Równoważność logiczna - Logical equivalence
W logice i matematyce , twierdzenia i są uważane za logicznie równoważne , jeśli można je wzajemnie udowodnić na podstawie zbioru aksjomatów lub mają taką samą wartość logiczną w każdym modelu . Logiczną równoważność i jest czasami wyrażana w , , lub , w zależności od zapisu używany. Symbole te są jednak również używane do oznaczania równoważności materiału , więc właściwa interpretacja zależałaby od kontekstu. Równoważność logiczna różni się od równoważności materialnej, chociaż te dwa pojęcia są wewnętrznie powiązane.
Równoważności logiczne
W logice istnieje wiele powszechnych równoważności logicznych, które są często wymieniane jako prawa lub właściwości. Poniższe tabele ilustrują niektóre z nich.
Ogólne równoważności logiczne
Równorzędność | Nazwa |
---|---|
|
Prawa dotyczące tożsamości ! |
|
Prawa dominacji |
|
Prawa idempotentne lub tautologiczne |
Prawo podwójnej negacji | |
|
Prawa przemienne |
|
Prawa stowarzyszeniowe |
|
Prawa dystrybucyjne |
|
Prawa de Morgana |
|
Prawa absorpcji |
|
Prawa negacji |
Logiczne równoważności obejmujące instrukcje warunkowe
Równoważności logiczne obejmujące dwuwarunkowe
Przykłady
W logice
Poniższe stwierdzenia są logicznie równoważne:
- Jeśli Lisa jest w Danii , to jest w Europie (oświadczenie z formularza ).
- Jeśli Lisy nie ma w Europie, to nie ma jej w Danii (oświadczenie z formularza ).
Syntaktycznie (1) i (2) można wyprowadzić od siebie za pomocą reguł kontrapozycji i podwójnej negacji . Semantycznie (1) i (2) są prawdziwe w dokładnie tych samych modelach (interpretacjach, wycenach); mianowicie te, w których albo Lisa jest w Danii, są fałszywe, albo Lisa jest w Europie, są prawdziwe.
(Zauważ, że w tym przykładzie założono logikę klasyczną . Niektóre logiki nieklasyczne nie uznają (1) i (2) za logicznie równoważne.)
W matematyce
W matematyce, dwa zdania i często mówi się, że są logicznie równoważne, jeśli można je wzajemnie udowodnić, mając zestaw aksjomatów i założeń. Na przykład zdanie „ jest podzielne przez 6” można uznać za równoważne zdaniu „ jest podzielne przez 2 i 3”, ponieważ można udowodnić to pierwsze z drugiego (i odwrotnie), korzystając z wiedzy z podstawowej teorii liczb .
Stosunek do równoważności materiałowej
Równoważność logiczna różni się od równoważności materialnej. Formuły i są logicznie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy stwierdzenie ich materialnej równoważności ( ) jest tautologią.
Równoważność materialna i (często zapisywana jako ) jest sama w sobie kolejnym stwierdzeniem w tym samym języku przedmiotowym co i . To stwierdzenie wyraża ideę „” wtedy i tylko wtedy , gdy „”. W szczególności wartość logiczna może zmieniać się w zależności od modelu.
Z drugiej strony twierdzenie, że dwie formuły są logicznie równoważne, jest zdaniem w metajęzyku , które wyraża związek między dwoma zdaniami i . Zdania są logicznie równoważne, jeśli w każdym modelu mają tę samą wartość logiczną.
Zobacz też
- Ustanowienie majoratu
- Równoważność
- Wtedy i tylko wtedy gdy
- Logiczny dwuwarunkowy
- Równość logiczna
- ≡ symbol iff (U+2261 IDENTYCZNE DO )
- ∷ jest b a c ma d symbol (U + 2237 PROCENT )
- ⇔ dwukrotnie uderza biconditional (U + 21D4 w lewo w prawo podwójna strzałka )
- ↔ strzałka dwukierunkowa (U+2194 STRZAŁKA W LEWO W PRAWO )
Bibliografia
- ^ a b „Ostateczny słownik wyższego żargonu matematycznego — twierdzenie równoważne” . Skarbiec matematyczny . 2019-08-01 . Pobrano 24.11.2019 .
- ^ Mendelson, Elliott (1979). Wprowadzenie do logiki matematycznej (2 wyd.). s. 56 .
- ^ a b „Matematyka | Równoważności zdań” . GeeksforGeeks . 2015-06-22 . Pobrano 24.11.2019 .
- ^ Copi, Irving; Cohen, Carl; McMahon, Kenneth (2014). Wprowadzenie do logiki (wyd. New International). Osoba. str. 348.