne, jeśli można je wzajemnie udowodnić, mając zestaw aksjomatów i założeń. Na przykład zdanie „ jest podzielne przez 6” można uznać za równoważne zdaniu „ jest podzielne przez 2 i 3”, ponieważ można udowodnić to pierwsze z drugiego (i odwrotnie), korzystając z wiedzy z podstawowej teorii liczb .

Stosunek do równoważności materiałowej

Równoważność logiczna różni się od równoważności materialnej. Formuły i są logicznie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy stwierdzenie ich materialnej równoważności ( ) jest tautologią.

Równoważność materialna i (często zapisywana jako ) jest sama w sobie kolejnym stwierdzeniem w tym samym języku przedmiotowym co i . To stwierdzenie wyraża ideę „” wtedy i tylko wtedy , gdy „”. W szczególności wartość logiczna może zmieniać się w zależności od modelu.

Z drugiej strony twierdzenie, że dwie formuły są logicznie równoważne, jest zdaniem w metajęzyku , które wyraża związek między dwoma zdaniami i . Zdania są logicznie równoważne, jeśli w każdym modelu mają tę samą wartość logiczną.

Zobacz też

Bibliografia

  1. ^ a b „Ostateczny słownik wyższego żargonu matematycznego — twierdzenie równoważne” . Skarbiec matematyczny . 2019-08-01 . Pobrano 24.11.2019 .
  2. ^ Mendelson, Elliott (1979). Wprowadzenie do logiki matematycznej (2 wyd.). s.  56 .
  3. ^ a b „Matematyka | Równoważności zdań” . GeeksforGeeks . 2015-06-22 . Pobrano 24.11.2019 .
  4. ^ Copi, Irving; Cohen, Carl; McMahon, Kenneth (2014). Wprowadzenie do logiki (wyd. New International). Osoba. str. 348.