Lune z Hipokratesa - Lune of Hippocrates
W geometrii The Księżyce Hipokratesa , nazwanych Hipokrates z Chios , jest lune ograniczony przez łuki dwóch okręgów, z których mniejszy ma za średnicy akord obejmujących kąt prosty na większym kole. Równoważnie jest to niewypukły region płaszczyzny ograniczony jednym łukiem kołowym 180 stopni i jednym łukiem kołowym 90 stopni. Była to pierwsza zakrzywiona figura, której dokładny obszar obliczono matematycznie.
Historia
Hipokrates chciał rozwiązać klasyczny problem kwadratu koła , czyli skonstruowania kwadratu za pomocą linii prostej i kompasu o takim samym polu jak dany okrąg . Udowodnił, że lune ograniczona łukami oznaczonymi E i F na rysunku ma to samo pole co trójkąt ABO . Dało to pewną nadzieję na rozwiązanie problemu kwadratów kół, ponieważ lune jest ograniczona tylko łukami okręgów. Heath konkluduje, że udowadniając swój wynik, Hipokrates był również pierwszym, który udowodnił, że pole koła jest proporcjonalne do kwadratu jego średnicy.
Hipokratesa książka o geometrii, w których wydaje rezultacie Elements , został stracony, ale może utworzyli model Euclid „s Elements . Hipokratesa dowód został zachowany przez Historii Geometry sporządzoną przez Eudemos z Rodos , który nie został również przeżył, ale który został zaczerpnięty przez Simplicius Cylicji w swoim komentarzu do Arystotelesa „s Fizyki .
Dopiero w 1882 roku, z Ferdinand Lindemann dowód jest w transcendencji z Õ , to kwadratura koła okazało się niemożliwe.
Dowód
Wynik Hipokratesa można udowodnić w następujący sposób: Środek koła, na którym leży łuk AEB, to punkt D , który jest środkiem przeciwprostokątnej trójkąta równoramiennego ABO . Dlatego średnica AC większego okręgu ABC jest √ 2 razy większa od średnicy mniejszego okręgu, na którym leży łuk AEB . W konsekwencji mniejszy okrąg ma połowę powierzchni większego koła, a zatem ćwierć koła AFBOA jest równe powierzchni półkola AEBDA. Odejmowanie obszaru AFBDA w kształcie półksiężyca od ćwiartki koła daje trójkąt ABO, a odejmowanie tego samego półksiężyca od półkola daje lune. Ponieważ trójkąt i lune są tworzone przez odjęcie równych obszarów od równego pola, same mają równe pole.
Uogólnienia
Korzystając z podobnego dowodu do powyższego, arabski matematyk Hasan Ibn al-Haytham (łacińskie imię Alhazen , ok. 965 - ok. 1040) wykazał, że dwie lunes, uformowane po dwóch bokach trójkąta prostokątnego , którego zewnętrzne granice są półkolami i których wewnętrzne granice są utworzone przez okręg opisany na trójkącie, wtedy pola tych dwóch lun zsumowane są równe powierzchni trójkąta. Uformowane w ten sposób lunes z trójkąta prostokątnego nazywane są lunami Alhazen . Kwadratura luny Hipokratesa jest szczególnym przypadkiem tego wyniku dla trójkąta prostokątnego równoramiennego .
W połowie XX wieku dwaj rosyjscy matematycy, Nikołaj Chebotariow i jego uczeń Anatolij Dorodnov, całkowicie sklasyfikowali lunes, które można skonstruować za pomocą kompasu i prostej i które mają powierzchnię równą danemu kwadratowi. Wszystkie takie lunes można określić dwoma kątami utworzonymi przez wewnętrzny i zewnętrzny łuk na odpowiednich okręgach; w tym zapisie, na przykład, luna Hipokratesa miałaby kąt wewnętrzny i zewnętrzny (90 °, 180 °). Hipokrates znalazł dwie inne kwadratowe wklęsłe liuny o kątach w przybliżeniu (107,2 °, 160,9 °) i (68,5 °, 205,6 °). Dwie kolejne kwadratowe wklęsłe liuny o kątach w przybliżeniu (46,9 °, 234,4 °) i (100,8 °, 168,0 °) zostały znalezione w 1766 r. Przez Martina Johana Walleniusa i ponownie w 1840 r. Przez Thomasa Clausena . Jak wykazali Chebotaryov i Dorodnov, te pięć par kątów daje jedyne dające się skonstruować lunes kwadratowe; w szczególności nie ma dających się skonstruować kwadratowych wypukłych lun.